5.3: Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación

5.3: Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación
  •      
  • Resolver aplicaciones de sistemas de ecuaciones por eliminación
  •      
  • Elija el método más conveniente para resolver un sistema de ecuaciones lineales
  •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifica −5 (6−3a).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.10.43 .
  2.      
  3. Resuelve la ecuación ( frac {1} {3} x + frac {5} {8} = frac {31} {24} ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.5.1 .
  4.  
 
 

Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficos y por sustitución. Los gráficos funcionan bien cuando los coeficientes variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.

 

El tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, comenzamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos también con el método de eliminación, pero tendremos una forma diferente de llegar allí.

 
 

Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación

 

El Método de eliminación se basa en la propiedad de adición de la igualdad. La propiedad de igualdad de la suma dice que cuando agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, todavía tiene igualdad. Ampliaremos la propiedad de igualdad de la suma para decir que cuando agrega cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.

 

Para cualquier expresión a , b , c y d ,

 

[ begin {array} {lc} text {if} & a = b \ text {and} & c = d \ text {then} & a + c = b + d end { matriz} ]

 

Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, comenzamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Luego decidimos qué variable será más fácil de eliminar. ¿Cómo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, de modo que podamos sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.

 

Observe cómo funciona cuando sumamos estas dos ecuaciones:

 

[ begin {array} {l} 3x + y = 5 \ underline {2x-y = 0} \ 5x quad quad = 5 end {array} ]

 
 

Los y se suman a cero y tenemos una ecuación con una variable.

 

Probemos con otro:

 

[ left { begin {array} {l} {x + 4 y = 2} \ {2 x + 5 y = -2} end {array} right. ]

 

Esta vez no vemos una variable que pueda eliminarse inmediatamente si sumamos las ecuaciones.

 

Pero si multiplicamos la primera ecuación por −2, haremos los coeficientes de x opuestos. Debemos multiplicar cada término en ambos lados de la ecuación por −2.

 

This figure shows two equations. The first is negative 2 times x plus 4y in parentheses equals negative 2 times 2. The second is 2x + 5y = negative 2. This figure shows two equations. The first is negative 2x minus 8y = negative 4. The second is 2x + 5y = -negative 2.

 

Ahora vemos que los coeficientes de los términos x son ​​opuestos, por lo que x se eliminarán cuando agreguemos estas dos ecuaciones.

 

Agregue las ecuaciones usted mismo; el resultado debería ser −3 y = −6. Y eso parece fácil de resolver, ¿no? Así es como se vería.

 

This figure shows two equations being added together. The first is negative 2x – 8y = −4 and 2x plus 5y = negative 2. The answer is negative 3y = negative 6.

 

Haremos uno más:

 

[ left { begin {array} {l} {4 x-3 y = 10} \ {3 x + 5 y = -7} end {array} right. ] [19459003 ]  

No parece que podamos hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos al multiplicar una de las ecuaciones por una constante, a menos que usemos fracciones. Entonces, en cambio, tendremos que multiplicar ambas ecuaciones por una constante.

 

Podemos hacer que los coeficientes de x sean opuestos si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por −4, entonces obtenemos 12 x y −12 x .

 

This figure shows two equations. The first is 3 times 4x minus 3y in parentheses equals 3 times 10. The second is negative 4 times 3x plus 5y in parentheses equals negative 4 times negative 7.

 

Esto nos da estas dos nuevas ecuaciones:

 

[ left { begin {alineado} 12 x-9 y & = 30 \ – 12 x-20 y & = 28 end {alineado} right. ]

 

Cuando sumamos estas ecuaciones,

 

[ [ left { begin {array} {r} {12 x-9 y = 30} \ { underline {-12 x-20 y = 28}} \ end {array } right. \ quad qquad {-29 y = 58} ] ]

 

las x se eliminan y solo tenemos −29 y = 58.

 

Una vez que obtenemos una ecuación con solo una variable, la resolvemos. Luego sustituimos ese valor en una de las ecuaciones originales para resolver la variable restante. Y, como siempre, verificamos nuestra respuesta para asegurarnos de que sea una solución para ambas ecuaciones originales.

 

Ahora veremos cómo usar la eliminación para resolver el mismo sistema de ecuaciones que resolvimos graficando y sustituyendo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {3 x + y = 5} \ {2 x-3 y = 7} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(2, −1)

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {4 x + y = -5} \ {-2 x-2 y = -2} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(−2,3)

     
 
 
 

Los pasos se enumeran a continuación para facilitar su consulta.

 
 
 

CÓMO RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR ELIMINACIÓN.

 
         
  1. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar. Si algunos coeficientes son fracciones, bórrelos.
  2.      
  3. Haz los coeficientes de una variable opuesta.      
               
    • Decide qué variable eliminarás.
    •          
    • Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
    •      
         
  4.      
  5. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable.
  6.      
  7. Resuelve la variable restante.
  8.      
  9. Sustituye la solución del Paso 4 en una de las ecuaciones originales. Luego resuelve la otra variable.
  10.      
  11. Escribe la solución como un par ordenado.
  12.      
  13. Comprueba que el par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.
  14.  
 
 
 

Primero haremos un ejemplo donde podemos eliminar una variable de inmediato.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {x + y = 10} \ {x-y = 12} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {2 x + y = 5} \ {x-y = 4} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(3, −1)

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelva el sistema por eliminación. ( Left { begin {array} {l} {x + y = 3} \ {-2 xy = -1} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(−2,5)

     
 
 
 

En el ejercicio ( PageIndex {7} ), podremos hacer los coeficientes de una variable opuesta multiplicando una ecuación por una constante.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {3 x-2 y = -2} \ {5 x-6 y = 10} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelva el sistema por eliminación. ( Left { begin {array} {l} {4 x-3 y = 1} \ {5 x-9 y = -4} end {array} derecha. )

 
     
Respuesta
     
     

(1,1)

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelva el sistema por eliminación. ( Left { begin {array} {l} {3 x + 2 y = 2} \ {6 x + 5 y = 8} end {array} right . )

 
     
Respuesta
     
     

(−2,4)

     
 
 
 

Ahora haremos un ejemplo en el que necesitamos multiplicar ambas ecuaciones por constantes para hacer los coeficientes de una variable opuesta.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {4 x-3 y = 9} \ {7 x + 2 y = -6} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

En este ejemplo, no podemos multiplicar solo una ecuación por cualquier constante para obtener coeficientes opuestos. Entonces multiplicaremos estratégicamente ambas ecuaciones por una constante para obtener los opuestos.

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {3 x-4 y = -9} \ {5 x + 3 y = 14} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(1,3)

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {7 x + 8 y = 4} \ {3 x-5 y = 27} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(4, −3)

     
 
 
 

Cuando el sistema de ecuaciones contiene fracciones, primero limpiaremos las fracciones multiplicando cada ecuación por su LCD.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {x + frac {1} {2} y = 6} \ { frac {3} {2} x + frac {2} {3} y = frac {17} {2}} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

En este ejemplo, ambas ecuaciones tienen fracciones. Nuestro primer paso será multiplicar cada ecuación por su LCD para borrar las fracciones.

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {3} x- frac {1} {2} y = 1} \ { frac {3} {4} xy = frac {5} {2}} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(6,2)

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {x + frac {3} {5} y = – frac {1} {5}} \ {- frac {1} {2} x- frac {2} {3} y = frac {5} {6}} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

(1, −2)

     
 
 
 

En Resolviendo sistemas de ecuaciones mediante gráficos vimos que no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen un solo par ordenado como solución. Cuando las dos ecuaciones eran realmente la misma línea, había infinitas soluciones. Llamamos a eso un sistema consistente. Cuando las dos ecuaciones describieron líneas paralelas, no había solución. Llamamos a eso un sistema inconsistente.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Resuelva el sistema por eliminación. ( Left { begin {array} {l} {3 x + 4 y = 12} \ {y = 3- frac {3} {4} x} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left { begin {alineado} 3 x + 4 y & = 12 \ y & = 3- frac {3} {4} x end { alineado} right. \\ text {Escriba la segunda ecuación en forma estándar.} & left { begin {array} {l} {3 x + 4 y = 12} \ { frac {3 } {4} x + y = 3} end {array} right. \ \ text {Borra las fracciones multiplicando la segunda ecuación por 4.} & left { begin {alineado} 3 x + 4 y & = 12 \ 4 left ( frac {3} {4} x + y right) & = 4 (3) end {alineado} right. \\ text {Simplify.} & left { begin {array} {l} {3 x + 4 y = 12} \ {3 x + 4 y = 12} end {array} right. \\ text {Para eliminar una variable , multiplicamos la segunda ecuación por −1.} & left { begin {array} {c} {3 x + 4 y = 12} \ underline {-3 x-4 y = -12} end { array} right. \ & qquad qquad quad 0 = 0 \ text {Simplificar y agregar.} end {array} )

     

Esta es una declaración verdadera. Las ecuaciones son consistentes pero dependientes. Sus gráficos serían la misma línea. El sistema tiene infinitas soluciones.

     

Después de borrar las fracciones en la segunda ecuación, ¿notaste que las dos ecuaciones eran iguales? Eso significa que tenemos líneas coincidentes.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {5 x-3 y = 15} \ {y = -5 + frac {5} {3} x} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

infinitas soluciones

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {x + 2 y = 6} \ {y = – frac {1} {2} x + 3} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

infinitas soluciones

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {- 6 x + 15 y = 10} \ {2 x-5 y = -5} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} text {Las ecuaciones están en forma estándar.} & Left { begin {alineado} -6 x + 15 y & = 10 \ 2 x-5 y & = – 5 end {alineado} right. \\ text {Multiplique la segunda ecuación por 3 para eliminar una variable.} & Left { begin {array} {l} {- 6 x + 15 y = 10} \ {3 (2 x-5 y) = 3 (-5)} end {array} right. \\ text {Simplifique y agregue.} & left { begin { alineado} {- 6 x + 15 y = 10} \ underline {6 x-15 y = -15} end {alineado} right. \ & qquad qquad quad0 neq 5 end {array { } )

     

Esta afirmación es falsa. Las ecuaciones son inconsistentes y sus gráficos serían líneas paralelas.

     

El sistema no tiene una solución.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {- 3 x + 2 y = 8} \ {9 x-6 y = 13} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

sin solución

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Resuelve el sistema por eliminación. ( left { begin {array} {l} {7 x-3 y = -2} \ {-14 x + 6 y = 8} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

sin solución

     
 
 
 

Resolver aplicaciones de sistemas de ecuaciones por eliminación

 

Algunos problemas de aplicaciones se traducen directamente en ecuaciones en forma estándar, por lo que utilizaremos el método de eliminación para resolverlos. Como antes, utilizamos nuestra Estrategia de resolución de problemas para ayudarnos a mantenernos enfocados y organizados.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

La suma de dos números es 39. Su diferencia es 9. Encuentra los números.

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} textbf {Paso 1. Leer} text {el problema} y \ textbf {Paso 2. Identificar} text {lo que estamos buscando.} & text {Estamos buscando dos números.} \ textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.} & text {Sea n = el primer número.} \ & text {m = el segundo número} \ textbf {Paso 4. Traducir} text {en un sistema de ecuaciones.} & \ & text {La suma de dos números es 39.} \ & n + m = 39 \ & text {Su diferencia es 9.} \ & n − m = 9 \ \ text {El sistema es:} & left { begin {array} {l} {n + m = 39} \ {nm = 9} end {array} right. \\ textbf {Paso 5. Resuelve} text {el sistema de ecuaciones.} & \ text {Para resolver el sistema de ecuaciones, usa } \ text {eliminación. Las ecuaciones están en la forma estándar} \ text {y los coeficientes de m son} y \ text {opuestos. Agregar.} & left { begin {array} {l } {n + m = 39} \ subrayado {nm = 9} end {array} right. \ & quad 2n qquad = 48 \ \ text {Resolver para n.} & n = 24 \ \ text {Sustituye n = 24 en uno de los originales} & n + m = 39 \ text {equa y resolver forma.} & 24 + m = 39 \ & m = 15 \ textbf {Paso 6. Verifique} text {la respuesta.} & text {Desde 24 + 15 = 39 y 24−15 = 9, las respuestas verifican.} \ textbf {Paso 7. Respuesta} text {la pregunta.} & Text {Los números son 24 y 15.} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

La suma de dos números es 42. Su diferencia es 8. Encuentra los números.

 
     
Respuesta
     
     

Los números son 25 y 17.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

La suma de dos números es −15. Su diferencia es −35. Encuentra los números.

 
     
Respuesta
     
     

Los números son −25 y 10.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Joe se detiene en un restaurante de hamburguesas todos los días camino al trabajo. El lunes tenía una orden de papas fritas medianas y dos refrescos pequeños, que tenían un total de 620 calorías. El martes tenía dos pedidos de papas fritas medianas y un refresco pequeño, por un total de 820 calorías. ¿Cuántas calorías hay en un pedido de papas fritas medianas? ¿Cuántas calorías hay en un refresco pequeño?

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Malik se detiene en el supermercado para comprar una bolsa de pañales y 2 latas de fórmula. Gasta un total de $ 37. La próxima semana se detiene y compra 2 bolsas de pañales y 5 latas de fórmula por un total de $ 87. ¿Cuánto cuesta una bolsa de pañales? ¿Cuánto cuesta una lata de fórmula?

 
     
Respuesta
     
     

La bolsa de pañales cuesta $ 11 y la lata de fórmula cuesta $ 13.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Para obtener su ingesta diaria de fruta para el día, Sasha come un plátano y 8 fresas el miércoles para un recuento de calorías de 145. El miércoles siguiente, come dos plátanos y 5 fresas para un total de 235 calorías para el Fruta. ¿Cuántas calorías hay en un plátano? ¿Cuántas calorías hay en una fresa?

 
     
Respuesta
     
     

Hay 105 calorías en una banana y 5 calorías en una fresa.

     
 
 
 

Elija el método más conveniente para resolver un sistema de ecuaciones lineales

 

Cuando tendrá que resolver un sistema de ecuaciones lineales en una clase de matemáticas posterior, generalmente no se le dirá qué método usar. Tendrá que tomar esa decisión usted mismo. Por lo tanto, debe elegir el método que sea más fácil de hacer y que minimice sus posibilidades de cometer errores.

 

This table has two rows and three columns. The first row labels the columns as “Graphing,” “Substitution,” and “Elimination.” Under “Graphing” it says, “Use when you need a picture of the situation.” Under “Substitution” it says, “Use when one equation is already solved for one variable.” Under “Elimination” it says, “Use when the equations are in standard form.”

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Para cada sistema de ecuaciones lineales, decida si sería más conveniente resolverlo mediante sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

 
         
  1. ( left { begin {array} {l} {3 x + 8 y = 40} \ {7 x-4 y = -32} end {array} right. ) [19459007 ]      
  2. ( left { begin {array} {l} {5 x + 6 y = 12} \ {y = frac {2} {3} x-1} end {array} right . )
  3.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( left { begin {array} {l} {3 x + 8 y = 40} \ {7 x-4 y = -32} end {array} right. )

     

Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, será más conveniente usar la eliminación.

     

2. ( left { begin {array} {l} {5 x + 6 y = 12} \ {y = frac {2} {3} x-1} end {array} right. )

     

Dado que una ecuación ya está resuelta para y , usar la sustitución será lo más conveniente.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Para cada sistema de ecuaciones lineales, decida si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

 
         
  1. ( left { begin {array} {l} {4 x-5 y = -32} \ {3 x + 2 y = -1} end {array} right. ) [ 19459007]      
  2. ( left { begin {array} {l} {x = 2 y-1} \ {3 x-5 y = -7} end {array} right. )
  3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, usar la eliminación será lo más conveniente.
  2.          
  3. Dado que una ecuación ya está resuelta para xx, será más conveniente usar la sustitución.
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Para cada sistema de ecuaciones lineales, decida si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

 
         
  1. ( left { begin {array} {l} {y = 2 x-1} \ {3 x-4 y = -6} end {array} right. )
  2.      
  3. ( left { begin {array} {l} {6 x-2 y = 12} \ {3 x + 7 y = -13} end {array} right. ) [19459007 ]  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Dado que una ecuación ya está resuelta para yy, usar la sustitución será lo más conveniente;
  2.          
  3. Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, usar la eliminación será lo más conveniente.
  4.      
     
 
 
 
 

Nota

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales para resolver sistemas de ecuaciones lineales por eliminación.

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación      
               
    1. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar. Si algunos coeficientes son fracciones, bórrelos.
    2.          
    3. Haz los coeficientes de una variable opuesta.          
                     
      • Decide qué variable eliminarás.
      •              
      • Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
      •          
               
    4.          
    5. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable.
    6.          
    7. Resuelve la variable restante.
    8.          
    9. Sustituye la solución del Paso 4 en una de las ecuaciones originales. Luego resuelve la otra variable.
    10.          
    11. Escribe la solución como un par ordenado.
    12.          
    13. Comprueba que el par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.
    14.      
         
  •  
 
 
 
 
                                  
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