5.3: Aplicaciones de polinomios

5.3: Aplicaciones de polinomios

                 

En esta sección investigamos aplicaciones del mundo real de funciones polinómicas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

El precio promedio de un galón de gasolina al comienzo de cada mes para el período que comienza en noviembre de 2010 y termina en mayo de 2011 se da en el margen. Los datos se trazan en la Figura ( PageIndex {1} ) y se ajustan al siguiente polinomio de tercer grado, donde t es el número de meses que han pasado desde octubre de 2010.

 

[p (t) = – 0.0080556 t ^ {3} +0.11881 t ^ {2} -0.30671 t + 3.36 label {Eq5.3.1} ]

 

Use el gráfico y luego el polinomio para estimar el precio de un galón de gasolina en California en febrero de 2011.

 
fig 5.3.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Ajuste del precio del gas versus mes con un polinomio cúbico.
 

[ begin {array} {c | c} hline text {Month} & { text {Price}} \ hline text {nov.} Y {3.14} \ { text { Dic.}} Y {3.21} \ { text {ene}} y {3.31} \ { text {mar.}} y {3.87} \ { text {abr.}} Y {4.06} { text {May}} & {4.26} \ hline end {array} nonumber ]

 

Solución

 

Localice febrero ( (t = 4 )) en el eje horizontal. Desde allí, dibuje una flecha vertical hacia arriba hasta el gráfico, y desde ese punto de intersección, una segunda flecha horizontal hacia el eje vertical (consulte la Figura ( PageIndex {2} )). Parece que el precio por galón en febrero fue aproximadamente ( $ 3.51 ).

 
fig 5.3.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Precio aproximado del gas durante febrero.
 

A continuación, utilizaremos el polinomio de tercer grado ajustado para aproximar el precio por galón para el mes de febrero de 2011. Comience con la función definida por la Ecuación ref {Eq5.3.1} y sustituya (4 ) por (t ).

 

[ begin {alineado} p (t) & = – 0.0080556 t ^ {3} +0.11881 t ^ {2} -0.30671 t + 3.36 \ p (4) & = – 0.0080556 (4) ^ { 3} +0.11881 (4) ^ {2} -0.30671 (4) +3.36 end {alineado} nonumber ]

 

Use la calculadora para evaluar (p (4) ) (vea la Figura ( PageIndex {3} )). Redondeando al más cercano

 
fig 5.3.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Evaluación (p (4) ).
 

centavo, el precio en febrero fue de ( $ 3.52 ) por galón.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Si un proyectil se dispara al aire, su altura sobre el suelo en cualquier momento viene dada por la fórmula

 

[y = y_ {0} + v_ {0} t- dfrac {1} {2} g t ^ {2} label {Eq5.3.2} ]

 

donde

 

(y ) = altura sobre el suelo en el momento (t )

 

(y_0 ) = altura inicial sobre el suelo en el momento (t = 0 )

 

(v_0 ) = velocidad inicial en el tiempo (t = 0 )

 

(g ) = aceleración debido a la gravedad

 

(t ) = tiempo transcurrido desde el lanzamiento del proyectil

 

Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial de (100 ) metros por segundo ( (100 ) m / s) desde una azotea (8 ) metros ( (8 ) m) sobre el suelo nivel, ¿a qué hora alcanzará el proyectil una altura de (400 ) metros ( (400 ) m)? Nota: Cerca de la superficie terrestre, la aceleración debida a la gravedad es de aproximadamente (9.8 ) metros por segundo por segundo ( (9.8 ) (m / s) / so (9.8 ) m / s 2 ).

 

Solución

 

Se nos dice que la altura inicial es (y_0 = 8 ) m, la velocidad inicial es (v_0 = 100 ) m / s, y la aceleración debida a la gravedad es (g = 9.8 ) m / s 2 . Sustituya estos valores en la ecuación ref {Eq5.3.2}, luego simplifique para producir el siguiente resultado:

 

[ begin {array} {l} {y = y_ {0} + v_ {0} t- dfrac {1} {2} gt ^ {2}} \ {y = 8 + 100 t – dfrac {1} {2} (9.8) t ^ {2}} \ {y = 8 + 100 t-4.9 t ^ {2}} end {array} nonumber ]

 

Ingrese (y = 8 + 100 t-4.9 t ^ {2} ) como ( mathbf {Y} mathbf {1} = mathbf {8} +100 ^ {*} mathbf {X } -4.9 ^ {*} mathbf {X} wedge mathbf {2} ) en el menú Y = (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {4} )). Después de experimentar un poco, nos decidimos por los parámetros WINDOW que se muestran en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {4} ). Presione el botón GRÁFICO para generar el gráfico de (y = 8 + 100 t-4.9 t ^ {2} ) que se muestra en la tercera imagen Figura ( PageIndex {4} ).

 

En este ejemplo, el eje horizontal es en realidad el eje (t ). Entonces, cuando establecemos ( mathrm {Xmin} ) y ( mathrm {Xmax} ), en realidad estamos estableciendo límites en el eje (t ).

 
fig 5.3.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Dibujando el gráfico de (y = 8 + 100t − 4.9t ^ 2 ).
 

Para encontrar cuando el proyectil alcanza una altura de (400 ) metros ( (400 ) m), sustituya (400 ) por (y ) para obtener:

 

[400 = 8 + 100 t-4.9 t ^ {2} label {Eq5.3.3} ]

 

Ingrese el lado izquierdo de la ecuación ref {Eq5.3.3} en ( mathbf {Y} boldsymbol {2} ) en el menú Y = , como se muestra en el primer imagen en la Figura ( PageIndex {5} ). Presione el botón GRAPH para producir el resultado que se muestra en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {5} ). Tenga en cuenta que hay dos puntos de intersección, lo que tiene sentido cuando el proyectil golpea (400 ) metros al subir y (400 ) metros al bajar.

 
fig 5.3.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Determinar cuándo el objeto alcanza primero (400 ) metros.
 

Para encontrar el primer punto de intersección, seleccione 5: intersecte en el menú CALC . Presione ENTER en respuesta a «Primera curva», luego presione ENTER nuevamente en respuesta a «Segunda curva». Para su conjetura, use las teclas de flecha para mover el cursor más cerca del primer punto de intersección que el segundo. En este punto, presione ENTER en respuesta a «Guess». El resultado se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {5} ). El proyectil primero alcanza una altura de (400 ) metros aproximadamente (5.2925359 ) segundos después del lanzamiento.

 
fig 5.3.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

La parábola que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) no es la ruta de vuelo real del proyectil. El gráfico solo predice la altura del proyectil en función del tiempo.

 

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (t ) y (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {6} )). Incluya las unidades (segundos (s) y metros (m)).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {6} )). Incluya las unidades (segundos (s) y metros (m)).
  •      
  • Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {6} )).
  •      
  • Dibuje una línea vertical discontinua a través del primer punto de intersección. Sombree y etiquete el punto (con su valor (t )) donde la línea vertical discontinua cruza el eje (t ). Esta es la primera solución de la ecuación (400 = 8 + 100t − 4.9t ^ 2 ) (ver Figura ( PageIndex {6} )).
  •  
 

Redondeando a la décima de segundo más cercana, el proyectil tarda aproximadamente (t ≈ 5.3 ) segundos en alcanzar primero una altura de (400 ) metros.

 

La frase “sombrear y etiquetar el punto” significa llenar en el punto en el eje (t ), luego escriba el valor (t ) – de el punto justo debajo del punto sombreado.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial de (60 ) metros por segundo desde una azotea (12 ) metros sobre el nivel del suelo, ¿a qué hora será primero el proyectil alcanzar una altura de (150 ) metros?

 
     
Respuesta
     
     

( aproximadamente 3.0693987 ) segundos

     
 
 
 

Ceros y (x ) – intersecciones de una función

 

Recuerde que (f (x) ) y (y ) son intercambiables. Por lo tanto, si se nos pide que encontremos dónde una función es igual a cero, entonces necesitamos encontrar los puntos en la gráfica de la función que tienen un valor (y ) igual a cero (ver Figura ( PageIndex { 7} )).

 
fig 5.3.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): Ubicación de los ceros de una función.
 
 

Ceros y (x ) – intercepta

 

Los puntos donde la gráfica se cruza con el eje (x ) se denominan las intersecciones (x ) de la gráfica de (f ). El (x ) – valor de cada (x ) – intercepción se llama cero de la función (f ).

 
 

La gráfica de (f ) cruza el eje (x ) en la Figura ( PageIndex {7} ) en ((- 3,0) ), ((- 1,0 ) ) y ((3, 0) ). Por lo tanto:

 
         
  • Las (x ) – intersecciones de f son: ((- 3,0) ), ((- 1,0) ) y ((3,0) )
  •      
  • Los ceros de (f ) son: (- 3 ), (- 1 ) y (3 )
  •  
 
 

Idea clave

 

Una función es cero donde su gráfico cruza el eje (x ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentre los cero (s) de la función (f (x) = 1 .5x +5 .25 ).

 

Solución

 

Recuerde, (f (x) = 1 .5x +5 .25 ) y (y = 1 .5x +5 .25 ) son equivalentes. Estamos buscando el valor de (x ) que hace que (y = 0 ) o (f (x) = 0 ). Entonces, comenzaremos con (f (x) = 0 ), luego reemplazaremos (f (x) ) con (1 .5x +5 .25 ).

 

[ begin {alineado} f (x) & = 0 quad color {Rojo} text {Queremos el valor de} x text {que haga que la función sea igual a cero. } \ 1.5 x + 5.25 & = 0 quad color {Rojo} text {Reemplazar} f (x) text {con} 1.5 x + 5.25 end {alineado} nonumber ]

 

Ahora resolvemos para (x ).

 

[ begin {alineado} 1.5 x & = -5.25 quad color {Rojo} text {Restar} 5.25 text {de ambos lados. } \ x & = dfrac {-5.25} {1.5} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 1.5 \ x & = -3.5 quad color {Red} text {Divide: } -5.25 / 1.5 = -3.5 end {alineado} nonumber ]

 

Verifique: Sustituya (- 3.5 ) por (x ) en la función (f (x) = 1 .5x +5 .25 ).

 

[ begin {alineado} f (x) & = 1.5 x + 5.25 quad color {Red} text {La función original. } \ f (-3.5) & = 1.5 (-3.5) +5.25 quad color {Rojo} text {Sustituir} -3.5 text {para} x \ f (-3.5) & = – 5.25 + 5.25 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 1.5 (-3.5) = – 5.25 \ f (-3.5) & = 0 quad color {Rojo} text {Agregar. } end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que (- 3.5 ), cuando se sustituye por (x ), hace que la función (f (x) = 1 .5x + 5 .25 ) sea igual a cero. Es por eso que (- 3.5 ) se llama cero de la función.

 

Solución de calculadora gráfica: Deberíamos poder encontrar el cero dibujando la gráfica de (f ) y observando dónde cruza el eje (x ). Comience cargando la función (f (x) = 1 .5x +5 .25 ) en ( mathbf {Y1} ) en el menú Y = (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {8} )).

 

Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir el gráfico de (f ) (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {8} )) . Presione 2º CALC para abrir el menú CALCULAR (vea la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {8} )). Para encontrar el cero de la función (f ):

 
fig 5.3.8.png
Figura ( PageIndex {8} ): Encontrar el cero de (f (x) = 1 .5x +5 .25 ).
 
         
  1. Seleccione 2: cero en el menú CALCULAR . La calculadora responde pidiendo un «¿Atado a la izquierda?» (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {9} )). Use el botón de flecha izquierda para mover el cursor de modo que quede a la izquierda de la intersección (x ) – (f ) y presione ENTER .
  2.      
  3. La ​​calculadora responde preguntando por un «¿correcto?» (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {9} )). Use el botón de flecha hacia la derecha para mover el cursor de modo que quede a la derecha de (x ) – intercepción de (f ) y presione ENTER .
  4.      
  5. La ​​calculadora responde pidiendo un «Guess?» (vea la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {9} )). Siempre que su cursor se encuentre entre las marcas izquierda y derecha en la parte superior de la pantalla (vea la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {9} )), tiene una suposición válida. Dado que el cursor ya se encuentra entre los límites izquierdo y derecho, simplemente presione ENTER para usar la posición actual del cursor como su suposición.
  6.  
 
fig 5.3.9.png
Figura ( PageIndex {9} ): Usando 2: cero desde el menú CALCULATE .
 

La calculadora responde aproximando el cero de la función como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 
fig 5.3.10.png
Figura ( PageIndex {10} ): (- 3.5 ) es un cero apagado.
 

Tenga en cuenta que la aproximación encontrada usando la calculadora coincide muy bien con el cero encontrado usando la técnica algebraica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre el cero (s) de la función (f (x) = 2 .6x − 9.62 ).

 
     
Respuesta
     
     

(3.7 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

¿Cuánto tiempo llevará el proyectil en Ejemplo ( PageIndex {2} ) para volver al nivel del suelo?

 

Solución

 

En Ejemplo ( PageIndex {2} ) , la altura del proyectil sobre el suelo en función del tiempo viene dada por la ecuación [y = 8 + 100t − 4.9t ^ 2 nonumber ] Cuando el proyectil vuelve al suelo, su altura sobre el suelo será de cero metros. Para encontrar el tiempo que esto sucede, sustituya (y = 0 ) en la última ecuación y resuelva (t ). [0 = 8 + 100t − 4.9t ^ 2 nonumber ] Ingrese la ecuación (y = 8 + 100t – 4.9t ^ 2 ) en ( mathbf {Y1} ) en Y = menú de su calculadora (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {11} )), luego configure los parámetros WINDOW que se muestran en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {11} ). Presione el botón GRAPH para generar el gráfico de la función que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {11} ).

 
fig 5.3.11.png
Figura ( PageIndex {11} ): Dibujando el gráfico de (y = 8 + 100t − 4.9t ^ 2 ).
 

En este ejemplo, el eje horizontal es en realidad el eje (t ). Entonces, cuando configuramos ( mathrm {Xmin} ) y ( mathrm {Xmax} ) , en realidad estamos estableciendo límites en (t ) – eje.

 

Para encontrar el momento en que el proyectil regresa al nivel del suelo, necesitamos encontrar dónde la gráfica de (y = 8 + 100t − 4.9t ^ 2 ) cruza el eje horizontal (en este caso, el eje t) . Seleccione 2: cero en el menú CALC . Use las teclas de flecha para mover el cursor ligeramente a la izquierda de la intercepción (t ), luego presione ENTER en respuesta a «Límite izquierdo». Mueva el cursor ligeramente a la derecha de la intersección en t, luego presione ENTER en respuesta a «Límite derecho». Deje el cursor donde está y presione ENTER en respuesta a «Guess». El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (t ) y (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {12} )). Incluya las unidades (segundos (s) y metros (m)).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (vea la Figura ( PageIndex {12} )).
  •      
  • Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {12} )).
  •      
  • Dibuje una línea vertical discontinua a través de la intersección (t ). Sombree y etiquete el valor (t ) del punto donde la línea vertical punteada cruza el eje (t ). Esta es la solución de la ecuación (0 = 8 + 100t − 4.9t ^ 2 ) (ver Figura ( PageIndex {12} )).
  •  
 
fig 5.3.12.png
Figura ( PageIndex {12} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

Redondeando a la décima de segundo más cercana, el proyectil tarda aproximadamente (t ≈ 20.5 ) segundos en golpear el suelo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial de (60 ) metros por segundo desde una azotea (12 ) metros sobre el nivel del suelo, a qué hora volverá el proyectil a nivel del suelo?

 
     
Respuesta
     
     

( aprox. 12.441734 ) segundos

     
 
 
 
                                  
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