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las matematicas

5.5: Decimales y fracciones (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Convertir fracciones a decimales
  •      
  • Orden decimales y fracciones
  •      
  • Simplificar expresiones usando el orden de las operaciones
  •      
  • Encuentra la circunferencia y el área de los círculos
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Divide: 0.24 ÷ 8. Si se perdió este problema, repase Ejemplo 5.4.9 .
  2.      
  3. Ordene 0.64__0.6 usando . Si perdió este problema, revise Ejemplo 5.2.7 .
  4.      
  5. Ordene −0.2 __− 0.1 usando . Si perdió este problema, revise Ejemplo 5.2.8 .
  6.  
 
 
 

Convertir fracciones a decimales

 

En Decimales , aprendimos a convertir decimales en fracciones. Ahora haremos lo contrario: convertir fracciones a decimales. Recuerde que la barra de fracción indica división. Entonces ( dfrac {4} {5} ) se puede escribir 4 ÷ 5 o (5 overline {) 4} ). Esto significa que podemos convertir una fracción a un decimal al tratarlo como un problema de división.

 
 

Nota: Convertir una fracción en decimal

 

Para convertir una fracción a un decimal, divida el numerador de la fracción por el denominador de la fracción.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Escribe la fracción ( dfrac {3} {4} ) como decimal.

 

Solución

                                                                                                              
Una barra de fracción significa división, por lo que podemos escribir la fracción 3 4 usando la división. A division problem is shown. 3 is on the inside of the division sign and 4 is on the outside.
Divide. A division problem is shown. 3.00 is on the inside of the division sign and 4 is on the outside. Below the 3.00 is a 28 with a line below it. Below the line is a 20. Below the 20 is another 20 with a line below it. Below the line is a 0. Above the division sign is 0.75.
 

Entonces la fracción ( dfrac {3} {4} ) es igual a 0.75.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Escribe la fracción como decimal: ( dfrac {1} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(0,25 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Escribe la fracción como decimal: ( dfrac {3} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

(0,375 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Escribe la fracción (- dfrac {7} {2} ) como decimal.

 

Solución

                                                                                                              
El valor de esta fracción es negativo. Después de dividir, el valor del decimal será negativo. Hacemos la división ignorando el signo y luego escribimos el signo negativo en la respuesta. $$ – dfrac {7} {2} $$
Dividir 7 entre 2. A division problem is shown. 7.0 is on the inside of the division sign and 2 is on the outside. Below the 7 is a 6 with a line below it. Below the line is a 10. Below the 10 is another 10 with a line below it. Below the line is a 0. 3.5 is written above the division sign.
 

Entonces, (- dfrac {7} {2} ) = −3.5.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Escribe la fracción como decimal: (- dfrac {9} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 2,25 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Escribe la fracción como decimal: (- dfrac {11} {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 5,5 )

     
 
 
 

Decimales repetidos

 

Hasta ahora, en todos los ejemplos que convirtieron fracciones a decimales, la división resultó en un resto de cero. Este no es siempre el caso. Veamos qué sucede cuando convertimos la fracción ( dfrac {4} {3} ) a un decimal. Primero, observe que ( dfrac {4} {3} ) es una fracción impropia. Su valor es mayor que 1. El decimal equivalente también será mayor que 1.

 

Dividimos 4 entre 3.

 

A division problem is shown. 4.000 is on the inside of the division sign and 3 is on the outside. Below the 4 is a 3 with a line below it. Below the line is a 10. Below the 10 is a 9 with a line below it. Below the line is another 10, followed by another 9 with a line, followed by another 10, followed by another 9 with a line, followed by a 1. Above the division sign is 1.333...

 

 

No importa cuántos ceros más escribamos, siempre habrá un resto de 1, y los tres en el cociente continuarán para siempre. El número 1.333 … se llama un decimal repetitivo. Recuerde que el “…” significa que el patrón se repite.

 
 

Definición: Decimal repetido

 

Un decimal periódico es un decimal en el que el último dígito o grupo de dígitos se repite sin cesar.

 
 
 

¿Cómo sabes cuántas “repeticiones” escribir? En lugar de escribir 1.333 … usamos una notación abreviada colocando una línea sobre los dígitos que se repiten. El decimal de repetición 1.333 … se escribe 1. ( Overline {3} ). La línea sobre el 3 te dice que el 3 se repite sin cesar. Entonces 1.333 … = 1. ( Overline {3} ). Para otros decimales, pueden repetirse dos o más dígitos. La tabla ( PageIndex {1} ) muestra algunos ejemplos más de decimales repetidos.

                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {1} )
1.333 … = 1. ( Overline {3} ) 3 es el dígito que se repite
4.1666… = 4.1 ( overline {6} ) 6 es el dígito que se repite
4.161616 … = 4. ( Overline {16} ) 16 es el bloque de repetición
0.271271271… = 0. ( Overline {271} ) 271 es el bloque de repetición
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Escriba ( dfrac {43} {22} ) como un decimal.

 

Solución

 

Divide 43 entre 22.

 

A division problem is shown. 43.00000 is on the inside of the division sign and 22 is on the outside. Below the 43 is a 22 with a line below it. Below the line is a 210 with a 198 with a line below it. Below the line is a 120 with 110 and a line below it. Below the line is 100 with 88 and a line below it. Below the line is 120 with 110 and a line below it. Below the line is 100 with 88 and a line below it. Below the line is an ellipses. There are arrows pointing to the 120s saying 120 repeats. There are arrows pointing to the 100s saying 100 repeats. There are arrows pointing to the 88s saying, in red, “The pattern repeats, so the numbers in the quotient will repeat as well.” The quotient is shown above the division sign. It is 1.95454.

 

Observe que las diferencias de 120 y 100 se repiten, por lo que hay una repetición en los dígitos del cociente; 54 se repetirá sin cesar. El primer lugar decimal en el cociente, 9, no es parte del patrón. Entonces,

 

$$ dfrac {43} {22} = 1.9 overline {54} $$

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Escriba como un decimal: ( dfrac {27} {11} ).

 
     
Respuesta
     
     

(2. Overline {45} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Escriba como un decimal: ( dfrac {51} {22} ).

 
     
Respuesta
     
     

(2.3 overline {18} )

     
 
 
 
 

Es útil para convertir entre fracciones y decimales cuando necesitamos sumar o restar números en diferentes formas. Para agregar una fracción y un decimal, por ejemplo, necesitaríamos convertir la fracción a un decimal o el decimal a una fracción.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Simplifique: ( dfrac {7} {8} ) + 6.4.

 

Solución

                                                                                                                                          
Cambie ( dfrac {7} {8} ) a un decimal. 0,875 + 6,4
Agregar. 7.275
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Simplifique: ( dfrac {3} {8} ) + 4.9.

 
     
Respuesta
     
     

(5.275 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Simplifique: 5.7 + ( dfrac {13} {20} ).

 
     
Respuesta
     
     

(6,35 )

     
 
 
 

Orden de decimales y fracciones

 

En Decimales , comparamos dos decimales y determinamos cuál era más grande. Para comparar un decimal a una fracción, primero convertiremos la fracción a un decimal y luego compararemos los decimales.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Orden ( dfrac {3} {8} ) __ 0.4 usando .

 

Solución

                                                                                                                                                              
Convierta ( dfrac {3} {8} ) a un decimal. 0.375__0.4
Compare 0.375 a 0.4 0,375 <0,4
Reescribe con la fracción original. ( dfrac {3} {8} ) <0.4
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando .

 

$$ dfrac {17} {20} _ _ ; 0,82 $$

 
     
Respuesta
     
     

(> )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando .

 

$$ dfrac {3} {4} _ _ ; 0,785 $$

 
     
Respuesta
     
     

(<)

     
 
 
 

Al ordenar números negativos, recuerde que los números más grandes están a la derecha en la recta numérica y cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Ordene −0.5 ___ (- dfrac {3} {4} ) usando .

 

Solución

                                                                                                                                                              
Convierta (- dfrac {3} {4} ) a un decimal. −0,5 ___− 0,75
Compare −0.5 con −0.75. −0,5> −0,75
Reescribe la desigualdad con la fracción original. −0,5> (- dfrac {3} {4} )
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando :

 

$$ – dfrac {5} {8} _ _ −0.58 $$

 
     
Respuesta
     
     

(<)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando :

 

$$ – 0,53 _ _ – dfrac {11} {20} $$

 
     
Respuesta
     
     

(> )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Escriba los números ( dfrac {13} {20} ), 0.61, ( dfrac {11} {16} ) en orden de menor a mayor.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Convertir las fracciones a decimales. 0,65, 0,61, 0,6875
Escribe primero el número decimal más pequeño. 0.61, ____, _____
Escribe el siguiente número decimal más grande en el lugar intermedio. 0.61, 0.65, _____
Escribe el último número decimal (el más grande) en tercer lugar. 0,61, 0,65, 0,6875
Reescribe la lista con las fracciones originales. 0,61, ( dfrac {13} {20}, dfrac {11} {16} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Escriba cada conjunto de números en orden de menor a mayor: ( dfrac {7} {8}, dfrac {4} {5} ), 0.82.

 
     
Respuesta
     
     

( frac {4} {5} ), (0.82 ), ( frac {7} {8} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Escriba cada conjunto de números en orden de menor a mayor: 0.835, ( dfrac {13} {16}, dfrac {3} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3} {4} ), ( frac {13} {16} ), (0.835 )

     
 
 
 

Simplificar expresiones usando el orden de operaciones

 

El orden de operaciones introducido en Use the Language of Algebra también se aplica a los decimales. ¿Recuerdas lo que significa la frase “Por favor, perdona a mi querida tía Sally”?

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Simplifique las expresiones: (a) 7 (18.3 – 21.7) (b) ( dfrac {2} {3} ) (8.3 – 3.8)

 

Solución

 

(a) 7 (18,3 – 21,7)

                                                                                                              
Simplificar entre paréntesis. 7 (−3,4)
Multiplica. −23,8
 

(b) ( dfrac {2} {3} ) (8.3 – 3.8)

                                                                                                                                                                                                              
Simplificar entre paréntesis. $$ dfrac {2} {3} (4.5) $$
Escribe 4.5 como una fracción. $$ dfrac {2} {3} left ( dfrac {4.5} {1} right) $$
Multiplica. $$ dfrac {9} {3} $$
Simplificar. $$ 3 $$
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Simplifique: (a) 8 (14.6 – 37.5) (b) ( dfrac {3} {5} ) (9.6 – 2.1).

 
     
Responda a
     
     

(- 183,2 )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

(4,5 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Simplifique: (a) 25 (25.69 – 56.74) (b) ( dfrac {2} {7} ) (11.9 – 4.2).

 
     
Responda a
     
     

(- 776.25 )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

(2.2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Simplifique cada expresión: (a) 6 ÷ 0.6 + (0.2) 4 – (0.1) 2 (b) ( left ( dfrac {1} {10} right) ^ { 2} ) + (3.5) (0.9)

 

Solución

 

(a) 6 ÷ 0,6 + (0,2) 4 – (0,1) 2

                                                                                                                                                                                                                                                              
Simplifica exponentes. 6 ÷ 0,6 + (0,2) 4 – 0,01
Divide. 10 + (0.2) 4 – 0.01
Multiplica. 10 + 0,8 – 0,01
Agregar. 10,8 – 0,01
Restar. 10,79
 

(b) ( left ( dfrac {1} {10} right) ^ {2} ) + (3.5) (0.9)

                                                                                                                                                                                                              
Simplifica exponentes. ( dfrac {1} {100} ) + (3.5) (0.9)
Multiplica. ( dfrac {1} {100} ) + 3.15
Convierta ( dfrac {1} {100} ) a un decimal. 0,01 + 3,15
Agregar. 3.16
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

 

Simplifique: 9 ÷ 0.9 + (0.4) 3 – (0.2) 2 .

 
     
Respuesta
     
     

(11,16 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {2} ) + (0.3) (4.2).

 
     
Respuesta
     
     

(1,51 )

     
 
 
 
 
                                  
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