5.3: Funciones de potencia y funciones polinomiales

5.3: Funciones de potencia y funciones polinomiales

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Identificar funciones de energía.
  •      
  • Identificar el comportamiento final de las funciones de potencia.
  •      
  • Identificar funciones polinómicas.
  •      
  • Identifica el grado y el coeficiente principal de las funciones polinómicas.
  •  
 
 

Supongamos que una especie de ave prospera en una pequeña isla. Su población en los últimos años se muestra en la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {1} )
Año 2009 2010 2011 2012 2013
Población de aves 800 897 992 1,083 1,169
 

La población se puede estimar usando la función (P (t) = – 0.3t ^ 3 + 97t + 800 ), donde (P (t) ) representa la población de aves en la isla (t ) años después de 2009. Podemos usar este modelo para estimar la población máxima de aves y cuándo ocurrirá. También podemos usar este modelo para predecir cuándo desaparecerá la población de aves de la isla. En esta sección, examinaremos las funciones que podemos usar para estimar y predecir este tipo de cambios.

 
Three birds on a cliff with the sun rising in the background.  
Figura ( PageIndex {1} ): (crédito: Jason Bay, Flickr)
 
 

Identificación de funciones de potencia

 

Para comprender mejor el problema de las aves, necesitamos comprender un tipo específico de función. Una función de potencia es una función con un solo término que es el producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo. (Un número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente).

 

Como ejemplo, considere las funciones para área o volumen. La función para el área de un círculo con radio (r ) es

 

[A (r) = { pi} r ^ 2 ]

 

y la función para el volumen de una esfera con radio (r ) es

 

[V (r) = dfrac {4} {3} { pi} r ^ 3 ]

 

Ambos son ejemplos de funciones de potencia porque consisten en un coeficiente, ({ pi} ) o ( dfrac {4} {3} { pi} ), multiplicado por una variable ( r ) elevado a un poder.

 
 

Definición: Función de potencia

 

Una función de potencia es una función que se puede representar en la forma

 

[f (x) = kx ^ p label {potencia} ]

 

donde (k ) y (p ) son números reales, y (k ) se conoce como el coeficiente .

 
 
 

P y R: ¿Es (f (x) = 2 ^ x ) una función de potencia?

 

No. Una función de potencia contiene una base variable elevada a una potencia fija (Ecuación ref {potencia}). Esta función tiene una base constante elevada a una potencia variable. Esto se llama una función exponencial, no una función de potencia. Esta función se discutirá más adelante.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Identificación de funciones de energía

 

¿Cuál de las siguientes funciones son funciones de potencia?

 

[ begin {align *} f (x) & = 1 & text {Función constante} \ f (x) & = x & text {Identify function} \ f (x) & = x ^ 2 & text {Función cuadrática} \ f (x) & = x ^ 3 & text {Función cúbica} \ f (x) & = dfrac {1} {x} & text {Función recíproca} \ f (x) & = dfrac {1} {x ^ 2} & text {Función cuadrada recíproca} \ f (x) & = sqrt {x} & text {Función de raíz cuadrada} \ f (x) & = sqrt [3] {x} & text {Función raíz de cubo} end {align *} ]

 

Solución

 

Todas las funciones enumeradas son funciones de alimentación.

 

Las funciones de constante e identidad son funciones de potencia porque pueden escribirse como (f (x) = x ^ 0 ) y (f (x) = x ^ 1 ) respectivamente.

 

Las funciones cuadráticas y cúbicas son funciones de potencia con potencias de números enteros (f (x) = x ^ 2 ) y (f (x) = x ^ 3 ).

 

Las funciones recíprocas recíprocas y recíprocas son funciones de potencia con potencias numéricas negativas porque pueden escribirse como (f (x) = x ^ {- 1} ) y (f (x ) = x ^ {- 2} ).

 

Las funciones de cuadrado y raíz cúbica son ​​funciones de potencia con potencias fraccionarias porque pueden escribirse como (f (x) = x ^ {1/2} ) o (f (x) = x ^ {1/3} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

¿Qué funciones son funciones de potencia?

 
         
  • (f (x) = 2x ^ 2⋅4x ^ 3 )
  •      
  • (g (x) = – x ^ 5 + 5x ^ 3−4x )
  •      
  • (h (x) = frac {2x ^ 5−1} {3x ^ 2 + 4} )
  •  
 
     
Respuesta
     
     

(f (x) ) es una función de potencia porque puede escribirse como (f (x) = 8x ^ 5 ). Las otras funciones no son funciones de potencia.

     
 
 
 

Identificación del comportamiento final de las funciones de poder

 

La figura ( PageIndex {2} ) muestra los gráficos de (f (x) = x ^ 2 ), (g (x) = x ^ 4 ) y y (h (x) = x ^ 6 ), que son todas las funciones de potencia con potencias de números enteros pares. Observe que estos gráficos tienen formas similares, muy parecidas a las de la función cuadrática en el kit de herramientas. Sin embargo, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más empinados lejos del origen.

 
Graph of three functions, h(x)=x^2 in green, g(x)=x^4 in orange, and f(x)=x^6 in blue.  
Figura ( PageIndex {2} ): Funciones de potencia par
 
 

Para describir el comportamiento a medida que los números se hacen más y más grandes, usamos la idea de infinito. Usamos el símbolo ( infty ) para infinito positivo y (- infty ) para infinito negativo. Cuando decimos que “x se acerca al infinito”, que puede escribirse simbólicamente como (x { rightarrow} infty ), estamos describiendo un comportamiento; Estamos diciendo que (x ) está aumentando sin límite.

 

Con la función de potencia par, a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite, los valores de salida se convierten en números positivos muy grandes. De manera equivalente, podríamos describir este comportamiento diciendo que a medida que (x ) se acerca al infinito positivo o negativo, los valores de (f (x) ) aumentan sin límite. En forma simbólica, podríamos escribir

 

[ text {as} x { rightarrow} { pm} { rightarrow} { pm} { infty}, f (x) { rightarrow} { rightarrow} { infty} ]

 

La figura ( PageIndex {3} ) muestra los gráficos de (f (x) = x ^ 3 ), (g (x) = x ^ 5 ) y (h (x) = x ^ 7 ), que son todas las funciones de potencia con potencias impares de números enteros. Observe que estos gráficos se parecen a la función cúbica en el kit de herramientas. Nuevamente, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan cerca del origen y se vuelven más empinados lejos del origen.

 
Graph of three functions, f(x)=x^3 in green, g(x)=x^5 in orange, and h(x)=x^7 in blue.  
Figura ( PageIndex {3} ): función de potencia impar
 
 

Estos ejemplos ilustran que las funciones de la forma (f (x) = x ^ n ) revelan simetría de un tipo u otro. Primero, en la Figura ( PageIndex {2} ) vemos que las funciones pares de la forma (f (x) = x ^ n ), (n ) pares, son simétricas con respecto al eje y. En la Figura ( PageIndex {3} ) vemos que las funciones impares de la forma (f (x) = x ^ n ), (n ) impar, son simétricas sobre el origen.

 

Para estas funciones de potencia impares, cuando (x ) se acerca al infinito negativo, (f (x) ) disminuye sin límite. Cuando (x ) se acerca al infinito positivo, (f (x) ) aumenta sin límite. En forma simbólica escribimos

 

[ begin {align} text {as} x { rightarrow} – { rightarrow} – { infty}, ; f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty } \ text {as} x { rightarrow} { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { rightarrow} { infty} end {align} ]

 

El comportamiento del gráfico de una función a medida que los valores de entrada se vuelven muy pequeños ((x { rightarrow} – { rightarrow} – { infty}) ) y se vuelven muy grandes (x { rightarrow} { rightarrow} { infty} ) se conoce como el comportamiento final de la función. Podemos usar palabras o símbolos para describir el comportamiento final.

 

La figura ( PageIndex {4} ) muestra el comportamiento final de las funciones de potencia en la forma (f (x) = kx ^ n ) donde (n ) es un entero no negativo dependiendo de poder y la constante.

 
 
Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 

HowTO: Dada una función de potencia (f (x) = kx ^ n ) donde (n ) es un número entero no negativo, identifica el comportamiento final.

 
         
  1. Determine si la potencia es par o impar.
  2.      
  3. Determine si la constante es positiva o negativa.
  4.      
  5. Use la Figura ( PageIndex {4} ) para identificar el comportamiento final.
  6.  
 
 
     
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Identificación del comportamiento final de una función de potencia

 

Describa el comportamiento final de la gráfica de (f (x) = x ^ 8 ).

 

Solución

 

El coeficiente es 1 (positivo) y el exponente de la función de potencia es 8 (un número par). Cuando (x ) se acerca al infinito, la salida (valor de (f (x) )) aumenta sin límite. Escribimos como x → ∞, (f (x) → ∞ ). Cuando (x ) se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, asx → −∞, (f (x) → ∞ ). Podemos representar gráficamente la función como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
Graph of f(x)=x^8  
Figura ( PageIndex {5} ): Gráfico de (f (x) = x ^ 8 ).
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Identificación del comportamiento final de una función de potencia.

 

Describa el comportamiento final de la gráfica de (f (x) = – x ^ 9 ).

 

Solución

 

El exponente de la función de potencia es 9 (un número impar). Como el coeficiente es –1 (negativo), el gráfico es la reflexión sobre el eje x del gráfico de (f (x) = x ^ 9 ). La figura ( PageIndex {6} ) muestra que a medida que (x ) se acerca al infinito, la salida disminuye sin límite. Cuando (x ) se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, escribiríamos

 

[ begin {align *} text {as} x { rightarrow} – { rightarrow} – { infty}, ; f (x) { rightarrow} { rightarrow} { infty} \ text {as} x { rightarrow} { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} end {align *} ] [ 19459003]  

Graph of f(x)=-x^9  
Figura ( PageIndex {6} ): Gráfico de (f (x) = – x ^ 9 ).
 
 

Análisis

 

Podemos verificar nuestro trabajo utilizando la función de tabla en una utilidad gráfica.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {2} )
(x ) (f (x) )
-10 1,000,000,000
-5 1,953,125
0 0
5 -1,953,125
10 -1,000,000,000
 

Podemos ver en la Tabla ( PageIndex {2} ) que, cuando sustituimos valores muy pequeños por (x ), la salida es muy grande, y cuando sustituimos valores muy grandes por (x ), la salida es muy pequeña (lo que significa que es un valor negativo muy grande).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Describa en palabras y símbolos el comportamiento final de (f (x) = – 5x ^ 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

A medida que (x ) se acerca al infinito positivo o negativo, (f (x) ) disminuye sin límite: como (x { rightarrow} { pm} { rightarrow} { pm} { infty } ), (f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} ) debido al coeficiente negativo.

     
 
 
 

Identificación de funciones polinomiales

 

Un oleoducto explota en el Golfo de México, causando una mancha de petróleo en una forma más o menos circular. Actualmente, la mancha tiene un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta en 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para el área cubierta por la mancha de petróleo combinando dos funciones. El radio (r ) del derrame depende del número de semanas (w ) que hayan pasado. Esta relación es lineal.

 

[r (w) = 24 + 8w nonumber ]

 

Podemos combinar esto con la fórmula para el área A de un círculo.

 

[A (r) = { pi} r ^ 2 nonumber ]

 

Al componer estas funciones se obtiene una fórmula para el área en términos de semanas.

 

[ begin {align *} A (w) & = A (r (w)) \ & = A (24 + 8w) \ & = { pi} (24 + 8w) ^ 2 end {align *} ]

 

Multiplicar da la fórmula.

 

[A (w) = 576 { pi} +384 { pi} w + 64 { pi} w ^ 2 nonumber ]

 

Esta fórmula es un ejemplo de una función polinómica. Una función polinómica consiste en cero o la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es un producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a una potencia entera no negativa.

 
 

Definición: Funciones polinomiales

 

Sea (n ) un número entero no negativo. Una función polinómica es una función que se puede escribir en la forma

 

[f (x) = a_nx ^ n + … + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 label {poly} ]

 

Esto se llama la forma general de una función polinómica. Cada (a_i ) es un coeficiente y puede ser cualquier número real. Cada producto (a_ix ^ i ) es un término de una función polinómica .

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Identificación de funciones polinomiales

 

¿Cuál de las siguientes son funciones polinómicas?

 
         
  • (f (x) = 2x ^ 3⋅3x + 4 )
  •      
  • (g (x) = – x (x ^ 2−4) )
  •      
  • (h (x) = 5 sqrt {x} +2 )
  •  
 

Solución

 

Las dos primeras funciones son ejemplos de funciones polinómicas porque pueden escribirse en la forma de la ecuación ref {poly}, donde las potencias son enteros no negativos y los coeficientes son números reales.

 
         
  • (f (x) ) se puede escribir como (f (x) = 6x ^ 4 + 4 ).
  •      
  • (g (x) ) se puede escribir como (g (x) = – x ^ 3 + 4x ).
  •      
  • (h (x) ) no se puede escribir de esta forma y, por lo tanto, no es una función polinómica.
  •  
 
 

Identificación del grado y coeficiente principal de una función polinómica

 

Debido a la forma de una función polinómica, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y el poder de la variable. Aunque el orden de los términos en la función polinómica no es importante para realizar operaciones, generalmente los ordenamos en orden descendente de potencia, o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio; es el poder de la primera variable si la función está en forma general. El término principal es el término que contiene la potencia más alta de la variable, o el término con el grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

 
 

Terminología de funciones polinomiales

 

A menudo reorganizamos los polinomios para que los poderes desciendan.

 
imageedit_2_8656799785.png  
Figura ( PageIndex {7} )
 
 

Cuando un polinomio se escribe de esta manera, decimos que está en forma general .

 
 
 

HowTo: Dada una función polinómica, identifica el grado y el coeficiente principal

 
         
  1. Encuentre la potencia más alta de (x ) para determinar la función de grado.
  2.      
  3. Identifique el término que contiene la potencia más alta de (x ) para encontrar el término principal.
  4.      
  5. Identifique el coeficiente del término principal.
  6.  
 
 
     
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Identificación del grado y coeficiente principal de una función polinómica

 

Identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal de las siguientes funciones polinómicas.

 

(f (x) = 3 + 2x ^ 2−4x ^ 3 )

 

(g (t) = 5t ^ 5−2t ^ 3 + 7t )

 

(h (p) = 6p − p ^ 3−2 )

 

Solución

 

Para la función (f (x) ), la potencia más alta de (x ) es 3, por lo que el grado es 3. El término principal es el término que contiene ese grado, (- 4x ^ 3 ) El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −4.

 

Para la función (g (t) ), la potencia más alta de (t ) es 5, por lo que el grado es 5. El término principal es el término que contiene ese grado, (5t ^ 5 ) . El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, 5.

 

Para la función (h (p) ), la potencia más alta de (p ) es 3, por lo que el grado es 3. El término principal es el término que contiene ese grado, (- p ^ 3 ); El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −1.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Identifica el grado, el término principal y el coeficiente principal del polinomio (f (x) = 4x ^ 2 − x ^ 6 + 2x − 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

El grado es 6. El término principal es (- x ^ 6 ). El coeficiente principal es −1.

     
 
 
 

Identificación del comportamiento final de funciones polinomiales

 

Conocer el grado de una función polinómica es útil para ayudarnos a predecir su comportamiento final. Para determinar su comportamiento final, observe el término principal de la función polinómica. Debido a que el poder del término principal es el más alto, ese término crecerá significativamente más rápido que los otros términos, ya que (x ) se vuelve muy grande o muy pequeño, por lo que su comportamiento dominará el gráfico. Para cualquier polinomio, el comportamiento final del polinomio coincidirá con el comportamiento final del término de mayor grado (Tabla ( PageIndex {3} )).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {3} )
Función polinómica Término principal Gráfico de la función polinómica
             

(f (x) = 5×4 + 2×3 − x − 4 )

             
             

(5x ^ 4 )

             
Graph of f(x)=5x^4+2x^3-x-4.
(f (x) = – 2x ^ 6 − x ^ 5 + 3x ^ 4 + x ^ 3 ) (- 2x ^ 6 ) Graph of f(x)=-2x^6-x^5+3x^4+x^3
(f (x) = 3x ^ 5−4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 ) (3x ^ 5 ) Graph of f(x)=3x^5-4x^4+2x^2+1
             

(f (x) = – 6x ^ 3 + 7x ^ 2 + 3x + 1 )

             
             

(- 6x ^ 3 )

             
Graph of f(x)=-6x^3+7x^2+3x+1
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): identificación del comportamiento final y el grado de una función polinómica

 

Describa el comportamiento final y determine un posible grado de la función polinómica en la Figura ( PageIndex {8} ).

 
Graph of an odd-degree polynomial.  
Figura ( PageIndex {8} ).
 
 

Solución

 

A medida que los valores de entrada (x ) se hacen muy grandes, los valores de salida (f (x) ) aumentan sin límite. A medida que los valores de entrada (x ) se vuelven muy pequeños, los valores de salida (f (x) ) disminuyen sin límite. Podemos describir el comportamiento final simbólicamente escribiendo

 

[ text {as} x { rightarrow} – { rightarrow} – { infty}, f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} ]

 

[ text {as} x { rightarrow} { rightarrow} { infty}, f (x) { rightarrow} { rightarrow} { infty} ]

 

En palabras, podríamos decir que a medida que los valores (x ) se aproximan al infinito, los valores de la función se aproximan al infinito, y cuando los valores (x ) se aproximan al infinito negativo, los valores de la función se aproximan al infinito negativo.

 

Podemos decir que este gráfico tiene la forma de una función de potencia de grado impar que no se ha reflejado, por lo que el grado del polinomio que crea este gráfico debe ser impar y el coeficiente principal debe ser positivo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Describa el comportamiento final y determine un posible grado de la función polinómica en la Figura ( PageIndex {9} ).

 
 
Figura ( PageIndex {9} )
 
 
     
Respuesta
     
     

Como (x { rightarrow} { rightarrow} { infty} ), (f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} ); como (x { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} ), (f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} ). Tiene la forma de una función de potencia de grado par con un coeficiente negativo.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): identificación del comportamiento final y el grado de una función polinómica

 

Dada la función (f (x) = – 3x ^ 2 (x − 1) (x + 4) ), exprese la función como un polinomio en forma general y determine el término principal, el grado y el final comportamiento de la función.

 

Solución

 

Obtenga la forma general expandiendo la expresión dada para (f (x) ).

 

[ begin {align} f (x) & = – 3x ^ 2 (x − 1) (x + 4) \ & = – 3x ^ 2 (x ^ 2 + 3x − 4) \ & = −3x ^ 4−9x ^ 3 + 12x ^ 2 end {align} ]

 

La forma general es (f (x) = – 3x ^ 4−9x ^ 3 + 12x ^ 2 ). El término principal es (- 3x ^ 4 ); por lo tanto, el grado del polinomio es 4. El grado es par (4) y el coeficiente principal es negativo (–3), por lo que el comportamiento final es

 

[ text {as} x { rightarrow} – { rightarrow} – { infty}, f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} ]

 

[ text {as} x { rightarrow} { rightarrow} { infty}, f (x) { rightarrow} – { rightarrow} – { infty} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dada la función (f (x) = 0.2 (x − 2) (x + 1) (x − 5) ), exprese la función como un polinomio en forma general y determine el término principal, grado y comportamiento final de la función.

 
     
Respuesta
     
     

El término principal es (0.2x ^ 3 ), por lo que es un polinomio de grado 3. Cuando (x ) se acerca al infinito positivo, (f (x) ) aumenta sin límite; a medida que (x ) se acerca al infinito negativo, (f (x) ) disminuye sin límite.

     
 
 
 

Identificación del comportamiento local de funciones polinomiales

 

Además del comportamiento final de las funciones polinómicas, también estamos interesados ​​en lo que sucede en el “medio” de la función. En particular, estamos interesados ​​en ubicaciones donde el comportamiento del gráfico cambia. Un punto de inflexión es un punto en el que los valores de la función cambian de aumento a disminución o de disminución a aumento.

 

También estamos interesados ​​en las intersecciones. Como con todas las funciones, la intersección con el eje y es el punto en el que el gráfico interseca el eje vertical. El punto corresponde al par de coordenadas en el que el valor de entrada es cero. Debido a que un polinomio es una función, solo un valor de salida corresponde a cada valor de entrada, por lo que solo puede haber una intersección en y ((0, a_0) ). Las intersecciones en x ocurren en los valores de entrada que corresponden a un valor de salida de cero. Es posible tener más de una intersección x. Ver Figura ( PageIndex {10} ).

 
 
Figura ( PageIndex {10} )
 
 
 

Definición: Intercepciones y puntos de inflexión de funciones polinomiales

 

Un punto de inflexión de un gráfico es un punto en el que el gráfico cambia de dirección de aumento a disminución o de disminución a aumento. La intersección en y es el punto en el que la función tiene un valor de entrada de cero. Las intersecciones x son los puntos en los que el valor de salida es cero.

 
 

Dada una función polinómica, determine las intersecciones.

 
         
  1. Determine la intersección y estableciendo (x = 0 ) y encontrando el valor de salida correspondiente.
  2.      
  3. Determine las intersecciones x resolviendo los valores de entrada que producen un valor de salida de cero.
  4.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Determinar las intersecciones de una función polinómica

 

Dada la función polinómica (f (x) = (x − 2) (x + 1) (x − 4) ), escrita en forma factorizada para su conveniencia, determine las intersecciones en yyx.

 

Solución

 

La intersección en y se produce cuando la entrada es cero, por lo que sustituye 0 por (x ).

 

[ begin {align} f (0) & = (0−2) (0 + 1) (0−4) \ & = (- 2) (1) (- 4) \ & = 8 end {align} ]

 

La intersección en y es ((0,8) ).

 

Las intersecciones en x ocurren cuando la salida es cero.

 

[0 = (x − 2) (x + 1) (x − 4) ]

 

[ begin {align} x − 2 & = 0 & & text {or} & x + 1 & = 0 & & text {or} & x − 4 & = 0 \ x & = 2 & & text {o} & x & = – 1 & & text {o} & x & = 4 end {align} ]

 

Las intersecciones en x son ((2,0) ), ((- 1,0) ) y ((4,0) ).

 

Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

 
Graph of f(x)=(x-2)(x+1)(x-4), which labels all the intercepts.  
Figura ( PageIndex {11} ): Gráfico de (f (x) = (x-2) (x + 1) (x-4) ).
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Determinación de las intersecciones de una función polinómica con factorización

 

Dada la función polinómica (f (x) = x ^ 4−4x ^ 2−45 ), determine las intersecciones en y y x.

 

Solución

 

La intersección y ocurre cuando la entrada es cero.

 

[ begin {align *} f (0) & = (0) ^ 4−4 (0) ^ 2−45 \ [4pt] & = – 45 end {align *} ] [19459003 ]  

La intersección en y es ((0, −45) ).

 

Las intersecciones en x ocurren cuando la salida es cero. Para determinar cuándo la salida es cero, necesitaremos factorizar el polinomio.

 

[ begin {align *} f (x) & = x ^ 4−4x ^ 2−45 \ & = (x ^ 2−9) (x ^ 2 + 5) \ & = (x −3) (x + 3) (x ^ 2 + 5)
end {align *} ]

 

[0 = (x − 3) (x + 3) (x ^ 2 + 5) ]

 

[ begin {align *} x − 3 & = 0 & & text {or} & x + 3 & = 0 & & text {or} & x ^ 2 + 5 & = 0 \ x & = 3 & & text {or} & x & = – 3 & & text {or} & text {(sin solución real)} end {align *} ]

 

Las intersecciones en x son ((3,0) ) y ((- 3,0) ).

 

Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ). Podemos ver que la función es incluso porque (f (x) = f (−x) ).

 
Graph of f(x)=x^4-4x^2-45, which labels all the intercepts at (-3, 0), (3, 0), and (0, -45).  
Figura ( PageIndex {12} ): Gráfico de (f (x) = x ^ 4-4x ^ 2-45 ).
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Agregue texto de ejercicios aquí.

 
     
Respuesta
     
     

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( PageIndex {5} ): Dada la función polinomial (f (x) = 2x ^ 3−6x ^ 2−20x ), determine las intersecciones y-yx-x .

 

Solución

 

intersección en y ((0,0) ); intersecciones en x ((0,0) ), ((- 2,0) ) y ((5,0) )

 

Comparación de gráficos suaves y continuos

 

El grado de una función polinómica nos ayuda a determinar el número de intersecciones con el eje x y el número de puntos de inflexión. Una función polinómica de n th grado es el producto de factores (n ), por lo que tendrá como máximo (n ) raíces o ceros, o intersecciones x. La gráfica de la función polinómica de grado (n ) debe tener como máximo (n – 1 ) puntos de inflexión. Esto significa que el gráfico tiene como máximo un punto de inflexión menos que el grado del polinomio o uno menos que el número de factores.

 

Una función continua no tiene interrupciones en su gráfico: el gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Una curva suave es un gráfico que no tiene esquinas afiladas. Los puntos de inflexión de un gráfico uniforme siempre deben ocurrir en curvas redondeadas. Las gráficas de funciones polinómicas son continuas y suaves.

 
 

Intercepciones y puntos de inflexión de polinomios

 

Un polinomio de grado (n ) tendrá, como máximo, (n ) intersecciones en x y (n − 1 ) puntos de inflexión.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Determinación del número de intersecciones y puntos de giro de un polinomio

 

Sin graficar la función, determine el comportamiento local de la función encontrando el número máximo de intersecciones x y puntos de inflexión para (f (x) = – 3x ^ {10} + 4x ^ 7 − x ^ 4 + 2x ^ 3 ).

 

Solución

 

El polinomio tiene un grado de 10 , por lo que hay como máximo (n ) intersecciones en x y como máximo (n − 1 ) puntos de inflexión.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Sin graficar la función, determine el número máximo de intersecciones x y puntos de inflexión para (f (x) = 108−13x ^ 9−8x ^ 4 + 14x ^ {12} + 2x ^ 3 ) [19459003 ]  

     
Respuesta
     
     

Hay como máximo 12 intersecciones en x y como máximo 11 puntos de inflexión.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): sacar conclusiones sobre una función polinómica del gráfico

 

¿Qué podemos concluir sobre el polinomio representado por el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ) basado en sus intersecciones y puntos de inflexión?

 
 Graph of an even-degree polynomial.  
Figura ( PageIndex {13} ).
 
 

Solución

 

El comportamiento final del gráfico nos dice que este es el gráfico de un polinomio de grado par. Ver Figura ( PageIndex {14} ).

 
Graph of an even-degree polynomial that denotes the turning points and intercepts.  
Figura ( PageIndex {14} ): Gráfico de un polinomio de grado par.
 
 

El gráfico tiene 2 intersecciones en x, lo que sugiere un grado de 2 o más, y 3 puntos de inflexión, lo que sugiere un grado de 4 o más. Basado en esto, sería razonable concluir que el grado es par y al menos 4.

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

¿Qué podemos concluir sobre el polinomio representado por el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) basado en sus intersecciones y puntos de inflexión?

 

CNX_Precalc_Figure_03_03_222.jpg

 

Figura ( PageIndex {15} ).

 
     
Respuesta
     
     

Agregue textos aquí. No elimine este texto primero.

     
 
 
 

Solución

 

El comportamiento final indica una función polinómica de grado impar; hay 3 intersecciones en x y 2 puntos de inflexión, por lo que el grado es impar y al menos 3. Debido al comportamiento final, sabemos que el coeficiente de avance debe ser negativo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): sacar conclusiones sobre una función polinómica de los factores

 

Dada la función (f (x) = – 4x (x + 3) (x − 4) ), determine el comportamiento local.

 

Solución

 

La intersección en y se encuentra al evaluar (f (0) ).

 

[ begin {align} f (0) & = – 4 (0) (0 + 3) (0−4) \ & = 0 end {align} ]

 

La intersección en y es ((0,0) ).

 

Las intersecciones en x se encuentran determinando los ceros de la función.

 

[ begin {align} 0 & = – 4x (x + 3) (x-4) \ x & = 0 & & text {or} & x + 3 & = 0 & & text {or} & x-4 & = 0 \ x & = 0 & & text {or} & x & = – 3 & & text {or} & x & = 4 end {align} ]

 

Las intersecciones en x son ((0,0) ), ((- 3,0) ) y ((4,0) ).

 

El grado es 3, por lo que el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dada la función (f (x) = 0.2 (x − 2) (x + 1) (x − 5) ), determine el comportamiento local.

 
     
Respuesta
     
     

Las intersecciones en x son ((2,0) ), ((- 1,0) ) y ((5,0) ), la intersección en y es ((0, 2) ), y el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión.

     
 
 
 

Ecuaciones clave

 
         
  • forma general de una función polinómica: (f (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} … + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 )
  •  
 

Conceptos clave

 
         
  • Una función de potencia es una base variable elevada a una potencia numérica.
  •      
  • The behavior of a graph as the input decreases beyond bound and increases beyond bound is called the end behavior.
  •      
  • The end behavior depends on whether the power is even or odd.
  •      
  • A polynomial function is the sum of terms, each of which consists of a transformed power function with positive whole number power.
  •      
  • The degree of a polynomial function is the highest power of the variable that occurs in a polynomial. The term containing the highest power of the variable is called the leading term. The coefficient of the leading term is called the leading coefficient.
  •      
  • The end behavior of a polynomial function is the same as the end behavior of the power function represented by the leading term of the function.
  •      
  • A polynomial of degree (n) will have at most (n) x-intercepts and at most n−1 turning points.
  •  
 

Glossary

 

coefficient

 

a nonzero real number multiplied by a variable raised to an exponent

 

continuous function

 

a function whose graph can be drawn without lifting the pen from the paper because there are no breaks in the graph

 

degree

 

the highest power of the variable that occurs in a polynomial

 

end behavior

 

the behavior of the graph of a function as the input decreases without bound and increases without bound

 

leading coefficient

 

the coefficient of the leading term

 

leading term

 

the term containing the highest power of the variable

 

polynomial function

 

a function that consists of either zero or the sum of a finite number of non-zero terms, each of which is a product of a number, called the coefficient of the term, and a variable raised to a non-negative integer power.

 

power function

 

a function that can be represented in the form (f(x)=kx^p) where (k) is a constant, the base is a variable, and the exponent, (p), is a constant

 

smooth curve

 

a graph with no sharp corners

 

term of a polynomial function

 

any (a_ix^i) of a polynomial function in the form (f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}…+a_2x^2+a_1x+a_0)

 

turning point

 

the location at which the graph of a function changes direction

 
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