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las matematicas
algebra fundamental

5.5: exponentes racionales

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Escribe expresiones con exponentes racionales en forma radical.
    •      
  • Escribe expresiones radicales con exponentes racionales.
    •      
  • Realizar operaciones y simplificar expresiones con exponentes racionales.
    •      
  • Realizar operaciones en radicales con diferentes índices.
    •  
 
 

Hasta ahora, los exponentes se han limitado a enteros. En esta sección, definiremos qué significan los exponentes racionales (o fraccionarios) y cómo trabajar con ellos. Se aplican todas las reglas para exponentes desarrolladas hasta este punto. En particular, recuerde la regla del producto para exponentes. Dados los números racionales (m ) y (n ), tenemos

 

(x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n} )

 

Por ejemplo, si tenemos un exponente de (1/2 ), entonces la regla del producto para exponentes implica lo siguiente:

 

(5 ^ {1/2} cdot 5 ^ {1/2} = 5 ^ {1/2 + 1/2} = 5 ^ {1} = 5 )

 

Aquí (5 ^ {1/2} ) es uno de los dos factores iguales de (5 ); por lo tanto, es una raíz cuadrada de (5 ), y podemos escribir

 

(5 ^ {1/2} = sqrt {5} )

 

Además, podemos ver que (2 ^ {1/3} ) es uno de los tres factores iguales de (2 ).

 

(2 ^ {1/3} cdot 2 ^ {1/3} cdot 2 ^ {1/3} = 2 ^ {13 + 1/3 + 1/3} = 2 ^ {3 / 3} = 2 ^ {1} = 2 )

 

Por lo tanto, (2 ^ {1/3} ) es una raíz cúbica de (2 ), y podemos escribir

 

(2 ^ {1/3} = sqrt [3] {2} )

 

Esto es cierto en general, dado cualquier número real distinto de cero (a ) y entero (n geq 2 ),

 

(a ^ {1 / n} = sqrt [n] {a} )

 

En otras palabras, el denominador de un exponente fraccionario determina el índice de una raíz (n ) th.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Reescribe como un radical.

 
         
  1. (6 ^ {1/2} )
    2.      
  2. (6 ^ {1/3} )
    3.  
 

Solución

 
         
  1. (6 ^ {1/2} = sqrt [2] {6} = sqrt {6} )
    2.      
  2. (6 ^ {1/3} = sqrt [3] {6} )
    3.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Reescribe como radical y luego simplifica.

 
         
  1. (16 ^ {1/2} )
    2.      
  2. (16 ^ {1/4} )
    3.  
 

Solución

 
         
  1. (16 ^ {1/2} = sqrt {16} = sqrt {4 ^ {2}} = 4 )
    2.      
  2. (16 ^ {1/4} = sqrt [4] {16} = sqrt [4] {2 ^ {4}} = 2 )
    3.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Reescribe como radical y luego simplifica.

 
         
  1. ( left (64 x ^ {3} right) ^ {1/3} )
    2.      
  2. ( left (- 32 x ^ {5} y ^ {10} right) ^ {1/5} )
    3.  
 

Solución

 

1.

 

( begin {alineado} left (64 x ^ {3} right) ^ {1/3} & = sqrt [3] {64 x ^ {3}} \ & = sqrt [ 3] {4 ^ {3} x ^ {3}} \ & = 4 x end {alineado} )

 

2.

 

( begin {alineado} left (- 32 x ^ {5} y ^ {10} right) ^ {1/5} & = sqrt [5] {- 32 x ^ {5} y ^ {10}} \ & = sqrt [5] {(- 2) ^ {5} x ^ {5} left (y ^ {2} right) ^ {5}} \ & = – 2 xy ^ {2} end {alineado} )

 
     
 
 

A continuación, considere los exponentes fraccionarios donde el numerador es un número entero distinto de (1 ). Por ejemplo, considere lo siguiente:

 

(5 ^ {2/3} cdot 5 ^ {2/3} cdot 5 ^ {2/3} = 5 ^ {2/3 + 2/3 + 2/3} = 5 ^ { 6/3} = 5 ^ {2} )

 

Esto muestra que (5 ^ {2/3} ) es uno de los tres factores iguales de (5 ^ {2} ). En otras palabras, (5 ^ {2/3} ) es una raíz cúbica de (5 ^ {2} ) y podemos escribir:

 

(5 ^ {2/3} = sqrt [3] {5 ^ {2}} )

 

En general, dado cualquier número real distinto de cero (a ) donde (m ) y (n ) son enteros positivos ((n geq 2) ),

 

(a ^ {m / n} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

 

Una expresión con un exponente racional 20 es equivalente a un radical donde el denominador es el índice y el numerador es el exponente. Cualquier expresión radical se puede escribir con un exponente racional, que llamamos exponencial forma 21 .

 

( color {Cerulean} {Radical : form quad Exponential : form} \ sqrt [5] {x ^ {2}} quad quad quad = quad quad x ^ { 2/5} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Reescribe como un radical.

 
         
  1. (6 ^ {2/5} )
    2.      
  2. (3 ^ {3/4} )
    3.  
 

Solución

 
         
  1. (6 ^ {2/5} = sqrt [5] {6 ^ {2}} = sqrt [5] {36} )
    2.      
  2. (3 ^ {3/4} = sqrt [4] {3 ^ {3}} = sqrt [4] {27} )
    3.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Reescribe como radical y luego simplifica.

 
         
  1. (27 ^ {2/3} )
    2.      
  2. ((12) ^ {5/3} )
    3.  
 

Solución

 

A menudo podemos evitar enteros muy grandes trabajando con su factorización prima.

 

1.

 

( begin {alineado} 27 ^ {2/3} & = sqrt [3] {27 ^ {2}} \ & = sqrt [3] { left (3 ^ {3} derecha) ^ {2}} quad color {Cerulean} {Reemplazar : 27 : con : 3 ^ {3}} \ & = sqrt [3] {3 ^ {6}} quad : quad color {Cerulean} {Simplify.} \ & = 3 ^ {2} \ & = 9 end {alineado} )

 

2.

 

( begin {alineado} (12) ^ {5/3} & = sqrt [3] {(12) ^ {5}} quad quad quad quad color {Cerulean} {Reemplazar : 12 : con : 2 ^ {2} cdot3.} \ & = sqrt [3] { left (2 ^ {2} cdot 3 right) ^ {5}} quad quad : : : color {Cerulean} {Apply : the : rules : for : exponents.} \ & = sqrt [3] {2 ^ {10} cdot3 ^ {5}} quad quad quad : color {Cerulean} {Simplify.} \ & = sqrt [3] {2 ^ {9} cdot 2 cdot 3 ^ {3} cdot 3 ^ {2}} & = 2 ^ {3} cdot 3 cdot sqrt [3] {2 cdot 3 ^ {2}} \ & = 24 sqrt [3] {18} end {alineado} ) [19459003 ]  

 

Dada una expresión radical, podríamos querer encontrar el equivalente en forma exponencial. Suponga que todas las variables son positivas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Reescribe usando exponentes racionales: ( sqrt [5] {x ^ {3}} ).

 

Solución

 

Aquí el índice es (5 ) y el poder es (3 ). Podemos escribir

 

( sqrt [5] {x ^ {3}} = x ^ {3/5} )

 

Respuesta :

 

(x ^ {3/5} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Reescribe usando exponentes racionales: ( sqrt [6] {y ^ {3}} ).

 

Solución

 

Aquí el índice es (6 ) y el poder es (3 ). Podemos escribir

 

( begin {alineado} sqrt [6] {y ^ {3}} & = y ^ {3/6} \ & = y ^ {1/2} end {alineado} ) [ 19459003]  

Respuesta :

 

(y ^ {1/2} )

 
 

Es importante tener en cuenta que los siguientes son equivalentes.

 

(a ^ {n / n} = sqrt [n] {a ^ {m}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} )

 

En otras palabras, no importa si aplicamos primero el poder o la raíz primero. Por ejemplo, podemos aplicar la potencia antes de la raíz (n ) th:

 

(27 ^ {2/3} = sqrt [3] {27 ^ {2}} = sqrt [3] { left (3 ^ {3} right) ^ {2}} = sqrt [3] {3 ^ {6}} = 3 ^ {2} = 9 )

 

O podemos aplicar la raíz (n ) th antes del poder:

 

(27 ^ {2/3} = ( sqrt [3] {27}) ^ {2} = left ( sqrt [3] {3 ^ {3}} right) ^ {2} = (3) ^ {2} = 9 )

 

Los resultados son los mismos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Reescribe como radical y luego simplifica: ((- 8) ^ {2/3} ).

 

Solución

 

Aquí el índice es (3 ) y el poder es (2 ). Podemos escribir

 

((- 8) ^ {2/3} = ( sqrt [3] {- 8}) ^ {2} = (- 2) ^ {2} = 4 )

 

Respuesta :

 

(4 )

 
 

Algunas calculadoras tienen un botón de intercalación (^ ) que se usa para ingresar exponentes. Si es así, podemos calcular aproximaciones para radicales usándolo y exponentes racionales. Por ejemplo, para calcular ( sqrt {2} = 2 ^ {1/2} = 2 { wedge} (1/2) aprox 1.414 ) utilizamos los botones de paréntesis y escribimos

 
Screenshot (142).png
Figura 5.5.1
 

Para calcular ( sqrt [3] {2 ^ {2}} = 2 ^ {2/3} = 2 wedge (2/3) aprox 1.587 ), escribiríamos

 
Screenshot (143).png
Figura 5.5.2
 

Operaciones que utilizan las reglas de los exponentes

 

En esta sección, revisamos todas las reglas de exponentes, que se extienden para incluir exponentes racionales. Si se le dan números racionales (m ) y (n ), entonces tenemos

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Regla del producto para exponentes: (x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n} )
Regla del cociente para exponentes: ( frac {x ^ {m}} {x ^ {n}} = x ^ {m – n}, x neq 0 )
Regla de potencia para exponentes: ( left (x ^ {m} right) ^ {n} = x ^ {m cdot n} )
Regla de potencia para un producto: ((x y) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n} )
Regla de poder para un cociente: ( left ( frac {x} {y} right) ^ {n} = frac {x ^ {n}} {y ^ {n}}, y neq 0 )
Exponentes negativos: (x ^ {- n} = frac {1} {x ^ {n}} )
Exponente cero: (x ^ {0} = 1, x neq 0 )
 

Tabla 5.5.1

 

Estas reglas nos permiten realizar operaciones con exponentes racionales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Simplifique: (7 ^ {1/3} cdot 7 ^ {4/9} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} 7 ^ {1/3} cdot 7 ^ {49} & = 7 ^ {1/3 + 49} quad color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n}.} \ & = 7 ^ {3/9 + 4/9} \ & = 7 ^ {7 / 9} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(7 ^ {7/9} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique: ( frac {x ^ {3/2}} {x ^ {2/3}} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} frac {x ^ {3/2}} {x ^ {2/3}} & = x ^ {3/2 – 2/3} quad color {Cerulean} {Aplicar : el : cociente : regla : frac {x ^ {m}} {x ^ {n}} = x ^ {mn}.} \ & = x ^ {9/6 – 4 / 6} \ & = x ^ {5/6} end {alineado} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Simplifique: ( left (y ^ {3/4} right) ^ {2/3} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} left (y ^ {3/4} right) ^ {2/3} & = y ^ {(3/4) (2/3)} quad color { Cerulean} {Apply : the : power : rule 🙁 x ^ {m}) ^ {n} = x ^ {m cdot n}.} \ & = y ^ {6/12} quad quad : : : color {Cerulean} {Multiplicar : los : exponentes : y : reducir.} \ & = y ^ {1/2} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(y ^ {1/2} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Simplifique: ( left (81 a ^ {8} b ^ {12} right) ^ {3/4} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} left (81 a ^ {8} b ^ {12} right) ^ {3/4} & = left (3 ^ {4} a ^ {8} b ^ {12} right) ^ {3/4} quad quad quad quad quad color {Cerulean} {Rewrite : 81 : as : 3 ^ {4}.} \ & = left (3 ^ {4} right) ^ {3/4} left (a ^ {8} right) ^ {3/4} left (b ^ {12} right) ^ {3/4} : : : color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : for : a : product.} \ & = 3 ^ {4 (3/4)} a ^ {8 (3/4)} b ^ {12 (3/4)} quad quad color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : to : each : factor.} \ & = 3 ^ {3} a ^ {6} b ^ {9} quad quad quad quad quad quad quad : color {Cerulean} {Simplify.} \ & = 27 a ^ {6 } b ^ {9} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(27 a ^ {6} b ^ {9} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Simplifique: ( left (9 x ^ {4} right) ^ {- 3/2} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} left (9 x ^ {4} right) ^ {- 3/2} & = frac {1} { left (9 x ^ {4} right) ^ {3/2}} quad quad quad color {Cerulean} {Apply : the : definition : of : negative : exponents : x ^ {- n} = frac {1} {x ^ {n}}.} \ & = frac {1} { left (3 ^ {2} x ^ {4} right) ^ {3/2}} quad quad : : color {Cerulean} {Escribe : 9 : como : 3 ^ {2} : y : apply : the : rules : of : exponents.} \ & = frac {1} {3 ^ {2 (3/2)} x ^ {4 (3/2)}} \ & = frac {1} {3 ^ {3} cdot x ^ {6}} \ & = frac {1 } {27 x ^ {6}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( frac {1} {27 x ^ {6}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplifique: ( frac { left (125 a ^ {1/4} b ^ {6} right) ^ {2/3}} {a ^ {1/6}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(25 b ^ {4} )

     

     
 
 
 

Expresiones radicales con diferentes índices

 

Para aplicar la regla del producto o cociente para radicales, los índices de los radicales involucrados deben ser los mismos. Si los índices son diferentes, primero reescriba los radicales en forma exponencial y luego aplique las reglas para los exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Multiplicar: ( sqrt {2} cdot sqrt [3] {2} ).

 

Solución

 

En este ejemplo, el índice de cada factor radical es diferente. Por lo tanto, la regla del producto para radicales no se aplica. Comience convirtiendo los radicales en una forma equivalente usando exponentes racionales. Luego aplica la regla del producto para exponentes.

 

( begin {alineado} sqrt {2} cdot sqrt [3] {2} & = 2 ^ {1/2} cdot 2 ^ {1/3} quad color {Cerulean} {Equivalentes : usando : racional : exponentes.} \ & = 2 ^ {1/2 + 1/3} quad : : color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : para : exponentes.} \ & = 2 ^ {5/6} \ & = sqrt [6] {2 ^ {5}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( sqrt [6] {2 ^ {5}} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Divide: ( frac { sqrt [3] {4}} { sqrt [5] {2}} ).

 

Solución

 

En este ejemplo, el índice del radical en el numerador es diferente del índice del radical en el denominador. Por lo tanto, la regla del cociente para radicales no se aplica. Comience por convertir los radicales en una forma equivalente usando exponentes racionales y luego aplique la regla del cociente para exponentes.

 

( begin {alineado} frac { sqrt [3] {4}} { sqrt [5] {2}} & = frac { sqrt [3] {2 ^ {2}}} { sqrt [5] {2}} \ & = frac {2 ^ {2/3}} {2 ^ {1/5}} quad quad color {Cerulean} {Equivalentes : usando : racional : exponentes.} \ & = 2 ^ {2/3 – 1/5} : : : color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : exponents. } \ & = 2 ^ {7/15} \ & = sqrt [15] {2 ^ {7}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( sqrt [15] {2 ^ {7}} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

Simplifique: ( sqrt { sqrt [3] {4}} ).

 

Solución

 

Aquí el radicando de la raíz cuadrada es una raíz cúbica. Después de reescribir esta expresión usando exponentes racionales, veremos que se aplica la regla de potencia para exponentes.

 

( begin {alineado} sqrt { sqrt [3] {4}} & = sqrt { sqrt [3] {2 ^ {2}}} \ & = left (2 ^ { 2/3} right) ^ {1/2} quad color {Cerulean} {Equivalentes : usando : racional : exponentes.} \ & = 2 ^ {(2/3) (1/2) } quad color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : for : exponents.} \ & = 2 ^ {1/3} \ & = sqrt [3] {2} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( sqrt [3] {2} )

 
 

Puntos clave

 
         
  • Cualquier expresión radical se puede escribir en forma exponencial: ( sqrt [n] {a ^ {m}} = a ^ {m / n} ).
    •      
  • Los exponentes fraccionales indican radicales. Usa el numerador como la potencia y el denominador como el índice del radical.
    •      
  • Todas las reglas de exponentes se aplican a expresiones con exponentes racionales.
    •      
  • Si las operaciones deben aplicarse a radicales con diferentes índices, primero reescribe los radicales en forma exponencial y luego aplica las reglas para los exponentes.
    •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Expresar usando exponentes racionales.

 
         
  1. ( sqrt {10} )
    2.      
  2. ( sqrt {6} )
    3.      
  3. ( sqrt [3] {3} )
    4.      
  4. ( sqrt [4] {5} )
    5.      
  5. ( sqrt [3] {5 ^ {2}} )
    6.      
  6. ( sqrt [4] {2 ^ {3}} )
    7.      
  7. ( sqrt [3] {49} )
    8.      
  8. ( sqrt [3] {9} )
    9.      
  9. ( sqrt [5] {x} )
    10.      
  10. ( sqrt [6] {x} )
    11.      
  11. ( sqrt [6] {x ^ {7}} )
    12.      
  12. ( sqrt [5] {x ^ {4}} )
    13.      
  13. ( frac {1} { sqrt {x}} )
    14.      
  14. ( frac {1} { sqrt [3] {x ^ {2}}} )
    15.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (10 ​​^ {1/2} )

     

3. (3 ^ {1/3} )

     

5. (5 ^ {2/3} )

     

7. (7 ^ {2/3} )

     

9. (x ^ {1/5} )

     

11. (x ^ {7/6} )

     

13. (x ^ {- 1/2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Expresar en forma radical.

 
         
  1. (10 ​​^ {1/2} )
    2.      
  2. (11 ^ {1/3} )
    3.      
  3. (7 ^ {2/3} )
    4.      
  4. (2 ^ {3/5} )
    5.      
  5. (x ^ {3/4} )
    6.      
  6. (x ^ {5/6} )
    7.      
  7. (x ^ {- 1/2} )
    8.      
  8. (x ^ {- 3/4} )
    9.      
  9. ( left ( frac {1} {x} right) ^ {- 1/3} )
    10.      
  10. ( left ( frac {1} {x} right) ^ {- 3/5} )
    11.      
  11. ((2 x + 1) ^ {2/3} )
    12.      
  12. ((5 x – 1) ^ {1/2} )
    13.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( sqrt {10} )

     

3. ( sqrt [3] {49} )

     

5. ( sqrt [4] {x ^ {3}} )

     

7. ( frac {1} { sqrt {x}} )

     

9. ( sqrt [3] {x} )

     

11. ( sqrt [3] {(2 x + 1) ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Escribe como radical y luego simplifica.

 
         
  1. (64 ^ {1/2} )
    2.      
  2. (49 ^ {1/2} )
    3.      
  3. ( left ( frac {1} {4} right) ^ {1/2} )
    4.      
  4. ( left ( frac {4} {9} right) ^ {1/2} )
    5.      
  5. (4 ^ {- 1/2} )
    6.      
  6. (9 ^ {- 1/2} )
    7.      
  7. ( left ( frac {1} {4} right) ^ {- 1/2} )
    8.      
  8. ( left ( frac {1} {16} right) ^ {- 1/2} )
    9.      
  9. (8 ^ {1/3} )
    10.      
  10. (125 ^ {1/3} )
    11.      
  11. ( left ( frac {1} {27} right) ^ {1/3} )
    12.      
  12. ( left ( frac {8} {125} right) ^ {1/3} )
    13.      
  13. ((- 27) ^ {1/3} )
    14.      
  14. ((- 64) ^ {1/3} )
    15.      
  15. (16 ^ {1/4} )
    16.      
  16. (625 ^ {1/4} )
    17.      
  17. (81 ^ {- 1/4} )
    18.      
  18. (16 ^ {- 1/4} )
    19.      
  19. (100,000 ^ {1/5} )
    20.      
  20. ((- 32) ^ {1/5} )
    21.      
  21. ( left ( frac {1} {32} right) ^ {1/5} )
    22.      
  22. ( left ( frac {1} {243} right) ^ {1/5} )
    23.      
  23. (9 ^ {3/2} )
    24.      
  24. (4 ^ {3/2} )
    25.      
  25. (8 ^ {5/3} )
    26.      
  26. (27 ^ {2/3} )
    27.      
  27. (16 ^ {3/2} )
    28.      
  28. (32 ^ {2/5} )
    29.      
  29. ( left ( frac {1} {16} right) ^ {3/4} )
    30.      
  30. ( left ( frac {1} {81} right) ^ {3/4} )
    31.      
  31. ((- 27) ^ {2/3} )
    32.      
  32. ((- 27) ^ {4/3} )
    33.      
  33. ((- 32) ^ {3/5} )
    34.      
  34. ((- 32) ^ {4/5} )
    35.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (8 )

     

3. ( frac {1} {2} )

     

5. ( frac {1} {2} )

     

7. (2 )

     

9. (2 )

     

11. (frac {1} {3} )

     

13. (- 3 )

     

15. (2 )

     

17. ( frac {1} {3} )

     

19. (10 ​​)

     

21. ( frac {1} {2} )

     

23. (27 )

     

25. (32 )

     

27. (64 )

     

29. ( frac {1} {8} )

     

31. (9 )

     

33. (- 8 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Usa una calculadora para aproximar una respuesta redondeada a la centésima más cercana.

 
         
  1. (2 ^ {1/2} )
    2.      
  2. (2 ^ {1/3} )
    3.      
  3. (2 ^ {3/4} )
    4.      
  4. (3 ^ {2/3} )
    5.      
  5. (5 ^ {1/5} )
    6.      
  6. (7 ^ {1/7} )
    7.      
  7. ((- 9) ^ {3/2} )
    8.      
  8. (- 9 ^ {3/2} )
    9.      
  9. Explica por qué ((- 4) ^ { wedge} (3/2) ) da un error en una calculadora y (- 4 ^ { wedge} (3/2) ) da una respuesta de (- 8 ).
    10.      
  10. Marcy recibió un mensaje de texto de Mark preguntándole su edad. En respuesta, Marcy respondió ” (125 ^ { wedge} (2/3) ) años”. Ayuda a Mark a determinar la edad de Marcy.
    11.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (1.41 )

     

3. (1.68 )

     

5. (1.38 )

     

7. No es un número real

     

9. La respuesta puede variar

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Realizar las operaciones y simplificar. Deja las respuestas en forma exponencial.

 
         
  1. (5 ^ {3/2} cdot 5 ^ {1/2} )
    2.      
  2. (3 ^ {2/3} cdot 3 ^ {7/3} )
    3.      
  3. (5 ^ {1/2} cdot 5 ^ {1/3} )
    4.      
  4. (2 ^ {1/6} cdot 2 ^ {3/4} )
    5.      
  5. (y ^ {1/4} cdot y ^ {2/5} )
    6.      
  6. (x ^ {1/2} cdot x ^ {1/4} )
    7.      
  7. ( frac {5 ^ {11/3}} {5 ^ {2/3}} )
    8.      
  8. ( frac {2 ^ {9/2}} {2 ^ {1/2}} )
    9.      
  9. ( frac {2 a ^ {2/3}} {a ^ {1/6}} )
    10.      
  10. ( frac {3 b ^ {1/2}} {b ^ {1/3}} )
    11.      
  11. ( left (8 ^ {1/2} right) ^ {2/3} )
    12.      
  12. ( left (3 ^ {6} right) ^ {2/3} )
    13.      
  13. ( left (x ^ {2/3} right) ^ {1/2} )
    14.      
  14. ( left (y ^ {3/4} right) ^ {4/5} )
    15.      
  15. ( left (y ^ {8} right) ^ {- 1/2} )
    16.      
  16. ( left (y ^ {6} right) ^ {- 2/3} )
    17.      
  17. ( left (4 x ^ {2} y ^ {4} right) ^ {1/2} )
    18.      
  18. ( left (9 x ^ {6} y ^ {2} right) ^ {1/2} )
    19.      
  19. ( left (2 x ^ {1/3} y ^ {2/3} right) ^ {3} )
    20.      
  20. ( left (8 x ^ {3/2} y ^ {1/2} right) ^ {2} )
    21.      
  21. ( left (36 x ^ {4} y ^ {2} right) ^ {- 1/2} )
    22.      
  22. ( left (8 x ^ {3} y ^ {6} z ^ {- 3} right) ^ {- 1/3} )
    23.      
  23. ( left ( frac {a ^ {3/4}} {a ^ {1/2}} right) ^ {4/3} )
    24.      
  24. ( left ( frac {b ^ {4/5}} {b ^ {1/10}} right) ^ {10/3} )
    25.      
  25. ( left ( frac {4 x ^ {2/3}} {y ^ {4}} right) ^ {1/2} )
    26.      
  26. ( left ( frac {27 x ^ {3/4}} {y ^ {9}} right) ^ {1/3} )
    27.      
  27. ( frac {y ^ {1/2} y ^ {2/3}} {y ^ {1/6}} )
    28.      
  28. ( frac {x ^ {2/5} x ^ {1/2}} {x ^ {1/10}} )
    29.      
  29. ( frac {x y} {x ^ {1/2} y ^ {1/3}} )
    30.      
  30. ( frac {x ^ {5/4} y} {x y ^ {2/5}} )
    31.      
  31. ( frac {49 a ^ {5/7} b ^ {3/2}} {7 a ^ {3/7} b ^ {1/4}} )
    32.      
  32. ( frac {16 a ^ {5/6} b ^ {5/4}} {8 a ^ {1/2} b ^ {2/3}} )
    33.      
  33. ( frac { left (9 x ^ {2/3} y ^ {6} right) ^ {3/2}} {x ^ {1/2} y} )
    34.      
  34. ( frac { left (125 x ^ {3} y ^ {3/5} right) ^ {2/3}} {x y ^ {1/3}} )
    35.      
  35. ( frac { left (27 a ^ {1/4} b ^ {3/2} right) ^ {2/3}} {a ^ {1/6} b ^ {1/2 }} )
    36.      
  36. ( frac { left (25 a ^ {2/3} b ^ {4/3} right) ^ {3/2}} {a ^ {1/6} b ^ {1/3 }} )
    37.      
  37. ( left (16 x ^ {2} y ^ {- 1/3} z ^ {2/3} right) ^ {- 3/2} )
    38.      
  38. ( left (81 x ^ {8} y ^ {- 4/3} z ^ {- 4} right) ^ {- 3/4} )
    39.      
  39. ( left (100 a ^ {- 2/3} b ^ {4} c ^ {- 3/2} right) ^ {- 1/2} )
    40.      
  40. ( left (125 a ^ {9} b ^ {- 3/4} c ^ {- 1} right) ^ {- 1/3} )
    41.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (25 )

     

3. (5 ^ {5/6} )

     

5. (y ^ {13/20} )

     

7. (125 )

     

9. (2 a ^ {1/2} )

     

11. (2 )

     

13. (x ^ {1/3} )

     

15. ( frac {1} {y ^ {4}} )

     

17. (2 x y ^ {2} )

     

19. (8 x y ^ {2} )

     

21. ( frac {1} {6 x ^ {2} y} )

     

23. (a ^ {1/3} )

     

25. ( frac {2 x ^ {1/3}} {y ^ {2}} )

     

27. (y )

     

29. (x ^ {1/2} y ^ {2/3} )

     

31. (7 a ^ {2/7} b ^ {5/4} )

     

33. (27 x ^ {1/2} y ^ {8} )

     

35. (9 b ^ {1/2} )

     

37. ( frac {y ^ {1/2}} {64 x ^ {3} z} )

     

39. ( frac {a ^ {1/3} b ^ {3/4}} {10 b ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Realizar las operaciones.

 
         
  1. ( sqrt [3] {9} cdot sqrt [5] {3} )
    2.      
  2. ( sqrt {5} cdot sqrt [5] {25} )
    3.      
  3. ( sqrt {x} cdot sqrt [3] {x} )
    4.      
  4. ( sqrt {y} cdot sqrt [4] {y} )
    5.      
  5. ( sqrt [3] {x ^ {2}} cdot sqrt [4] {x} )
    6.      
  6. ( sqrt [5] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} )
    7.      
  7. ( frac { sqrt [3] {100}} { sqrt {10}} )
    8.      
  8. ( frac { sqrt [5] {16}} { sqrt [3] {4}} )
    9.      
  9. ( frac { sqrt [3] {a ^ {2}}} { sqrt {a}} )
    10.      
  10. ( frac { sqrt [5] {b ^ {4}}} { sqrt [3] {b}} )
    11.      
  11. ( frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [5] {x ^ {3}}} )
    12.      
  12. ( frac { sqrt [4] {x ^ {3}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} )
    13.      
  13. ( sqrt { sqrt [5] {16}} )
    14.      
  14. ( sqrt { sqrt [3] {9}} )
    15.      
  15. ( sqrt [3] { sqrt [5] {2}} )
    16.      
  16. ( sqrt [3] { sqrt [5] {5}} )
    17.      
  17. ( sqrt [3] { sqrt {7}} )
    18.      
  18. ( sqrt [3] { sqrt {3}} )
    19.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( sqrt [15] {3 ^ {13}} )

     

3. ( sqrt [6] {x ^ {5}} )

     

5. ( sqrt [12] {x ^ {11}} )

     

7. ( sqrt [6] {10} )

     

9. ( sqrt [6] {a} )

     

11. ( sqrt [15] {x} )

     

13. ( sqrt [5] {4} )

     

15. ( sqrt [15] {2} )

     

17. ( sqrt [6] {7} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 
         
  1. ¿A quién se le atribuye el diseño de la notación que permite exponentes racionales? ¿Cuáles son algunos de sus otros logros?
    2.      
  2. Cuando se usa texto, es mejor comunicar (n ) las raíces usando exponentes racionales. Dar un ejemplo.
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     
 
 
 

Notas a pie de página

 

20 El exponente fraccional (m / n ) que indica un radical con índice (n ) y exponente (m ): (a ^ { m / n} = sqrt [n] {a ^ {m}} ).

 

21 Una expresión equivalente escrita usando un exponente racional.

 
                                  
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