Al multiplicar expresiones radicales con el mismo índice, usamos la regla del producto para radicales. Dados los números reales ( sqrt [n] {A} ) y ( sqrt [n] {B} ),
A menudo, habrá coeficientes frente a los radicales.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Multiplicar: (3 sqrt {6} cdot 5 sqrt {2} )
Solución
Usando la regla del producto para radicales y el hecho de que la multiplicación es conmutativa, podemos multiplicar los coeficientes y los radicandos de la siguiente manera.
( begin {alineado} 3 sqrt {6} cdot 5 sqrt {2} & = color {Cerulean} {3 cdot 5} color {black} { cdot} color {OliveGreen } { sqrt {6} cdot sqrt {2}} quad color {Cerulean} {Multiplicación : es : conmutativa.} \ & = 15 cdot sqrt {12} quad quad quad : color {Cerulean} {Multiplicar : los : coeficientes : y : the : radicands.} \ & = 15 sqrt {4 cdot 3} quad quad quad : color { Cerulean} {Simplify.} \ & = 15 cdot 2 cdot sqrt {3} \ & = 30 sqrt {3} end {alineado} )
Por lo general, no se muestra el primer paso que implica la aplicación de la propiedad conmutativa.
Aplica la propiedad distributiva y multiplica cada término por (5 sqrt {2 x} ).
( begin {alineado} 5 sqrt {2 x} (3 sqrt {x} – sqrt {2 x}) & = color {Cerulean} {5 sqrt {2 x}} color {negro} { cdot} 3 sqrt {x} – color {Cerulean} {5 sqrt {2 x}} color {black} { cdot} sqrt {2 x} quad color {Cerulean} {Distribuir.} \ & = 15 sqrt {2 x ^ {2}} – 5 sqrt {4 x ^ {2}} quad quad quad quad : : : color {Cerulean} {Simplificar.} \ & = 15 x sqrt {2} – 5 cdot 2 x \ & = 15 x sqrt {2} – 10 x end {alineado} )
Respuesta :
(15 x sqrt {2} – 10 x )
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Multiplicar: ( sqrt [3] {6 x ^ {2} y} left ( sqrt [3] {9 x ^ {2} y ^ {2}} – 5 cdot sqrt [3 ] {4 xy} right) ).
Solución
Aplica la propiedad distributiva y luego simplifica el resultado.
( begin {alineado} sqrt [3] {6 x ^ {2} y} left ( sqrt [3] {9 x ^ {2} y ^ {2}} – 5 cdot sqrt [3] {4 xy} right) & = color {Cerulean} { sqrt [3] {6 x ^ {2} y}} color {black} { cdot} sqrt [3] {9 x ^ {2} y ^ {2}} – color {Cerulean} { sqrt [3] {6 x ^ {2} y}} color {black} { cdot} 5 sqrt [3] {4 xy} \ & = sqrt [3] {54 x ^ {4} y ^ {3}} – 5 sqrt [3] {24 x ^ {3} y ^ {2}} \ & = sqrt [3] {27 cdot 2 cdot x cdot x ^ {3} cdot y ^ {3}} – 5 sqrt [3] {8 cdot 3 cdot x ^ {3} cdot y ^ { 2}} \ & = 3 xy sqrt [3] {2 x} – 10 x sqrt [3] {3 y ^ {2}} \ & = 3 xy sqrt [3] {2 x} – 10 x sqrt [3] {3 y ^ {2}} end {alineado} )
Respuesta :
(3 x y sqrt [3] {2 x} – 10 x sqrt [3] {3 y ^ {2}} )
El proceso para multiplicar expresiones radicales con múltiples términos es el mismo proceso utilizado al multiplicar polinomios. Aplique la propiedad distributiva, simplifique cada radical y luego combine términos similares.
( begin {array} {l} {= color {Cerulean} { sqrt {x}} color {black} { cdot} sqrt {x} + color {Cerulean} { sqrt {x}} color {black} {(} – 5 sqrt {y}) + ( color {OliveGreen} {- 5 sqrt {y}} color {black} {)} sqrt {x} + ( color {OliveGreen} {- 5 sqrt {y}} color {black} {)} (- 5 sqrt {y})} \ {= sqrt {x ^ {2}} – 5 sqrt {xy} – 5 sqrt {xy} + 25 sqrt {y ^ {2}}} \ {= x – 10 sqrt {xy} + 25 y} end {array} )
Respuesta :
(x – 10 sqrt {x y} + 25 y )
Los binomios ((a + b) ) y ((a – b) ) se denominan conjugados 18 . Al multiplicar binomios conjugados, los términos medios son opuestos y su suma es cero.
Alternativamente, usando la fórmula para la diferencia de cuadrados que tenemos,
( begin {alineado} (a + b) (a – b) & = a ^ {2} – b ^ {2} quad quad quad color {Cerulean} {Diferencia : de : cuadrados.} \ ( sqrt {x} + sqrt {y}) ( sqrt {x} – sqrt {y}) & = ( sqrt {x}) ^ {2} – ( sqrt { y}) ^ {2} \ & = x – y end {alineado} )
División de expresiones radicales
Para dividir expresiones radicales con el mismo índice, usamos la regla del cociente para radicales. Dados los números reales ( sqrt [n] {A} ) y ( sqrt [n] {B} ),
En este caso, podemos ver que (6 ) y (96 ) tienen factores comunes. Si aplicamos la regla del cociente para los radicales y la escribimos como una raíz cúbica simple, podremos reducir el radicando fraccional.
( begin {alineado} frac { sqrt [3] {96}} { sqrt [3] {6}} & = sqrt [3] { frac {96} {6}} quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : radicales : y : reduce : the : radicand.} \ & = sqrt [3] {16} & = sqrt [3] {8 cdot 2} color {Cerulean} {Simplify.} \ & = 2 sqrt [3] {2} end {alineado} )
Respuesta :
(2 sqrt [3] {2} )
Ejemplo ( PageIndex {9} ):
Divide: ( frac { sqrt {50 x ^ {6} y ^ {4}}} { sqrt {8 x ^ {3} y}} ).
Solución
Escribe como una sola raíz cuadrada y cancela los factores comunes antes de simplificar.
( begin {alineado} frac { sqrt {50 x ^ {6} y ^ {4}}} { sqrt {8 x ^ {3} y}} & = sqrt { frac { 50 x ^ {6} y ^ {4}} {8 x ^ {3} y}} quad color {Cerulean} {Aplicar : el : cociente : regla : para : radicales : y : cancelar.} \ & = sqrt { frac {25 x ^ {3} y ^ {3}} {4}} quad color {Cerulean} {Simplify.} \ & = frac { sqrt {25 x ^ {3} y ^ {3}}} { sqrt {4}} \ & = frac {5 xy sqrt {xy}} {2} end {alineado} )
Respuesta :
( frac {5xy sqrt {x y}} {2} )
Racionalizar el denominador
Cuando el denominador (divisor) de una expresión radical contiene un radical, es una práctica común encontrar una expresión equivalente donde el denominador es un número racional. Encontrar una expresión equivalente se llama racionalizando el denominador 19 .
Para hacer esto, multiplique la fracción por una forma especial de (1 ) para que el radicando en el denominador se pueda escribir con una potencia que coincida con el índice. Después de hacer esto, simplifique y elimine el radical en el denominador. Por ejemplo:
El objetivo es encontrar una expresión equivalente sin un radical en el denominador. El radicando en el denominador determina los factores que necesita usar para racionalizarlo. En este ejemplo, multiplique por (1 ) en la forma ( frac { sqrt {5 x}} { sqrt {5 x}} ).
A veces, encontraremos la necesidad de reducir, o cancelar, después de racionalizar el denominador.
Ejemplo ( PageIndex {11} ):
Racionalice el denominador: ( frac {3 a sqrt {2}} { sqrt {6 a b}} ).
Solución
En este ejemplo, multiplicaremos por (1 ) en la forma ( frac { sqrt {6 a b}} { sqrt {6 a b}} ).
( begin {alineado} frac {3 a sqrt {2}} { sqrt {6 ab}} & = frac {3 a sqrt {2}} { sqrt {6 ab}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt {6 ab}} { sqrt {6 ab}}} \ & = frac {3 a sqrt {12 ab}} { sqrt {36 a ^ {2} b ^ {2}}} quad quad color {Cerulean} {Simplify.} \ & = frac {3 a sqrt {4 cdot 3 ab}} {6 ab} \ & = frac {6 a sqrt {3 ab}} {b} quad quad : : color {Cerulean} {Cancelar.} \ & = frac { sqrt {3 ab}} {b} final {alineado} )
Observe que (b ) no se cancela en este ejemplo. No cancele factores dentro de un radical con los que están afuera.
Respuesta :
( frac { sqrt {3 a b}} {b} )
Hasta este punto, hemos visto que multiplicar un numerador y un denominador por una raíz cuadrada con exactamente el mismo radical y resulta en un denominador racional. En general, esto es cierto solo cuando el denominador contiene una raíz cuadrada. Sin embargo, este no es el caso para una raíz cúbica. Por ejemplo,
Tenga en cuenta que multiplicar por el mismo factor en el denominador no lo racionaliza. En este caso, si multiplicamos por (1 ) en forma de ( frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} ), entonces podemos escribir el radicando en el denominador como una potencia de (3 ). Simplificar el resultado produce un denominador racionalizado.
Por lo tanto, para racionalizar el denominador de una expresión radical con un término radical en el denominador, comience factorizando el radical y el denominador. Los factores de este radicando y el índice determinan por qué debemos multiplicar. Multiplique el numerador y el denominador por la raíz (n ) de factores que producen enésimas potencias de todos los factores en el radicando del denominador.
El radical en el denominador es equivalente a ( sqrt [3] {5 ^ {2}} ). Para racionalizar el denominador, necesitamos: ( sqrt [3] {5 ^ {3}} ). Para obtener esto, necesitamos un factor más de (5 ). Por lo tanto, multiplique por (1 ) en la forma de ( frac { sqrt [3] {5}} { sqrt [3] {5}} ).
( begin {alineado} frac { sqrt [3] {2}} { sqrt [3] {25}} & = frac { sqrt [3] {2}} { sqrt [ 3] {5 ^ {2}}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {5}} { sqrt [3] {5}} : Multiplicar : por : el : cubo : raíz : de : factores : que : resultado : en : poderes : de : 3.} \ & = frac { sqrt [3] {10}} { sqrt [3] {5 ^ {3}}} quad : : : quad color {Cerulean} {Simplify.} \ & = frac { sqrt [3] {10}} {5} final {alineado} )
Respuesta :
( frac { sqrt [3] {10}} {5} )
Ejemplo ( PageIndex {13} ):
Racionalizar el denominador: ( sqrt [3] { frac {27 a} {2 b ^ {2}}} ).
Solución
En este ejemplo, multiplicaremos por (1 ) en la forma ( frac { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} ).
( begin {alineado} sqrt [3] { frac {27 a} {2 b ^ {2}}} & = frac { sqrt [3] {3 ^ {3} a}} { sqrt [3] {2 b ^ {2}}} quad quad quad quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : radicales.} \ & = frac {3 sqrt [3] {a}} { sqrt [3] {2 b ^ {2}}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {2 ^ {2 } b}} { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} : : : Multiplicar : por : el : cubo : raíz : de : factores : ese : resultado : in : powers.} \ & = frac {3 sqrt [3] {2 ^ {2} ab}} { sqrt [3] {2 ^ {3} b ^ {3}}} quad quad quad color {Cerulean} {Simplify.} \ & = frac {3 sqrt [3] {4 ab}} {2 b} end {alineado} )
Respuesta :
( frac {3 sqrt [3] {4 a b}} {2 b} )
Ejemplo ( PageIndex {14} ):
Racionalice el denominador: ( frac {2 x sqrt [5] {5}} { sqrt [5] {4 x ^ {3} y}} )
Solución
En este ejemplo, multiplicaremos por (1 ) en la forma ( frac { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4}}} { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4}}} )
( begin {alineado} frac {2x sqrt [5] {5}} { sqrt [5] {4x ^ {3} y}} & = frac {2x sqrt [5] { 5}} { sqrt [5] {2 ^ {2} x ^ {3} y}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4}}} { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4}}} : : Multiplicar : por : el : quinto : raíz : de : factores : que : resultado : en : pares.} \ & = frac {2 x sqrt [5] {5 cdot 2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4 }}} { sqrt [5] {2 ^ {5} x ^ {5} y ^ {5}}} quad quad : : color {Cerulean} {Simplify.} \ & = frac {2 x sqrt [5] {40 x ^ {2} y ^ {4}}} {2 xy} \ & = frac { sqrt [5] {40 x ^ {2} y ^ {4} }} {y} end {alineado} )
Respuesta :
( frac { sqrt [5] {40 x ^ {2} y ^ {4}}} {y} )
Cuando aparecen dos términos que involucran raíces cuadradas en el denominador, podemos racionalizarlo usando una técnica muy especial. Esta técnica implica multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado del denominador. Recuerde que multiplicar una expresión radical por su conjugado produce un número racional.
En este ejemplo, el conjugado del denominador es ( sqrt {5} + sqrt {3} ). Por lo tanto, multiplique por (1 ) en la forma ( frac {( sqrt {5} + sqrt {3})} {( sqrt {5} + sqrt {3})} ).
Observe que los términos que involucran la raíz cuadrada en el denominador se eliminan multiplicando por el conjugado. Podemos usar la propiedad (( sqrt {a} + sqrt {b}) ( sqrt {a} – sqrt {b}) = a – b ) para acelerar el proceso de multiplicar las expresiones en el denominador .
