5.4: La fórmula cuadrática

5.4: La fórmula cuadrática

                 

Considere la función cuadrática general [f (x) = a x ^ {2} + b x + c ]

 

En la sección anterior, aprendimos que podemos encontrar los ceros de esta función resolviendo la ecuación [f (x) = 0 ]

 

Si sustituimos (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), entonces la ecuación resultante [a x ^ {2} + b x + c = 0 ]

 

se llama ecuación cuadrática. En la sección anterior, resolvimos ecuaciones de este tipo factorizando y usando la propiedad de producto cero.

 

Sin embargo, no siempre es posible factorizar el trinomio en el lado izquierdo de la ecuación cuadrática (1) como producto de factores con coeficientes enteros. Por ejemplo, considere la ecuación cuadrática [2 x ^ {2} +7 x-3 = 0 ]

 

Comparando (2x ^ 2 + 7x – 3 ) con (ax ^ 2 + bx + c ), enumeremos todos los pares enteros cuyo producto es ac = (2) (- 3) = −6.

 

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Ninguno de estos pares de enteros se suma a b = 7. Por lo tanto, el trinomio cuadrático (2x ^ 2 + 7x – 3 ) no factoriza sobre los enteros. En consecuencia, necesitaremos otro método para resolver la ecuación cuadrática (2).

 

El propósito de esta sección es desarrollar una fórmula que proporcione constantemente soluciones de la ecuación cuadrática general (1). Sin embargo, antes de que podamos desarrollar la «Fórmula Cuadrática», necesitamos establecer algunas bases que involucren las raíces cuadradas de los números.

 

Raíces cuadradas

 

Comenzamos nuestra discusión de raíces cuadradas investigando las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = a ). Considere la ecuación bastante simple

 

[x ^ {2} = 25 ]

 

Debido a que ((- 5) ^ 2 = 25 ) y ((5) ^ 2 = 25 ), la ecuación (3) tiene dos soluciones, x = −5 o x = 5. Generalmente denotamos estas soluciones simultáneamente, utilizando un signo «más o menos»:

 

[x = pm 5 ]

 

Estas soluciones se llaman raíces cuadradas de 25. Debido a que hay dos soluciones, necesitamos una notación diferente para cada una. Denotaremos la raíz cuadrada positiva de 25 con la notación ( sqrt {25} ) y la raíz cuadrada negativa de 25 con la notación (- sqrt {25} ). Por lo tanto,

 

[ sqrt {25} = 5 qquad text {y} qquad- sqrt {25} = – 5 ]

 

En una línea similar, la ecuación (x ^ {2} = 36 ) tiene dos soluciones, (x = pm sqrt {36} ), o alternativamente, (x = pm 6 ) La notación ( sqrt {36} ) requiere la raíz cuadrada positiva, mientras que la notación (- sqrt {36} ) requiere la raíz cuadrada negativa. Es decir, [ sqrt {36} = 6 qquad text {y} qquad- sqrt {36} = – 6 ]

 

No es necesario que el lado derecho de la ecuación (x ^ 2 = a ) sea un «cuadrado perfecto». Por ejemplo, la ecuación

 

[x ^ {2} = 7 quad text {tiene soluciones} quad x = pm sqrt {7} ]

 

No hay una raíz cuadrada racional de 7. Es decir, no hay forma de expresar la raíz cuadrada de 7 en la forma p / q, donde p y q son enteros. Por lo tanto, ( sqrt {7} ) es un ejemplo de un número irracional. Sin embargo, ( sqrt {7} ) es un número real perfectamente válido y nos sentimos perfectamente cómodos dejando nuestra respuesta en la forma que se muestra en la ecuación (4).

 

Sin embargo, si se necesita una aproximación para la raíz cuadrada de 7, podemos razonar que debido a que 7 está entre 4 y 9, la raíz cuadrada de 7 estará entre 2 y 3. Como 7 está más cerca de 9 que 4, una aproximación razonable podría ser

 

[ sqrt {7} aprox 2.6 ]

 

Una calculadora puede proporcionar una aproximación aún mejor. Por ejemplo, nuestros informes TI83

 

[ sqrt {7} aprox 2.645751311 ]

 

Hay dos casos degenerados que involucran la ecuación (x ^ 2 = a ) que requieren nuestra atención.

 
         
  1. La ecuación (x ^ {2} = 0 ) tiene una sola solución, a saber, x = 0. Por lo tanto, ( sqrt {0} = 0 ).
  2.      
  3. La ecuación (x ^ {2} = – 4 ) no tiene soluciones reales.4 No es posible cuadrar un número real y obtener −4. En esta situación, simplemente afirmaremos que «la ecuación (x ^ {2} = – 4 ) no tiene soluciones reales (no hay soluciones que sean números reales)».
  4.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentre todas las soluciones reales de las ecuaciones (x ^ 2 = 30, x ^ 2 = 0 y x ^ 2 = −14 ).

 

Solución

 

Las soluciones siguen.

 
         
  • La ecuación (x ^ 2 = 30 ) tiene dos soluciones reales, a saber, (x = pm sqrt {30} ).
  •      
  • La ecuación (x ^ 2 = 0 ) tiene una solución real, a saber, x = 0.
  •      
  • La ecuación (x ^ 2 = -14 ) no tiene soluciones reales.
  •  
 
 

Probemos con ejemplos adicionales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación ((x + 2) ^ 2 = 43 ).

 

Solución

 

Hay dos posibilidades para x + 2, a saber, [x + 2 = pm sqrt {43} ]

 

Para resolver por x, resta 2 de ambos lados de esta última ecuación. [x = -2 pm sqrt {43} ]

 

Aunque esta última respuesta suele ser la forma preferible de la respuesta, hay algunas ocasiones en que se necesita una aproximación. Entonces, nuestra TI83 ofrece las siguientes aproximaciones.

 

[- 2- sqrt {43} aprox-8.557438524 qquad text {y} qquad-2 + sqrt {43} aprox 4.557438524 ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación ((x – 4) ^ 2 = −15 ).

 

Solución

 

Si x es un número real, entonces también lo es x – 4. No es posible cuadrar el número real x – 4 y obtener −15. Por lo tanto, este problema no tiene soluciones reales.

 
 

Desarrollo de la fórmula cuadrática

 

Ahora tenemos todo el trabajo preliminar establecido para buscar una solución de la ecuación cuadrática general

 

[a x ^ {2} + b x + c = 0 ]

 

Vamos a utilizar una forma de «completar el cuadrado» para resolver esta ecuación para x. Comencemos restando c de ambos lados de la ecuación.

 

[a x ^ {2} + b x = -c ]

 

Luego, divide ambos lados de la ecuación entre a. [x ^ {2} + frac {b} {a} x = – frac {c} {a} ]

 

Tome la mitad del coeficiente de x, como en (1/2) (b / a) = b / (2a). Cuadra este resultado para obtener (b ^ {2} / left (4 a ^ {2} right) ). Agregue esta cantidad a ambos lados de la ecuación.

 

[x ^ {2} + frac {b} {a} x + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} = – frac {c} {a} + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} ]

 

A la izquierda factorizamos el trinomio cuadrado perfecto. A la derecha obtenemos un denominador común y sumamos las fracciones equivalentes resultantes.

 

[ begin {array} {l} { left (x + frac {b} {2 a} right) ^ {2} = – frac {4 ac} {4 a ^ {2}} + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}}} \ { left (x + frac {b} {2 a} right) ^ {2} = frac {b ^ {2 } -4 ac} {4 a ^ {2}}} end {array} ]

 

Siempre que el lado derecho de esta última ecuación sea positivo, tenemos dos soluciones reales.

 

[x + frac {b} {2 a} = pm sqrt { frac {b ^ {2} -4 a c} {4 a ^ {2}}} ]

 

A la derecha, tomamos la raíz cuadrada de la parte superior e inferior de la fracción.

 

[x + frac {b} {2 a} = pm frac { sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

Para completar la solución, solo necesitamos restar b / (2a) de ambos lados de la ecuación.

 

[x = – frac {b} {2 a} pm frac { sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

Aunque esta última respuesta es una solución perfectamente buena, habitualmente reescribimos la solución con un único denominador común.

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

Este último resultado da la solución a la ecuación cuadrática general (8). La solución (9) se llama fórmula cuadrática.

 
 

La fórmula cuadrática

 

Las soluciones a la ecuación cuadrática [ax ^ {2} + b x + c = 0 ] están dadas por la fórmula cuadrática [x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} ]

 
 

Aunque el desarrollo de la fórmula cuadrática puede ser intimidante, en la práctica su aplicación es bastante simple. Veamos algunos ejemplos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación [x ^ {2} = 27-6 x ]

 

Solución

 

El primer paso es colocar la ecuación en la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) moviendo cada término a un lado de la ecuación, 7 ordenando los términos en potencias descendentes de x.

 

[x ^ {2} +6 x-27 = 0 ]

 

Luego, compara (x ^ 2 + 6x – 27 = 0 ) con la forma general de la ecuación cuadrática (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observa que a = 1, b = 6 y c = −27. Copia la fórmula cuadrática.

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

Sustituye a = 1, b = 6 y c = −27 y simplifica.

 

[ begin {alineado} x & = frac {- (6) pm sqrt {(6) ^ {2} -4 (1) (- 27)}} {2 (1)} x & = frac {-6 pm sqrt {36 + 108}} {2} \ x & = frac {-6 pm sqrt {144}} {2} end {alineado} ]

 

En este caso, 144 es un cuadrado perfecto. Es decir, ( sqrt {144} = 12 ), por lo que podemos continuar simplificando [x = frac {-6 pm 12} {2} ]

 

Es importante tener en cuenta que hay dos respuestas reales, a saber

 

[x = frac {-6-12} {2} quad text {o} qquad x = frac {-6 + 12} {2} ]

 

Simplificando, [x = -9 qquad text {o} qquad x = 3 ]

 

Es interesante observar que este problema podría haberse resuelto mediante la factorización. De hecho,

 

[ begin {alineado} x ^ {2} +6 x-27 & = 0 \ (x-3) (x + 9) & = 0 end {alineado} ]

 

por lo que la propiedad del producto cero requiere que x – 3 = 0 o x + 9 = 0, lo que conduce a x = 3 o x = −9, respuestas idénticas a las encontradas por la fórmula cuadrática.

 
 

Pronto tendremos más que decir sobre el «discriminante», pero no es coincidencia que el factor cuadrático (x ^ 2 + 6x – 27 ) tenga en cuenta. Aquí está el hecho relevante.

 
 

Cuando el discriminante es un cuadrado perfecto

 

En la fórmula cuadrática, [x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} ] el número debajo del radical, (b ^ 2 – 4ac ), se llama discriminante. Cuando el discriminante es un cuadrado perfecto, la función cuadrática siempre tendrá en cuenta.

 
 

Sin embargo, no siempre es el caso que podamos factorizar la cuadrática dada. Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Dada la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 – 2x ), encuentre todas las soluciones reales de f (x) = 2.

 

Solución

 

Debido a que (f (x) = x ^ 2 – 2x ), la ecuación f (x) = 2 se convierte en

 

[x ^ {2} -2 x = 2 ]

 

Establezca un lado de la ecuación igual a cero restando 2 de ambos lados de la ecuación.

 

[x ^ {2} -2 x-2 = 0 ]

 

Compare (x ^ 2 – 2x – 2 = 0 ) con la ecuación cuadrática general (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que a = 1, b = −2 y c = – 2) Escribe la fórmula cuadrática.

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

Luego, sustituye a = 1, b = −2 y c = −2. Tenga en cuenta el uso cuidadoso de paréntesis.

 

[x = frac {- (- 2) pm sqrt {(- 2) ^ {2} -4 (1) (- 2)}} {2 (1)} ]

 

Simplificar. [ begin {array} {l} {x = frac {2 pm sqrt {4 + 8}} {2}} \ {x = frac {2 pm sqrt {12}} {2 }} end {array} ]

 

En este caso, 12 no es un cuadrado perfecto, por lo que hemos simplificado lo máximo posible en este momento.10 Sin embargo, podemos aproximar estas soluciones con la ayuda de una calculadora.

 

[x = frac {2- sqrt {12}} {2} aprox-0.7320508076 qquad x = frac {2+ sqrt {12}} {2} aprox 2.732050808 ] [19459002 ]  

Encontraremos estas aproximaciones útiles en lo que sigue.

 
 

Las ecuaciones en los ejemplos ( PageIndex {4} ) y ( PageIndex {5} ) representan un cambio fundamental en nuestra técnica habitual para resolver ecuaciones. En el pasado, hemos tratado de «aislar» los términos que contienen x (o cualquier cosa desconocida que estemos resolviendo) en un lado de la ecuación, y todos los demás términos en el otro lado de la ecuación. Ahora, en los Ejemplos ( PageIndex {4} ) y ( PageIndex {5} ), nos encontramos moviendo todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado de la ecuación sea igual a cero. Esto lleva alguna explicación.

 
 

Lineal o no lineal

 

Supongamos que lo desconocido que estamos resolviendo es x.

 
         
  • Si la potencia más alta de x presente en la ecuación es x a la primera potencia, entonces la ecuación es lineal. Así, por ejemplo, cada una de las ecuaciones [2 x + 3 = 7, quad 3-4 x = 5 x + 9, quad text {y} qquad a x + b = c x + d ] es lineal
  •      
  • Si hay potencias de x mayores que x para la primera potencia de la ecuación, entonces la ecuación es no lineal. Así, por ejemplo, cada una de las ecuaciones [x ^ {2} -4 x = 9, qquad x ^ {3} = 2 x + 3, quad text {y} quad ax ^ {2} + bx = c x + d ] es no lineal.
  •  
 
 

La estrategia para resolver una ecuación cambiará, dependiendo de si la ecuación es lineal o no lineal.

 
 

Estrategia de solución: lineal versus no lineal

 

Al resolver ecuaciones, primero debe preguntar si la ecuación es lineal o no lineal. Nuevamente, supongamos que lo desconocido que queremos resolver es x.

 
         
  • Si la ecuación es lineal, mueva todos los términos que contengan x a un lado de la ecuación, todos los términos restantes al otro lado de la ecuación.
  •      
  • Si la ecuación no es lineal, mueva todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo que el otro lado de la ecuación sea cero.
  •  
 
 

Por lo tanto, dado que ax + b = cx + d es lineal en x, el primer paso para resolver la ecuación sería mover todos los términos que contienen x a un lado de la ecuación, todos los demás términos al otro lado de la ecuación , como en

 

[a x-c x = d-b ]

 

Por otro lado, la ecuación (ax ^ 2 + bx = cx + d ) no es lineal en x, por lo que el primer paso sería mover todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo el otro lado de la ecuación igual a cero, como en [ax ^ {2} + b xc xd = 0 ]

 

En el ejemplo ( PageIndex {5} ), la ecuación (x ^ 2−2x = 2 ) no es lineal en x, por lo que movimos todo al lado izquierdo de la ecuación, haciendo la derecha lado de la ecuación igual a cero, como en (x ^ 2 −2x − 2 = 0 ). Sin embargo, no importa de qué lado sea igual a cero. Supongamos, en cambio, que mueve cada término al lado derecho de la ecuación, como en [0 = -x ^ {2} +2 x + 2 ]

 

Al comparar (0 = −x ^ 2 + 2x + 2 ) con la ecuación cuadrática general (0 = ax ^ 2 + bx + c ), tenga en cuenta que a = −1, b = 2 y c = 2. Escribe la fórmula cuadrática.

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

Luego, sustituya a = −1, b = 2 yc = 2. Nuevamente, observe el uso cuidadoso de paréntesis.

 

[x = frac {- (2) pm sqrt {(2) ^ {2} -4 (-1) (2)}} {2 (-1)} ]

 

Esto lleva a dos soluciones, [x = frac {-2 pm sqrt {4 + 8}} {- 2} = frac {-2 pm sqrt {12}} {- 2} ]

 

En el ejemplo ( PageIndex {5} ), encontramos las siguientes soluciones y sus aproximaciones.

 

[x = frac {2- sqrt {12}} {2} aprox-0.7320508076 qquad x = frac {2+ sqrt {12}} {2} aprox 2.732050808 ] [19459002 ]  

Es una buena pregunta preguntar si nuestras soluciones (x = (- 2 pm sqrt {12}) / (- 2) ) son las mismas. Una forma de averiguarlo es encontrar aproximaciones decimales de cada uno en nuestra calculadora.

 

[x = frac {-2- sqrt {12}} {- 2} aprox 2.732050808 qquad x = frac {-2+ sqrt {12}} {- 2} aprox-0.7320508076 ]

 

El hecho de que obtengamos las mismas aproximaciones decimales debería generar confianza en que tenemos las mismas soluciones. Sin embargo, también podemos manipular las formas exactas de nuestras soluciones para mostrar que coinciden con las formas anteriores encontradas en el Ejemplo ( PageIndex {5} ).

 

Toma las dos soluciones y multiplica tanto el numerador como el denominador por menos uno.

 

[ frac {-2- sqrt {12}} {- 2} = frac {2+ sqrt {12}} {2} qquad text {y} quad frac {-2 + sqrt {12}} {- 2} = frac {2- sqrt {12}} {2} ]

 

Esto muestra que nuestras soluciones son idénticas a las encontradas en el Ejemplo ( PageIndex {5} ).

 

Podemos hacer la misma negación de numerador y denominador en forma compacta.

 

[ frac {-2 pm sqrt {12}} {- 2} = frac {2 mp sqrt {12}} {2} ]

 

Tenga en cuenta que esto lleva a las mismas dos respuestas, ((2- sqrt {12}) / 2 ) y ((2+ sqrt {12}) / 2 ).

 

De los dos métodos (mover todos los términos a la izquierda o todos los términos a la derecha), preferimos el enfoque del Ejemplo ( PageIndex {5} ). Al mover los términos al lado izquierdo de la ecuación, como en (x ^ 2 – 2x – 2 = 0 ), el coeficiente de (x ^ 2 ) es positivo (a = 1) y evitamos el signo menos en el denominador producido por la fórmula cuadrática.

 

Intercepciones

 

En el ejemplo ( PageIndex {5} ), utilizamos la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de (x ^ 2 – 2x – 2 = 0 ). Estas soluciones y sus aproximaciones se muestran en la ecuación (14). Es importante hacer la conexión de que las soluciones en la ecuación (14) son los ceros de la función cuadrática (g (x) = x ^ 2 – 2x – 2 ). Los ceros también proporcionan las coordenadas x de las intersecciones x de la gráfica de g (una parábola). Para enfatizar este punto, dibujemos la gráfica de la parábola que tiene la ecuación (g (x) = x ^ 2 – 2x – 2 ).

 

Primero, completa el cuadrado para colocar la función cuadrática en forma de vértice. Tome la mitad del coeficiente medio y el cuadrado, como en ([(1/2) (- 2)] ^ 2 = 1 ); luego suma y resta este término para que la ecuación permanezca equilibrada.

 

[ begin {array} {l} {g (x) = x ^ {2} -2 x-2} \ {g (x) = x ^ {2} -2 x + 1-1 -2} end {array} ]

 

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto, luego combina las constantes al final. [g (x) = (x-1) ^ {2} -3 ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba. Se desplaza hacia la derecha 1 unidad y hacia abajo 3 unidades. Esto facilita identificar el vértice y dibujar el eje de simetría, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a).

 

Ahora será evidente por qué usamos nuestra calculadora para aproximar las soluciones en (14). Estas son las coordenadas x de las intersecciones x. Una intersección x se encuentra aproximadamente en (−0.73, 0), la otra aproximadamente (2.73, 0). Estas aproximaciones se utilizan para trazar la ubicación de las intersecciones como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (b). Sin embargo, los valores reales de las intersecciones son (((2- sqrt {12}) / 2,0) ) y (((2+ sqrt {12}) / 2,0) ), y estos valores exactos deben usarse para anotar las intersecciones, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (b).

 

Finalmente, para encontrar la intersección en y, dejemos que x = 0 en (g (x) = x ^ 2 – 2x – 2 ). Por lo tanto, g (0) = −2 y la intersección en y es (0, −2). La intersección con el eje y y su imagen especular a través del eje de simetría se representan en la Figura ( PageIndex {1} ) (c), donde también se muestra la gráfica final de la parábola.

 
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Figura ( PageIndex {1} )
 

Hemos hecho un punto importante y hacemos una pausa para dar énfasis.

 
 

Ceros e intersecciones

 

Siempre que use la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática [a x ^ {2} + b x + c = 0 ]

 

las soluciones [x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

son ​​los ceros de la función cuadrática [f (x) = a x ^ {2} + b x + c ]

 

Las soluciones también proporcionan las coordenadas x de las intersecciones x de la gráfica de f.

 
 

Necesitamos discutir un concepto final.

 

El discriminante

 

Considere nuevamente la ecuación cuadrática (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y las soluciones (ceros) proporcionadas por la fórmula cuadrática

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} ]

 

La expresión bajo el radical, (b ^ 2 – 4ac ), se llama discriminante, que denotamos con la letra D. Es decir, la fórmula para el discriminante viene dada por

 

[D = b ^ {2} -4 a c ]

 

El discriminante se utiliza para determinar la naturaleza y el número de soluciones a la ecuación cuadrática (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Esto se hace sin calcular realmente las soluciones.

 

Veamos tres ejemplos clave.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Considere la ecuación cuadrática [x ^ {2} -4 x-4 = 0 ] Calcule el discriminante y úselo para determinar la naturaleza y el número de las soluciones.

 

Solución

 

Compare (x ^ 2 – 4x – 4 = 0 ) con (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que a = 1, b = −4 y c = −4. El discriminante viene dado por el cálculo

 

[D = b ^ {2} -4 a c = (- 4) ^ {2} -4 (1) (- 4) = 32 ]

 

Tenga en cuenta que el discriminante D es positivo; es decir, D> 0.

 

Considere la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 – 4x – 4 ), que puede escribirse en forma de vértice

 

[f (x) = (x-2) ^ {2} -8 ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba. Se desplaza hacia la derecha 2 unidades, luego hacia abajo 8 unidades. Por lo tanto, cruzará el eje x en dos ubicaciones. Por lo tanto, uno esperaría que la fórmula cuadrática proporcione dos soluciones reales (intersecciones x). De hecho,

 

[x = frac {- (- 4) pm sqrt {(- 4) ^ {2} -4 (1) (- 4)}} {2 (1)} = frac {4 pm sqrt {32}} {2} ]

 

Tenga en cuenta que el discriminante, D = 32 como se calculó anteriormente, es el número debajo de la raíz cuadrada. Estas soluciones tienen aproximaciones

 

[x = frac {4- sqrt {32}} {2} aprox-0.8284271247 qquad text {y} qquad x = frac {4+ sqrt {32}} {2} aproximadamente 4.828427125 ]

 

que ayudan a trazar una gráfica precisa de (f (x) = (x – 2) ^ 2 – 8 ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
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Figura ( PageIndex {2} ). Si el discriminante es positivo, hay dos intersecciones x reales.
 

Por lo tanto, si el discriminante es positivo, la parábola tendrá dos intersecciones en x reales.

 
 

A continuación, veamos un ejemplo donde el discriminante es igual a cero.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Considere nuevamente la ecuación cuadrática (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y las soluciones (ceros) proporcionadas por la fórmula cuadrática

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} ] La expresión bajo el radical, (b ^ 2 – 4ac ), es llamado discriminante, que denotamos con la letra D. Es decir, la fórmula para el discriminante viene dada por [D = b ^ {2} -4 ac ]

 

El discriminante se utiliza para determinar la naturaleza y el número de soluciones a la ecuación cuadrática (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Esto se hace sin calcular realmente las soluciones. Considere la ecuación cuadrática [x ^ {2} -4 x + 4 = 0 ]

 

Calcule el discriminante y úselo para determinar la naturaleza y el número de soluciones.

 

Solución

 

Compare (x ^ 2 – 4x + 4 = 0 ) con (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que a = 1, b = −4 y c = 4. El discriminante viene dado por el cálculo

 

[D = b ^ {2} -4 a c = (- 4) ^ {2} -4 (1) (4) = 0 ]

 

Tenga en cuenta que el discriminante es igual a cero.

 

Considere la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 – 4x + 4 ), que puede escribirse en forma de vértice

 

[f (x) = (x-2) ^ {2} ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba y se desplaza 2 unidades hacia la derecha. Tenga en cuenta que no hay desplazamiento vertical, por lo que el vértice de la parábola descansará en el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). En este caso, encontramos necesario trazar dos puntos a la derecha del eje de simetría, luego reflejarlos en el eje de simetría, para obtener una gráfica precisa de la parábola.

 
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Figura ( PageIndex {3} ). A la derecha hay una tabla de puntos que satisface (f (x) = (x − 2) ^ 2 ). Estos puntos y sus imágenes especulares se ven como puntos sólidos superpuestos en la gráfica de (f (x) = (x – 2) ^ 2 ) a la izquierda.
 

Eche un vistazo más de cerca a la ecuación (17). Si establecemos f (x) = 0 en esta ecuación, entonces obtenemos (0 = (x – 2) ^ 2 ). Esto podría escribirse 0 = (x – 2) (x – 2) y podríamos decir que las soluciones son 2 y 2 nuevamente. Sin embargo, los matemáticos prefieren decir que «2 es una solución de multiplicidad 2» o «2 es una solución doble». 11 Observe cómo la parábola es tangente al eje x en la ubicación de la «solución doble». Es decir, la parábola desciende desde el infinito positivo, toca (pero no cruza) el eje x en x = 2, luego se eleva nuevamente al infinito positivo. Por supuesto, la situación se revertiría en la parábola abierta hacia abajo, como en (g (x) = – (x – 2) ^ 2 ), pero la gráfica aún «besaría» el eje x en la ubicación de la «doble solución».

 

Aún así, lo clave a tener en cuenta aquí es el hecho de que el discriminante D = 0 y la parábola tiene una sola intersección x. Es decir, la ecuación (x ^ 2 – 4x + 4 = 0 ) tiene una única solución real.

 
 

A continuación, veamos qué sucede cuando el discriminante es negativo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Considere la ecuación cuadrática [x ^ {2} -4 x + 8 = 0 ]

 

Calcule el discriminante y úselo para determinar la naturaleza y el número de soluciones.

 

Solución

 

Compare (x ^ 2 – 4x + 8 = 0 ) con (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que a = 1, b = −4 y c = 8. El discriminante viene dado por el cálculo

 

[D = b ^ {2} -4 a c = (- 4) ^ {2} -4 (1) (8) = – 16 ]

 

Tenga en cuenta que el discriminante es negativo.

 

Considere la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 – 4x + 8 ), que se puede escribir en forma de vértice

 

[f (x) = (x-2) ^ {2} +4 ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba. Además, debe desplazarse 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba, por lo que no puede haber intersecciones en x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ). Nuevamente, encontramos en este ejemplo que es necesario trazar dos puntos a la derecha del eje de simetría, luego reflejarlos, para obtener una gráfica precisa de la parábola.

 
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Figura ( PageIndex {4} ). A la derecha hay una tabla de puntos que satisface (f (x) = (x-2) ^ {2} +4 ). Estos puntos y sus imágenes especulares se ven como puntos sólidos superpuestos en la gráfica de (f (x) = (x-2) ^ {2} +4 ) a la izquierda.
 

Una vez más, el punto clave en este ejemplo es el hecho de que el discriminante es negativo y no hay soluciones reales de la ecuación cuadrática (equivalentemente, no hay intersecciones en x). Veamos qué sucede si realmente intentamos encontrar las soluciones de (x ^ 2 – 4x + 8 = 0 ) usando la fórmula cuadrática. Nuevamente, a = 1, b = −4 y c = 8, entonces [x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} = frac {- (-4) pm sqrt {(- 4) ^ {2} -4 (1) (8)}} {2 (1)} ] Simplificando, [x = frac {4 pm sqrt { -16}} {2} ]

 

Nuevamente, recuerde que el número debajo de la raíz cuadrada es el discriminante. En este caso el discriminante es −16. No es posible cuadrar un número real y obtener −16. Por lo tanto, la ecuación cuadrática (x ^ 2 – 4x + 8 = 0 ) no tiene soluciones reales, como se predijo.

 
 

Resumamos los hallazgos en nuestros últimos tres ejemplos.

 
 

Resumen

 

Considere la ecuación cuadrática [a x ^ {2} + b x + c = 0 ]. El discriminante se define como [D = b ^ {2} -4 a c ].

 

Hay tres posibilidades:

 
         
  1. Si D> 0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.
  2.      
  3. Si D = 0, entonces la ecuación cuadrática tiene una solución real.
  4.      
  5. Si D <0, entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.
  6.  
 
 

Este resultado clave se refleja en el gráfico de la función cuadrática.

 
 

Resumen

 

Considere la función cuadrática [f (x) = a x ^ {2} + b x + c ].

 

El gráfico de esta función es una parábola. Existen tres posibilidades dependiendo del valor del discriminante (D = b ^ 2 – 4ac ).

 
         
  1. Si D> 0, la parábola tiene dos intersecciones en x.
  2.      
  3. Si D = 0, la parábola tiene exactamente una intersección x.
  4.      
  5. Si D <0, la parábola no tiene intersecciones con el eje x.
  6.  
 
   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 8 , encuentre todas las soluciones reales de la ecuación dada. Use una calculadora para aproximar las respuestas, corrija a la centésima más cercana (dos decimales).

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

(x ^ 2 = 36 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = pm 6 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

(x ^ 2 = 81 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

(x ^ 2 = 17 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = pm sqrt {17} aprox pm 4.12 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

(x ^ 2 = 13 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

(x ^ 2 = 0 )

 
     
Respuesta
     
     

x = 0

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

(x ^ 2 = −18 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

(x ^ 2 = −12 )

 
     
Respuesta
     
     

No hay una solución real

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

(x ^ 2 = 3 )

 
 

En Ejercicios 9 16 , encuentra todas las soluciones reales de la ecuación dada. Usa una calculadora para aproximar tus respuestas a la centésima más cercana.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

((x − 1) ^ 2 = 25 )

 
     
Respuesta
     
     

x = −4 o x = 6

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

((x + 3) ^ 2 = 9 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

((x + 2) ^ 2 = 0 )

 
     
Respuesta
     
     

x = −2

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

((x − 3) ^ 2 = −9 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

((x + 6) ^ 2 = −81 )

 
     
Respuesta
     
     

No hay una solución real

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

((x + 7) ^ 2 = 10 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

((x − 8) ^ 2 = 15 )

 
     
Respuesta
     
(x = 8 pm sqrt {15} aprox 4.13, 11.87 )
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

((x + 10) ^ 2 = 37 )

 
 

En Ejercicios 17 28 , realice cada una de las siguientes tareas para la función cuadrática dada.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.

         
  2.      
  3.      

    Coloque la función cuadrática en forma de vértice. Trace el vértice en su sistema de coordenadas y etiquételo con sus coordenadas. Dibuje el eje de simetría en su sistema de coordenadas y etiquételo con su ecuación.

         
  4.      
  5.      

    Usa la fórmula cuadrática para encontrar las intersecciones x de la parábola. Use a calculator to approximate each intercept, correct to the nearest tenth, and use these approximations to plot the x-intercepts on your coordinate system. However, label each x-intercept with its  exact  coordinates.

         
  6.      
  7.      

    Plot the y-intercept on your coordinate system and its mirror image across the axis of symmetry and label each with their coordinates.

         
  8.      
  9.      

    Using all of the information on your coordinate system, draw the graph of the parabola, then label it with the vertex form of the function. Use interval notation to state the domain and range of the quadratic function.

         
  10.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{17})

 

(f(x) = x^2−4x−8)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = [−12, (infty))

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.45.02 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{18})

 

(f(x) = x^2+6x−1)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{19})

 

(f(x) = x^2+6x−3)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = [−12, (infty))

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.45.59 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{20})

 

(f(x) = x^2−8x+1)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{21})

 

(f(x) = −x^2+2x+10)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = (−(infty), 11]

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.47.10 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{22})

 

(f(x) = −x^2−8x−8)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{23})

 

(f(x) = −x^2−8x−9)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = (−(infty), 7]

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.48.12 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{24})

 

(f(x) = −x^2+10x−20)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{25})

 

(f(x)=2x^2−20x+40)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = [−10, (infty))

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.51.42 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{26})

 

(f(x) = 2x^2−16x+12)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{27})

 

(f(x) = −2x^2+16x+8)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = (−(infty), 40]

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.52.20 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{28})

 

(f(x) = −2x^2−24x−52)

 
 

In  Exercises 29 32 , perform each of the following tasks for the given quadratic equation.

 
         
  1.      

    Set up a coordinate system on a sheet of graph paper. Label and scale each axis. Remember to draw all lines with a ruler.

         
  2.      
  3.      

    Show that the discriminant is negative.

         
  4.      
  5.      

    Use the technique of completing the square to put the quadratic function in vertex form. Plot the vertex on your coordinate system and label it with its coordinates. Draw the axis of symmetry on your coordinate system and label it with its equation.

         
  6.      
  7.      

    Plot the y-intercept and its mirror image across the axis of symmetry on your coordinate system and label each with their coordinates.

         
  8.      
  9.      

    Because the discriminant is negative (did you remember to show that?), there are no x-intercepts. Use the given equation to calculate one additional point, then plot the point and its mirror image across the axis of symmetry and label each with their coordinates.

         
  10.      
  11.      

    Using all of the information on your coordinate system, draw the graph of the parabola, then label it with the vertex form of function. Use interval notation to describe the domain and range of the quadratic function.

         
  12.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{29})

 

(f(x) = x^2+4x+8)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = [4, (infty))

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.53.29 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{30})

 

(f(x) = x^2−4x+9)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{31})

 

(f(x) = −x^2+6x−11)

 
     
Answer
     
     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = (−(infty), −2]

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.55.21 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{32})

 

(f(x) = −x^2−8x−20)

 
 

In  Exercises 33 36 , perform each of the following tasks for the given quadratic function.

 
         
  1.      

    Set up a coordinate system on a sheet of graph paper. Label and scale each axis. Remember to draw all lines with a ruler.

         
  2.      
  3.      

    Use the discriminant to help determine the value of k so that the graph of the given quadratic function has exactly one x-intercept.

         
  4.      
  5.      

    Substitute this value of k back into the given quadratic function, then use the technique of completing the square to put the quadratic function in vertex form. Plot the vertex on your coordinate system and label it with its coordinates. Draw the axis of symmetry on your coordinate system and label it with its equation

         
  6.      
  7.      

    Plot the y-intercept and its mirror image across the axis of symmetry and label each with their coordinates.

         
  8.      
  9.      

    Use the equation to calculate an additional point on either side of the axis of symmetry, then plot this point and its mirror image across the axis of symmetry and label each with their coordinates.

         
  10.      
  11.      

    Using all of the information on your coordinate system, draw the graph of the parabola, then label it with the vertex form of the function. Use interval notation to describe the domain and range of the quadratic function.

         
  12.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{33})

 

(f(x) = x^2−4x+4k)

 
     
Answer
     
     

k = 1

     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = [0, (infty))

     

Screen Shot 2019-09-04 at 9.56.28 AM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{34})

 

(f(x) = x^2+6x+3k)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{35})

 

(f(x) = kx^2−16x−32)

 
     
Answer
     
     

k = −2

     

Domain = ((−infty, infty)),

     

Range = (−(infty), 0]

     

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{36})

 

(f(x) = kx^2−24x+48)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{37})

 

Find all values of k so that the graph of the quadratic function (f(x) = kx^2−3x+5) has exactly two x-intercepts.

 
     
Answer
     
     

{k: (k < frac{9}{20})}

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{38})

 

Find all values of k so that the graph of the quadratic function (f(x) = 2x^2+7x−4k) has exactly two x-intercepts.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{39})

 

Find all values of k so that the graph of the quadratic function (f(x) = 2x^2−x+5k) has no x-intercepts.

 
     
Answer
     
     

{k: (k > frac{1}{40})}

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{40})

 

Find all values of k so that the graph of the quadratic function (f(x) = kx^2−2x−4) has no x-intercepts.

 
 

In  Exercises 41 50 , find all real solutions, if any, of the equation f(x) = b.

 
 

EXERCISE (PageIndex{41})

 

(f(x) = 63x^2+74x−1); b = 8

 
     
Answer
     
     

(−frac{9}{7}, frac{1}{9})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{42})

 

(f(x) = 64x^2+128x+64); b = 0

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{43})

 

(f(x) = x^2−x−5); b = 2

 
     
Answer
     
     

(frac{1+sqrt{29}}{2}, frac{1−sqrt{29}}{2})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{44})

 

(f(x) = 5x^2−5x); b = 3

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{45})

 

(f(x) = 4x^2+4x−1); b = −2

 
     
Answer
     
     

(−frac{1}{2})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{46})

 

(f(x) = 2x^2−9x−3); b = −1

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{47})

 

(f(x) = 2x^2+4x+6); b = 0

 
     
Answer
     
     

sin soluciones reales

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{48})

 

(f(x) = 24x^2−54x+27); b = 0

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{49})

 

(f(x) = −3x^2+2x−13); b = −5

 
     
Answer
     
     

sin soluciones reales

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{50})

 

(f(x) = x^2−5x−7); b = 0

 
 

In  Exercises 51 60 , find all real solutions, if any, of the quadratic equation.

 
 

EXERCISE (PageIndex{51})

 

(−2x^2+7 = −3x)

 
     
Answer
     
     

(frac{3−sqrt{65}}{4}, frac{3+sqrt{65}}{4})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{52})

 

(−x^2 = −9x+7)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{53})

 

(x^2−2 = −3x)

 
     
Answer
     
     

(−frac{3−sqrt{17}}{2}, −frac{3+sqrt{17}}{2})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{54})

 

(81x^2 = −162x−81)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{55})

 

(9x^2+81 = −54x)

 
     
Answer
     
     

3

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{56})

 

(−30x^2−28 = −62x)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{57})

 

(−x^2+6 = 7x)

 
     
Answer
     
     

(−frac{7+sqrt{73}}{2},  −frac{7−sqrt{73}}{2})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{58})

 

(−8x^2 = 4x+2)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{59})

 

(4x^2+3 = −x)

 
     
Answer
     
     

sin soluciones reales

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{60})

 

(27x^2 = −66x+16)

 
 

In  Exercises 61 66 , find all of the x-intercepts, if any, of the given function.

 
 

EXERCISE (PageIndex{61})

 

(f(x) = −4x^2−4x−5)

 
     
Answer
     
     

no x-intercepts

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{62})

 

(f(x) = 49x^2−28x+4)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{63})

 

(f(x) = −56x^2+47x+18)

 
     
Answer
     
     

((frac{9}{8}), 0), ((−frac{2}{7}), 0)

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{64})

 

(f(x) = 24x^2+34x+12)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{65})

 

(f(x) = 36x^2+96x+64)

 
     
Answer
     
     

((−frac{4}{3}), 0)

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{66})

 

(f(x) = 5x^2+2x+3)

 
 

In  Exercises 67 74 , determine the number of real solutions of the equation.

 
 

EXERCISE (PageIndex{67})

 

(9x^2+6x+1 = 0)

 
     
Answer
     
     

1

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{68})

 

(7x^2−12x+7 = 0)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{69})

 

(−6x^2+4x−7 = 0)

 
     
Answer
     
     

0

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{70})

 

(−8x^2+11x−4 = 0)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{71})

 

(−5x^2−10x−5 = 0)

 
     
Answer
     
     

1

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{72})

 

(6x^2+11x+2 = 0)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{73})

 

(−7x^2−4x+5 = 0)

 
     
Answer
     
     

2

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{74})

 

(6x^2+10x+4 = 0)

 
 

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