Sumar y restar expresiones radicales es similar a sumar y restar términos similares. Se considera que los radicales son como radicales 16 , o similares radicales [1945900] [1945900] ] 17 , cuando comparten el mismo índice y radicando. Por ejemplo, los términos (2 sqrt {6} ) y (5 sqrt {6} ) contienen radicales similares y se pueden agregar utilizando la propiedad distributiva de la siguiente manera:
No podemos simplificar más porque ( sqrt {5} ) y ( sqrt {2} ) no son como radicales; Los radicandos no son lo mismo.
Respuesta :
( sqrt {5} – sqrt {2} )
( color {YellowOrange} { text {Precaución:}} ) Es importante señalar que ( sqrt {5} – sqrt {2} neq sqrt {5 – 2} ) Podemos verificar esto calculando el valor de cada lado con una calculadora.
A continuación, trabajamos con expresiones radicales que involucran variables. En esta sección, suponga que todos los radicandos que contienen expresiones variables son no negativos.
No podemos combinar más porque las expresiones radicales restantes no comparten el mismo radical; No son como radicales. Nota: ( sqrt [3] {5 x} – sqrt [3] {2 x} neq sqrt [3] {5 x – 2 x} ).
Respuesta :
( sqrt [3] {5 x} – sqrt [3] {2 x} )
A menudo encontraremos la necesidad de restar una expresión radical con múltiples términos. Si este es el caso, recuerde aplicar la propiedad distributiva antes de combinar términos similares.
Hasta que simplifiquemos, a menudo no está claro qué términos que involucran radicales son similares. Los pasos generales para simplificar expresiones radicales se resumen en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {9} ):
Simplifique: (5 sqrt [3] {3 x ^ {4}} + sqrt [3] {24 x ^ {3}} – left (x sqrt [3] {24 x} + 4 sqrt [3] {3 x ^ {3}} right) ).
Solución
Paso 1 : Simplifica la expresión radical. En este caso, distribuya y luego simplifique cada término que implique un radical.
( begin {array} {l} {5 sqrt [3] {3 x ^ {4}} + sqrt [3] {24 x ^ {3}} – left (x sqrt [ 3] {24 x} + 4 sqrt [3] {3 x ^ {3}} right)} \ {= 5 sqrt [3] {3 x ^ {4}} + sqrt [3] { 24 x ^ {3}} – x sqrt [3] {24 x} – 4 sqrt [3] {3 x ^ {3}}} \ {= 5 sqrt [3] {3 cdot x cdot x ^ {3}} + sqrt [3] {8 cdot 3 cdot x ^ {3}} – x sqrt [3] {8 cdot 3 x} – 4 sqrt [3] {3 x ^ {3}}} \ {= 5 x sqrt [3] {3 x} + 2 x sqrt [3] {3} – 2 x sqrt [3] {3 x} – 4 x sqrt [ 3] {3}} end {array} )
Paso 2 : Combina todos los radicales similares. Recuerde agregar solo los coeficientes; Las partes variables siguen siendo las mismas.
( begin {array} {l} {= color {Cerulean} {5 x sqrt [3] {3 x}} color {OliveGreen} {+ 2 x sqrt [3] {3} } color {Cerulean} {- 2 x sqrt [3] {3 x}} color {OliveGreen} {- 4 x sqrt [3] {3}}} \ {= 3 x sqrt [3] {3 x} – 2 x sqrt [3] {3}} end {array} )
Respuesta : (3 x sqrt [3] {3 x} – 2 x sqrt [3] {3} )
Ejemplo ( PageIndex {10} ):
Simplifique: (2 a sqrt {125 a ^ {2} b} – a ^ {2} sqrt {80 b} + 4 sqrt {20 a ^ {4} b} ).
Solución
( begin {array} {l} {2 a sqrt {125 a ^ {2} b} – a ^ {2} sqrt {80 b} + 4 sqrt {20 a ^ {4} b}} \ {= 2 a sqrt {25 cdot 5 cdot a ^ {2} cdot b} – a ^ {2} sqrt {16 cdot 5 cdot b} + 4 sqrt {4 cdot 5 cdot left (a ^ {2} right) ^ {2} b}} quad color {Cerulean} {Factor.} \ {= 2 a cdot 5 cdot a sqrt {5 b} – a ^ {2} cdot 4 sqrt {5 b} + 4 cdot 2 cdot a ^ {2} sqrt {5 b}} quad quad quad quad quad : color {Cerulean} {Simplify.} \ {= 10 a ^ {2} sqrt {5 b} – 4 a ^ {2} sqrt {5 b} + 8 a ^ {2} sqrt {5 b}} quad quad quad quad quad quad quad quad quad : : color {Cerulean} {Combine : like : terms.} \ {= 14 a ^ {2} sqrt { 5 b}} end {array} )
Respuesta :
(14 a ^ {2} sqrt {5 b} )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
( sqrt [3] {2 x ^ {6} y} + sqrt [3] {xy ^ {3}} – left (y sqrt [3] {27 x} – 2 x sqrt [3] {2 x ^ {3} y} right) )
Respuesta
(3 x ^ {2} sqrt [3] {2 y} – 2 y sqrt [3] {x} )
nota
Tome nota cuidadosa de las diferencias entre productos y sumas dentro de un radical. Suponga que tanto (x ) como (y ) no son negativos.
( begin {array} {l} Productos quad quad quad quad Sumas \ hline { sqrt {x ^ {2} y ^ {2}} = xy quad sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} neq x + y} \ { sqrt [3] {x ^ {3} y ^ {3}} = xy} quad sqrt [3] {x ^ {3} + y ^ {3}} neq x + y end {array} )
La propiedad ( sqrt [n] {a cdot b} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} ) dice que podemos simplificar los radicales cuando la operación en el Radicand es multiplicación. No hay propiedad correspondiente para la adición.
Ejemplo ( PageIndex {11} ):
Calcule el perímetro del triángulo formado por los puntos ((- 2, -1), (-3,6) ) y ((2,1) ).
Solución
La fórmula para el perímetro de un triángulo es (P = a + b + c ) donde (a, b ) y (c ) representan las longitudes de cada lado. Trazando los puntos que tenemos,
Figura 5.3.1
Usa la fórmula de la distancia para calcular la longitud de cada lado.
Del mismo modo, podemos calcular la distancia entre ((- 3, 6) ) y ((2,1) ) y encontrar que (c = 5 sqrt {2} ) unidades. Por lo tanto, podemos calcular el perímetro de la siguiente manera:
( begin {alineado} P & = a + b + c \ & = 5 sqrt {2} + 2 sqrt {5} + 5 sqrt {2} \ & = 10 sqrt { 2} + 2 sqrt {5} end {alineado} )
