Vimos que la propiedad del cociente para exponentes tiene dos formas dependiendo de si el exponente es mayor en el numerador o en el denominador. ¿Qué pasa si solo restamos exponentes independientemente de cuál sea mayor?
Consideremos ( dfrac {x ^ 2} {x ^ 5} ). Restamos el exponente en el denominador del exponente en el numerador. Vemos ( dfrac {x ^ 2} {x ^ 5} ) es (x ^ {2−5} ) o (x ^ {- 3} ).
Esto implica que (x ^ {- 3} = dfrac {1} {x ^ 3} ) y nos lleva a la definición de un exponente negativo . Si n es un entero y (a neq 0 ), entonces (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ).
Veamos ahora qué sucede con una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es un entero elevado a un exponente negativo.
( begin {array} {ll} {} & { dfrac {1} {a ^ {- n}}} \ {} & {} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n}} y { dfrac {1} { dfrac {1} {a ^ n}}} \ {} & { } \ { text {Simplifique la fracción compleja.}} & {1 · dfrac {a ^ n} {1}} \ {} & {} \ { text {Multiply.}} & {a ^ n} \ end {array} )
Esto implica ( dfrac {1} {a ^ {- n}} = a ^ n ) y es otra forma de la definición de [19459004 ] Propiedades de los exponentes negativos .
DEFINICIÓN: PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS
Si (n ) es un entero y (a neq 0 ), entonces (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) o ( dfrac { 1} {a ^ {- n}} = a ^ n ).
El exponente negativo nos dice que podemos reescribir la expresión tomando el recíproco de la base y luego cambiando el signo del exponente.
Cualquier expresión que tenga exponentes negativos no se considera en su forma más simple. Usaremos la definición de un exponente negativo y otras propiedades de exponentes para escribir la expresión solo con exponentes positivos.
Por ejemplo, si después de simplificar una expresión terminamos con la expresión (x ^ {- 3} ), daremos un paso más y escribiremos ( dfrac {1} {x ^ 3} ) . Se considera que la respuesta está en la forma más simple cuando solo tiene exponentes positivos.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Simplifique cada expresión: ⓐ (x ^ {- 5} ) ⓑ (10 ^ {- 3} ) ⓒ ( dfrac {1} {y ^ {- 4}} ) ⓓ ( 13 ^ {- 2} ).
- Respuesta
-
ⓐ
( begin {array} {ll} {} & {x ^ {- 5}} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1 } {a ^ n}.} & { dfrac {1} {x ^ 5}} \ end {array} )
ⓑ
( begin {array} {ll} {} & {10 ^ {- 3}} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1 } {a ^ n}.} & { dfrac {1} {10 ^ 3}} \ { text {Simplify.}} y { dfrac {1} {1000}} \ end {array} )
ⓒ
( begin {array} {ll} {} & { dfrac {1} {y ^ {- 4}}} \ { text {Use la propiedad de un exponente negativo,} dfrac {1 } {a ^ {- n}} = a ^ n.} & {y ^ 4} \ end {array} )
ⓓ
( begin {array} {ll} {} & { dfrac {1} {3 ^ {- 2}}} \ { text {Use la propiedad de un exponente negativo,} dfrac {1 } {a ^ {- n}} = a ^ n.} & {3 ^ 2} \ { text {Simplify.}} & {9} \ end {array} )
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Simplifique cada expresión: ⓐ (z ^ {- 3} ) ⓑ (10 ^ {- 7} ) ⓒ ( dfrac {1} {p ^ {- 8}} ) ⓓ ( dfrac {1} {4 ^ {- 3}} ).
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {1} {z ^ 3} ) ⓑ ( dfrac {1} {10 ^ 7} ) ⓒ (p ^ 8 ) ⓓ (64 )
Ejemplo ( PageIndex {12} )
Simplifique cada expresión: ⓐ (n ^ {- 2} ) ⓑ (10 ^ {- 4} ) ⓒ ( dfrac {1} {q ^ {- 7}} ) ⓓ ( dfrac {1} {2 ^ {- 4}} ).
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {1} {n ^ 2} ) ⓑ ( dfrac {1} {10,000} ) ⓒ (q ^ 7 )
ⓓ (16 ) [19459001 ]
Supongamos que ahora tenemos una fracción elevada a un exponente negativo. Usemos nuestra definición de exponentes negativos para llevarnos a una nueva propiedad.
( begin {array} {ll} {} & { left ( dfrac {3} {4} right) ^ {- 2}} \ {} & {} \ { text { Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n}.} & { Dfrac {1} { left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2}}} \ {} & {} \ { text {Simplifique el denominador.}} Y { dfrac {1} { dfrac {9} {16}}} \ {} y {} \ { text {Simplifique la fracción compleja.}} & { dfrac {16} {9}} \ {} & {} \ { text {Pero sabemos que} dfrac {16} {9} text {is} left ( dfrac {4} {3} right) ^ {2}.} & {} \ { text {Esto nos dice que}} & { left ( dfrac {3} {4} right) ^ {- 2} = left ( dfrac {4} {3} right) ^ {2}} \ end {array} )
Para pasar de la fracción original elevada a un exponente negativo al resultado final, tomamos el recíproco de la base, la fracción, y cambiamos el signo del exponente.
Esto nos lleva al Cociente a un poder negativo Propiedad .
COTIENTE DE UNA PROPIEDAD DE PODER NEGATIVO
Si (a ) y (b ) son números reales, (a neq 0 ), (b neq 0 ) y (n ) es un número entero, entonces
[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} = left ( dfrac {b} {a} right) ^ n nonumber ].
Ejemplo ( PageIndex {13} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ( left ( dfrac {5} {7} right) ^ {- 2} ) ⓑ ( left (- dfrac {x} {y} right) ^ {−3} ).
- Respuesta
-
ⓐ
( begin {array} {ll} {} & { left ( dfrac {5} {7} right) ^ {- 2}} \ { text {Use el cociente para un exponente negativo Propiedad,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} = left ( dfrac {b} {a} right) ^ n.} & {} \ { text { Tome el recíproco de la fracción y cambie el signo del exponente.}} & { Left ( dfrac {7} {5} right) ^ 2} \ { text {Simplify.}} & { Dfrac { 49} {25}} \ end {array} )
ⓑ
( begin {array} {ll} {} & { left (- dfrac {x} {y} right) ^ {- 3}} \ { text {Use el cociente para un negativo Propiedad del exponente,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} = left ( dfrac {b} {a} right) ^ n.} & {} \ { text {Tome el recíproco de la fracción y cambie el signo del exponente.}} & { Left (- dfrac {y} {x} right) ^ 3} \ { text {Simplify.}} & {- dfrac {y ^ 3} {x ^ 3}} \ end {array} )
Ejemplo ( PageIndex {14} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {- 4} ) ⓑ ( left (- dfrac {m} {n} right) ^ {−2} ).
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {81} {16} ) ⓑ ( dfrac {n ^ 2} {m ^ 2} )
Ejemplo ( PageIndex {15} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ( left ( dfrac {3} {5} right) ^ {- 3} ) ⓑ ( left (- dfrac {a} {b} right) ^ {−4} ).
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {125} {27} ) ⓑ ( dfrac {b ^ 4} {a ^ 4} )
Ahora que tenemos exponentes negativos, utilizaremos la Propiedad del producto con expresiones que tienen exponentes negativos.
Ejemplo ( PageIndex {16} )
Simplifique cada expresión: ⓐ (z ^ {- 5} · z ^ {- 3} ) ⓑ ((m ^ 4n ^ {- 3}) (m ^ {- 5} n ^ {- 2 }) ) Ⓒ ((2x ^ {- 6} y ^ 8) (- 5x ^ 5y ^ {- 3}) ).
- Respuesta
-
ⓐ
( begin {array} {ll} {} & {z ^ {- 5} · z ^ {- 3}} \ { text {Agregue los exponentes, ya que las bases son las mismas.}} & {z ^ {- 5−3}} \ { text {Simplify.}} & {z ^ {- 8}} \ { text {Use la definición de un exponente negativo.}} & { dfrac {1} {z ^ 8}} \ end {array} )
ⓑ
( begin {array} {ll} {} & {(m ^ 4n ^ {- 3}) (m ^ {- 5} n ^ {- 2})} \ { text {Use el Propiedad conmutativa para obtener como}} y {} \ { text {bases juntas.}} Y {m ^ 4m ^ {- 5} · n ^ {- 2} n ^ {- 3}} \ { text {Agregue los exponentes para cada base.}} & {M ^ {- 1} · n ^ {- 5}} \ { text {Tome recíprocos y cambie los signos de los exponentes.}} & { Dfrac {1 } {m ^ 1} · dfrac {1} {n ^ 5}} \ { text {Simplify.}} & { dfrac {1} {mn ^ 5}} \ end {array} )
ⓒ
( begin {array} {ll} {} & {(2x ^ {- 6} y ^ 8) (- 5x ^ 5y ^ {- 3})} \ { text {Reescriba con similares bases juntas.}} & {2 (−5) · (x ^ {- 6} x ^ 5) · (y ^ 8y ^ {- 3})} \ { text {Multiplica los coeficientes y suma los exponentes} } & {} \ { text {de cada variable.}} & {- 10 · x ^ {- 1} · y5} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n } = dfrac {1} {a ^ n}.} & {- 10 · dfrac {1} {x} · y ^ 5} \ { text {Simplify.}} & {- 10y ^ 5x} end {array} )
Ejemplo ( PageIndex {17} )
Simplifica cada expresión:
ⓐ (z ^ {- 4} · z ^ {- 5} ) ⓑ ((p ^ 6q ^ {- 2}) (p ^ {- 9} q ^ {- 1}) ) Ⓒ ((3u ^ {- 5} v ^ 7) (- 4u ^ 4v ^ {- 2}) ).
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {1} {z ^ 9} ) ⓑ ( dfrac {1} {p ^ 3q ^ 3} ) ⓒ (- dfrac {12v ^ 5} {u} )
Ejemplo ( PageIndex {18} )
Simplifica cada expresión:
ⓐ (c ^ {- 8} · c ^ {- 7} ) ⓑ ((r ^ 5s ^ {- 3}) (r ^ {- 7} s ^ {- 5}) ) Ⓒ ((- 6c ^ {- 6} d ^ 4) (- 5c ^ {- 2} d ^ {- 1}) ).
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {1} {c ^ 15} ) ⓑ ( dfrac {1} {r ^ 2s ^ 8} ) ⓒ ( dfrac {30d ^ 3} {c ^ 8} )
Ahora veamos una expresión exponencial que contiene un poder elevado a un poder. Vea si puede descubrir una propiedad general.
( begin {array} {ll} {} & {(x ^ 2) ^ 3} \ { text {¿Qué significa esto?}} & {X ^ 2 · x ^ 2 · x ^ 2} \ end {array} )
| ¿Cuántos factores en total? |  |
| Entonces tenemos |  |
Observe que 6 es el producto de los exponentes, 2 y 3. Vemos que ((x ^ 2) ^ 3 ) es (x ^ {2 · 3} ) o (x ^ 6 ).
Multiplicamos los exponentes. Esto lleva a la Propiedad de poder para exponentes.
DEFINICIÓN: PROPIEDAD DE ENERGÍA PARA EXPONENTES
Si (a ) es un número real y (m ) y (n ) son enteros, entonces
[(a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} nonumber ]
Para elevar una potencia a una potencia, multiplique los exponentes.
Ejemplo ( PageIndex {19} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ((y ^ 5) ^ 9 ) ⓑ ((4 ^ 4) ^ 7 ) ⓒ ((y ^ 3) ^ 6 (y ^ 5) ^ 4 ) .
- Respuesta
-
ⓐ
Use la propiedad Power, ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} ). 
Simplificar. 
ⓑ
Usa la propiedad Power. 
Simplificar. 
ⓒ
( begin {array} {ll} {} & {(y ^ 3) ^ 6 (y ^ 5) ^ 4} \ { text {Use the Power Property.}} & {Y ^ { 18} · y ^ {20}} \ { text {Agregue los exponentes.}} & {Y ^ {38}} \ end {array} )
Ejemplo ( PageIndex {20} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ((b ^ 7) ^ 5 ) ⓑ ((5 ^ 4) ^ 3 ) ⓒ ((a ^ 4) ^ 5 (a ^ 7) ^ 4 ) .
- Respuesta
-
ⓐ (b ^ {35} ) ⓑ (5 ^ {12} ) ⓒ (a ^ {48} )
Ejemplo ( PageIndex {21} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ((z ^ 6) ^ 9 ) ⓑ ((3 ^ 7) ^ 7 ) ⓒ ((q ^ 4) ^ 5 (q ^ 3) ^ 3 ) .
- Respuesta
-
ⓐ (z ^ {54} ) ⓑ (3 ^ {49} ) ⓒ (q ^ {29} )
Ahora veremos una expresión que contiene un producto que se eleva a un poder. ¿Puedes encontrar este patrón?
( begin {array} {ll} {} & {(2x) ^ 3} \ { text {¿Qué significa esto?}} Y {2x · 2x · 2x} \ { text { Agrupamos los factores similares.}} & {2 · 2 · 2 · x · x · x} \ { text {¿Cuántos factores de 2 y de}} x & {2 ^ 3 · x ^ 3} end {array} )
Observe que cada factor se elevó a la potencia y ((2x) ^ 3 ) es (2 ^ 3 · x ^ 3 ).
¡El exponente se aplica a cada uno de los factores! Esto conduce a la Producto a una potencia Propiedad para exponentes .
DEFINICIÓN: PRODUCTO A UNA PROPIEDAD DE ENERGÍA PARA EXPONENTES
Si (a ) y (b ) son números reales y (m ) es un número entero, entonces
[(ab) ^ m = a ^ mb ^ m nonumber ]
Para elevar un producto a una potencia, eleva cada factor a esa potencia.
Ejemplo ( PageIndex {22} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ((- 3mn) ^ 3 ) ⓑ ((- 4a ^ 2b) ^ 0 ) ⓒ ((6k ^ 3) ^ {- 2} ) ⓓ (( 5x ^ {- 3}) ^ 2 ).
- Respuesta
-
ⓐ
Usar el poder de una propiedad de producto, ((ab) ^ m = a ^ mb ^ m ). 
Simplificar. 
ⓑ
( begin {array} {ll} {} & {(- 4a ^ 2b) ^ 0} \ { text {Usar el poder de una propiedad de producto,} (ab) ^ m = a ^ mb ^ m.} & {(- 4) ^ 0 (a ^ 2) ^ 0 (b) ^ 0} \ { text {Simplify.}} & {1 · 1 · 1} \ { text {Multiplicar. }} & {1} \ end {array} )
ⓒ
( begin {array} {ll} {} & {(6k ^ 3) ^ {- 2}} \ { text {Usar el poder de una propiedad de producto,} (ab) ^ m = a ^ mb ^ m.} & {(6) ^ {- 2} (k ^ 3) ^ {- 2}} \ { text {Use la propiedad Power,} (a ^ m) ^ n = a ^ {m · N}.} & {6 ^ {- 2} k ^ {- 6}} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n}.} & { dfrac {1} {6 ^ 2} · dfrac {1} {k ^ 6}} \ { text {Simplify.}} & { dfrac {1} {36k ^ 6} } \ end {array} )
ⓓ
( begin {array} {ll} {} & {(5x ^ {- 3}) ^ 2} \ { text {Usar el poder de una propiedad de producto,} (ab) ^ m = a ^ mb ^ m.} & {5 ^ 2 (x ^ {- 3}) ^ 2} \ { text {Simplify.}} & {25 · x ^ {- 6}} \ { text {Rewrite} x − 6 text {using,} a ^ {- n} = text {1} {a ^ n}.} & {25 · dfrac {1} {x ^ 6}} \ { text {Simplify .}} & { dfrac {25} {x ^ 6}} \ end {array} )
Ejemplo ( PageIndex {23} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ((2wx) ^ 5 ) ⓑ ((- 11pq3) ^ 0 ) ⓒ ((2b ^ 3) ^ {- 4} ) ⓓ ((8a ^ { −4}) ^ 2 ).
- Respuesta
-
ⓐ (32w ^ 5x ^ 5 ) ⓑ 1 ⓒ ( dfrac {1} {16b ^ {12}} )
ⓓ ( dfrac {64} {a ^ 8} )
Ejemplo ( PageIndex {24} )
Simplifique cada expresión: ⓐ ((- 3y) ^ 3 ) ⓑ ((- 8m ^ 2n ^ 3) ^ 0 ) ⓒ ((- 4x ^ 4) ^ {- 2} ) ⓓ ((2c ^ {- 4}) ^ 3 ).
- Respuesta
-
ⓐ (- 27y ^ 3 ) ⓑ 1 ⓒ ( dfrac {1} {16x ^ 8} )
ⓓ (8c ^ {12} )
Ahora veremos un ejemplo que nos llevará al Cociente a una Propiedad de Poder.
( begin {array} {ll} {} & { left ( dfrac {x} {y} right) ^ 3} \ { text {Esto significa}} & { dfrac {x } {y} · dfrac {x} {y} · dfrac {x} {y}} \ { text {Multiplica las fracciones.}} & { dfrac {x · x · x} {y · y · Y}} \ { text {Escribir con exponentes.}} & { Dfrac {x ^ 3} {y ^ 3}} \ end {array} )
Observe que el exponente se aplica tanto al numerador como al denominador.
Vemos que ( left ( dfrac {x} {y} right) ^ 3 ) es ( dfrac {x ^ 3} {y ^ 3} ).
Esto lleva al Cociente a una propiedad de poder para exponentes .
DEFINICIÓN: COTIENTE DE UNA PROPIEDAD DE ENERGÍA PARA EXPONENTES
Si (a ) y (b ) son números reales, (b neq 0 ) y (m ) es un número entero, entonces
[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ m = dfrac {a ^ m} {b ^ m} nonumber ]
Para aumentar una fracción a una potencia, eleva el numerador y el denominador a esa potencia.
Ejemplo ( PageIndex {25} )
Simplifica cada expresión:
ⓐ ( left ( dfrac {b} {3} right) ^ 4 ) ⓑ ( left ( dfrac {k} {j} right) ^ {- 3} ) ⓒ ( left ( dfrac {2xy ^ 2} {z} right) ^ 3 ) ⓓ ( left ( dfrac {4p ^ {- 3}} {q ^ 2} right) ^ 2 ).
- Respuesta
-
ⓐ
Usar el cociente de una propiedad de potencia, ((ab) ^ m = a ^ mb ^ m ). 
Simplificar. 
ⓑ
Eleva el numerador y el denominador a la potencia. 
Usa la definición de exponente negativo. 
Multiplica. 
ⓒ
( begin {array} {ll} {} & { left ( dfrac {2xy ^ 2} {z} right) ^ 3} \ { text {Usar cociente para una propiedad de poder,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ m = dfrac {a ^ m} {b ^ m}.} & { dfrac {(2xy ^ 2) ^ 3} {z ^ 3}} \ { text {Use el producto para una propiedad de potencia,} (ab) ^ m = a ^ mb ^ m.} & { dfrac {8x ^ 3y ^ 6} {z ^ 3}} \ end { matriz} )
ⓓ
( begin {array} {ll} {} & { left ( dfrac {4p ^ {- 3}} {q ^ 2} right) ^ 2} \ { text {Use el cociente para una Propiedad de Poder,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ m = dfrac {a ^ m} {b ^ m}.} & { dfrac {(4p ^ {- 3}) ^ 2} {(q ^ 2) ^ 2}} \ { text {Usar el producto para una propiedad de potencia,} (ab) ^ m = a ^ mb ^ m.} & { Dfrac {4 ^ 2 (p ^ {- 3}) ^ 2} {(q ^ 2) ^ 2}} \ { text {Simplifique usando la propiedad Power,} (a ^ m) ^ n = a ^ {m · n}.} & { dfrac {16p ^ {- 6}} {q ^ 4}} \ { text {Use la definición de exponente negativo.}} & { dfrac {16} {q ^ 4} · dfrac {1} {p ^ 6}} \ { text {Simplify.}} & { dfrac {16} {p ^ 6q ^ 4}} \ end {array} )
Ejemplo ( PageIndex {26} )
Simplifica cada expresión:
ⓐ ( left ( dfrac {p} {10} right) ^ 4 ) ⓑ ( left ( dfrac {m} {n} right) ^ {- 7} ) ⓒ ( left ( dfrac {3ab ^ 3} {c ^ 2} right) ^ 4 ) ⓓ ( left ( dfrac {3x ^ {- 2}} {y ^ 3} right) ^ 3 )
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {p ^ 4} {10000} ) ⓑ ( dfrac {n ^ 7} {m ^ 7} )
ⓒ ( dfrac {81a ^ 4b ^ {12 }} {c ^ 8} ) ⓓ ( dfrac {27} {x ^ 6y ^ 9} )
Ejemplo ( PageIndex {27} )
Simplifica cada expresión:
ⓐ ( left ( dfrac {−2} {q} right) ^ 3 ) ⓑ ( left ( dfrac {w} {x} right) ^ {- 4} ) ⓒ ( left ( dfrac {xy ^ 3} {3z ^ 2} right) ^ 2 ) ⓓ ( left ( dfrac {2m ^ {- 2}} {n ^ {- 2}} right ) ^ 3 ).
- Respuesta
-
ⓐ ( dfrac {−8} {q ^ 3} ) ⓑ ( dfrac {x ^ 4} {w ^ 4} ) ⓒ ( dfrac {x ^ 2y ^ 6} {9z ^ 4} )
ⓓ ( dfrac {8n ^ 6} {m ^ 6} )
Ahora tenemos varias propiedades para exponentes. Resumámoslos y luego haremos algunos ejemplos más que usan más de una de las propiedades.
DEFINICIÓN: RESUMEN DE LAS PROPIEDADES EXPONENTES
Si (a ) y (b ) son números reales, y (m ) y (n ) son enteros, entonces
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Propiedad del producto | (a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n} ) |
| Propiedad de energía | ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} ) |
| Producto a una potencia | ((ab) ^ n = a ^ nb ^ n ) |
| Propiedad del cociente | ( dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}, a neq 0 ) |
| Propiedad de exponente cero | (a ^ 0 = 1, a neq 0 ) |
| Cociente a una propiedad de poder | ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ m = dfrac {a ^ m} {b ^ m}, b neq 0 ) |
| Propiedades de los exponentes negativos | (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) y ( dfrac {1} {a ^ {- n}} = a ^ n ) |
| Cociente a un exponente negativo | ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} = left ( dfrac {b} {a} right) ^ n ) |
Ejemplo ( PageIndex {28} )
Simplifique cada expresión aplicando varias propiedades:
ⓐ ((3x ^ 2y) ^ 4 (2xy ^ 2) ^ 3 ) ⓑ ( dfrac {(x ^ 3) ^ 4 (x ^ {- 2}) ^ 5} {(x ^ 6) ^ 5} ) ⓒ ( left ( dfrac {2xy ^ 2} {x ^ 3y ^ {- 2}} right) ^ 2 left ( dfrac {12xy ^ 3} {x ^ 3y ^ {−1}} right) ^ {- 1} ).
- Respuesta
-
ⓐ
( begin {array} {ll} {} & {(3x ^ 2y) ^ 4 (2xy ^ 2) ^ 3} \ {} & {} \ { text {Use el Producto para Propiedad de energía,} (ab) ^ m = a ^ mb ^ m.} & {(3 ^ 4x ^ 8y ^ 4) (2 ^ 3x ^ 3y ^ 6)} \ {} & {} \ { text {Simplify.}} & {(81x ^ 8y ^ 4) (8x ^ 3y ^ 6)} \ {} & {} \ { text {Use la propiedad conmutativa.}} & {81 · 8 · x ^ 8 · x ^ 3 · y ^ 4 · y ^ 6} \ {} & {} \ { text {Multiplica las constantes y suma los exponentes.}} & {648x ^ {11} y ^ {10}} \ end {array} )
ⓑ
( begin {array} {ll} {} & { dfrac {(x ^ 3) ^ 4 (x ^ {- 2}) ^ 5} {(x ^ 6) ^ 5}} \ { text {Use la propiedad Power,} (a ^ m) ^ n = a ^ {m · n}.} & {(x ^ {12}) (x ^ {- 10}) (x ^ {30} )} \ { text {Agregue los exponentes en el numerador.}} & { dfrac {x ^ 2} {x ^ {30}}} \ { text {Use la propiedad del cociente,} dfrac {a ^ m} {a ^ n} = dfrac {1} {a ^ {n − m}}.} & { dfrac {1} {x ^ {28}}} \ end {array} ) [ 19459001]
ⓒ
( begin {array} {ll} {} & { left ( dfrac {2xy ^ 2} {x ^ 3y ^ {- 2}} right) ^ 2 left ( dfrac {12xy ^ 3} {x ^ 3y ^ {- 1}} right) ^ {- 1}} \ { text {Simplifique primero entre paréntesis.}} & { Left ( dfrac {2y ^ 4} {x ^ 2} right) ^ 2 left ( dfrac {12y ^ 4} {x ^ 2} right) ^ {- 1}} \ { text {Use el cociente de una propiedad de potencia,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ m = dfrac {a ^ m} {b ^ m}.} & { dfrac {(2y ^ 4) ^ 2} {(x ^ 2) ^ 2} dfrac {(12y ^ 4) ^ {- 1}} {(x ^ 2) ^ {- 1}}} \ { text {Use el producto para una propiedad de potencia,} (ab) ^ m = a ^ mb ^ m.} & { dfrac {4y ^ 8} {x ^ 4} · dfrac {12 ^ {- 1} y ^ {- 4}} {x ^ {- 2}}} \ { text { Simplificar.}} Y { dfrac {4y ^ 4} {12x ^ 2}} \ { text {Simplificar.}} Y { dfrac {y ^ 4} {3x ^ 2}} \ end {array } )
Ejemplo ( PageIndex {29} )
Simplifica cada expresión:
ⓐ ((c ^ 4d ^ 2) ^ 5 (3cd ^ 5) ^ 4 ) ⓑ ( dfrac {(a ^ {- 2}) ^ 3 (a ^ 2) ^ 4} {( a ^ 4) ^ 5} ) ⓒ ( left ( dfrac {3xy ^ 2} {x ^ 2y ^ {- 3}} right) ^ 2 )
- Respuesta
-
ⓐ (81c ^ {24} d ^ {30} ) ⓑ ( dfrac {1} {a ^ {18}} )
ⓒ ( dfrac {9y ^ {10}} {x ^ 2} )
Ejemplo ( PageIndex {30} )
Simplifica cada expresión:
ⓐ ((a ^ 3b ^ 2) ^ 6 (4ab ^ 3) ^ 4 ) ⓑ ( dfrac {(p ^ {- 3}) ^ 4 (p ^ 5) ^ 3} {( p ^ 7) ^ 6} ) ⓒ ( left ( dfrac {4x3y2} {x2y − 1} right) ^ 2 left ( dfrac {8xy ^ {- 3}} {x ^ 2y} right ) ^ {- 1} ).
- Respuesta
-
ⓐ (256a ^ {22} b ^ {24} ) ⓑ ( dfrac {1} {p ^ {39}} )
ⓒ (2x ^ 3y ^ {10} )