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las matematicas

5.4: Multiplicar polinomios

Multiplicar productos especiales

 

A los matemáticos les gusta buscar patrones que faciliten su trabajo. Un buen ejemplo de esto es la cuadratura de los binomios. Si bien siempre puede obtener el producto escribiendo el binomio dos veces y multiplicándolo, hay menos trabajo que hacer si aprende a usar un patrón. Comencemos mirando tres ejemplos y busquemos un patrón.

 

Mira estos resultados. ¿Ves algún patrón?

 

The figure shows three examples of squaring a binomial. In the first example x plus 9 is squared to get x plus 9 times x plus 9 which is x squared plus 9 x plus 9 x plus 81 which simplifies to x squared plus 18 x plus 81. Colors show that x squared comes from the square of the x in the original binomial and 81 comes from the square of the 9 in the original binomial. In the second example y minus 7 is squared to get y minus y times y minus 7 which is y squared minus 7 y minus 7 y plus 49 which simplifies to y squared minus 14 y plus 49. Colors show that y squared comes from the square of the y in the original binomial and 49 comes from the square of the negative 7 in the original binomial. In the third example 2 x plus 3 is squared to get 2 x plus 3 times 2 x plus 3 which is 4 x squared plus 6 x plus 6 x plus 9 which simplifies to 4 x squared plus 12 x plus 9. Colors show that 4 x squared comes from the square of the 2 x in the original binomial and 9 comes from the square of the 3 in the original binomial.

 

¿Qué pasa con el número de términos? En cada ejemplo elevamos al cuadrado un binomio y el resultado fue un trinomio.

 

[(a + b) ^ 2 = text {___} + text {___} + text {___} nonumber ]

 

Ahora mire el primer término en cada resultado. ¿De dónde vino?

 

El primer término es el producto de los primeros términos de cada binomio. Como los binomios son idénticos, ¡es solo el cuadrado del primer término!

 

[(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + text {___} + text {___} nonumber ]

 

Para obtener el primer término del producto, cuadre el primer término.

 

¿De dónde vino el último término ? Mira los ejemplos y encuentra el patrón.

 

El último término es el producto de los últimos términos, que es el cuadrado del último término.

 

[(a + b) ^ 2 = text {___} + text {___} + b ^ 2 nonumber ]

 

Para obtener el último término del producto, cuadre el último término.

 

Finalmente, mire el término medio . Observe que vino de agregar los términos “externo” e “interno”, ¡que son los mismos! Entonces, el término medio es el doble del producto de los dos términos del binomio.

 

[(a + b) ^ 2 = text {___} + 2ab + text {___} nonumber ]

 

[(a − b) ^ 2 = text {___} – 2ab + text {___} nonumber ]

 

Para obtener el término medio del producto, multiplique los términos y duplique su producto.

 

Poniendo todo junto:

 
 

definición: PATRÓN CUADRADO BINOMIAL

 

Si a y b son ​​números reales,

 

The figure shows the result of squaring two binomials. The first example is a plus b squared equals a squared plus 2 a b plus b squared. The equation is written out again with each part labeled. The quantity a plus b squared is labeled binomial squared. The terms a squared is labeled first term squared. The term 2 a b is labeled 2 times product of terms. The term b squared is labeled last term squared. The second example is a minus b squared equals a squared minus 2 a b plus b squared. The equation is written out again with each part labeled. The quantity a minus b squared is labeled binomial squared. The terms a squared is labeled first term squared. The term negative 2 a b is labeled 2 times product of terms. The term b squared is labeled last term squared.

 

Para cuadrar un binomio, cuadrar el primer término, cuadrar el último término, duplicar su producto.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Multiplicar: ⓐ ((x + 5) ^ 2 ) ⓑ ((2x − 3y) ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

          

                                                                                                                                                                                                                              
.
Usa el patrón. .
Simplificar. .
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Multiplicar: ⓐ ((x + 9) ^ 2 ) ⓑ ((2c − d) ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (x ^ 2 + 18x + 81 )
ⓑ (4c ^ 2−4cd + d ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Multiplicar: ⓐ ((y + 11) ^ 2 ) ⓑ ((4x − 5y) ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (y ^ 2 + 22y + 121 )
ⓑ (16x ^ 2−40xy + 25y ^ 2 )

     
 
 
 
 

Acabamos de ver un patrón para cuadrar binomios que podemos usar para hacer más fácil la multiplicación de algunos binomios. Del mismo modo, hay un patrón para otro producto de binomios. Pero antes de llegar a él, necesitamos introducir algo de vocabulario.

 

Un par de binomios que tienen cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y el otro es una diferencia se llama par conjugado y es de la forma ((a − b) ), ((a + b) ).

 
 

definición: par conjugado

 

Un par conjugado es dos binomios de la forma

 

[(a − b), (a + b). nonumber ]

 

El par de binomios tiene cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero un binomio es una suma y el otro es una diferencia.

 
 

Hay un patrón agradable para encontrar el producto de los conjugados. Podría, por supuesto, simplemente FALLAR para obtener el producto, pero el uso del patrón facilita su trabajo. Busquemos el patrón usando FOIL para multiplicar algunos pares conjugados.

 

The figure shows three examples of multiplying a binomial with its conjugate. In the first example x plus 9 is multiplied with x minus 9 to get x squared minus 9 x plus 9 x minus 81 which simplifies to x squared minus 81. Colors show that x squared comes from the square of the x in the original binomial and 81 comes from the square of the 9 in the original binomial. In the second example y minus 8 is multiplied with y plus 8 to get y squared plus 8 y minus 8 y minus 64 which simplifies to y squared minus 64. Colors show that y squared comes from the square of the y in the original binomial and 64 comes from the square of the 8 in the original binomial. In the third example 2 x minus 5 is multiplied with 2 x plus 5 to get 4 x squared plus 10 x minus 10 x minus 25 which simplifies to 4 x squared minus 25. Colors show that 4 x squared comes from the square of the 2 x in the original binomial and 25 comes from the square of the 5 in the original binomial.

 

¿Qué observas sobre los productos?

 

¡El producto de los dos binomios también es un binomio! La mayoría de los productos resultantes de FOIL han sido trinomios.

 

Cada primer término es el producto de los primeros términos de los binomios, y dado que son idénticos, es el cuadrado del primer término.

 

[(a + b) (a − b) = a ^ 2− text {___} nonumber ]

 

Para obtener el primer término, cuadre el primer término.

 

El último término vino de multiplicar los últimos términos, el cuadrado del último término.

 

[(a + b) (a − b) = a ^ 2 − b ^ 2 nonumber ]

 

Para obtener el último término, cuadre el último término .

 

¿Por qué no hay término medio? Observe que los dos términos medios que obtiene de FOIL se combinan a 0 en cada caso, el resultado de una suma y una resta.

 

El producto de los conjugados siempre tiene la forma (a ^ 2 − b ^ 2 ). Esto se llama una diferencia de cuadrados .

 

Esto lleva al patrón:

 
 

definición: PRODUCTO DEL PATRÓN DE CONJUGADOS

 

Si a y b son ​​números reales,

 The figure shows the result of multiplying a binomial with its conjugate. The formula is a plus b times a minus b equals a squared minus b squared. The equation is written out again with labels. The product a plus b times a minus b is labeled conjugates. The result a squared minus b squared is labeled difference of squares.  

El producto se llama diferencia de cuadrados.

 

Para multiplicar conjugados, eleva al cuadrado el primer término, eleva al cuadrado el último término, escríbelo como una diferencia de cuadrados.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Multiplica usando el producto del patrón de conjugados: ⓐ ((2x + 5) (2x − 5) ) ⓑ ((5m − 9n) (5m + 9n) ).

 
     
Respuesta
     
     

          

                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Esto se ajusta al patrón. .
Usa el patrón. .
Simplificar. .
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Multiplicar: ⓐ ((6x + 5) (6x − 5) ) ⓑ ((4p − 7q) (4p + 7q) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (36x ^ 2−25 )
ⓑ (16p ^ 2−49q ^ 2 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Multiplicar: ⓐ ((2x + 7) (2x − 7) ) ⓑ ((3x − y) (3x + y) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (4x ^ 2−49 ) ⓑ (9x ^ 2 − y ^ 2 )

     
 
 
 
 
 
 
 

Acabamos de desarrollar patrones de productos especiales para cuadrados binomiales y para el producto de conjugados. Los productos tienen un aspecto similar, por lo que es importante reconocer cuándo es apropiado usar cada uno de estos patrones y notar cómo difieren. Miren los dos patrones juntos y observen sus similitudes y diferencias.

 
 

COMPARANDO LOS PATRONES ESPECIALES DEL PRODUCTO

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Cuadrados binomiales Producto de conjugados
((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ) ((a − b) (a + b) = a ^ 2 − b ^ 2 )
((a − b) ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 )
• Cuadrando un binomio • Multiplicar conjugados
• El producto es un trinomio • El producto es un binomio .
• Los términos internos y externos con FOIL son lo mismo. • Los términos internos y externos con FOIL son opuestos .
• El término medio es el doble del producto de los términos • Hay no término medio.
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Elija el patrón apropiado y úselo para encontrar el producto:

 

ⓐ ((2x − 3) (2x + 3) ) ⓑ ((5x − 8) ^ 2 ) ⓒ ((6m + 7) ^ 2 ) ⓓ ((5x − 6) (6x + 5) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ ((2x − 3) (2x + 3) )

     

Estos son conjugados. Tienen los mismos primeros números y los mismos últimos números, y un binomio es una suma y el otro es una diferencia. Se ajusta al patrón del Producto de Conjugados.

                                                                                                                                                                                                                              
.
Usa el patrón. .
Simplificar. .
     

ⓑ ((8x − 5) ^ 2 )

     

Se nos pide que cuadremos un binomio. Se ajusta al patrón de cuadrados binomiales.

                                                                                                                                                                                                                              
.
Usa el patrón. .
Simplificar. .
     

ⓒ ((6m + 7) ^ 2 )

     

Nuevamente, ajustaremos un binomio al cuadrado así que usaremos el patrón de cuadrados binomiales.

                                                                                                                                                                                                                              
.
Usa el patrón. .
Simplificar. .
     

ⓓ ((5x − 6) (6x + 5) )

     

Este producto no se ajusta a los patrones, por lo que utilizaremos FOIL.

     

( begin {array} {ll} {} & {(5x − 6) (6x + 5)} \ { text {Use FOIL.}} & {30x ^ 2 + 25x − 36x − 30 } \ { text {Simplify.}} & {30x ^ 2−11x − 30} \ end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Elija el patrón apropiado y úselo para encontrar el producto:

 

ⓐ ((9b − 2) (2b + 9) ) ⓑ ((9p − 4) ^ 2 ) ⓒ ((7y + 1) ^ 2 ) ⓓ ((4r − 3) (4r + 3) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐFOIL; (18b ^ 2 + 77b − 18 )
ⓑ Cuadrados binomiales; (81p ^ 2−72p + 16 )
ⓒ Cuadrados binomiales; (49y ^ 2 + 14y + 1 )
ⓓ Producto de conjugados; (16r ^ 2−9 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Elija el patrón apropiado y úselo para encontrar el producto:

 

ⓐ ((6x + 7) ^ 2 ) ⓑ ((3x − 4) (3x + 4) ) ⓒ ((2x − 5) (5x − 2) ) ⓓ ((6n −1) ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ Cuadrados binomiales; (36x ^ 2 + 84x + 49 ) ⓑ Producto de conjugados; (9x ^ 2−16 ) ⓒ FOIL; (10x ^ 2−29x + 10 ) ⓓ Cuadrados binomiales; (36n ^ 2−12n + 1 )

     
 
 
 
 
 
 
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