Ejemplo ( PageIndex {1} )

Un objeto viaja con velocidad uniforme v. La gráfica de v versus t se muestra en la gráfica que sigue.

¿Cuál es la velocidad del objeto en cualquier momento t? ¿Qué tan lejos viajará el objeto en 20 segundos?

Solución

Leemos la velocidad del gráfico. Tenga en cuenta que el rayo que representa la velocidad es nivelado (constante) a 100 pies por segundo (100 pies / s). Por lo tanto, la velocidad en cualquier momento t es v = 100. En notación de función, escribiríamos v (t) = 100, teniendo en cuenta que las unidades son pies por segundo (ft / s).

Para encontrar la distancia recorrida en 20 segundos, tenemos dos opciones:

1. Si usamos la fórmula d = vt, entonces

[ begin {alineado} d & = vt \ d & = 100 frac { mathrm {ft}} { not {s}} times 20 not {s} \ d & = 2000 mathrm {ft} end {alineado} ]

Es decir, el objeto viaja 2000 pies en 20 segundos.

2. También podemos encontrar la distancia recorrida sombreando el área bajo la curva de velocidad uniforme durante el intervalo de tiempo de 20 segundos.

Tenga en cuenta que la altura de la región rectangular sombreada en la Figura ( PageIndex {3} ) es de 100 pies por segundo (100 pies / s) y el ancho es de 20 segundos (20 s). Por lo tanto, el área de la región rectangular sombreada es

[ text {Área} = 100 frac { mathrm {ft}} { not {s}} times 20 not {s} = 2000 mathrm {ft} ]

que es idéntico al resultado encontrado con la fórmula d = vt.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Suponga que una partícula tiene una velocidad inicial de 20 pies por segundo (20 pies / s) y recibe una aceleración constante de 4 pies por segundo por segundo ( left (4 pies / s ^ {2} right ) ). ¿Cuál será la velocidad de la partícula después de 3 minutos (3 min)?

Solución

Es tentador comenzar con la fórmula [v = v_ {0} + a t ]

y sustituye (v_ {0} = 20 mathrm {ft} / mathrm {s}, a = 4 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}, ) y (t = 3 mathrm {min} )

[v = 20 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} + 4 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s} ^ {2}} times 3 matemática {min} ]

Sin embargo, tenga en cuenta que las unidades no se cancelarán porque el tiempo se mide en minutos. Lo que debemos hacer es cambiar el tiempo a segundos con la conversión

[t = 3 not {min} times 60 frac { mathrm {s}} { not {min}} = 180 mathrm {s} ]

Ahora las unidades deberían ser correctas. Sustituimos el tiempo en segundos en la fórmula (v = v_ {0} + at ) y obtenemos

[ begin {alineado} v & = 20 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} + 4 frac { mathrm {ft} / mathrm {s}} { not {s}} veces 180 not { mathrm {s}} \ & = 20 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} + 720 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} \ & = 740 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} end {alineado} ]

Por lo tanto, la velocidad de la partícula a los tres minutos es v = 740 pies / s.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Se lanza una pelota al aire con una velocidad inicial de 180 pies por segundo (180 pies / s). Inmediatamente comienza a desacelerar a una velocidad constante de 32 pies por segundo por segundo ((32 pies / s ^ 2) ). ¿A qué hora alcanzará la pelota su altura máxima?

Solución

Cuando la pelota alcanza su altura máxima, su velocidad será igual a cero. Es decir, en el momento exacto en que la pelota está a su altura máxima, se detendrá antes de regresar al suelo. Por lo tanto, para encontrar el momento en que la pelota está a su altura máxima, sustituya v = 0 en la fórmula (v = v_ {0} + at ) y resuelva para t.

[ begin {alineado} 0 & = v_ {0} + en \ at & = – v_ {0} \ t & = – frac {v_ {0}} {a} end {alineado } ]

Cuando decimos que la pelota se desacelera a una velocidad constante de 32 pies / s por segundo, estamos implicando que la pelota pierde velocidad a una velocidad de 32 pies / s por segundo. Por lo tanto, la aceleración es negativa en este caso y escribimos (a = −32 pies / s ^ 2 ).

Finalmente, solo necesitamos sustituir la velocidad inicial (v0 = 180 pies / s) y la aceleración ((a = −32 pies / s ^ 2) ) en la ecuación (6) y simplificar.

[t = – frac {180 mathrm {ft} / mathrm {s}} {- 32 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} ]

Un análisis de las unidades es una buena comprobación de que estamos haciendo las cosas correctamente. Tenga en cuenta que [ frac { mathrm {ft} / mathrm {s}} { mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} = frac { mathrm {ft}} { mathrm { s}} times frac { mathrm {s} ^ {2}} { mathrm {ft}} = mathrm {s} ]

Por lo tanto, el tiempo para que la pelota alcance su altura máxima es [t = 5 s ].

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Oriente la línea real como en la Figura ( PageIndex {9} ). Suponga que en el tiempo t = 0 la partícula se encuentra a 2 metros a la derecha del origen y se mueve a una velocidad de 3 metros por segundo. Además, suponga que la partícula se mueve con una aceleración uniforme de (1.5 m / s ^ 2 ). Encuentra la velocidad y la posición de la partícula al final de 10 segundos.

Solución

Se nos da que (v_ {0} = 3 ) m / sy (a = 1.5 m / s ^ 2 ). Así, después de t = 10 segundos,

[ begin {array} {l} {v = v_ {0} + at} \ {v = 3 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}} + 1.5 frac { mathrm {m} / mathrm {s}} { not {s}} times 10 not { mathrm {s}}} \ {v = 3 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}} + 15 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}}} \ {v = 18 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}}} end {array } ]

También se nos da que (x_ {0} = 2 ) m. Así, después de t = 10 segundos

[ begin {alineado} x & = x_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} en ^ {2} \ x & = 2 mathrm {m} + left (3 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}} right) (10 mathrm {s}) + frac {1} {2} left (1.5 frac { mathrm {m} } { mathrm {s} ^ {2}} right) (10 mathrm {s}) ^ {2} \ x & = 2 mathrm {m} + left (3 frac { mathrm {m }} { not {s}} right) (10 mathrm {s}) + frac {1} {2} left (1.5 frac { mathrm {m}} { not { mathrm {s } ^ {2}}} right) left (100 not { mathrm {s} ^ {2}} right) \ x & = 2 mathrm {m} +30 mathrm {m} +75 mathrm {m} \ x & = 107 mathrm {m} end {alineado} ]

Por lo tanto, al final de t = 10 segundos, la partícula se encuentra a 107 metros a la derecha del origen y tiene una velocidad de 18 metros por segundo (se mueve hacia la derecha con una velocidad de 18 metros por segundo)

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Un automóvil viaja por la carretera a una velocidad de 60 millas por hora. De repente, aparece un ciervo en la carretera y el conductor aplica los frenos, desacelerando el automóvil a una velocidad constante de 12.9 pies por segundo cada segundo. ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en detenerse y qué distancia recorre durante este tiempo

Solución

La velocidad del automóvil viene dada por la fórmula v = v0 + en. El automóvil se detendrá cuando v = 0. Por lo tanto, sustituya v = 0 en la fórmula y resuelva t

[ begin {array} {l} {v = v_ {0} + at} \ {0 = v_ {0} + at} \ {t = – frac {v_ {0}} { a}} end {array} ]

En el tiempo t = 0, la velocidad inicial del automóvil es v0 = 60 mi / h. El automóvil está desacelerando, por lo que está perdiendo velocidad a una velocidad dada de 12.9 pies por segundo cada segundo; es decir, (a = −12.9 pies / s ^ 2 ). Podríamos intentar sustituir estos números en nuestro último resultado

[t = – frac {60 mathrm {mi} / mathrm {h}} {- 12.9 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} ]

El problema es evidente de inmediato: las unidades no se cancelarán. Tenemos dos opciones; podemos (1) cambiar la velocidad inicial a pies por segundo, o (2) cambiar la aceleración a millas por hora por hora. Haremos lo primero con el siguiente cálculo.

[v_ {0} = frac {60 not { text {mi}}} { not { text {h}}} times frac {5280 text {ft}} { not { text {mi}}} times frac {1 not { text {h}}} {60 not { text {min}}} times frac {1 not { text {min} }} {60 not { text {s}}} = 88 text {ft / s} ]

Sustituiremos este número en la ecuación (13).

[ begin {alineado} t & = – frac {v_ {0}} {a} \ t & = – frac {88 mathrm {ft} / mathrm {s}} {- 12.9 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} \ t & approx 6.8 mathrm {s} end {alineado} ]

Nuevamente, es importante verificar las unidades. Tenga en cuenta que

[ frac { mathrm {ft} / mathrm {s}} { mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} = frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} times frac { mathrm {s} ^ {2}} { mathrm {ft}} = mathrm {s} ]

, que es la unidad correcta para el tiempo.

Ahora encontraremos la distancia de frenado dejando que la posición inicial del automóvil sea (x_ {0} = 0 ) pies. Por lo tanto, (x = x_ {0} + v_ {0} t + (1/2) en ^ 2 ) se convierte en

[x = v_ {0} t + frac {1} {2} a t ^ {2} ]

yx representarán la distancia de frenado.

Ahora, sustituya la velocidad inicial v0 = 88 pies por segundo, la aceleración a = −12.9 pies por segundo cada segundo y el tiempo de parada t = 6.8 segundos. Por lo tanto,

[ begin {alineado} x & = v_ {0} t + frac {1} {2} en ^ {2} \ x & = left ( frac {88 mathrm {ft}} { mathrm {s}} right) (6.8 mathrm {s}) + frac {1} {2} left ( frac {-12.9 mathrm {ft} / mathrm {s}} { mathrm { s}} right) (6.8 mathrm {s}) ^ {2} \ x & = left ( frac {88 mathrm {ft}} { not {s}} right) (6.8 not { mathrm {s}}) + frac {1} {2} left ( frac {-12.9 mathrm {ft}} { not { mathrm {s} ^ {2}}} right) izquierda (46.24 not { mathrm {s} ^ {2}} right) \ x & = 598.4 mathrm {ft} -298.248 mathrm {ft} \ x & aprox 300 mathrm {ft} final {alineado} ]

donde hemos redondeado la distancia de frenado al pie más cercano.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Se libera una bola del reposo de un globo de aire caliente que se encuentra a una distancia de 2000 pies sobre la superficie de la tierra. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la pelota toque el suelo?

Solución

En este ejercicio, giraremos la línea real para que sea vertical, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a). Estableceremos el origen a nivel del suelo y dejaremos que la dirección positiva y apunte hacia arriba (indicado por el signo + en la parte superior de la línea en la Figura ( PageIndex {10} ) (a).

Comenzaremos con la ecuación (y = y_ {0} + v_ {0} t + (1/2) en ^ {2} ), y luego notaremos que la velocidad inicial es (v_ {0 } = 0 ) pies por segundo (la pelota se libera del reposo), por lo que la ecuación se convierte en [y = y_ {0} + frac {1} {2} en ^ {2} ]

Se nos pide encontrar cuándo la pelota toca el suelo, lo que significa que se nos pide que encontremos cuando y = 0 (ver Figura ( PageIndex {10} ) (a). Establezca y = 0 en la última ecuación y resuelve para t.

[ begin {alineado} 0 & = y_ {0} + frac {1} {2} en ^ {2} \ t ^ {2} & = – frac {2 y_ {0}} {a} \ t & = sqrt {- frac {2 y_ {0}} {a}} end {alineado} ]

Tenga en cuenta que los desplazamientos positivos son ascendentes (ver Figura 10 (a)). Si la velocidad es positiva, la pelota se mueve hacia arriba. En nuestro caso, la pelota se mueve hacia abajo, por lo que la velocidad es negativa. A medida que la pelota se mueve hacia abajo, su velocidad se vuelve mayor, por lo que la velocidad se vuelve más y más negativa. Por lo tanto, la aceleración debe ser negativa; es decir, (a = −32 pies / s ^ 2 ). Sustituya esta aceleración y la posición inicial y0 = 2000 pies en el último resultado y simplifique

[ begin {alineado} t & = sqrt {- frac {2 (2000 mathrm {ft})} {- 32 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}}} \ t & aprox 11.2 mathrm {s} end {alineado} ]
Hemos redondeado el resultado a la décima de segundo más cercana. Nuevamente, verificar las unidades es importante. En este caso,

[ sqrt { frac { mathrm {ft}} { mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}}} = sqrt { mathrm {ft} times frac { mathrm {s} ^ {2}} { mathrm {ft}}} = sqrt { mathrm {s} ^ {2}} = mathrm {s} ]

Alternativamente, podríamos configurar la línea real como se muestra en la Figura 10 (b), donde colocamos el origen en el punto de liberación e invertimos la orientación (la dirección positiva ahora está hacia abajo). Por lo tanto, la posición inicial es (y_ {0} = 0 ) pies y la velocidad inicial es (v_ {0} = 0 ) pies por segundo (la bola se libera del reposo). Establezca estos valores en la ecuación (y = y_ {0} + v_ {0} t + (1/2) a t ^ {2} ) y resuelva para t.

[ begin {alineado} y & = frac {1} {2} en ^ {2} \ t ^ {2} & = frac {2 y} {a} \ t & = sqrt { frac {2 y} {a}} end {alineado} ]

Los desplazamientos positivos están en dirección hacia abajo (observe la inversión de orientación en la Figura ( PageIndex {10} ) (b)). Esto significa que cuando la velocidad es positiva, la pelota se mueve hacia abajo. Cuando soltamos la pelota, aumentará más velocidad, por lo que la velocidad se vuelve más y más positiva. Por lo tanto, la aceleración es positiva en esta orientación; es decir, (a = 32 pies / s ^ 2 ).

Cuando la pelota golpea el nivel del suelo, la posición es y = 2000 pies. Sustituya este valor de y y la aceleración en el último resultado y simplifique (verifique las unidades).

[t = sqrt { frac {2 (2000 mathrm {ft})} {32 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}}} ]

Tenga en cuenta que esto dará el mismo resultado que antes; es decir, (t aprox 11.2 ) segundos.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Se lanza una pelota al aire desde la altura del hombro (aproximadamente 5 pies) con una velocidad inicial de 100 pies por segundo. Encuentre el tiempo que le toma a la pelota regresar al suelo.

Solución

Encontremos una solución usando la calculadora gráfica. Usando la orientación de la Figura ( PageIndex {10} ) (a), comience con la ecuación

[y = y_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} a t ^ {2} ]

y observe que la posición inicial es (y_ {0} = 5 ) pies, la velocidad inicial es (v_ {0} = 100 ) pies por segundo, y la aceleración es a = −32 pies por segundo por segundo Sustituya estos números en la ecuación anterior para obtener

[ begin {array} {l} {y = 5 + 100 t + frac {1} {2} (- 32) t ^ {2}} \ {y = 5 + 100 t-16 t ^ {2}} end {array} ]

Ingrese esta ecuación en el menú Y = como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (a). Ajuste los parámetros de la ventana como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (b) para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (c).

Para determinar el tiempo que le toma a la pelota regresar al suelo, debemos ubicar donde la altura de la pelota es y = 0 pies. Debido a que el gráfico en la Figura ( PageIndex {11} ) (c) es un gráfico de altura o posición (en el eje vertical) versus tiempo (en el eje horizontal), esto ocurre cuando el gráfico en la Figura ( PageIndex {11} ) (c) cruza el eje horizontal; es decir, en un cero de la función definida por (y = 5 + 100 t-16 t ^ {2} ). Para determinar este tiempo, use la utilidad 2: cero en el menú CALC para determinar el cero. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (c), donde determinamos que la pelota tarda aproximadamente (t aproximadamente 6.29 ) segundos en volver al suelo.

Alternativamente, podemos establecer y = 0 en la ecuación (y = y_ {0} + v_ {0} t + (1/2) en ^ {2} ) y usar la fórmula cuadrática para resolver el tiempo t.

[ begin {alineado} 0 & = y_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} en ^ {2} \ t & = frac {-v_ {0} pm sqrt {v_ {0} ^ {2} -4 left ( frac {1} {2} a right) left (y_ {0} right)}} {2 left ( frac {1 } {2} a right)} \ t & = frac {-v_ {0} pm sqrt {v_ {0} ^ {2} -2 a y_ {0}}} {a} end { alineado} ]

Ahora podemos insertar (y_ {0} = 5 mathrm {ft}, v_ {0} = 100 mathrm {ft} / mathrm {s}, ) y (a = -32 mathrm {ft} / mathrm{s}^{2}), and then use a calculator to obtain

[begin{aligned} t &=frac{-100 mathrm{ft} / mathrm{s} pm sqrt{(100 mathrm{ft} / mathrm{s})^{2}-2left(-32 mathrm{ft} / mathrm{s}^{2}right)(5 mathrm{ft})}}{-32 mathrm{ft} / mathrm{s}^{2}} \ t & approx-0.05,6.29 mathrm{s} end{aligned}]

The negative answer does not apply in this situation, so we keep the solution (t approx 6.29) seconds. Note how this agrees with the solution found on the graphing calculator.

Again, it is important to make sure the units check. Underneath the radical, both terms have units (mathrm{ft}^{2} / mathrm{s}^{2}). When the square root is taken, these units become ft/s. Thus, both terms in the numerator are in ft/s, but the denominator has units (mathrm{ft} / mathrm{s}^{2}). When you invert and multiply, as we saw in Example (PageIndex{5}), the units simplify to seconds.