5.3: Ceros de la cuadrática

5.3: Ceros de la cuadrática

Hemos visto cómo la forma de vértice y el uso inteligente del eje de simetría pueden ayudar a dibujar una gráfica precisa de la función cuadrática definida por la ecuación (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ). Al dibujar la gráfica de la parábola, es útil saber dónde la gráfica de la parábola cruza el eje x. Ese es el objetivo principal de esta sección, encontrar los cruces por cero o las intersecciones en x de la parábola.

Antes de comenzar, deberá revisar las técnicas que le permitirán factorizar la expresión cuadrática (ax ^ 2 + bx + c ).

Factoring (ax ^ 2 + bx + c ) cuando a = 1

 

Nuestra intención en esta sección es proporcionar una revisión rápida de las técnicas utilizadas para factorizar trinomios cuadráticos. Comenzamos mostrando cómo factorizar trinomios que tienen la forma (ax ^ 2 + bx + c ), donde el coeficiente principal es a = 1; es decir, trinomios que tienen la forma (x ^ 2 + bx + c ). En la siguiente sección, abordaremos la técnica utilizada para factorizar (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a neq 1 ).

 

Comencemos con un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Factor (x ^ {2} +16 x-36 )

 

Solución

 

Tenga en cuenta que el coeficiente principal, el coeficiente de (x ^ 2 ), es un 1. Esta es una observación importante, porque la técnica presentada aquí no funcionará cuando el coeficiente principal no sea igual a 1.

 

Tenga en cuenta que el término constante del trinomio (x ^ 2 + 16x – 36 ) es −36. Liste todos los pares enteros cuyo producto sea igual a −36.

 

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Tenga en cuenta que hemos enmarcado el par −2, 18. Lo hemos hecho porque la suma de este par de enteros es igual al coeficiente de x en la expresión trinomial (x ^ 2 + 16x – 36 ). Use este par enmarcado para factorizar el trinomio.

 

[x ^ {2} +16 x-36 = (x-2) (x + 18) ]

 

Es importante que verifique su resultado. Usa la propiedad distributiva para multiplicar.

 

[ begin {alineado} (x-2) (x + 18) & = x (x + 18) -2 (x + 18) \ & = x ^ {2} +18 x-2 x -36 \ & = x ^ {2} +16 x-36 end {alineado} ]

 

Por lo tanto, nuestra factorización es correcta.

 
 

Resumamos la técnica.

 
 

Algoritmo

 

Para factorizar la cuadrática (x ^ 2 + bx + c ), proceda de la siguiente manera:

 
         
  1. Lista todos los pares de enteros cuyo producto es igual a c.
  2.      
  3. Encierra en un círculo o enmarca el par cuya suma es igual al coeficiente de x, es decir, b. Usa este par para factorizar el trinomio.
  4.  
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Factoriza el trinomio (x ^ {2} -25 x-84 )

 

Solución

 

Lista todos los pares de enteros cuyo producto es −84.

 

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Hemos enmarcado el par cuya suma es igual al coeficiente de x, a saber, −25. Usa este par para factorizar el trinomio.

 

[x ^ {2} -25 x-84 = (x + 3) (x-28) nonumber ]

 

Verificar

 

[ begin {alineado} (x + 3) (x-28) & = x (x-28) +3 (x-28) \ & = x ^ {2} -28 x + 3 x -84 \ & = x ^ {2} -25 x-84 end {alineado} ]

 
 

Con experiencia, hay una serie de ideas que acelerarán el proceso.

 
         
  • Como está enumerando los pares de enteros, si nota que el par actual tiene la suma adecuada, no es necesario enumerar los pares de enteros restantes. Simplemente detenga el proceso de enumerar los pares de enteros y use el par actual para factorizar el trinomio.
  •      
  • Algunos estudiantes están perfectamente contentos de que se les pregunte «¿Se les ocurre un par entero cuyo producto sea c y cuya suma sea b (donde byc se refieren a los coeficientes de (x ^ 2 + bx + c ))? » Si puede elegir el par «fuera del aire» de esta manera, todo está bien.
  •  
 

Usa el par entero para factorizar el trinomio y no te molestes en enumerar ningún par entero.

 

Ahora, investiguemos cómo proceder cuando el coeficiente principal no es 1.

 

Factoring (a x ^ {2} + b x + c ) cuando (a neq 1 )

 

Cuando (a neq 1 ), usamos una técnica llamada prueba ac para factorizar el trinomio (ax ^ 2 + bx + c ). El proceso se explica mejor con un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Factor (2x ^ 2 + 13x – 24 ).

 

Solución

 

Tenga en cuenta que el coeficiente principal no es igual a 1. De hecho, el coeficiente de (x ^ 2 ) en este ejemplo es un 2. Por lo tanto, la técnica de los ejemplos anteriores no funcionará. Por lo tanto, recurrimos a una técnica similar llamada prueba ac.

 

Primero, compare [2 x ^ {2} +13 x-24 qquad text {y} qquad a x ^ {2} + b x + c ]

 

y tenga en cuenta que a = 2, b = 13 yc = −24. Calcule el producto de a y c. Así es como la técnica se llama «ac-test».

 

[a c = (2) (- 24) = – 48 nonumber ]

 

Lista todos los pares enteros cuyo producto es ac = −48.

 

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Hemos enmarcado el par cuya suma es b = 13. El siguiente paso es reescribir el trinomio (2x ^ 2 + 13x – 24 ), dividiendo el término medio en una suma, usando nuestro par entero enmarcado.

 

[2 x ^ {2} +13 x-24 = 2 x ^ {2} -3 x + 16 x-24 nonumber ]

 

Factorizamos una x de los primeros dos términos, luego un 8 de los últimos dos términos. Este proceso se denomina factorización por agrupación.

 

[2 x ^ {2} -3 x + 16 x-24 = x (2 x-3) +8 (2 x-3) nonumber ]

 

Ahora factorizamos un factor común de 2x – 3.

 

[x (2 x-3) +8 (2 x-3) = (x + 8) (2 x-3) nonumber ]

 

Es útil ver el proceso completo como una unidad coherente.

 

[ begin {alineado} 2 x ^ {2} +13 x-24 & = 2 x ^ {2} -3 x + 16 x-24 \ & = x (2 x-3) +8 (2 x-3) \ & = (x + 8) (2 x-3) end {alineado} ]

 

Verificar

 

Nuevamente, es importante verificar la respuesta por multiplicación.

 

[ begin {alineado} (x + 8) (2 x-3) & = x (2 x-3) +8 (2 x-3) \ & = 2 x ^ {2} -3 x + 16 x-24 \ & = 2 x ^ {2} +13 x-24 end {alineado} ]

 

Debido a que este es el trinomio original, nuestra solución verifica.

 
 

Resumamos este proceso.

 
 

Algoritmo: ac-Test

 

Para factorizar la cuadrática (ax ^ 2 + bx + c ), proceda de la siguiente manera:

 
         
  1. Lista todos los pares enteros cuyo producto es igual a ac.
  2.      
  3. Encierra en un círculo o enmarca el par cuya suma es igual al coeficiente de x, es decir, b.
  4.      
  5. Usa el par en un círculo para expresar el término medio bx como una suma.
  6.      
  7. Factorizar por «agrupación».
  8.  
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factor (3 x ^ {2} +34 x-24 )

 

Solución

 

Comparar

 

[3 x ^ {2} +34 x-24 quad text {y} quad a x ^ {2} + b x + c nonumber ]

 

y observe que a = 3, b = 34 y c = −24. Liste todos los pares enteros cuyo producto sea igual a ac = (3) (- 24) = −72.

 

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Enmarcamos el par cuya suma es igual a b = 34, el coeficiente de x en (3x ^ 2 + 34x – 24 ). De nuevo, los posibles atajos son posibles. Si puede «pensar» en un par cuyo producto es ac = −72 y cuya suma es b = 34, entonces no es necesario enumerar ningún par entero. Alternativamente, si se encuentra con el par necesario a medida que los enumera, puede detener el proceso. No es necesario enumerar los pares restantes si tiene el que necesita.

 

Usa el par enmarcado para expresar el término medio como una suma, luego factoriza agrupando.

 

[ begin {alineado} 3 x ^ {2} +34 x-24 & = 3 x ^ {2} -2 x + 36 x-24 \ & = x (3 x-2) +12 (3 x-2) \ & = (x + 12) (3 x-2) end {alineado} ]

 

Le dejamos al lector que verifique este resultado.

 
 

Intercepciones

 

Los puntos donde la gráfica de una función cruza el eje x se llaman las intersecciones x de la gráfica de la función. Considere la gráfica de la función cuadrática f en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
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Figura ( PageIndex {1} ): Las intersecciones x e y son características clave de cualquier gráfico.
 
 

Tenga en cuenta que la gráfica de la f cruza el eje x en (−3, 0) y (2, 0). Estas son las intersecciones en x de la parábola. Tenga en cuenta que la coordenada y de cada intersección x es cero.

 

En notación de funciones, las soluciones de f (x) = 0 (tenga en cuenta la similitud con y = 0) son las coordenadas x de los puntos donde la gráfica de f cruza el eje x. Analizando la gráfica de f en la Figura ( PageIndex {1} ), vemos que tanto −3 como 2 son soluciones de f (x) = 0.

 

Por lo tanto, el proceso para encontrar las intersecciones x es claro.

 
 

Encontrar intersecciones x

 

Para encontrar las intersecciones con el eje x de la gráfica de cualquier función, establezca y = 0 y resuelva para x. Alternativamente, si se usa la notación de función, establezca f (x) = 0 y resuelva para x.

 
 

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentre las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función cuadrática definida por (y = x ^ 2 + 2x – 48 ).

 

Solución

 

Para encontrar las intersecciones x, primero configure y = 0.

 

[0 = x ^ {2} +2 x-48 ]

 

Luego, factoriza el trinomio a la derecha. Tenga en cuenta que el coeficiente de (x ^ 2 ) es 1. Solo necesitamos pensar en dos enteros cuyo producto sea igual al término constante −48 y cuya suma sea igual al coeficiente de x, a saber 2. Los números 8 y −6 llegan a importa, entonces los factores trinomiales de la siguiente manera (los lectores deben verificar este resultado).

 

[0 = (x + 8) (x-6) ]

 

Para completar la solución, necesitamos usar una propiedad importante de los números reales llamada propiedad del producto cero.

 
 

Propiedad del producto cero

 

Si ayb son números reales tales que [ab = 0 ], entonces a = 0 o b = 0.

 
 

En nuestro caso, tenemos 0 = (x + 8) (x – 6). Por lo tanto, debe ser el caso de que

 

[x + 8 = 0 qquad text {o} qquad x-6 = 0 ]

 

Estas ecuaciones se pueden resolver de forma independiente para producir

 

[x = -8 quad text {o} quad x = 6 ]

 

Por lo tanto, las intersecciones en x de la gráfica de (y = x ^ 2 + 2x − 48 ) se encuentran en (−8, 0) y (6, 0).

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Encuentre las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2 – 7x – 15 ).

 

Solución

 

Para encontrar las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función cuadrática f, comenzamos estableciendo

 

[f (x) = 0 nonumber ]

 

Por supuesto, (f (x) = 2x ^ 2 – 7x – 15 ), por lo que podemos sustituir para obtener

 

[2 x ^ {2} -7 x-15 = 0 no número ]

 

Ahora usaremos la prueba ac para factorizar el trinomio de la izquierda. Tenga en cuenta que ac = (2) (- 15) = −30. Liste los pares enteros cuyos productos son iguales a −30.

 

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Tenga en cuenta que el par enmarcado suma al coeficiente de x en (2x ^ 2 – 7x – 15 ). Use el par enmarcado para expresar el término medio como una suma, luego factorice agrupando

 

[ begin {alineado} 2 x ^ {2} -7 x-15 & = 0 \ 2 x ^ {2} +3 x-10 x-15 & = 0 \ x (2 x + 3) -5 (2 x + 3) & = 0 \ (x-5) (2 x + 3) & = 0 end {alineado} ]

 

Ahora podemos usar la propiedad del producto cero. Cualquiera

 

[x-5 = 0 qquad text {o} qquad 2 x + 3 = 0 nonumber ]

 

Cada uno de estos se puede resolver de forma independiente para obtener

 

[x = 5 qquad text {o} qquad x = -3 / 2 nonumber ]

 

Por lo tanto, las intersecciones x de la gráfica de la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2 – 7x – 15 ) se encuentran en (−3/2, 0) y (5, 0).

 
 

Una definición más está en orden.

 
 

Definición 7: Ceros de una función

 

Las soluciones de f (x) = 0 se llaman los ceros de la función f.

 
 

Por lo tanto, en el último ejemplo, ambos −3/2 y 5 son ceros de la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2−7x − 15 ). Tenga en cuenta la relación íntima entre los ceros de la función cuadrática y las intersecciones x de la gráfica. Tenga en cuenta que −3/2 es un cero y (−3/2, 0) es una intersección con el eje x. Del mismo modo, 5 es un cero y (5, 0) es una intersección x.

 

La calculadora gráfica se puede usar para encontrar los ceros de una función.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Usa la calculadora gráfica para encontrar los ceros de la función (f (x) = 2x ^ 2 – 7x – 15 ).

 

Solución

 

Ingrese la función (f (x) = 2x ^ 2 – 7x – 15 _ en Y1 en el menú Y =; luego ajuste los parámetros de la ventana como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (b Presione el botón GRAPH para producir la parábola que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (c).

 

Para encontrar un cero de la función, proceda de la siguiente manera:

 

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Figura ( PageIndex {2} ). Trazar la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2 – 7x – 15 ).

 
         
  • Presione 2nd TRACE para abrir la ventana CALCULAR que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a). Desde este menú, seleccione 2: cero.
  •      
  • La calculadora responde pidiendo un «límite izquierdo». Use las teclas de flecha para mover el cursor ligeramente a la izquierda de la intersección con el extremo izquierdo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Presione la tecla ENTER.
  •      
  • La calculadora responde pidiendo un «límite derecho». Use las teclas de flecha para mover el cursor ligeramente a la derecha de la intersección con el extremo izquierdo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (c). Presione la tecla ENTER.
  •      
  • La calculadora responde pidiendo una «Guess». Puede usar las teclas de flecha para seleccionar un valor x inicial en cualquier lugar entre los límites izquierdo y derecho que seleccionó (tenga en cuenta que la calculadora los marca en la pantalla en la Figura ( PageIndex {3} ) (d)) . Sin embargo, el cursor ya se encuentra entre estas marcas, por lo que generalmente solo presionamos ENTER en este punto. Le sugerimos que lo haga también.
  •  
 
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Figura ( PageIndex {3} ). Usando la utilidad cero para encontrar una intersección x.
 
 

La calculadora responde marcando la intersección x e informando su valor x en la parte inferior de la pantalla, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a). Este es uno de los ceros de la función. Tenga en cuenta que este valor de −1.5 coincide muy bien con nuestro resultado calculado a mano −3/2 en el Ejemplo ( PageIndex {6} ). Seguimos exactamente el mismo procedimiento descrito anteriormente para encontrar la segunda intersección x que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (b). Tenga en cuenta que también está de acuerdo con la solución calculada a mano del Ejemplo ( PageIndex {6} ).

 
 

En una veta similar, el punto donde la gráfica de una función cruza el eje y se llama intersección en y de la gráfica de la función. En la Figura ( PageIndex {1} ) la intersección en y de la parábola es (0, −6). Tenga en cuenta que la coordenada x de esta intersección en y es cero.

 

Por lo tanto, el proceso para encontrar las intersecciones en y debería ser claro.

 
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Figura ( PageIndex {4} ): Los ceros de (f (x) – 2x ^ 2 – 7x – 15 ).
 
 
 

Encontrar intersecciones en Y

 

Para encontrar las intersecciones en y de la gráfica de cualquier función, establezca (x = 0 ) y resuelva (y ). Alternativamente, si se usa la notación de función, simplemente evalúe f (0).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Encuentre la intersección con el eje y de la función cuadrática definida por (f (x) = x ^ 2 – 3x – 11 ).

 

Solución

 

Evalúe la función en x = 0.

 

[f (0) = (0) ^ {2} -3 (0) -11 = -11 ]

 

Las coordenadas de la intersección en y son (0, −11).

 
 

Poniendo todo junto

 

Encontraremos que las intersecciones x e y son extremadamente útiles al dibujar la gráfica de una función cuadrática.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Coloque la función cuadrática (y = x ^ 2 + 2x – 24 ) en forma de vértice. Trace el vértice y el eje de simetría y márquelos con sus coordenadas y ecuación, respectivamente. Encuentra y traza las intersecciones x e y de la parábola y etiquétalas con sus coordenadas.

 

Solución

 

Toma la mitad del coeficiente de x, cuadrado, luego suma y resta esta cantidad para equilibrar la ecuación. Factorizar y combinar coeficientes.

 

[ begin {array} {l} {y = x ^ {2} +2 x + 1-1-24} \ {y = (x + 1) ^ {2} -25} end {array} ]

 

El gráfico es una parábola que se abre hacia arriba; se desplaza 1 unidad hacia la izquierda y 25 unidades hacia abajo. Esta información es suficiente para trazar y etiquetar el vértice, luego trazar y etiquetar el eje de simetría, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (a).

 

Para encontrar las intersecciones en x, deje y = 0 en (y = x ^ 2 + 2x – 24 ).

 

[0 = x ^ {2} +2 x-24 nonumber ]

 

El coeficiente principal es 1. El par entero −4 y 6 tiene el producto −24 y la suma 2. Por lo tanto, los factores del lado derecho son los siguientes.

 

[0 = (x + 6) (x-4) nonumber ]

 

Para que este producto sea igual a cero,

 

[x + 6 = 0 qquad text {o} qquad x-4 = 0 nonumber ]

 

Resuelve cada una de estas ecuaciones lineales de forma independiente.

 

[x = -6 qquad text {o} qquad x = 4 nonumber ]

 

Recuerde que dejamos y = 0. Hemos encontrado dos soluciones, x = −6 yx = 4. Por lo tanto, tenemos intersecciones con x en (−6, 0) y (4, 0), como se muestra en la imagen en la Figura ( PageIndex {5} ) (b).

 

Finalmente, para encontrar la intersección en y, dejemos que x = 0 en (y = x ^ 2 + 2x − 24 ). Con esta sustitución, y = −24. Por lo tanto, la intersección en y es (0, −24), como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (c). Tenga en cuenta que también hemos incluido la imagen especular de la intersección en y a través del eje de simetría.

 
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Figura ( PageIndex {5} )
 
 
 

Veamos un último ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Trace la parábola representada por la ecuación (f (x) = −2x ^ 2−7x + 15 ). Trace y etiquete el vértice, el eje de simetría y las intersecciones x e y.

 

Solución

 

Primero, factoriza un −2.

 

[f (x) = – 2 left [x ^ {2} + frac {7} {2} x- frac {15} {2} right] nonumber ]

 

La mitad de 7/2 es 7/4. Cuadrado, esto equivale a 49/16. Suma y resta esta última cantidad para mantener la ecuación equilibrada.

 

[f (x) = – 2 izquierda [x ^ {2} + frac {7} {2} x + frac {49} {16} – frac {49} {16} – frac {15} {2} right] ]

 

Los primeros tres términos dentro de los paréntesis forman un trinomio cuadrado perfecto. Las dos últimas constantes se combinan con un denominador común.

 

[ begin {array} {l} {f (x) = – 2 left [ left (x ^ {2} + frac {7} {2} x + frac {49} {16} right) – frac {49} {16} – frac {120} {16} right]} \ {f (x) = – 2 left [ left (x + frac {7} {4} right) ^ {2} – frac {169} {16} right]} end {array} ]

 

Finalmente, redistribuya el −2.

 

[f (x) = – 2 left (x + frac {7} {4} right) ^ {2} + frac {169} {8} ]

 

La gráfica de esta última ecuación es una parábola que se abre hacia abajo, traducida 7/4 unidades a la izquierda y 169/8 unidades hacia arriba. Esta es información suficiente para trazar y etiquetar el vértice y el eje de simetría, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a).

 

Para encontrar las intersecciones en y, establezca f (x) = 0 en (f (x) = −2x ^ 2 – 7x + 15 ). También multiplicaremos ambos lados de la ecuación resultante por −1.

 

[ begin {array} {l} {0 = -2 x ^ {2} -7 x + 15} \ {0 = 2 x ^ {2} +7 x-15} end {array } ]

 

Después de comparar (2x ^ 2 + 7x – 15 ) con (ax ^ 2 + bx + c ), observamos que el par entero −3 y 10 tienen un producto igual a ac = −30 y una suma igual a b = 7. Use este par para expresar el término medio de (2x ^ 2 + 7x – 15 ) como una suma y luego factorizar agrupando.

 

[ begin {array} {l} {0 = 2 x ^ {2} -3 x + 10 x-15} \ {0 = x (2 x-3) +5 (2 x-3 )} \ {0 = (x + 5) (2 x-3)} end {array} ]

 

Por la propiedad del producto cero, ya sea [x + 5 = 0 qquad text {o} qquad 2 x-3 = 0 ]

 

Resuelve estas ecuaciones lineales de forma independiente. [x = -5 qquad text {o} qquad x = frac {3} {2} ]

 

Estos valores x son los ceros de f (hacen f (x) = 0), por lo que tenemos intersecciones x en (−5, 0) y (3/2, 0), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {6} )
 
 

Finalmente, para encontrar la intersección en y, establezca x = 0 en (f (x) = −2x ^ 2 – 7x + 15 ) para obtener f (0) = 15. Observe el posicionamiento de y- interceptar (0, 15) y su imagen especular a través del eje de simetría en la Figura ( PageIndex {6} ) (c).

 
   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 8 , factoriza el polinomio cuadrático dado.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

(x ^ 2 + 9x + 14 )

 
     
Respuesta
     
     

(x + 2) (x + 7)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

(x ^ 2 + 6x + 5 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

(x ^ 2 + 10x + 9 )

 
     
Respuesta
     
     

(x + 9) (x + 1)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

(x ^ 2 + 4x − 21 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

(x ^ 2−4x − 5 )

 
     
Respuesta
     
     

(x − 5) (x + 1)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

(x ^ 2 + 7x − 8 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

(x ^ 2−7x + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

(x − 4) (x − 3)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

(x ^ 2 + 5x − 24 )

 
 

En Ejercicios 9 16 , encuentra los ceros de la función cuadrática dada.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

(f (x) = x ^ 2−2x − 15 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: x = −3, x = 5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 4x − 32 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 10x − 39 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: x = −13, x = 3

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 4x − 45 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

(f (x) = x ^ 2−14x + 40 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: x = 4, x = 10

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

(f (x) = x ^ 2−5x − 14 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 9x − 36 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: x = −12, x = 3

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 11x − 26 )

 
 

En Ejercicios 17 22 , realice cada una de las siguientes tareas para las funciones cuadráticas.

 
         
  1.      

    Cargue la función en Y1 de la Y = de su calculadora gráfica. Ajuste los parámetros de la ventana para que el vértice sea visible en la ventana de visualización.

         
  2.      
  3.      

    Configura un sistema de coordenadas en tu tarea. Rotule y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Haga una copia razonable de la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en este sistema de coordenadas y etiquétela con su ecuación.

         
  4.      
  5.      

    Usa la utilidad cero en tu calculadora gráfica para encontrar los ceros de la función. Use estos resultados para trazar las intersecciones con el eje x en su sistema de coordenadas y rotúlelas con sus coordenadas.

         
  6.      
  7.      

    Use una técnica estrictamente algebraica (sin calculadora) para encontrar los ceros de la función cuadrática dada. Muestra tu trabajo al lado de tu sistema de coordenadas. ¡Se terco! Trabaja el problema hasta que tus ceros algebraicos y gráficos sean una coincidencia razonable.

         
  8.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 5x − 14 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-04 at 4.13.39 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

(f (x) = x ^ 2 + x − 20 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

(f (x) = −x ^ 2 + 3x + 18 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.47.23 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

(f (x) = −x ^ 2 + 3x + 40 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

(f (x) = x ^ 2−16x − 36 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.47.58 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 4x − 96 )

 
 

En Ejercicios 23 30 , realiza cada una de las siguientes tareas para la función cuadrática dada.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.

         
  2.      
  3.      

    Usa la técnica de completar el cuadrado para colocar la función cuadrática en forma de vértice. Trace el vértice en su sistema de coordenadas y etiquételo con sus coordenadas. Dibuje el eje de simetría en su sistema de coordenadas y etiquételo con su ecuación.

         
  4.      
  5.      

    Use una técnica estrictamente algebraica (sin calculadoras) para encontrar las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función cuadrática dada. Grafícalos en tu sistema de coordenadas y etiquétalos con sus coordenadas.

         
  6.      
  7.      

    Encuentre la intersección con el eje y de la gráfica de la función cuadrática. Trace la intersección y en su sistema de coordenadas y su imagen especular a través del eje de simetría, luego etiquete estos puntos con sus coordenadas.

         
  8.      
  9.      

    Usando toda la información trazada, dibuje la gráfica de la función cuadrática y etiquétela con la forma de vértice de su ecuación. Use la notación de intervalo para describir el dominio y el rango de la función cuadrática.

         
  10.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 2x − 8 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = ( (- infty, infty )), Rango = [−9, ( infty ))

     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.49.18 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

(f (x) = x ^ 2−6x + 8 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 4x − 12 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = ( (- infty, infty )), Rango = [−16, ( infty ))

     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.50.12 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 8x + 12 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

(f (x) = −x ^ 2−2x + 8 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = ( (- infty, infty )), Rango = ( (- infty ), 9]

     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.51.07 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

(f (x) = −x ^ 2−2x + 24 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

(f (x) = −x ^ 2−8x + 48 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = ( (- infty, infty )), Rango = ( (- infty ), 64]

     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.52.52 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

(f (x) = −x ^ 2−8x + 20 )

 
 

En Ejercicios 31 38 , factoriza el polinomio cuadrático dado.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

(42x ^ 2 + 5x − 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(7x + 2) (6x − 1)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

(3x ^ 2 + 7x − 20 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

(5x ^ 2−19x + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

(x − 3) (5x − 4)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

(54x ^ 2−3x − 1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

(- 4x ^ 2 + 9x − 5 )

 
     
Respuesta
     
     

(4x − 5) (- x + 1)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

(3x ^ 2−5x − 12 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

(2x ^ 2−3x − 35 )

 
     
Respuesta
     
     

(2x + 7) (x − 5)

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

(- 6x ^ 2 + 25x + 9 )

 
 

En Ejercicios 39 46 , encuentra los ceros de las funciones cuadráticas dadas.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

(f (x) = 2x ^ 2−3x − 20 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: (x = – frac {5} {2} ), x = 4

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

(f (x) = 2x ^ 2−7x − 30 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

(f (x) = −2x ^ 2 + x + 28 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: (x = – frac {7} {2} ), x = 4

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

(f (x) = −2x ^ 2 + 15x − 22 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

(f (x) = 3x ^ 2−20x + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: (x = frac {2} {3} ), x = 6

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

(f (x) = 4x ^ 2 + 11x − 20 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

(f (x) = −4x ^ 2 + 4x + 15 )

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: (x = – frac {3} {2} ), (x = frac {5} {2} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

(f (x) = −6x ^ 2 − x + 12 )

 
 

En Ejercicios 47 52 , realiza cada una de las siguientes tareas para las funciones cuadráticas dadas.

 
         
  1.      

    Cargue la función en Y1 de la Y = de su calculadora gráfica. Ajuste los parámetros de la ventana para que el vértice sea visible en la ventana de visualización.

         
  2.      
  3.      

    Configura un sistema de coordenadas en tu tarea. Rotule y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Haga una copia razonable de la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en este sistema de coordenadas y etiquétela con su ecuación.

         
  4.      
  5.      

    Usa la utilidad cero en tu calculadora gráfica para encontrar los ceros de la función. Use estos resultados para trazar las intersecciones con el eje x en su sistema de coordenadas y rotúlelas con sus coordenadas.

         
  6.      
  7.      

    Use una técnica estrictamente algebraica (sin calculadora) para encontrar los ceros de la función cuadrática dada. Muestra tu trabajo al lado de tu sistema de coordenadas. ¡Se terco! Trabaja el problema hasta que tus ceros algebraicos y gráficos sean una coincidencia razonable.

         
  8.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {47} )

 

(f (x) = 2x ^ 2 + 3x − 35 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.56.23 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {48} )

 

(f (x) = 2x ^ 2−5x − 42 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {49} )

 

(f (x) = −2x ^ 2 + 5x + 33 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.57.06 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {50} )

 

(f (x) = −2x ^ 2−5x + 52 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {51} )

 

(f (x) = 4x ^ 2−24x − 13 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.57.49 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {52} )

 

(f (x) = 4x ^ 2 + 24x − 45 )

 
 

En Ejercicios 53 60 , realiza cada una de las siguientes tareas para las funciones cuadráticas dadas.

 
         
  1. Configure un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.
  2.      
  3. Usa la técnica de completar el cuadrado para colocar la función cuadrática en forma de vértice. Trace el vértice en su sistema de coordenadas y etiquételo con sus coordenadas. Dibuje el eje de simetría en su sistema de coordenadas y etiquételo con su ecuación.
  4.      
  5. Use un método estrictamente algebraico (sin calculadoras) para encontrar las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función cuadrática. Grafícalos en tu sistema de coordenadas y etiquétalos con sus coordenadas.
  6.      
  7. Encuentre la intersección con el eje y de la gráfica de la función cuadrática. Trace la intersección y en su sistema de coordenadas y su imagen especular a través del eje de simetría, luego etiquete estos puntos con sus coordenadas.
  8.      
  9. Usando toda la información trazada, dibuje la gráfica de la función cuadrática y etiquétela con la forma de vértice de su ecuación. Use la notación de intervalo para describir el dominio y el rango de la función cuadrática.
  10.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{53})

 

(f(x) = 2x^2−8x−24)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)), Range = [−32, (infty))

     

Screen Shot 2019-09-05 at 8.58.57 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{54})

 

(f(x) = 2x^2−4x−6)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{55})

 

(f(x) = −2x^2−4x+16)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)), Range = ((−infty), 18]

     

Screen Shot 2019-09-05 at 9.00.55 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{56})

 

(f(x) = −2x^2−16x+40)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{57})

 

(f(x) = 3x^2+18x−48)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)), Range = [−75, (infty))

     

Screen Shot 2019-09-05 at 9.03.28 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{58})

 

(f(x) = 3x^2+18x−216)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{59})

 

(f(x) = 2x^2+10x−48)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)), Range = [−(frac{121}{2}), (infty))

     

Screen Shot 2019-09-05 at 9.04.24 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{60})

 

(f(x) = 2x^2−10x−100)

 
 

In  Exercises 61 66 , Use the graph of (f(x) = ax^2+bx+c) shown to find all solutions of the equation f(x) = 0. (Note: Every solution is an integer.)

 
 

EXERCISE (PageIndex{61})

 

Screen Shot 2019-09-04 at 2.07.22 PM.png

 
     
Answer
     
     

−2, 3

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{62})

 

Screen Shot 2019-09-04 at 2.08.37 PM.png

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{63})

 

Screen Shot 2019-09-04 at 2.09.53 PM.png

 
     
Answer
     
     

−3, 0

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{64})

 

Screen Shot 2019-09-05 at 9.05.52 AM.png

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{65})

 

Screen Shot 2019-09-04 at 2.11.38 PM.png

 
     
Answer
     
     

−3, 0

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{66})

 

Screen Shot 2019-09-04 at 2.12.52 PM.png

 
       
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