En esta sección nos concentramos en sumar y restar expresiones polinómicas, basadas en trabajos anteriores que combinan términos similares en Potencias ascendentes y descendentes . Comencemos con un ejemplo adicional.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Simplifique: [ left (a ^ {2} +3 a bb ^ {2} right) + left (4 a ^ {2} +11 a b-9 b ^ {2} right) nonumber ]
Solución
Utilice las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden y reagrupar. Luego combine los términos semejantes.
[ begin {alineado} left (a ^ {2} +3 a bb ^ {2} right) & + left (4 a ^ {2} +11 a b-9 b ^ {2 } right) \ & = left (a ^ {2} +4 a ^ {2} right) + (3 a b + 11 ab) + left (-b ^ {2} -9 b ^ { 2} right) \ & = 5 a ^ {2} +14 a b-10 b ^ {2} end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Simplifique: ( left (3 s ^ {2} -2 s t + 4 t ^ {2} right) + left (s ^ {2} +7 s t-5 t ^ {2} right) )
- Respuesta
-
(4 s ^ {2} +5 s t-t ^ {2} )
Combinemos algunas funciones polinómicas.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Dado (f (x) = 3x ^ 2−4x − 8 ) y (g (x) = x ^ 2−11x + 15 ), simplifica (f (x) + g (x) ).
Solución
Primero, reemplace (f (x) ) y (g (x) ) con sus definiciones. Asegúrese de rodear cada polinomio con paréntesis, porque se nos pide que agreguemos todos (f (x) ) a todos (g (x) ).
[f (x) + g (x) = (3x ^ 2 −4x − 8) + (x ^ 2 −11x + 15) nonumber ] Ahora usa las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden y reagruparse. Combina términos semejantes.
[ begin {array} {l} {= left (3 x ^ {2} + x ^ {2} right) + (- 4 x-11 x) + (- 8 + 15)} \ {= 4 x ^ {2} -15 x + 7} end {array} nonumber ]
Por lo tanto, (f (x) + g (x) = 4x ^ 2 −15x + 7 ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Giv en (f (x) = 2x ^ 2 + 9x − 5 ) y (g (x) = – x ^ 2 −4x + 3 ), simplificar (f (x) + g (x) ).
- Respuesta
-
(x ^ {2} +5 x-2 )
Si se siente cómodo omitiendo uno o dos pasos, no es necesario anotar todos los pasos que se muestran en los Ejemplos ( PageIndex {1} ) y ( PageIndex {2} ). Intentemos combinar mentalmente términos similares en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Simplifique: [ left (x ^ {3} -2 x ^ {2} y + 3 xy ^ {2} + y ^ {3} right) + left (2 x ^ {3} – 4 x ^ {2} y-8 xy ^ {2} +5 y ^ {3} right) nonumber ]
Solución
Si usamos la propiedad asociativa y conmutativa para reordenar y reagrupar, luego combinamos términos similares, obtenemos el siguiente resultado.
[ begin {alineado} left (x ^ {3} -2 x ^ {2} y right. & + 3 xy ^ {2} + y ^ {3}) + left (2 x ^ {3} -4 x ^ {2} y-8 xy ^ {2} +5 y ^ {3} right) \ & = left (x ^ {3} +2 x ^ {3} right ) + left (-2 x ^ {2} y-4 x ^ {2} y right) + left (3 xy ^ {2} -8 xy ^ {2} right) + left (y ^ {3} +5 y ^ {3} right) \ & = 3 x ^ {3} -6 x ^ {2} y-5 xy ^ {2} +6 y ^ {3} end {alineado} nonumber ]
Sin embargo, si podemos combinar términos similares mentalmente, eliminando el paso intermedio, es mucho más eficiente escribir:
[ begin {array} {l} { left (x ^ {3} -2 x ^ {2} y + 3 xy ^ {2} + y ^ {3} right) + left ( 2 x ^ {3} -4 x ^ {2} y-8 xy ^ {2} +5 y ^ {3} right)} \ { quad quad = 3 x ^ {3} -6 x ^ {2} y-5 xy ^ {2} +6 y ^ {3}} end {array} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Simplifique: ( left (-5 a ^ {2} b + 4 a b-3 ab ^ {2} right) + left (2 a ^ {2} b + 7 a ba b ^ { 2} right) )
- Respuesta
-
(- 3 a ^ {2} b + 11 a b-4 a b ^ {2} d )
Negar un polinomio
Antes de intentar la sustracción de polinomios, primero veamos cómo negar o “tomar lo contrario” de un polinomio. Primero recuerde que negar es equivalente a multiplicar por (- 1 ).
Negando
Si (a ) es cualquier número, entonces
[- a = (- 1) a. nonumber ]
Es decir, negar es equivalente a multiplicar por (- 1 ).
Podemos usar esta propiedad para simplificar (- (a + b) ). Primero, negar es idéntico a multiplicar por (- 1 ). Entonces podemos distribuir el (- 1 ).
[ begin {alineado} – (a + b) & = (-1) (a + b) quad color {Red} text {Negar es equivalente a multiplicar por} -1 \ & = (-1) a + (- 1) b quad color {Rojo} text {Distribuya el} -1. \ & = -a + (- b) quad color {Red} text {Simplify:} (- 1) a = -a text {and} (- 1) b = -b \ & = -ab quad color {Red} text {Restar significa agregar lo contrario. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (- (a + b) = – a −b ). Sin embargo, probablemente sea más simple notar que el signo menos delante de los paréntesis simplemente cambió el signo de cada término dentro de los paréntesis.
Negar una suma
Al negar una suma de términos, el efecto del signo menos es cambiar cada término entre paréntesis al signo opuesto. [- (a + b) = – a − b nonumber ]
Veamos este principio en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Simplificar: (- left (-3 x ^ {2} +4 x-8 right) )
Solución
Primero, negar es equivalente a multiplicar por (- 1 ). Luego distribuya el (- 1 ).
[ begin {alineado} – & left (-3 x ^ {2} +4 x-8 right) \ & = (- 1) left (-3 x ^ {2} +4 x-8 right) quad color {Red} text {Negar es equivalente a multiplicar por} -1 \ & = (- 1) left (-3 x ^ {2} right) + (- 1 ) (4 x) – (- 1) (8) quad color {Rojo} text {Distribuya el} -1 \ & = 3 x ^ {2} + (- 4 x) – (- 8) quad color {Red} text {Simplify:} (-1) (- 3 x ^ {2}) = 3 x ^ {2}, (-1) (4 x) = – 4 x, text {y } (-1) (8) = – 8 \ & = 3 x ^ {2} -4 x + 8 quad color {Rojo} text {Restar significa agregar lo opuesto.} End {alineado} nonumber ]
Solución alternativa:
Como vimos anteriormente, un signo negativo delante de un paréntesis simplemente cambia el signo de cada término dentro de los paréntesis. Por lo tanto, es mucho más eficiente escribir [- (- 3x ^ 2 + 4x − 8) = 3x ^ 2 −4x +8 nonumber ] simplemente cambiando el signo de cada término dentro de los paréntesis.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Simplifique: (- left (2 x ^ {2} -3 x + 9 right) )
- Respuesta
-
(- 2 x ^ {2} +3 x-9 )
Restando polinomios
Ahora que sabemos cómo negar un polinomio (cambiar el signo de cada término del polinomio), estamos listos para restar polinomios.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Simplifique: ( left (y ^ {3} -3 y ^ {2} z + 4 yz ^ {2} + z ^ {3} right) – left (2 y ^ {3} – 8 y ^ {2} z + 2 yz ^ {2} -8 z ^ {3} right) )
Solución
Primero, distribuya el signo menos, cambiando el signo de cada término del segundo polinomio.
[ left (y ^ {3} -3 y ^ {2} z + 4 yz ^ {2} + z ^ {3} right) – left (2 y ^ {3} -8 y ^ {2} z + 2 yz ^ {2} -8 z ^ {3} right) = y ^ {3} -3 y ^ {2} z + 4 yz ^ {2} + z ^ {3} – 2 y ^ {3} +8 y ^ {2} z-2 yz ^ {2} +8 z ^ {3} nonumber ]
Reagrupa, combinando términos similares. Puede realizar este próximo paso mentalmente si lo desea.
[ begin {array} {l} {= left (y ^ {3} -2 y ^ {3} right) + left (-3 y ^ {2} z + 8 y ^ { 2} z right) + left (4 yz ^ {2} -2 yz ^ {2} right) + left (z ^ {3} +8 z ^ {3} right)} \ {= -y ^ {3} +5 y ^ {2} z + 2 yz ^ {2} +9 z ^ {3}} end {array} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Simplifique: ( left (4 a ^ {2} b + 2 a b-7 ab ^ {2} right) – left (2 a ^ {2} ba b-5 ab ^ {2} right) )
- Respuesta
-
(2 a ^ {2} b + 3 a b-2 a b ^ {2} )
Restemos dos funciones polinómicas.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Dado (p (x) = – 5x ^ 3 +6 x – 9 ) y (q (x) = 6 x ^ 2 – 7x – 11 ), simplifica (p (x) −q (X)).
Solución
Primero, reemplace (p (x) ) y (q (x) ) con sus definiciones. Debido a que se nos pide restar todo (q (x) ) de todo (p (x) ), es fundamental rodear cada polinomio con paréntesis.
[p (x) -q (x) = left (-5 x ^ {3} +6 x-9 right) – left (6 x ^ {2} -7 x-11 right ) nonumber ]
Distribuya el signo menos, cambiando el signo de cada término en el segundo polinomio, luego reagrupe y combine términos similares.
[ begin {array} {l} {= – 5 x ^ {3} +6 x-9-6 x ^ {2} +7 x + 11} \ { color {Red} = – 5 x ^ {3} -6 x ^ {2} + (6 x + 7 x) + (- 9 + 11)} \ {= -5 x ^ {3} -6 x ^ {2} +13 x +2} end {array} nonumber ]
Sin embargo, después de distribuir el signo menos, si podemos combinar términos similares mentalmente, eliminando el paso intermedio, es mucho más eficiente escribir:
[ begin {alineado} p (x) -q (x) & = left (-5 x ^ {3} +6 x-9 right) – left (6 x ^ {2} – 7 x-11 right) \ & = – 5 x ^ {3} +6 x-9-6 x ^ {2} +7 x + 11 \ & = – 5 x ^ {3} -6 x ^ {2} +13 x + 2 end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Dado (f (x) = 3x ^ 2 + 9x − 4 ) y (g (x) = – 5×2 + 4x − 6 ), simplifique (f (x) −g (x) ).
- Respuesta
-
(8 x ^ {2} +5 x + 2 )
Algunas aplicaciones
Recuerde que el área de un rectángulo que tiene longitud (L ) y ancho (W ) se encuentra usando la fórmula (A = LW ). El área de un cuadrado que tiene el lado s se encuentra usando la fórmula (A = s ^ 2 ) (vea la Figura ( PageIndex {1} )).
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Encuentre el área del cuadrado en la Figura ( PageIndex {2} ) sumando el área de sus partes.
Solución
Separemos cada una de las cuatro piezas y etiquetemos cada una con su área (ver Figura ( PageIndex {3} )).
Los dos cuadrados sombreados en la Figura ( PageIndex {3} ) tienen áreas (A_1 = x ^ 2 ) y (A_3 = 9 ), respectivamente. Los dos rectángulos sin sombrear en la Figura ( PageIndex {3} ) tienen áreas (A_2 = 3 x ) y (A_4 = 3x ). Sumar estas cuatro áreas nos da el área de la fi gura completa.
[ begin {alineado} A & = A_ {1} + A_ {2} + A_ {3} + A_ {4} \ & = x ^ {2} +3 x + 9 + 3 x & = x ^ {2} +6 x + 9 end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Encuentre el área del cuadrado que se muestra a continuación sumando el área de sus partes.
- Respuesta
-
(x ^ {2} +8 x + 16 )
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Ginger dirige un negocio que vende cestas de mimbre. Sus costos comerciales para producir y vender (x ) cestas de mimbre están dados por la función polinómica (C (x) = 100 + 3x − 0.02x ^ 2 ). Los ingresos que obtiene de la venta de cestas de mimbre (x ) vienen dados por la función polinómica (R (x) = 2.75x ). Encuentre una fórmula para (P (x) ), el beneficio obtenido de la venta de cestas de mimbre (x ). Use su fórmula para determinar el beneficio de Ginger si vende (123 ) cestas de mimbre.
Solución
El beneficio obtenido de la venta de cestas de mimbre (x ) se obtiene restando los costos incurridos de los ingresos recibidos. En símbolos: [P (x) = R (x) −C (x) nonumber ]
Luego, reemplace (R (x) ) y (C (x) ) con sus definiciones. Como se supone que debemos restar todo el costo de los ingresos, asegúrese de rodear el polinomio del costo con paréntesis. [P (x) = 2 .75x− (100 + 3x − 0.02x ^ 2) nonumber ] [ 19459046] Distribuya el signo menos y combine términos similares.
[ begin {array} {l} {= 2.75 x-100-3 x + 0.02 x ^ {2}} \ {= 0.02 x ^ {2} -0.25 x-100} end {array } nonumber ]
Por lo tanto, la función de beneficio es (P (x) = 0 .02x ^ 2 −0.25x − 100 ).
Luego, para determinar el beneficio si se venden (123 ) cestas de mimbre, sustituya (123 ) por (x ) en la función de beneficio (P (x) ).
[ begin {alineado} P (x) & = 0.02 x ^ {2} -0.25 x-100 \ P (123) & = 0.02 (123) ^ {2} -0.25 (123) -100 end {alineado} nonumber ]
Ahora puede usar su calculadora gráfica para determinar el beneficio (vea la Figura ( PageIndex {5} )). Por lo tanto, el beneficio obtenido de la venta de cestas de mimbre (123 ) es ( $ 171.83 ).
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Los costos para producir y vender widgets (x ) están dados por la función polinómica (C (x) = 50 + 5x − 0.5x ^ 2 ), y los ingresos por vender (x ) los widgets vienen dados por la función polinómica (R (x) = 3.5x ). Determine el beneficio si se venden widgets (75 ).
- Respuesta
-
( $ 2,650 )