5.3: Operaciones decimales (Parte 1)

5.3: Operaciones decimales (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Sumar y restar decimales
  •      
  • Multiplica decimales
  •      
  • Divide decimales
  •      
  • Usar decimales en aplicaciones de dinero
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifica ( dfrac {70} {100} ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.3.1 .
  2.      
  3. Multiplicar ( dfrac {3} {10} cdot dfrac {9} {10} ). Si se perdió este problema, revise Ejemplo 4.3.7 .
  4.      
  5. Divide −36 ÷ (−9). Si perdió este problema, revise Ejemplo 3.7.3 .
  6.  
 
 

Sumar y restar decimales

 

Echemos un vistazo más a la orden del almuerzo desde el comienzo de Decimales , esta vez notando cómo se sumaron los números.

 

$$ begin {split} y $ 3.45 quad Sandwich \ & $ 1.25 quad Water \ + y $ 0.33 quad Tax \ hline & $ 5.03 quad Total end {split} $$

 

Los tres artículos (sandwich, agua, impuestos) tenían un precio en dólares y centavos, por lo que alineamos los dólares debajo de los dólares y los centavos debajo de los centavos, con los puntos decimales alineados entre ellos. Luego simplemente agregamos cada columna, como si estuviéramos agregando números enteros. Al alinear decimales de esta manera, podemos sumar o restar los valores posicionales correspondientes tal como lo hicimos con números enteros.

 
 

CÓMO: AGREGAR O RESTAR DECIMALES

 

Paso 1. Escribe los números verticalmente para que los puntos decimales se alineen.

 

Paso 2. Use ceros como marcadores de posición, según sea necesario.

 

Paso 3. Suma o resta los números como si fueran números enteros. Luego coloca el decimal en la respuesta debajo de los puntos decimales en los números dados.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Agregar: 3.7 + 12.4.

 

Solución

                                                                                                                                                              
Escribe los números verticalmente para que los puntos decimales se alineen. $$ begin {split} 3. & 7 \ + 12. & 4 \ hline end {split} $$
Los marcadores de posición no son necesarios ya que ambos números tienen el mismo número de lugares decimales.
Agregue los números como si fueran números enteros. Luego coloca el decimal en la respuesta debajo de los puntos decimales en los números dados. $$ begin {split} stackrel {1} ​​{3}. & 7 \ + 12. & 4 \ hline 16. & 1 end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Agregar: 5.7 + 11.9.

 
     
Respuesta
     
     

(17,6 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Agregue: 18.32 + 14.79.

 
     
Respuesta
     
     

(13,11 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Agregar: 23.5 + 41.38.

 

Solución

                                                                                                                                                              
Escribe los números verticalmente para que los puntos decimales se alineen. $$ begin {split} 23. & 5 \ + 41. & 38 \ hline end {split} $$
Coloque 0 como marcador de posición después del 5 en 23.5, de modo que ambos números tengan dos decimales. $$ begin {split} 23. & 5 textcolor {red} {0} \ + 41. & 38 \ hline end {split} $$
Agregue los números como si fueran números enteros. Luego coloca el decimal en la respuesta debajo de los puntos decimales en los números dados. $$ begin {split} 23. & 50 \ + 41. & 38 \ hline 64. & 88 end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Agregar: 4.8 + 11.69.

 
     
Respuesta
     
     

(16,49 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Agregar: 5.123 + 18.47.

 
     
Respuesta
     
     

(23.593 )

     
 
 
 

¿Cuánto cambio obtendría si le entregara al cajero una factura de $ 20 por una compra de $ 14.65? Mostraremos los pasos para calcular esto en el siguiente ejemplo.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Restar: 20 – 14.65.

 

Solución

                                                                                                                                                              
Escribe los números verticalmente para que los puntos decimales se alineen. Recuerde que 20 es un número entero, así que coloque el punto decimal después del 0. $$ begin {split} 20. & \ – 14. & 65 \ hline end {split} $$
Coloque dos ceros después del punto decimal en 20, como marcadores de posición para que ambos números tengan dos lugares decimales.              

$$ begin {split} 20. & textcolor {red} {00} \ – 14. & 65 \ hline end {split} $$

             
Resta los números como si fueran números enteros. Luego coloca el decimal en la respuesta debajo de los puntos decimales en los números dados. $$ begin {split} stackrel {1} ​​{ cancel {2}} stackrel { stackrel {9} { cancel {10}}} { cancel {0}} &. Stackrel { stackrel {9} { cancel {10}}} { cancel {0}} stackrel { stackrel {9} { cancel {10}}} { cancel {0}} \ – 1 ; ; 4 ; ; &. ; 6 ; ; 5 \ hline 5 ; ; &. ; 3 ; ; 5 end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Restar: 10 – 9.58.

 
     
Respuesta
     
     

(0,42 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Restar: 50 – 37.42.

 
     
Respuesta
     
     

(12,58 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Restar: 2.51 – 7.4.

 

Solución

 

Si restamos 7.4 de 2.51, la respuesta será negativa ya que 7.4> 2.51. Para restar fácilmente, podemos restar 2.51 de 7.4. Luego colocaremos el signo negativo en el resultado.

                                                                                                                                                                                                              
Escribe los números verticalmente para que los puntos decimales se alineen. $$ begin {split} 7. & 4 \ – 2. & 51 \ hline end {split} $$
Coloque cero después del 4 en 7.4 como marcador de posición, de modo que ambos números tengan dos lugares decimales. $$ begin {split} 7. & 4 textcolor {red} {0} \ – 2. & 51 \ hline end {split} $$
Resta y coloca el decimal en la respuesta. $$ begin {split} 7. & 40 \ – 2. & 51 \ hline 4. & 89 end {split} $$
Recuerda que realmente estamos restando 2.51 – 7.4 por lo que la respuesta es negativa. 2.51 – 7.4 = – 4.89
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Restar: 4.77 – 6.3.

 
     
Respuesta
     
     

(- 1,53 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Restar: 8.12 – 11.7.

 
     
Respuesta
     
     

(- 3,58 )

     
 
 
 

Multiplicar decimales

 

Multiplicar decimales es muy parecido a multiplicar números enteros, solo tenemos que determinar dónde colocar el punto decimal. El procedimiento para multiplicar decimales tendrá sentido si primero revisamos las fracciones multiplicadoras.

 

¿Recuerdas cómo multiplicar fracciones? Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y luego los denominadores. Entonces, veamos qué obtendríamos como producto de decimales convirtiéndolos primero en fracciones. Haremos dos ejemplos uno al lado del otro en la Tabla 5.22. Busca un patrón.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {1} )
A B
(0,3) (0,7) (0,2) (0,46)
Convertir a fracciones. $$ left ( dfrac {3} {10} right) left ( dfrac {7} {10} right) $$ $$ left ( dfrac {2} {10} right) left ( dfrac {46} {100} right) $$
Multiplica. $$ dfrac {21} {100} $$ $$ dfrac {92} {1000} $$
Convertir de nuevo a decimales 0,21 0,092
 

Hay un patrón que podemos usar. En A, multiplicamos dos números que tenían cada uno un decimal y el producto tenía dos decimales. En B, multiplicamos un número con un lugar decimal por un número con dos lugares decimales, y el producto tenía tres lugares decimales.

 

¿Cuántos decimales esperarías para el producto de (0.01) (0.004)? Si dijiste «cinco», reconociste el patrón. Cuando multiplicamos dos números con decimales, contamos todos los lugares decimales en los factores, en este caso dos más tres, para obtener el número de decimales en el producto, en este caso cinco.

 

The top line says 0.01 times 0.004 equals 0.00004. Below the 0.01, it says 2 places. Below the 0.004, it says 3 places. Below the 0.00004, it says 5 places. The bottom line says 1 over 100 times 4 over 1000 equals 4 over 100,000.

 

Una vez que sabemos cómo determinar el número de dígitos después del punto decimal, podemos multiplicar los números decimales sin convertirlos primero en fracciones. El número de lugares decimales en el producto es la suma del número de lugares decimales en los factores.

 

Las reglas para multiplicar números positivos y negativos también se aplican a los decimales, por supuesto.

 
 

Definición: Multiplicar dos números

 

Al multiplicar dos números,

 
         
  • si sus signos son los mismos, el producto es positivo.
  •      
  • si sus signos son diferentes, el producto es negativo.
  •  
 
 
 

Cuando multiplica decimales con signo, primero determine el signo del producto y luego multiplique como si los números fueran positivos. Finalmente, escriba el producto con el signo apropiado.

 
 

CÓMO: MULTIPLICAR LOS NÚMEROS DECIMALES

 

Paso 1. Determine el signo del producto.

 

Paso 2. Escribe los números en formato vertical, alineando los números a la derecha.

 

Paso 3. Multiplica los números como si fueran números enteros, ignorando temporalmente los puntos decimales.

 

Paso 4. Coloca el punto decimal. El número de lugares decimales en el producto es la suma del número de lugares decimales en los factores. Si es necesario, use ceros como marcadores de posición.

 

Paso 5. Escribe el producto con el signo apropiado.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Multiplicar: (3.9) (4.075).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Determine el signo del producto. Los signos son iguales. El producto será positivo.
Escribe los números en formato vertical, alineando los números a la derecha. $$ begin {split} 4.07 y 5 \ times 3. y 9 \ hline end {split} $$
Multiplica los números como si fueran números enteros, ignorando temporalmente los puntos decimales. $$ begin {split} 4.07 & 5 \ times 3. & 9 \ hline 3667 & 5 \ 12225 & ; \ hline 15892 y 5 end {split} $$
Coloca el punto decimal. Suma el número de lugares decimales en los factores (1 + 3). Coloca el punto decimal a 4 lugares de la derecha. $$ begin {split} 4.07 y 5 quad textcolor {blue} {3 ; lugares} \ times 3. & 9 quad textcolor {azul} {1 ; lugar} \ hline 3667 & 5 \ 12225 & ; \ hline 15892 y 5 quad textcolor {azul} {4 ; lugares} end {split} $$
El producto es positivo. (3,9) (4,075) = 15,8925
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Multiplicar: 4.5 (6.107).

 
     
Respuesta
     
     

(27.4815 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Multiplicar: 10.79 (8.12).

 
     
Respuesta
     
     

(87.6148 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Multiplicar: (−8.2) (5.19).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Los signos son diferentes. El producto será negativo.
Escribe en formato vertical, alineando los números a la derecha. $$ begin {split} 5. & 19 \ times 8. & 2 \ hline end {split} $$
Multiplica. $$ begin {split} 5. & 19 \ times 8. & 2 \ hline 10 & 38 \ 415 & 2 ; \ hline 425 y 58 end {split} $$
$$ begin {split} 5. & 19 \ times 8. & 2 \ hline 10 & 38 \ 415 & 2 ; \ hline 42.5 y 58 end {split} $$
El producto es negativo. (−8,2) (5,19) = −42,558
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Multiplicar: (4.63) (- 2.9).

 
     
Respuesta
     
     

(- 13.427 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Multiplicar: (−7.78) (4.9).

 
     
Respuesta
     
     

(- 38.122 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, tendremos que agregar varios ceros de marcador de posición para colocar correctamente el punto decimal.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Multiplicar: (0.03) (0.045).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
El producto es positivo. (0,03) (0,045)
Escribe en formato vertical, alineando los números a la derecha. $$ begin {split} 0.04 y 5 \ times 0.0 y 3 \ hline end {split} $$
Multiplica. $$ begin {split} 0.04 & 5 \ times 0.0 & 3 \ hline 13 & 5 end {split} $$
             

             

Agregue ceros según sea necesario para obtener los 5 lugares.

             
El producto es positivo. (0,03) (0,045) = 0,00135
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Multiplicar: (0.04) (0.087).

 
     
Respuesta
     
     

(0,00348 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Multiplicar: (0.09) (0.067).

 
     
Respuesta
     
     

(0,00603 )

     
 
 
 
 

Multiplica por potencias de 10

 

En muchos campos, especialmente en las ciencias, es común multiplicar decimales por potencias de 10. Veamos qué sucede cuando multiplicamos 1.9436 por algunas potencias de 10.

 

The top row says 1.9436 times 10, then 1.9436 times 100, then 1.9436 times 1000. Below each is a vertical multiplication problem. These show that 1.9436 times 10 is 19.4360, 1.9436 times 100 is 194.3600, and 1.9436 times 1000 is 1943.6000.

 

Mira los resultados sin los ceros finales. ¿Notas un patrón?

 

$$ begin {split} 1.9436 (10) & = 19.436 \ 1.9436 (100) & = 194.36 \ 1.9436 (1000) & = 1943.6 end {split} $$

 

El número de lugares que se movió el punto decimal es el mismo que el número de ceros en la potencia de diez. La tabla 5.26 resume los resultados.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {2} )
Multiplica por Número de ceros Número de lugares que se mueve el punto decimal
10 1 1 lugar a la derecha
100 2 2 lugares a la derecha
1,000 3 3 lugares a la derecha
10,000 4 4 lugares a la derecha
 

Podemos usar este patrón como un atajo para multiplicar por potencias de diez en lugar de multiplicar usando el formato vertical. Podemos contar los ceros en la potencia de 10 y luego mover el punto decimal igual de lugares a la derecha. Entonces, por ejemplo, para multiplicar 45.86 por 100, mueva el punto decimal 2 lugares a la derecha.

 

45.86 times 100 is shown to equal 4586. There is an arrow from the decimal going over 2 places from after the 5 to after the 6.

 

A veces, cuando necesitamos mover el punto decimal, no hay suficientes lugares decimales. En ese caso, usamos ceros como marcadores de posición. Por ejemplo, multipliquemos 2.4 por 100. Necesitamos mover el punto decimal 2 lugares a la derecha. Como solo hay un dígito a la derecha del punto decimal, debemos escribir un 0 en el lugar de las centésimas.

 

2.4 times 100 is shown to equal 240. There is an arrow from the decimal going over 2 places from after the 2 to after the 0.

 
 

CÓMO: MULTIPLICAR UN DECIMAL POR UNA POTENCIA DE 10

 

Paso 1. Mueve el punto decimal a la derecha el mismo número de lugares que el número de ceros en la potencia de 10.

 

Paso 2. Escribe ceros al final del número como marcadores de posición si es necesario.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Multiplica 5,63 por factores de (a) 10 (b) 100 (c) 1000.

 

Solución

 

Al observar la cantidad de ceros en el múltiplo de diez, vemos la cantidad de lugares que necesitamos para mover el decimal a la derecha.

 

(a) 5.63 (10)

                                                                                                              
Hay 1 cero en 10, así que mueve el punto decimal 1 lugar a la derecha.
56,3
 

(b) 5,63 (100)

                                                                                                              
Hay 2 ceros en 100, así que mueve el punto decimal 2 lugares a la derecha.
563
 

(c) 5,63 (1000)

                                                                                                              
Hay 3 ceros en 1000, así que mueve el punto decimal 3 lugares a la derecha.
Se debe agregar un cero al final. 5,630
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Multiplica 2,58 por factores de (a) 10 (b) 100 (c) 1000.

 
     
Responda a
     
     

(25,8 )

     
     
Respuesta b
     
     

(258 )

     
     
Respuesta c
     
     

(2,580 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Multiplica 14,2 por factores de (a) 10 (b) 100 (c) 1000.

 
     
Responda a
     
     

(142 )

     
     
Respuesta b
     
     

(1,420 )

     
     
Respuesta c
     
     

(14,200 )

     
 
 
 
 
                                  
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