5.4: Gráficas de funciones polinomiales

Objetivos de aprendizaje

Reconocer características de gráficos de funciones polinómicas.
Usa la factorización para encontrar ceros de funciones polinómicas.
Identificar ceros y sus multiplicidades.
Determinar el comportamiento final.
Comprender la relación entre grado y puntos de inflexión.
Graficar funciones polinómicas.
Usa el teorema del valor intermedio.

Los ingresos en millones de dólares para una compañía de cable ficticia desde 2006 hasta 2013 se muestran en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )
Año	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
Ingresos	52,4	52,8	51,2	49,5	48,6	48,6	48,7	47,1

Los ingresos pueden ser modelados por la función polinómica

[R (t) = – 0.037t ^ 4 + 1.414t ^ 3−19.777t ^ 2 + 118.696t − 205.332 ]

donde (R ) representa los ingresos en millones de dólares y (t ) representa el año, con (t = 6 ) correspondiente a 2006. ¿En qué intervalos aumentan los ingresos para la empresa? ¿En qué intervalos están disminuyendo los ingresos de la empresa? Estas preguntas, junto con muchas otras, pueden responderse examinando la gráfica de la función polinómica. Ya hemos explorado el comportamiento local de las cuadráticas, un caso especial de polinomios. En esta sección exploraremos el comportamiento local de los polinomios en general.

Reconocimiento de características de gráficos de funciones polinomiales

Las funciones polinomiales de grado 2 o más tienen gráficos que no tienen esquinas agudas; recuerde que estos tipos de gráficos se llaman curvas suaves. Las funciones polinomiales también muestran gráficos que no tienen interrupciones. Las curvas sin interrupciones se llaman continuas. La Figura ( PageIndex {1} ) muestra un gráfico que representa una función polinomial y un gráfico que representa una función que no es un polinomio.

Graph of f(x)=x^3-0.01x — Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de (f (x) = x ^ 3-0.01x ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Reconocimiento de funciones polinomiales

¿Cuál de los gráficos en la Figura ( PageIndex {2} ) representa una función polinómica?

$Two graphs in which one has a polynomial function and the other has a function closely resembling a polynomial but is not. Two graphs in which one has a polynomial function and the other has a function closely resembling a polynomial but is not.$
Figura ( PageIndex {2} )

Solución

Las gráficas de (f ) y (h ) son gráficas de funciones polinómicas. Son lisos y continuos .
Las gráficas de (g ) y (k ) son gráficas de funciones que no son polinomios. El gráfico de la función (g ) tiene una esquina afilada. La gráfica de la función (k ) no es continua.

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones polinómicas tienen como dominio todos los números reales?

Sí. Cualquier número real es una entrada válida para una función polinómica.

Uso de la factorización para encontrar ceros de funciones polinomiales

Recuerde que si (f ) es una función polinómica, los valores de (x ) para los cuales (f (x) = 0 ) se denominan ceros de (f ) Si se puede factorizar la ecuación de la función polinómica, podemos establecer que cada factor sea igual a cero y resolver los ceros.

Podemos usar este método para encontrar intersecciones x porque en las intersecciones x encontramos los valores de entrada cuando el valor de salida es cero. Para polinomios generales, esto puede ser una perspectiva desafiante. Si bien las cuadráticas se pueden resolver utilizando la fórmula cuadrática relativamente simple, las fórmulas correspondientes para polinomios cúbicos y de cuarto grado no son lo suficientemente simples como para recordarlas, y las fórmulas no existen para polinomios generales de grado superior. En consecuencia, nos limitaremos a tres casos en esta sección:

El polinomio se puede factorizar utilizando métodos conocidos: máximo factor común y factorización trinomial.
El polinomio se da en forma factorizada.
La tecnología se utiliza para determinar las intersecciones.

HOwTO: Dada una función polinomial (f ), encuentra las intersecciones x factorizando

Establezca (f (x) = 0 ).
Si la función polinómica no se da en forma factorizada:
1. Factoriza cualquier factor monomial común.
2. Factoriza cualquier binomio o trinomio factorizable.
Establece cada factor igual a cero y resuelve para encontrar las intersecciones con el eje x.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar las intersecciones con el eje x de una función polinómica por factorización

Encuentra las intersecciones en x de (f (x) = x ^ 6−3x ^ 4 + 2x ^ 2 ).

Solución

Podemos intentar factorizar este polinomio para encontrar soluciones para (f (x) = 0 ).

[ begin {align *} x ^ 6−3x ^ 4 + 2x ^ 2 & = 0 & & text {Factoriza el máximo factor común.} \ x ^ 2 (x ^ 4−3x ^ 2 +2) & = 0 & & text {Factorizar el trinomio.} \ x ^ 2 (x ^ 2−1) (x ^ 2−2) & = 0 & & text {Establecer cada factor igual a cero. } end {align *} ]

[ begin {align *} x ^ 2 & = 0 & & & (x ^ 2−1) & = 0 & & & (x ^ 2−2) & = 0 \ x ^ 2 & = 0 & & text {or} & x ^ 2 & = 1 & & text {or} & x ^ 2 & = 2 \ x & = 0 &&& x & = { pm} 1 &&& x & = { pm} sqrt {2} end {align *} ].

Esto nos da cinco intersecciones en x: ((0,0) ), ((1,0) ), ((- 1,0) ), (( sqrt {2} , 0) ) y ((- sqrt {2}, 0) ) (Figura ( PageIndex {3} )). Podemos ver que esta es una función par.

An even function — Figura ( PageIndex {3} ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar las intersecciones x de una función polinómica por factorización

Encuentra las intersecciones en x de (f (x) = x ^ 3−5x ^ 2 − x + 5 ).

Solución

Encuentre soluciones para (f (x) = 0 ) factorizando.

[ begin {align *} x ^ 3−5x ^ 2 − x + 5 & = 0 & text {Factor por agrupación.} \ x ^ 2 (x − 5) – (x − 5) & = 0 & text {Factoriza el factor común.} \ (x ^ 2−1) (x − 5) & = 0 & text {Factoriza la diferencia de cuadrados.} \ (x + 1) (x −1) (x − 5) & = 0 & text {Establecer cada factor igual a cero.} End {align *} ]

[ begin {align *} x + 1 & = 0 & & text {or} & x − 1 & = 0 & & text {or} & x − 5 & = 0 \ x & = – 1 &&& x & = 1 &&& x & = 5 end {align *} ]

Hay tres intersecciones en x: ((- 1,0) ), ((1,0) ) y ((5,0) ) (Figura ( PageIndex {4} )).

Graph of f(x)=x^3-5x^2-x+5 with its three intercepts (-1, 0), (1, 0), and (5, 0). — Figura ( PageIndex {4} ): Gráfico de (f (x) ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar las intersecciones en y y x de un polinomio en forma factorizada

Encuentre las intersecciones en y y x de (g (x) = (x − 2) ^ 2 (2x + 3) ).

Solución

La intersección en y se puede encontrar evaluando (g (0) ).

[ begin {align *} g (0) & = (0−2) ^ 2 (2 (0) +3) \ & = 12 end {align *} ]

Entonces la intersección en y es ((0,12) ).

Las intersecciones en x se pueden encontrar resolviendo (g (x) = 0 ).

[(x − 2) ^ 2 (2x + 3) = 0 ]

[ begin {align *} (x − 2) ^ 2 & = 0 & & & (2x + 3) & = 0 \ x − 2 & = 0 & & text {or} & x & = – dfrac {3} {2} \ x & = 2 end {align *} ]

Entonces las intersecciones en x son ((2,0) ) y ( left (- dfrac {3} {2}, 0 right) ).

Análisis

Siempre podemos verificar que nuestras respuestas sean razonables mediante el uso de una calculadora gráfica para representar gráficamente el polinomio como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Graph of g(x)=(x-2)^2(2x+3) with its two x-intercepts (2, 0) and (-3/2, 0) and its y-intercept (0, 12). — Figura ( PageIndex {5} ): Gráfico de (g (x) ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar las intersecciones con el eje x de una función polinómica usando un gráfico

Encuentra las intersecciones en x de (h (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 + x − 6 ).

Solución

Este polinomio no está en forma factorizada, no tiene factores comunes y no parece ser factorizable utilizando técnicas discutidas previamente. Afortunadamente, podemos usar la tecnología para encontrar las intersecciones. Tenga en cuenta que algunos valores dificultan la representación gráfica a mano. En estos casos, podemos aprovechar las utilidades gráficas.

Mirando el gráfico de esta función, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ), parece que hay intersecciones en x en (x = −3, −2, text {y} 1 ).

Graph of h(x)=x^3+4x^2+x-6. — Figura ( PageIndex {6} ): Gráfico de (h (x) ).

Podemos verificar si estos son correctos sustituyendo estos valores por (x ) y verificando que
[h (−3) = h (−2) = h (1) = 0. nonumber ]

Dado que (h (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 + x − 6 ), tenemos:

[ begin {align *} h (−3) & = (- 3) ^ 3 + 4 (−3) ^ 2 + (- 3) −6 = −27 + 36−3−6 = 0 \ [4pt] h (−2) & = (- 2) ^ 3 + 4 (−2) ^ 2 + (- 2) −6 = −8 + 16−2−6 = 0 \ [4pt] h (1) & = (1) ^ 3 + 4 (1) ^ 2 + (1) −6 = 1 + 4 + 1−6 = 0 end {align *} ]

Cada intersección x corresponde a un cero de la función polinómica y cada cero produce un factor, por lo que ahora podemos escribir el polinomio en forma factorizada.

[ begin {align *} h (x) & = x ^ 3 + 4x ^ 2 + x − 6 \ & = (x + 3) (x + 2) (x − 1) end { alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentre las intersecciones y-yx de la función (f (x) = x ^ 4−19x ^ 2 + 30x ).

Respuesta

intersección en y ((0,0) );
intersecciones en x ((0,0) ), ((- 5,0) ), ((2,0) ) y ((3,0) )

Identificación de ceros y sus multiplicidades

Los gráficos se comportan de manera diferente en varias intersecciones x. A veces, el gráfico cruzará sobre el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico tocará el eje horizontal y rebotará. Supongamos, por ejemplo, que graficamos la función

[f (x) = (x + 3) (x − 2) ^ 2 (x + 1) ^ 3. ]

Observe en la Figura ( PageIndex {7} ) que el comportamiento de la función en cada una de las intersecciones x es diferente.

La intersección x −3 es la solución de la ecuación ((x + 3) = 0 ). El gráfico pasa directamente a través de la intersección x en (x = −3 ). El factor es lineal (tiene un grado de 1), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una línea: pasa directamente a través de la intersección. Llamamos a esto un solo cero porque el cero corresponde a un único factor de la función.

La intersección x 2 es la solución repetida de la ecuación ((x − 2) ^ 2 = 0 ). El gráfico toca el eje en la intersección y cambia de dirección. El factor es cuadrático (grado 2), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una cuadrática: rebota en el eje horizontal en la intersección.

[(x − 2) ^ 2 = (x − 2) (x − 2) ]

El factor se repite, es decir, el factor ((x − 2) ) aparece dos veces. El número de veces que aparece un factor dado en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se llama multiplicidad . El cero asociado con este factor, (x = 2 ), tiene multiplicidad 2 porque el factor ((x − 2) ) ocurre dos veces.

La intersección x −1 es la solución repetida del factor ((x + 1) ^ 3 = 0 ). El gráfico pasa a través del eje en la intersección, pero primero se aplana un poco. Este factor es cúbico (grado 3), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de un cúbico, con la misma forma de S cerca de la intersección que la función del kit de herramientas (f (x) = x ^ 3 ). Llamamos a esto un triple cero, o un cero con multiplicidad 3.

Para ceros con multiplicidades pares, las gráficas tocan o son tangentes al eje x. Para ceros con multiplicidades impares, los gráficos cruzan o intersecan el eje x. Consulte la Figura ( PageIndex {8} ) para ver ejemplos de gráficos de funciones polinómicas con multiplicidad 1, 2 y 3.

Three graphs showing three different polynomial functions with multiplicity 1, 2, and 3. — Figura ( PageIndex {8} ): Tres gráficos que muestran tres funciones polinómicas diferentes con multiplicidad 1, 2 y 3.

Para potencias pares más altas, como 4, 6 y 8, el gráfico aún tocará y rebotará en el eje horizontal pero, por cada potencia uniforme creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerca y sale de la x- eje.

Para potencias impares superiores, como 5, 7 y 9, el gráfico seguirá cruzando el eje horizontal, pero por cada potencia impar creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y salga del eje x.

Comportamiento gráfico de polinomios en las intersecciones con el eje x

Si un polinomio contiene un factor de la forma ((x − h) ^ p ), el comportamiento cerca de la intersección x está determinado por la potencia (p ). Decimos que (x = h ) es un cero de multiplicidad (p ).

La gráfica de una función polinómica tocará el eje x en ceros con multiplicidades pares. El gráfico cruzará el eje x en ceros con multiplicidades impares.

La suma de las multiplicidades es el grado de la función polinómica.

CÓMO: Dada una gráfica de una función polinómica de grado (n ), identifica los ceros y sus multiplicidades

Si la gráfica cruza el eje xy aparece casi lineal en la intersección, es un solo cero.
Si el gráfico toca el eje x y rebota en el eje, es un cero con multiplicidad uniforme.
Si la gráfica cruza el eje x en un cero, es un cero con multiplicidad impar.
La suma de las multiplicidades es (n ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Identificación de ceros y sus multiplicidades

Use la gráfica de la función de grado 6 en la Figura ( PageIndex {9} ) para identificar los ceros de la función y sus posibles multiplicidades.

Graph of an even-degree polynomial with degree 6. — Figura ( PageIndex {9} ): Gráfico de una función polinómica con grado 5.

Solución

La función polinómica es de grado (n ). La suma de las multiplicidades debe ser (n ).

Comenzando desde la izquierda, el primer cero ocurre en (x = −3 ). El gráfico toca el eje x, por lo que la multiplicidad del cero debe ser par. El cero de −3 tiene multiplicidad 2.

El siguiente cero ocurre en (x = −1 ). El gráfico parece casi lineal en este punto. Este es un solo cero de multiplicidad 1.

El último cero ocurre en (x = 4 ). El gráfico cruza el eje x, por lo que la multiplicidad del cero debe ser impar. Sabemos que la multiplicidad es probable 3 y que la suma de las multiplicidades es probable 6.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Use la gráfica de la función de grado 5 en la Figura ( PageIndex {10} ) para identificar los ceros de la función y sus multiplicidades.

$Graph of a polynomial function with degree 5.$

Figura ( PageIndex {10} ): Gráfico de una función polinomial con grado 5.

Respuesta: El gráfico tiene un cero de –5 con multiplicidad 1, un cero de –1 con multiplicidad 2 y un cero de 3 con multiplicidad par.

Determinación del comportamiento final

Como ya hemos aprendido, el comportamiento de un gráfico de una función polinómica de la forma

[f (x) = a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} + … + a_1x + a_0 ]

aumentará o disminuirá a medida que (x ) aumente sin límite y aumentará o disminuirá a medida que (x ) disminuya sin límite. Esto se debe a que para entradas muy grandes, digamos 100 o 1,000, el término principal domina el tamaño de la salida. Lo mismo es cierto para entradas muy pequeñas, digamos –100 o –1,000.

Recordemos que llamamos a este comportamiento el comportamiento final de una función. Como señalamos cuando discutimos ecuaciones cuadráticas, cuando el término principal de una función polinómica, (a_nx ^ n ), es una función de potencia par, ya que (x ) aumenta o disminuye sin límite, (f (x) ) aumenta sin límite. Cuando el término principal es una función de potencia impar, como (x ) disminuye sin límite, (f (x) ) también disminuye sin límite; como (x ) aumenta sin límite, (f (x) ) también aumenta sin límite. Si el término principal es negativo, cambiará la dirección del comportamiento final. La Figura ( PageIndex {11} ) resume los cuatro casos.

Table showing the end behavior of odd and even polynomials with positive and negative coefficients — Figura ( PageIndex {11} ).

Comprensión de la relación entre el grado y los puntos de inflexión

Además del comportamiento final, recuerde que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico cambia de aumento a disminución (de aumento a caída) o de disminución a aumento (de caída a aumento). Mire la gráfica de la función polinómica (f (x) = x ^ 4 − x ^ 3−4x ^ 2 + 4x ) en la Figura ( PageIndex {12} ). El gráfico tiene tres puntos de inflexión.

Graph of f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x which denotes where the function increases and decreases and its turning points. — Figura ( PageIndex {12} ): Gráfico de (f (x) = x ^ 4-x ^ 3-4x ^ 2 + 4x )

Esta función (f ) es una función polinómica de 4º grado y tiene 3 puntos de inflexión. El número máximo de puntos de inflexión de una función polinómica es siempre uno menos que el grado de la función.

Definición: Interpretar puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto del gráfico en el que el gráfico cambia de aumento a disminución (de aumento a disminución) o de disminución a aumento (de caída a aumento). Un polinomio de grado (n ) tendrá como máximo (n − 1 ) puntos de inflexión.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar el número máximo de puntos de giro utilizando el grado de una función polinómica

Encuentre el número máximo de puntos de inflexión de cada función polinómica.

(f (x) = – x ^ 3 + 4x ^ 5−3x ^ 2 + 1 )
(f (x) = – (x − 1) ^ 2 (1 + 2x ^ 2) )

Solución

a. (f (x) = – x ^ 3 + 4x ^ 5−3x ^ 2 + 1 )

Primero, reescribe la función polinómica en orden descendente: (f (x) = 4x ^ 5 − x ^ 3−3x ^ 2 + 1 )

Identifica el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 5.

El número máximo de puntos de inflexión es (5−1 = 4 ).

b. (f (x) = – (x − 1) ^ 2 (1 + 2x ^ 2) )

Primero, identifique el término principal de la función polinómica si la función se expandió.

$imageedit_33_3540887475.png$

Luego, identifica el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 4.

El número máximo de puntos de inflexión es (4−1 = 3 ).

Representación gráfica de funciones polinomiales

Podemos utilizar lo que hemos aprendido sobre multiplicidades, comportamiento final y puntos de inflexión para dibujar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto junto y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas.

Cómo: dada una función polinómica, dibuja el gráfico

Encuentra las intersecciones.
Verifique la simetría. Si la función es una función par, su gráfica es simétrica respecto al eje y, es decir, (f (−x) = f (x) ). Si una función es una función impar, su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, (f (−x) = – f (x) ).
Usa las multiplicidades de los ceros para determinar el comportamiento del polinomio en las intersecciones con el eje x.
Determine el comportamiento final examinando el término principal.
Usa el comportamiento final y el comportamiento en las intersecciones para dibujar un gráfico.
Asegúrese de que el número de puntos de giro no exceda uno menos que el grado del polinomio.
Opcionalmente, use tecnología para verificar el gráfico.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Dibujar el gráfico de una función polinómica

Dibuja una gráfica de (f (x) = – 2 (x + 3) ^ 2 (x − 5) ).

Solución

Este gráfico tiene dos intersecciones en x. En (x = −3 ), el factor es cuadrado, lo que indica una multiplicidad de 2. La gráfica rebotará en esta intersección x. En (x = 5 ), la función tiene una multiplicidad de uno, lo que indica que el gráfico cruzará el eje en esta intersección.

La intersección en y se encuentra al evaluar (f (0) ).

[ begin {align *} f (0) & = – 2 (0 + 3) ^ 2 (0−5) \ & = – 2⋅9⋅ (−5) \ & = 90 end {align *} ]

La intersección en y es ((0,90) ).

Además, podemos ver que el término principal, si este polinomio se multiplicara, sería (- 2×3 ), por lo que el comportamiento final es el de un cúbico reflejado verticalmente, con las salidas disminuyendo a medida que las entradas se aproximan al infinito, y las salidas aumentan a medida que las entradas se acercan al infinito negativo. Ver Figura ( PageIndex {13} ).

Showing the distribution for the leading term. — Figura ( PageIndex {13} ): Muestra la distribución del término principal.

Para esbozar esto, consideramos que:

Como (x { rightarrow} – { infty} ) la función (f (x) { rightarrow} { infty} ), entonces sabemos que el gráfico comienza en el segundo cuadrante y está disminuyendo hacia el eje x.
Dado que (f (−x) = – 2 (−x + 3) ^ 2 (−x – 5) ) no es igual a (f (x) ), el gráfico no muestra simetría.
En ((- 3,0) ), el gráfico rebota en el eje x, por lo que la función debe comenzar a aumentar.
En ((0,90) ), el gráfico cruza el eje y en la intersección en y. Ver Figura ( PageIndex {14} ).

Graph of the end behavior and intercepts, (-3, 0) and (0, 90), for the function f(x)=-2(x+3)^2(x-5). — Figura ( PageIndex {14} ): Gráfico del comportamiento final y las intersecciones, ((- 3, 0) ) y ((0, 90) ), para la función (f (x) = – 2 (x + 3) ^ 2 (x-5) ).

En algún lugar después de este punto, el gráfico debe volverse hacia abajo o comenzar a disminuir hacia el eje horizontal porque el gráfico pasa por la siguiente intersección en ((5,0) ). Ver Figura ( PageIndex {15} ).

Graph of the end behavior and intercepts, (-3, 0), (0, 90) and (5, 0), for the function f(x)=-2(x+3)^2(x-5). — Figura ( PageIndex {15} ): Gráfico del comportamiento final y las intersecciones, ((- 3, 0) ), ((0, 90) ) y ((5, 0) ), para la función (f (x) = – 2 (x + 3) ^ 2 (x-5) ).

Como (x { rightarrow} { infty} ) la función (f (x) { rightarrow} – { infty} ),

para que sepamos que el gráfico continúa disminuyendo, y podemos dejar de dibujar el gráfico en el cuarto cuadrante.

Usando tecnología, podemos crear el gráfico para la función polinómica, que se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ), y verificar que el gráfico resultante se parece a nuestro boceto en la Figura ( PageIndex {15} ) .

$The complete graph of the polynomial function f(x)=−2(x+3)^2(x−5)$
Figura ( PageIndex {16} ): La gráfica completa de la función polinómica (f (x) = – 2 (x + 3) ^ 2 (x − 5) ) .

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Dibuja una gráfica de (f (x) = dfrac {1} {4} x (x − 1) ^ 4 (x + 3) ^ 3 ).

Respuesta: Figura ( PageIndex {17} ): Gráfico de (f (x) = frac {1} {4} x (x − 1) ^ 4 (x + 3) ^ 3 )

En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos en un gráfico pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje x, podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Considere una función polinómica (f ) cuya gráfica es suave y continua. El teorema del valor intermedio establece que para dos números (a ) y (b ) en el dominio de (f ), if (a

En otras palabras, el Teorema del valor intermedio nos dice que cuando una función polinómica cambia de un valor negativo a un valor positivo, la función debe cruzar el eje x. La figura ( PageIndex {18} ) muestra que hay un cero entre (a ) y (b ).

$Graph of an odd-degree polynomial function that shows a point f(a) that’s negative, f(b) that’s positive, and f(c) that’s 0.$
Figura ( PageIndex {18} ): Uso del teorema del valor intermedio para mostrar que existe un cero.

Definición: Teorema del valor intermedio

Sea (f ) una función polinómica. El Teorema del valor intermedio establece que si (f (a) ) y (f (b) ) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor (c ) entre (a ) y (b ) para las cuales (f (c) = 0 ).

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Uso del teorema del valor intermedio

Muestre que la función (f (x) = x ^ 3−5x ^ 2 + 3x + 6 ) tiene al menos dos ceros reales entre (x = 1 ) y (x = 4 ).

Solución

Como inicio, evalúe (f (x) ) en los valores enteros (x = 1, ; 2, ; 3, ; text {y} 4 ) (Tabla ( PageIndex {2} )).


Tabla ( PageIndex {2} )
(x ) 1 2 3 4
(f (x) ) 5 0 -3 2

Vemos que un cero ocurre en (x = 2 ). Además, dado que (f (3) ) es negativo y (f (4) ) es positivo, según el Teorema del valor intermedio, debe haber al menos un cero real entre 3 y 4.

Hemos demostrado que hay al menos dos ceros reales entre (x = 1 ) y (x = 4 ).

Análisis

También podemos ver en la gráfica de la función en la Figura ( PageIndex {19} ) que hay dos ceros reales entre (x = 1 ) y (x = 4 ).

$Graph of f(x)=x^3-5x^2+3x+6 and shows, by the Intermediate Value Theorem, that there exists two zeros since f(1)=5 and f(4)=2 are positive and f(3) = -3 is negative.$
Figura ( PageIndex {19} ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Demuestre que la función (f (x) = 7x ^ 5−9x ^ 4 − x ^ 2 ) tiene al menos un cero real entre (x = 1 ) y (x = 2 ).


Respuesta


Debido a que (f ) es una función polinómica y dado que (f (1) ) es negativo y (f (2) ) es positivo, hay al menos un cero real entre (x = 1 ) y (x = 2 ).

Tabla ( PageIndex {2} )
(x )	1	2	3	4
(f (x) )	5	0	-3	2

Escribir fórmulas para funciones polinomiales

Ahora que sabemos cómo encontrar ceros de funciones polinómicas, podemos usarlos para escribir fórmulas basadas en gráficos. Debido a que una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección x donde cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pasará a través de un conjunto de intersecciones x introduciendo un conjunto correspondiente de factores .

Nota: Forma factorizada de polinomios

Si un polinomio de grado más bajo (p ) tiene intersecciones horizontales en (x = x_1, x_2,…, x_n ), entonces el polinomio se puede escribir en la forma factorizada: (f (x) = a (x − x_1) ^ {p_1} (x − x_2) ^ {p_2} ⋯ (x − x_n) ^ {p_n} ) donde las potencias (p_i ) en cada factor pueden determinarse por el comportamiento del graficar en la intersección correspondiente, y el factor de estiramiento (a ) puede determinarse dado un valor de la función que no sea la intersección x.

Dada una gráfica de una función polinómica, escribe una fórmula para la función.


Identifica las intersecciones en x del gráfico para encontrar los factores del polinomio.

Examina el comportamiento de la gráfica en las intersecciones con el eje x para determinar la multiplicidad de cada factor.

Encuentra el polinomio de menor grado que contiene todos los factores encontrados en el paso anterior.

Use cualquier otro punto en el gráfico (la intersección en y puede ser más fácil) para determinar el factor de estiramiento.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Escribir una fórmula para una función polinómica a partir del gráfico

Escriba una fórmula para la función polinómica que se muestra en la Figura ( PageIndex {20} ).

$Graph of a positive even-degree polynomial with zeros at x=-3, 2, 5 and y=-2.$
Figura ( PageIndex {20} ).

Solución

Este gráfico tiene tres intersecciones en x: (x = −3, ; 2, text {y} 5 ). La intersección en y se encuentra en ((0,2) ). En (x = −3 ) y (x = 5 ), el gráfico pasa a través del eje linealmente, lo que sugiere los factores correspondientes del polinomio Será lineal. En (x = 2 ), el gráfico rebota en la intersección, lo que sugiere que el factor correspondiente del polinomio será de segundo grado (cuadrático). Juntos, esto nos da

[f (x) = a (x + 3) (x − 2) ^ 2 (x − 5) ]

Para determinar el factor de estiramiento, utilizamos otro punto en el gráfico. Usaremos la intersección en y ((0, –2) ), para resolver (a ).

[ begin {align *} f (0) & = a (0 + 3) (0−2) ^ 2 (0−5) \ −2 & = a (0 + 3) (0−2 ) ^ 2 (0−5) \ −2 & = – 60a \ a & = dfrac {1} {30} end {align *} ]

El polinomio graficado parece representar la función (f (x) = dfrac {1} {30} (x + 3) (x − 2) ^ 2 (x − 5) ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Dado el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {21} ), escriba una fórmula para la función que se muestra.

$Graph of a negative even-degree polynomial with zeros at x=-1, 2, 4 and y=-4.$
Figura ( PageIndex {21} ).


Respuesta


(f (x) = – frac {1} {8} (x − 2) 3 (x + 1) 2 (x − 4) )


Uso de Extrema local y global

Con las cuadráticas, pudimos encontrar algebraicamente el valor máximo o mínimo de la función al encontrar el vértice. Para polinomios generales, no es posible encontrar estos puntos de inflexión sin técnicas más avanzadas de cálculo. Incluso entonces, encontrar dónde ocurren los extremos puede ser un desafío algebraico. Por ahora, calcularemos las ubicaciones de los puntos de inflexión utilizando la tecnología para generar un gráfico.

Cada punto de inflexión representa un mínimo o máximo local. A veces, un punto de inflexión es el punto más alto o más bajo en todo el gráfico. En estos casos, decimos que el punto de inflexión es un máximo global o un mínimo global . Estos también se conocen como los valores máximos y mínimos absolutos absolutos de la función.

Nota: Extrema local y global

Un máximo local o mínimo local en (x = a ) (a veces llamado el máximo o mínimo relativo, respectivamente) es la salida en el punto más alto o más bajo en el gráfico en un intervalo abierto alrededor de (x = a ). Si una función tiene un máximo local en (a ), entonces (f (a) { geq} f (x) ) para todos ( x ) en un intervalo abierto alrededor de (x = a ). Si una función tiene un mínimo local en (a ), entonces (f (a) { leq} f (x) ) para todos (x ) en un intervalo abierto alrededor de (x = a ) .

Un máximo global o mínimo global es la salida en el punto más alto o más bajo de la función. Si una función tiene un máximo global en (a ), entonces (f (a) { geq} f (x) ) para todos (x ). Si una función tiene un mínimo global en (a ), entonces (f (a) { leq} f (x) ) para todos (x ).

Podemos ver la diferencia entre extremos locales y globales en la Figura ( PageIndex {22} ).

$Graph of an even-degree polynomial that denotes the local maximum and minimum and the global maximum.$
Figure (PageIndex{22}): Graph of an even-degree polynomial that denotes the local maximum and minimum and the global maximum.

Do all polynomial functions have a global minimum or maximum?

No. Only polynomial functions of even degree have a global minimum or maximum. For example, (f(x)=x) has neither a global maximum nor a global minimum.

Example (PageIndex{11}): Using Local Extrema to Solve Applications

An open-top box is to be constructed by cutting out squares from each corner of a 14 cm by 20 cm sheet of plastic then folding up the sides. Find the size of squares that should be cut out to maximize the volume enclosed by the box.

Solución

We will start this problem by drawing a picture like that in Figure (PageIndex{23}), labeling the width of the cut-out squares with a variable, (w).

$Diagram of a rectangle with four squares at the corners.$
Figure (PageIndex{23}): Diagram of a rectangle with four squares at the corners.

Notice that after a square is cut out from each end, it leaves (a(14−2w)) cm by ((20−2w)) cm rectangle for the base of the box, and the box will be (w) cm tall. This gives the volume

[begin{align*} V(w)&=(20−2w)(14−2w)w \ &=280w−68w^2+4w^3 end{align*}]

Notice, since the factors are (w), (20–2w) and (14–2w), the three zeros are 10, 7, and 0, respectively. Because a height of 0 cm is not reasonable, we consider the only the zeros 10 and 7. The shortest side is 14 and we are cutting off two squares, so values (w) may take on are greater than zero or less than 7. This means we will restrict the domain of this function to (0
$Graph of V(w)=(20-2w)(14-2w)w where the x-axis is labeled w and the y-axis is labeled V(w).$
Figure (PageIndex{24}): Graph of (V(w)=(20-2w)(14-2w)w)

From this graph, we turn our focus to only the portion on the reasonable domain, ([0, 7]). We can estimate the maximum value to be around 340 cubic cm, which occurs when the squares are about 2.75 cm on each side. To improve this estimate, we could use advanced features of our technology, if available, or simply change our window to zoom in on our graph to produce Figure (PageIndex{25}).

$Graph of V(w)=(20-2w)(14-2w)w where the x-axis is labeled w and the y-axis is labeled V(w) on the domain [2.4, 3].$
Figure (PageIndex{25}): Graph of (V(w)=(20-2w)(14-2w)w).

From this zoomed-in view, we can refine our estimate for the maximum volume to about 339 cubic cm, when the squares measure approximately 2.7 cm on each side.

Exercise (PageIndex{1})

Use technology to find the maximum and minimum values on the interval ([−1,4]) of the function (f(x)=−0.2(x−2)^3(x+1)^2(x−4)).


Answer


The minimum occurs at approximately the point ((0,−6.5)),
and the maximum occurs at approximately the point ((3.5,7)).


Key Concepts


Polynomial functions of degree 2 or more are smooth, continuous functions.

To find the zeros of a polynomial function, if it can be factored, factor the function and set each factor equal to zero.

Another way to find the x-intercepts of a polynomial function is to graph the function and identify the points at which the graph crosses the x-axis.

The multiplicity of a zero determines how the graph behaves at the x-intercepts.

The graph of a polynomial will cross the horizontal axis at a zero with odd multiplicity.

The graph of a polynomial will touch the horizontal axis at a zero with even multiplicity.

The end behavior of a polynomial function depends on the leading term.

The graph of a polynomial function changes direction at its turning points.

A polynomial function of degree (n) has at most (n−1) turning points.

To graph polynomial functions, find the zeros and their multiplicities, determine the end behavior, and ensure that the final graph has at most (n−1) turning points.

Graphing a polynomial function helps to estimate local and global extremas.

The Intermediate Value Theorem tells us that if (f(a)) and (f(b)) have opposite signs, then there exists at least one value (c) between (a) and (b) for which (f(c)=0).

Glossary

global maximum
highest turning point on a graph; (f(a)) where (f(a){geq}f(x)) for all (x).

global minimum
lowest turning point on a graph; (f(a)) where (f(a){leq}f(x)) for all (x).

Intermediate Value Theorem
for two numbers (a) and (b) in the domain of (f), if (a
multiplicity
the number of times a given factor appears in the factored form of the equation of a polynomial; if a polynomial contains a factor of the form ((x−h)^p), (x=h) is a zero of multiplicity (p).