5.5: División de polinomios

5.5: División de polinomios

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Usa la división larga para dividir polinomios.
  •      
  • Usa la división sintética para dividir polinomios.
  •  
 
 

El exterior del Lincoln Memorial en Washington, D.C., es un sólido rectangular grande con 61.5 metros (m) de largo, 40 m de ancho y 30 m de alto.1 Podemos encontrar fácilmente el volumen usando geometría elemental.

 

[ begin {align *} V & = l ; { cdot} ; w ; { cdot} ; h \ & = 61.5 ; { cdot} ; 40 ; { cdot} ; 30 \ & = 73,800 end {align *} ]

 

Entonces el volumen es 73,800 metros cúbicos ( (m ^ 3 )).

 
Figura ( PageIndex {1} ): Lincoln Memorial, Washington, D.C. (crédito: Ron Cogswell, Flickr)
 

Supongamos que conocemos el volumen, la longitud y el ancho. Podríamos dividir para encontrar la altura.

 

[ begin {align *} h & = dfrac {V} {l { cdot} w} \ & = dfrac {73,800} {61.5 { cdot} 40} \ & = 30 end {alinear *} ]

 

Como podemos confirmar por las dimensiones anteriores, la altura es de 30 m. Podemos usar métodos similares para encontrar cualquiera de las dimensiones faltantes. También podemos usar el mismo método si alguna o todas las medidas contienen expresiones variables. Por ejemplo, supongamos que el volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio (3x ^ 4−3x ^ 3−33x ^ 2 + 54x ). La longitud del sólido viene dada por (3x ); el ancho viene dado por (x − 2 ).

 

Para encontrar la altura del sólido, podemos usar la división polinómica, que es el enfoque de esta sección.

 

Uso de la división larga para dividir polinomios

 

Estamos familiarizados con el algoritmo de división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos dividiendo en los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 por 3 usando una división larga.

 

 

Otra forma de ver la solución es como una suma de partes. Esto debería resultar familiar, ya que es el mismo método utilizado para verificar la división en aritmética elemental.

 

[ begin {align *} text {dividend} & = ( text {divisor} { cdot} text {quotient}) + text {resto} \ 178 & = (3 { cdot} 59) +1 \ & = 177 + 1 \ & = 178 end {align *} ]

 

A esto lo llamamos Algoritmo de división y lo discutiremos más formalmente después de ver un ejemplo.

 

La división de polinomios que contienen más de un término tiene similitudes con la división larga de números enteros. Podemos escribir un dividendo polinomial como el producto del divisor y el cociente agregado al resto. Los términos de la división polinómica corresponden a los dígitos (y los valores de posición) de la división de números enteros. Este método nos permite dividir dos polinomios. Por ejemplo, si dividiéramos (2x ^ 3−3x ^ 2 + 4x + 5 ) por (x + 2 ) usando el algoritmo de división larga, se vería así:

 

 

Hemos encontrado

 

[ dfrac {2x ^ 3−3x ^ 2 + 4x + 5} {x + 2} = 2x ^ 2−7x + 18− dfrac {31} {x + 2} ]

 

o

 

[2x ^ 3−3x ^ 2 + 4x + 5 = (x + 2) (2x ^ 2−7x + 18) −31 ]

 

Podemos identificar el dividendo, el divisor , el cociente y el resto .

 

Escribir el resultado de esta manera ilustra el algoritmo de división.

 
 

El algoritmo de división

 

El algoritmo de división establece que, dado un dividendo polinomial (f (x) ) y un divisor polinomial distinto de cero (d (x) ) donde el grado de (d (x) ) es menor que o igual al grado de (f (x) ), existen polinomios únicos (q (x) ) y (r (x) ) tales que

 

[f (x) = d (x) q (x) + r (x) ]

 

(q (x) ) es el cociente y (r (x) ) es el resto. El resto es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que (d (x) ).

 

Si (r (x) = 0 ), entonces (d (x) ) se divide uniformemente en (f (x) ). Esto significa que, en este caso, tanto (d (x) ) como (q (x) ) son factores de (f (x) ).

 
 
 

Dado un polinomio y un binomio, use una división larga para dividir el polinomio por el binomio

 
         
  1. Configure el problema de división.
  2.      
  3. Determine el primer término del cociente dividiendo el término principal del dividendo por el término principal del divisor.
  4.      
  5. Multiplica la respuesta por el divisor y escríbela debajo de los términos similares del dividendo.
  6.      
  7. Reste el binomio inferior del binomio superior.
  8.      
  9. Reduzca el próximo plazo del dividendo.
  10.      
  11. Repita los pasos 2–5 hasta llegar al último término del dividendo.
  12.      
  13. Si el resto no es cero, exprese como una fracción usando el divisor como denominador.
  14.  
 
 
     
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la división larga para dividir un polinomio de segundo grado

 

Divide (5x ^ 2 + 3x − 2 ) por (x + 1 ).

 

Solución

 

 

El cociente es (5x − 2 ). El resto es 0. Escribimos el resultado como

 

[ dfrac {5x ^ 2 + 3x − 2} {x + 1} = 5x − 2 ]

 

o

 

[5x ^ 2 + 3x − 2 = (x + 1) (5x − 2) ]

 

Análisis

 

Este problema de división tenía un resto de 0. Esto nos dice que el dividendo está dividido uniformemente por el divisor, y que el divisor es un factor del dividendo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso de la división larga para dividir un polinomio de tercer grado

 

Divide (6x ^ 3 + 11x ^ 2−31x + 15 ) por (3x − 2 ).

 

Solución

 

 

Hay un resto de 1. Podemos expresar el resultado como:

 

[ dfrac {6x ^ 3 + 11x ^ 2−31x + 15} {3x − 2} = 2x ^ 2 + 5x − 7 + dfrac {1} {3x − 2} ]

 

Análisis

 

Podemos verificar nuestro trabajo usando el Algoritmo de división para reescribir la solución. Entonces multiplica.

 

[(3x − 2) (2x ^ 2 + 5x − 7) + 1 = 6x ^ 3 + 11x ^ 2−31x + 15 ]

 

Observe, mientras escribimos nuestro resultado,

 
         
  • el dividendo es (6x ^ 3 + 11x ^ 2−31x + 15 )
  •      
  • el divisor es (3x − 2 )
  •      
  • el cociente es (2x ^ 2 + 5x − 7 )
  •      
  • el resto es (1 )
  •  
 
 
 

( PageIndex {2} )

 

Divide (16x ^ 3−12x ^ 2 + 20x − 3 ) por (4x + 5 ).

 
     
Solución
     
     

(4x ^ 2−8x + 15− dfrac {78} {4x + 5} )

     
 
 
 

Uso de la división sintética para dividir polinomios

 

Como hemos visto, la división larga de polinomios puede implicar muchos pasos y ser bastante engorrosa. La división sintética es un método abreviado de división de polinomios para el caso especial de división por un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1.

 

Para ilustrar el proceso, recuerde el ejemplo al comienzo de la sección.

 

Divide (2x ^ 3−3x ^ 2 + 4x + 5 ) por (x + 2 ) usando el algoritmo de división larga.

 

La forma final del proceso se veía así:

 

 

Hay muchas repeticiones en la tabla. Si no escribimos las variables, sino que alineamos sus coeficientes en columnas bajo el signo de división y también eliminamos los productos parciales, ya tenemos una versión más simple del problema completo.

 

 

La división sintética lleva esta simplificación incluso unos pocos pasos más. Contraiga la tabla moviendo cada una de las filas hacia arriba para llenar los espacios vacantes. Además, en lugar de dividir por 2, como lo haríamos en la división de números enteros, luego multiplicando y restando el producto medio, cambiamos el signo del «divisor» a –2, multiplicamos y sumamos. El proceso comienza bajando el coeficiente principal.

 

 

Luego lo multiplicamos por el «divisor» y lo sumamos, repitiendo este proceso columna por columna, hasta que no queden entradas. La fila inferior representa los coeficientes del cociente; La última entrada de la fila inferior es el resto. En este caso, el cociente es (2x ^ 2–7x + 18 ) y el resto es –31. El proceso se hará más claro en el Ejemplo ( PageIndex {3} ).

 
 

División sintética

 

La división sintética es un atajo que se puede usar cuando el divisor es un binomio en la forma (x − k ). En división sintética , solo se utilizan los coeficientes en el proceso de división.

 
 
 

Dados dos polinomios, use la división sintética para dividir

 
         
  1. Escribe (k ) para el divisor.
  2.      
  3. Escribe los coeficientes del dividendo.
  4.      
  5. Reduzca el coeficiente de plomo.
  6.      
  7. Multiplica el coeficiente principal por (k ). Escribe el producto en la siguiente columna.
  8.      
  9. Agregue los términos de la segunda columna.
  10.      
  11. Multiplica el resultado por (k ). Escribe el producto en la siguiente columna.
  12.      
  13. Repita los pasos 5 y 6 para las columnas restantes.
  14.      
  15. Usa los números inferiores para escribir el cociente. El número en la última columna es el resto y tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 1, el siguiente número de la derecha tiene grado 2, y así sucesivamente.
  16.  
 
 
     
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de la división sintética para dividir un polinomio de segundo grado

 

Usa la división sintética para dividir (5x ^ 2−3x − 36 ) por (x − 3 ).

 

Solución

 

Comience configurando la división sintética. Escribe (k ) y los coeficientes.

 

 

Reduzca el coeficiente de plomo. Multiplique el coeficiente principal por (k ).

 

 

Continúa agregando los números en la segunda columna. Multiplique el número resultante por (k ). Escriba el resultado en la siguiente columna. Luego agrega los números en la tercera columna.

 

 

El resultado es (5x + 12 ). El resto es 0. Entonces (x − 3 ) es un factor del polinomio original.

 

Análisis

 

Al igual que con la división larga, podemos verificar nuestro trabajo multiplicando el cociente por el divisor y agregando el resto.

 

[(x − 3) (5x + 12) + 0 = 5x ^ 2−3x − 36 ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la división sintética para dividir un polinomio de tercer grado

 

Usa la división sintética para dividir (4x ^ 3 + 10x ^ 2−6x − 20 ) por (x + 2 ).

 

Solución

 

El divisor binomial es (x + 2 ) entonces (k = −2 ). Agregue cada columna, multiplique el resultado por –2 y repita hasta llegar a la última columna.

 

 

El resultado es (4x ^ 2 + 2x − 10 ).

 

El resto es 0. Por lo tanto, (x + 2 ) es un factor de (4x ^ 3 + 10x ^ 2−6x − 20 ).

 

Análisis

 

La gráfica de la función polinómica (f (x) = 4x ^ 3 + 10x ^ 2−6x − 20 ) en la Figura ( PageIndex {2} ) muestra un cero en (x = k = −2 ). Esto confirma que (x + 2 ) es un factor de (4x ^ 3 + 10x ^ 2−6x − 20 ).

 
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de la división sintética para dividir un polinomio de cuarto grado

 

Usa la división sintética para dividir (- 9x ^ 4 + 10x ^ 3 + 7x ^ 2−6 ) por (x − 1 ).

 

Solución

 

Observe que no hay término x. Usaremos un cero como coeficiente para ese término.

 

 

El resultado es (- 9x ^ 3 + x ^ 2 + 8x + 8 + frac {2} {x − 1} ).

 
 
 

( PageIndex {5} )

 

Usa la división sintética para dividir (3x ^ 4 + 18x ^ 3−3x + 40 ) por (x + 7 ).

 
     
Solución
     
     

(3x ^ 3−3x ^ 2 + 21x − 150 + frac {1,090} {x + 7} )

     
 
 
 

Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación

 

La división polinómica puede usarse para resolver una variedad de problemas de aplicación que involucran expresiones para área y volumen. Examinamos una solicitud al comienzo de esta sección. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de la división polinómica en un problema de aplicación

 

El volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio (3x ^ 4−3x ^ 3−33x ^ 2 + 54x ). La longitud del sólido viene dada por (3x ) y el ancho está dado por (x − 2 ). Encuentra la altura del sólido.

 

Solución

 

Hay algunas formas de abordar este problema. Necesitamos dividir la expresión para el volumen del sólido por las expresiones para el largo y el ancho. Creemos un boceto como en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
Figura ( PageIndex {3} )
 

Ahora podemos escribir una ecuación sustituyendo los valores conocidos en la fórmula por el volumen de un sólido rectangular.

 

[ begin {align *} V & = l { cdot} w { cdot} h \ 3x ^ 4−3x ^ 3−33x ^ 2 + 54x & = 3x { cdot} (x − 2) { cdot} h end {align *} ]

 

Para resolver (h ), primero divide ambos lados entre (3x ).

 

[ dfrac {3x { cdot} (x − 2) { cdot} h} {3x} = dfrac {3x ^ 4−3x ^ 3−33x ^ 2 + 54x} {3x} ]

 

[(x-2) h = dfrac {x ^ 3-x ^ 2-11x + 18} {x-2} ]

 

Ahora resuelve (h ) usando la división sintética.

 

[h = dfrac {x ^ 3 − x ^ 2−11x + 18} {x − 2} ]

 

 

El cociente es (x ^ 2 + x − 9 ) y el resto es 0. La altura del sólido es (x ^ 2 + x − 9 ).

 
 
 

( PageIndex {6} )

 

El área de un rectángulo viene dada por (3x ^ 3 + 14x ^ 2−23x + 6 ). El ancho del rectángulo viene dado por (x + 6 ). Encuentra una expresión para la longitud del rectángulo.

 
     
Solución
     
     

(3x ^ 2−4x + 1 )

     
 
 
 

Ecuaciones clave

 

Algoritmo de división (f (x) = d (x) q (x) + r (x) ) donde (q (x) { neq} 0 )

 

Conceptos clave

 
         
  • La división larga polinómica se puede usar para dividir un polinomio por cualquier polinomio de igual o menor grado.
  •      
  • El algoritmo de división nos dice que un dividendo polinomial puede escribirse como el producto del divisor y el cociente agregado al resto.
  •      
  • La división sintética es un atajo que se puede usar para dividir un polinomio por un binomio en la forma x − k.
  •      
  • La división polinómica puede usarse para resolver problemas de aplicación, incluyendo área y volumen.
  •  
 

Glosario

 

Algoritmo de división

 

dado un dividendo polinomial (f (x) ) y un divisor polinomial distinto de cero (d (x) ) donde el grado de (d (x) ) es menor o igual que el grado de (f (x) ), existen polinomios únicos (q (x) ) y (r (x) ) tales que (f (x) = d (x) q (x) + r (x) ) donde (q (x) ) es el cociente y (r (x) ) es el resto. El resto es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que (d (x) ).

 

división sintética

 

un método abreviado que se puede utilizar para dividir un polinomio por un binomio de la forma (x − k )

 
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