Saltar al contenido
las matematicas

5.5: movimiento

                 

Si una partícula se mueve con aceleración uniforme o constante, debe comportarse de acuerdo con ciertas leyes estándar de cinemática. En esta sección desarrollaremos estas leyes de movimiento y las aplicaremos a una serie de aplicaciones interesantes.

 

Velocidad uniforme

 

Si un objeto viaja con velocidad uniforme (constante) v, entonces la distancia d recorrida en el tiempo t viene dada por la fórmula

 

[d = v t ]

 

o en palabras, “la distancia es igual a la velocidad por el tiempo”. Este concepto es probablemente familiar para quienes manejamos nuestros autos en la carretera. Por ejemplo, si conduzco mi automóvil a una velocidad constante de 50 millas por hora, en 3 horas viajaré 150 millas. Es decir,

 

[150 mathrm {mi} = 50 frac { mathrm {mi}} { mathrm {h}} times 3 mathrm {h} ]

 

Tenga en cuenta que este cálculo tiene la forma “distancia es igual a velocidad por tiempo”. Es importante tener en cuenta cómo las unidades se equilibran en cada lado de este resultado. Esto se ve fácilmente cancelando unidades tanto como cancelaría números con fracciones ordinarias.

 

[150 mathrm {mi} = 50 frac { mathrm {mi}} { not {h}} times 3 not {h} ]

 

En la Figura ( PageIndex {1} ) (a) hemos trazado la velocidad v del automóvil versus el tiempo t. Debido a que la velocidad es uniforme (constante), el gráfico es un rayo horizontal, que comienza en el tiempo t = 0 y se mueve hacia la derecha. En la Figura ( PageIndex {1} ) (b), hemos sombreado el área bajo el rayo de velocidad constante durante el intervalo de tiempo [0, 3] horas. Tenga en cuenta que el área de la región rectangular sombreada tiene una altura igual a 50 millas por hora (50 mi / h) y un ancho igual a 3 horas (3 h), por lo que el área de este rectángulo es

 

[ text {Area} = text {height} times text {width} = 50 frac { mathrm {mi}} { mathrm {h}} times 3 mathrm {h} = 150 mathrm {mi} ]

 

Tenga en cuenta las unidades en la respuesta. El área bajo el rayo de velocidad constante es de 150 millas. Es decir, el área bajo la curva de velocidad es la distancia recorrida.

 

Nuestro trabajo nos ha llevado al siguiente resultado.

 
 

Velocidad uniforme

 

Suponga que un objeto viaja con velocidad uniforme (constante) v.

 
         
  • La distancia recorrida d viene dada por la fórmula d = vt, donde t es el tiempo de viaje.
  •      
  • La gráfica de velocidad v versus tiempo t será un rayo horizontal, comenzando en el tiempo t = 0 y moviéndose hacia la derecha.
  •      
  • El área de la región rectangular debajo de la gráfica de v durante el intervalo de tiempo [0, t] da la distancia recorrida durante ese período de tiempo.
  •  
 
 
WeChatb82b99d37ae3dd51e94c46785cb7fae8.png
Figura ( PageIndex {1} )
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Un objeto viaja con velocidad uniforme v. La gráfica de v versus t se muestra en la gráfica que sigue.

 
WeChatdd7605325a474fad00d7cbd7ef317bc6.png
Figura ( PageIndex {2} ). La gráfica de la velocidad del objeto versus el tiempo.
 

¿Cuál es la velocidad del objeto en cualquier momento t? ¿Qué tan lejos viajará el objeto en 20 segundos?

 

Solución

 

Leemos la velocidad del gráfico. Tenga en cuenta que el rayo que representa la velocidad es nivelado (constante) a 100 pies por segundo (100 pies / s). Por lo tanto, la velocidad en cualquier momento t es v = 100. En notación de función, escribiríamos v (t) = 100, teniendo en cuenta que las unidades son pies por segundo (ft / s).

 

Para encontrar la distancia recorrida en 20 segundos, tenemos dos opciones:

 

1. Si usamos la fórmula d = vt, entonces

 

[ begin {alineado} d & = vt \ d & = 100 frac { mathrm {ft}} { not {s}} times 20 not {s} \ d & = 2000 mathrm {ft} end {alineado} ]

 

Es decir, el objeto viaja 2000 pies en 20 segundos.

 

2. También podemos encontrar la distancia recorrida sombreando el área bajo la curva de velocidad uniforme durante el intervalo de tiempo de 20 segundos.

 
WeChat072ae1146863805845f3adfce772eb77.png
Figura ( PageIndex {3} ). El área bajo la curva de velocidad uniforme representa la distancia recorrida.
 

Tenga en cuenta que la altura de la región rectangular sombreada en la Figura ( PageIndex {3} ) es de 100 pies por segundo (100 pies / s) y el ancho es de 20 segundos (20 s). Por lo tanto, el área de la región rectangular sombreada es

 

[ text {Área} = 100 frac { mathrm {ft}} { not {s}} times 20 not {s} = 2000 mathrm {ft} ]

 

que es idéntico al resultado encontrado con la fórmula d = vt.

 
 

Aceleración uniforme

 

Volvamos al auto nuevamente y conduzcamos por la carretera a una velocidad constante (constante) de v = 30 millas por hora. Decidimos adelantar a un camión frente a nosotros, por lo que pisamos el acelerador del automóvil, lo que aumenta la velocidad del automóvil y nos permite pasar el camión.

 
 

Definición

 

La aceleración es la velocidad a la que cambia la velocidad de un objeto con respecto al tiempo.

 
 

Por ejemplo, supongamos que cuando pisamos el acelerador del automóvil, la velocidad del automóvil cambia a una velocidad constante de 20 millas por hora por hora. Entonces diríamos que la aceleración es uniforme (constante) y escribiríamos

 

[ text {Aceleración} = 20 frac { mathrm {mi} / mathrm {h}} { mathrm {h}} ]

 

o, más sucintamente, como

 

[ text {Aceleración} = 20 frac { mathrm {mi}} { mathrm {h} ^ {2}} ]

 

La última notación es preferida por los científicos, pero la notación a = 20 (mi / h) / h es mucho más fácil de entender. Es decir, la velocidad aumenta a una velocidad constante de 20 millas por hora cada hora.

 
         
  • En el momento en que pisamos el acelerador para pasar el camión, la velocidad inicial del automóvil es v = 30 millas por hora. Si mantenemos una aceleración constante de 20 millas por hora por hora, después de 1 hora, la velocidad aumenta en 20 millas por hora, por lo que la velocidad del automóvil al final de 1 hora es [v = 30 + 20 (1) ] O v = 50 millas por hora.
  •      
  • Al final de dos horas, la velocidad del automóvil es [v = 30 + 20 (2) ] o v = 70 millas por hora.
  •      
  • Al final de tres horas, la velocidad del automóvil es [v = 30 + 20 (3) ], o v = 90 millas por hora.
  •  
 

Continuando de esta manera, es fácil ver que la velocidad del automóvil al final de t horas estará dada por la fórmula [v = 30 + 20 t ]

 

Es importante tener en cuenta que estamos asumiendo que mantenemos nuestro pie en ese acelerador para mantener una aceleración uniforme (constante) de 20 millas por hora por hora. De acuerdo, este es un ejemplo bastante tonto con una aceleración muy baja (¿es ese el auto de Fred Flintstone?), Pero nos permite concentrarnos en el concepto sin tener que lidiar con unidades desordenadas.

 

Si seguimos el argumento anterior, no es difícil desarrollar la primera ecuación de movimiento.

 
 

Primera ecuación de movimiento

 

Si un objeto que tiene una velocidad inicial (v_ {0} ) experimenta una aceleración constante a, entonces su velocidad en el tiempo t viene dada por la fórmula [v = v_ {0} + a t ].

 
 

Seguimos la práctica científica de denotar la velocidad inicial por v0, la velocidad en el tiempo t = 0. Es por eso que subíndice v con cero.

 

Por supuesto, la primera ecuación de movimiento es válida solo si cada cantidad posee las unidades adecuadas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Suponga que una partícula tiene una velocidad inicial de 20 pies por segundo (20 pies / s) y recibe una aceleración constante de 4 pies por segundo por segundo ( left (4 pies / s ^ {2} right ) ). ¿Cuál será la velocidad de la partícula después de 3 minutos (3 min)?

 

Solución

 

Es tentador comenzar con la fórmula [v = v_ {0} + a t ]

 

y sustituye (v_ {0} = 20 mathrm {ft} / mathrm {s}, a = 4 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}, ) y (t = 3 mathrm {min} )

 

[v = 20 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} + 4 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s} ^ {2}} times 3 matemática {min} ]

 

Sin embargo, tenga en cuenta que las unidades no se cancelarán porque el tiempo se mide en minutos. Lo que debemos hacer es cambiar el tiempo a segundos con la conversión

 

[t = 3 not {min} times 60 frac { mathrm {s}} { not {min}} = 180 mathrm {s} ]

 

Ahora las unidades deberían ser correctas. Sustituimos el tiempo en segundos en la fórmula (v = v_ {0} + at ) y obtenemos

 

[ begin {alineado} v & = 20 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} + 4 frac { mathrm {ft} / mathrm {s}} { not {s}} veces 180 not { mathrm {s}} \ & = 20 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} + 720 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} \ & = 740 frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} end {alineado} ]

 

Por lo tanto, la velocidad de la partícula a los tres minutos es v = 740 pies / s.

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Se lanza una pelota al aire con una velocidad inicial de 180 pies por segundo (180 pies / s). Inmediatamente comienza a desacelerar a una velocidad constante de 32 pies por segundo por segundo ((32 pies / s ^ 2) ). ¿A qué hora alcanzará la pelota su altura máxima?

 

Solución

 

Cuando la pelota alcanza su altura máxima, su velocidad será igual a cero. Es decir, en el momento exacto en que la pelota está a su altura máxima, se detendrá antes de regresar al suelo. Por lo tanto, para encontrar el momento en que la pelota está a su altura máxima, sustituya v = 0 en la fórmula (v = v_ {0} + at ) y resuelva para t.

 

[ begin {alineado} 0 & = v_ {0} + en \ at & = – v_ {0} \ t & = – frac {v_ {0}} {a} end {alineado } ]

 

Cuando decimos que la pelota se desacelera a una velocidad constante de 32 pies / s por segundo, estamos implicando que la pelota pierde velocidad a una velocidad de 32 pies / s por segundo. Por lo tanto, la aceleración es negativa en este caso y escribimos (a = −32 pies / s ^ 2 ).

 

Finalmente, solo necesitamos sustituir la velocidad inicial (v0 = 180 pies / s) y la aceleración ((a = −32 pies / s ^ 2) ) en la ecuación (6) y simplificar.

 

[t = – frac {180 mathrm {ft} / mathrm {s}} {- 32 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} ]

 

Un análisis de las unidades es una buena comprobación de que estamos haciendo las cosas correctamente. Tenga en cuenta que [ frac { mathrm {ft} / mathrm {s}} { mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} = frac { mathrm {ft}} { mathrm { s}} times frac { mathrm {s} ^ {2}} { mathrm {ft}} = mathrm {s} ]

 

Por lo tanto, el tiempo para que la pelota alcance su altura máxima es [t = 5 s ].

 
 

El área es la distancia recorrida

 

Si trazamos la gráfica de la velocidad v versus el tiempo t, tenga en cuenta que la ecuación (v = v_ {0} + at ) tiene la forma y = mx + b, particularmente si organizamos la ecuación en orden (v = en + v_ {0} ). Entonces se ve fácilmente que el gráfico será una línea con intersección igual a la velocidad inicial (v_ {0} ) y pendiente igual a la aceleración a. El gráfico de (v = v_ {0} + at ) se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).

 

En la Figura ( PageIndex {4} ) (b), hemos sombreado el área debajo del gráfico de (v = v_ {0} + at ) durante el intervalo de tiempo [0, t]. Hay una pregunta natural que hacer. ¿El área debajo de la gráfica de (v = v_ {0} + at ) en la Figura ( PageIndex {4} ) (b) representará la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo [0, t]?

 
WeChat9776115745ca81b3643f35653a2c449c.png
Figura ( PageIndex {4} ). La gráfica de (v = v_ {0} + at ) es una línea con intersección v0 y pendiente a.
 

Sabemos que el área bajo un rayo de velocidad uniforme (constante) será igual a la distancia recorrida. ¿Podemos usar este hecho para responder nuestra pregunta sobre la región triangular sombreada en la Figura ( PageIndex {4} ) (b)?

 

Tomemos el intervalo de tiempo [0, t] en la Figura ( PageIndex {4} ) (b) y dividámoslo en 4 subintervalos iguales de tiempo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} )(una).

 
WeChatc8fc57031ea6733197de0d87d42df701.png
Figura ( PageIndex {5} ). Subdividiendo el área en rectángulos.
 

Luego, use el punto final izquierdo de cada subintervalo de tiempo para dibujar cuatro rectángulos y rellenarlos con el color blanco, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b). La parte superior de cada rectángulo es horizontal, por lo que sabemos que esto representa una velocidad uniforme (constante). Por lo tanto, el área de cada rectángulo blanco representa la distancia recorrida durante ese subintervalo de tiempo. Si sumamos las áreas de los cuatro rectángulos, obtenemos la distancia total recorrida durante el lapso de tiempo [0, t], con, por supuesto, el supuesto de que la velocidad es constante durante cada uno de los subintervalos de tiempo.

 

Sin embargo, la velocidad no es constante durante cada subintervalo de tiempo, por lo que la suma de las áreas de los rectángulos solo se aproxima a la distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [0, t].

 

La idea clave es dibujar más rectángulos. En la Figura ( PageIndex {6} ) (a), hemos dividido el intervalo de tiempo [0, t] en 8 subintervalos iguales de tiempo. En la Figura ( PageIndex {6} ) (b), nuevamente usamos los puntos finales izquierdos de cada subintervalo de tiempo para dibujar rectángulos y los llenamos con el color blanco.

 

Nuevamente, la parte superior de cada rectángulo blanco es horizontal, lo que representa una velocidad uniforme (constante) en ese subintervalo de tiempo. Por lo tanto, el área de cada rectángulo blanco nuevamente representa la distancia recorrida durante ese subintervalo de tiempo. La suma de los 8 rectángulos representa la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo [0, t], suponiendo que la velocidad es constante durante cada uno de los subintervalos de tiempo.

 

Sin embargo, la velocidad no es constante en el intervalo de tiempo [0, t], por lo que la suma de los ocho rectángulos solo ofrece una aproximación de la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo [0, t], aunque una mejor aproximación que el que ofrece la suma de las áreas de solo cuatro rectángulos en la Figura ( PageIndex {5} ) (b).

 

A medida que subdividimos el intervalo de tiempo [0, t] más adelante, sucederán dos cosas

 
WeChat175eddfb7562cd1d8040b420f2b244c1.png
Figura ( PageIndex {6} ). Subdividiendo el área en rectángulos.
 
         
  1. Los subintervalos de tiempo se harán más pequeños (de hecho, infinitesimalmente pequeños). Cuando eso sucede, se vuelve más y más razonable suponer que la velocidad es constante durante ese subintervalo de tiempo. Por lo tanto, en el límite, la suma de las áreas de los rectángulos representará la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [0, t].
  2.      
  3. La suma de las áreas de los rectángulos converge al área de la región sombreada bajo la curva de velocidad en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).
  4.  
 

Este argumento lleva a una conclusión convincente.

 
 

Área igual a distancia recorrida

 

El área bajo la curva de velocidad (v = v_ {0} + at ) durante el intervalo de tiempo [0, t] representa la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo [0, t].

 
 

En la Figura ( PageIndex {7} ), la región sombreada debajo de (v = v_ {0} + at ) es un trapecio. Para encontrar el área de este trapecio, sumamos las bases (lados paralelos), multiplicamos por la altura, luego tomamos la mitad del resultado.

 
WeChatf2165f4e00bc1c87f136673e62f52797.png
Figura ( PageIndex {7} ). El área de la región trapezoidal sombreada representa la distancia recorrida.
 

Por lo tanto, el área de la región sombreada en la Figura ( PageIndex {7} ) viene dada por la fórmula

 

[ text {Área} = frac {1} {2} left [v_ {0} + left (v_ {0} + a t right) right] t ]

 

Suma la cantidad dentro de los paréntesis, luego distribuye el 1/2 y la t para obtener

 

[ text {Área} = v_ {0} t + frac {1} {2} a t ^ {2} ]

 

Movimiento en una dimensión

 

Suponga que una partícula está obligada a moverse a lo largo de la línea real. Además, suponga que en el tiempo t = 0, la posición inicial de la partícula es (x_ {0} ) y la partícula tiene una velocidad inicial (v_ {0} ) y se mueve hacia la derecha (como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} )). Supongamos que la partícula experimenta una aceleración uniforme, que es positiva, de modo que la partícula continúa moviéndose hacia la derecha con mayor velocidad. En el tiempo t, deje que la posición de la partícula se denote por x y su velocidad por v (también se muestra en la Figura ( PageIndex {8} )).

 
WeChat18ff1ab80964cfa8d44f07847ceb01a0.png
Figura ( PageIndex {8} ). Una partícula se mueve en la línea con aceleración uniforme.
 

Debido a que asumimos que la partícula se mueve hacia la derecha con mayor velocidad, la distancia recorrida por la partícula viene dada por la expresión (x – x_ {0} ). Sin embargo, también hemos aprendido que la distancia recorrida es el área debajo del gráfico de la velocidad (que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} )), que calculamos en la ecuación (7) como (v_ {0 } t + (1/2) en ^ 2 ). Concluimos que [x-x_ {0} = v_ {0} t + frac {1} {2} a t ^ {2} ]

 

que conduce a la segunda ecuación de movimiento.

 
 

Segunda ecuación de movimiento

 

Suponga que una partícula se mueve en la línea real con aceleración uniforme a. Además, suponga que la posición y la velocidad de la partícula en el tiempo t = 0 están dadas por x0 y v0, respectivamente. Supongamos que x representa la posición de la partícula en el tiempo t. Entonces, la posición de la partícula en el tiempo t viene dada por la fórmula

 

[x = x_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} a t ^ {2} ]

 
 

Al desarrollar la ecuación de ecuación de movimiento (9), hemos evitado la noción de velocidad. Sin embargo, si una partícula está obligada a moverse a lo largo de la línea real, puede moverse hacia la derecha o hacia la izquierda. Esto agrega otra dimensión a la velocidad.

 

Dibujemos una recta numérica (como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} )), ubiquemos el origen y aceptemos que los desplazamientos positivos están a la derecha y los desplazamientos negativos están a la izquierda.

 
WeChat8a95396e1fb9f370923b34b2a05496eb.png
Figura ( PageIndex {9} ). Orientación de la línea real
 

A continuación, definimos qué se entiende por velocidad

 
 

Definición

 

La velocidad es la velocidad a la que cambia la posición de un objeto con respecto al tiempo.

 
 

Por ejemplo, suponga que los desplazamientos en la línea orientada en la Figura ( PageIndex {9} ) se miden en metros. Además, suponga que la partícula en el punto P en la Figura ( PageIndex {9} ) tiene una velocidad v = 20 metros por segundo. Esto significaría que la posición de la partícula está cambiando en positivo 20 metros por segundo. Debido a la forma en que orientamos la línea Figura ( PageIndex {9} ), esto significa que la partícula se mueve hacia la derecha a una velocidad de 20 metros por segundo.

 

Por otro lado, si la velocidad de la partícula en el punto P fuera v = −20 metros por segundo, esto significaría que la posición de la partícula está cambiando en negativo 20 metros por segundo. Debido a la orientación que hemos elegido en la Figura ( PageIndex {9} ), esto significaría que la partícula se mueve hacia la izquierda a una velocidad de 20 metros por segundo.

 

Tenga en cuenta que en cada caso (velocidad positiva o negativa) la velocidad es de 20 metros por segundo. Lo que la velocidad aporta a la mesa es un atributo adicional de orientación. El signo de la velocidad indica una dirección, mientras que la magnitud de la velocidad indica una velocidad.

 

Es importante para nosotros afirmar que las ecuaciones de movimiento se aplican igualmente bien cuando introducimos la noción de velocidad. Por lo tanto, podemos resumir de la siguiente manera.

 
 

Las ecuaciones de movimiento

 

Suponga que una partícula se mueve en una línea real orientada con aceleración uniforme a. Además, deje que (x_ {0} ) y (v_ {0} ) representen la posición inicial y la velocidad de la partícula en el tiempo t = 0.

 
         
  • La velocidad v de la partícula en el tiempo t viene dada por la fórmula (v = v_ {0} + at ).
  •      
  • La posición x de la partícula en el tiempo t viene dada por la fórmula (x = x_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} en ^ 2 ).
  •  
 
 

Veamos algunas aplicaciones de estas ecuaciones de movimiento.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Oriente la línea real como en la Figura ( PageIndex {9} ). Suponga que en el tiempo t = 0 la partícula se encuentra a 2 metros a la derecha del origen y se mueve a una velocidad de 3 metros por segundo. Además, suponga que la partícula se mueve con una aceleración uniforme de (1.5 m / s ^ 2 ). Encuentra la velocidad y la posición de la partícula al final de 10 segundos.

 

Solución

 

Se nos da que (v_ {0} = 3 ) m / sy (a = 1.5 m / s ^ 2 ). Así, después de t = 10 segundos,

 

[ begin {array} {l} {v = v_ {0} + at} \ {v = 3 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}} + 1.5 frac { mathrm {m} / mathrm {s}} { not {s}} times 10 not { mathrm {s}}} \ {v = 3 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}} + 15 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}}} \ {v = 18 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}}} end {array } ]

 

También se nos da que (x_ {0} = 2 ) m. Así, después de t = 10 segundos

 

[ begin {alineado} x & = x_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} en ^ {2} \ x & = 2 mathrm {m} + left (3 frac { mathrm {m}} { mathrm {s}} right) (10 mathrm {s}) + frac {1} {2} left (1.5 frac { mathrm {m} } { mathrm {s} ^ {2}} right) (10 mathrm {s}) ^ {2} \ x & = 2 mathrm {m} + left (3 frac { mathrm {m }} { not {s}} right) (10 mathrm {s}) + frac {1} {2} left (1.5 frac { mathrm {m}} { not { mathrm {s } ^ {2}}} right) left (100 not { mathrm {s} ^ {2}} right) \ x & = 2 mathrm {m} +30 mathrm {m} +75 mathrm {m} \ x & = 107 mathrm {m} end {alineado} ]

 

Por lo tanto, al final de t = 10 segundos, la partícula se encuentra a 107 metros a la derecha del origen y tiene una velocidad de 18 metros por segundo (se mueve hacia la derecha con una velocidad de 18 metros por segundo)

 
 

Veamos otra aplicación de las ecuaciones de movimiento.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Un automóvil viaja por la carretera a una velocidad de 60 millas por hora. De repente, aparece un ciervo en la carretera y el conductor aplica los frenos, desacelerando el automóvil a una velocidad constante de 12.9 pies por segundo cada segundo. ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en detenerse y qué distancia recorre durante este tiempo

 

Solución

 

La velocidad del automóvil viene dada por la fórmula v = v0 + en. El automóvil se detendrá cuando v = 0. Por lo tanto, sustituya v = 0 en la fórmula y resuelva t

 

[ begin {array} {l} {v = v_ {0} + at} \ {0 = v_ {0} + at} \ {t = – frac {v_ {0}} { a}} end {array} ]

 

En el tiempo t = 0, la velocidad inicial del automóvil es v0 = 60 mi / h. El automóvil está desacelerando, por lo que está perdiendo velocidad a una velocidad dada de 12.9 pies por segundo cada segundo; es decir, (a = −12.9 pies / s ^ 2 ). Podríamos intentar sustituir estos números en nuestro último resultado

 

[t = – frac {60 mathrm {mi} / mathrm {h}} {- 12.9 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} ]

 

El problema es evidente de inmediato: las unidades no se cancelarán. Tenemos dos opciones; podemos (1) cambiar la velocidad inicial a pies por segundo, o (2) cambiar la aceleración a millas por hora por hora. Haremos lo primero con el siguiente cálculo.

 

[v_ {0} = frac {60 not { text {mi}}} { not { text {h}}} times frac {5280 text {ft}} { not { text {mi}}} times frac {1 not { text {h}}} {60 not { text {min}}} times frac {1 not { text {min} }} {60 not { text {s}}} = 88 text {ft / s} ]

 

Sustituiremos este número en la ecuación (13).

 

[ begin {alineado} t & = – frac {v_ {0}} {a} \ t & = – frac {88 mathrm {ft} / mathrm {s}} {- 12.9 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} \ t & approx 6.8 mathrm {s} end {alineado} ]

 

Nuevamente, es importante verificar las unidades. Tenga en cuenta que

 

[ frac { mathrm {ft} / mathrm {s}} { mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}} = frac { mathrm {ft}} { mathrm {s}} times frac { mathrm {s} ^ {2}} { mathrm {ft}} = mathrm {s} ]

 

, que es la unidad correcta para el tiempo.

 

Ahora encontraremos la distancia de frenado dejando que la posición inicial del automóvil sea (x_ {0} = 0 ) pies. Por lo tanto, (x = x_ {0} + v_ {0} t + (1/2) en ^ 2 ) se convierte en

 

[x = v_ {0} t + frac {1} {2} a t ^ {2} ]

 

yx representarán la distancia de frenado.

 

Ahora, sustituya la velocidad inicial v0 = 88 pies por segundo, la aceleración a = −12.9 pies por segundo cada segundo y el tiempo de parada t = 6.8 segundos. Por lo tanto,

 

[ begin {alineado} x & = v_ {0} t + frac {1} {2} en ^ {2} \ x & = left ( frac {88 mathrm {ft}} { mathrm {s}} right) (6.8 mathrm {s}) + frac {1} {2} left ( frac {-12.9 mathrm {ft} / mathrm {s}} { mathrm { s}} right) (6.8 mathrm {s}) ^ {2} \ x & = left ( frac {88 mathrm {ft}} { not {s}} right) (6.8 not { mathrm {s}}) + frac {1} {2} left ( frac {-12.9 mathrm {ft}} { not { mathrm {s} ^ {2}}} right) izquierda (46.24 not { mathrm {s} ^ {2}} right) \ x & = 598.4 mathrm {ft} -298.248 mathrm {ft} \ x & aprox 300 mathrm {ft} final {alineado} ]

 

donde hemos redondeado la distancia de frenado al pie más cercano.

 
 

La aceleración debida a la gravedad

 

Si descuidamos la resistencia del aire, un cuerpo caerá a la superficie de la tierra con una aceleración uniforme. Los físicos usan la letra g para representar la aceleración debida a la gravedad. Cerca de la superficie de la tierra, esta aceleración viene dada por (g = 32 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2} ) o, en el sistema métrico, (g = 9.8 mathrm {m } / mathrm {s} ^ {2} ).

 

Recuerde, la aceleración es la velocidad a la que cambia la velocidad de un cuerpo con respecto al tiempo. En consecuencia, si dejamos caer un cuerpo en reposo a una altura muy grande, después de 1 segundo, su velocidad será de 32 pies por segundo. Después de 2 segundos, su velocidad será de 64 pies por segundo. Después de 3 segundos, su velocidad será de 96 pies por segundo. Observe cómo la velocidad está cambiando a una velocidad de 32 pies por segundo cada segundo de tiempo.

 

La gravedad siempre atrae un objeto al centro de la tierra, por lo que debemos tener esto en cuenta al usar las ecuaciones de movimiento.

 

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Se libera una bola del reposo de un globo de aire caliente que se encuentra a una distancia de 2000 pies sobre la superficie de la tierra. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la pelota toque el suelo?

 

Solución

 

En este ejercicio, giraremos la línea real para que sea vertical, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a). Estableceremos el origen a nivel del suelo y dejaremos que la dirección positiva y apunte hacia arriba (indicado por el signo + en la parte superior de la línea en la Figura ( PageIndex {10} ) (a).

 
WeChate4592cf418b1b5585dd2ecffc79e0673.png
Figura ( PageIndex {10} ).
 

Comenzaremos con la ecuación (y = y_ {0} + v_ {0} t + (1/2) en ^ {2} ), y luego notaremos que la velocidad inicial es (v_ {0 } = 0 ) pies por segundo (la pelota se libera del reposo), por lo que la ecuación se convierte en [y = y_ {0} + frac {1} {2} en ^ {2} ]

 

Se nos pide encontrar cuándo la pelota toca el suelo, lo que significa que se nos pide que encontremos cuando y = 0 (ver Figura ( PageIndex {10} ) (a). Establezca y = 0 en la última ecuación y resuelve para t.

 

[ begin {alineado} 0 & = y_ {0} + frac {1} {2} en ^ {2} \ t ^ {2} & = – frac {2 y_ {0}} {a} \ t & = sqrt {- frac {2 y_ {0}} {a}} end {alineado} ]

 

Tenga en cuenta que los desplazamientos positivos son ascendentes (ver Figura 10 (a)). Si la velocidad es positiva, la pelota se mueve hacia arriba. En nuestro caso, la pelota se mueve hacia abajo, por lo que la velocidad es negativa. A medida que la pelota se mueve hacia abajo, su velocidad se vuelve mayor, por lo que la velocidad se vuelve más y más negativa. Por lo tanto, la aceleración debe ser negativa; es decir, (a = −32 pies / s ^ 2 ). Sustituya esta aceleración y la posición inicial y0 = 2000 pies en el último resultado y simplifique

 

[ begin {alineado} t & = sqrt {- frac {2 (2000 mathrm {ft})} {- 32 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}}} \ t & aprox 11.2 mathrm {s} end {alineado} ]
Hemos redondeado el resultado a la décima de segundo más cercana. Nuevamente, verificar las unidades es importante. En este caso,

 

[ sqrt { frac { mathrm {ft}} { mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}}} = sqrt { mathrm {ft} times frac { mathrm {s} ^ {2}} { mathrm {ft}}} = sqrt { mathrm {s} ^ {2}} = mathrm {s} ]

 

Alternativamente, podríamos configurar la línea real como se muestra en la Figura 10 (b), donde colocamos el origen en el punto de liberación e invertimos la orientación (la dirección positiva ahora está hacia abajo). Por lo tanto, la posición inicial es (y_ {0} = 0 ) pies y la velocidad inicial es (v_ {0} = 0 ) pies por segundo (la bola se libera del reposo). Establezca estos valores en la ecuación (y = y_ {0} + v_ {0} t + (1/2) a t ^ {2} ) y resuelva para t.

 

[ begin {alineado} y & = frac {1} {2} en ^ {2} \ t ^ {2} & = frac {2 y} {a} \ t & = sqrt { frac {2 y} {a}} end {alineado} ]

 

Los desplazamientos positivos están en dirección hacia abajo (observe la inversión de orientación en la Figura ( PageIndex {10} ) (b)). Esto significa que cuando la velocidad es positiva, la pelota se mueve hacia abajo. Cuando soltamos la pelota, aumentará más velocidad, por lo que la velocidad se vuelve más y más positiva. Por lo tanto, la aceleración es positiva en esta orientación; es decir, (a = 32 pies / s ^ 2 ).

 

Cuando la pelota golpea el nivel del suelo, la posición es y = 2000 pies. Sustituya este valor de y y la aceleración en el último resultado y simplifique (verifique las unidades).

 

[t = sqrt { frac {2 (2000 mathrm {ft})} {32 mathrm {ft} / mathrm {s} ^ {2}}} ]

 

Tenga en cuenta que esto dará el mismo resultado que antes; es decir, (t aprox 11.2 ) segundos.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Se lanza una pelota al aire desde la altura del hombro (aproximadamente 5 pies) con una velocidad inicial de 100 pies por segundo. Encuentre el tiempo que le toma a la pelota regresar al suelo.

 

Solución

 

Encontremos una solución usando la calculadora gráfica. Usando la orientación de la Figura ( PageIndex {10} ) (a), comience con la ecuación

 

[y = y_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} a t ^ {2} ]

 

y observe que la posición inicial es (y_ {0} = 5 ) pies, la velocidad inicial es (v_ {0} = 100 ) pies por segundo, y la aceleración es a = −32 pies por segundo por segundo Sustituya estos números en la ecuación anterior para obtener

 

[ begin {array} {l} {y = 5 + 100 t + frac {1} {2} (- 32) t ^ {2}} \ {y = 5 + 100 t-16 t ^ {2}} end {array} ]

 

Ingrese esta ecuación en el menú Y = como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (a). Ajuste los parámetros de la ventana como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (b) para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (c).

 
Screen Shot 2019-07-08 at 7.34.33 PM.png
Figura ( PageIndex {11} ) Usando la calculadora gráfica para determinar el tiempo de regreso al suelo.
 

Para determinar el tiempo que le toma a la pelota regresar al suelo, debemos ubicar donde la altura de la pelota es y = 0 pies. Debido a que el gráfico en la Figura ( PageIndex {11} ) (c) es un gráfico de altura o posición (en el eje vertical) versus tiempo (en el eje horizontal), esto ocurre cuando el gráfico en la Figura ( PageIndex {11} ) (c) cruza el eje horizontal; es decir, en un cero de la función definida por (y = 5 + 100 t-16 t ^ {2} ). Para determinar este tiempo, use la utilidad 2: cero en el menú CALC para determinar el cero. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (c), donde determinamos que la pelota tarda aproximadamente (t aproximadamente 6.29 ) segundos en volver al suelo.

 

Alternativamente, podemos establecer y = 0 en la ecuación (y = y_ {0} + v_ {0} t + (1/2) en ^ {2} ) y usar la fórmula cuadrática para resolver el tiempo t.

 

[ begin {alineado} 0 & = y_ {0} + v_ {0} t + frac {1} {2} en ^ {2} \ t & = frac {-v_ {0} pm sqrt {v_ {0} ^ {2} -4 left ( frac {1} {2} a right) left (y_ {0} right)}} {2 left ( frac {1 } {2} a right)} \ t & = frac {-v_ {0} pm sqrt {v_ {0} ^ {2} -2 a y_ {0}}} {a} end { alineado} ]

 

Ahora podemos insertar (y_ {0} = 5 mathrm {ft}, v_ {0} = 100 mathrm {ft} / mathrm {s}, ) y (a = -32 mathrm {ft} / mathrm{s}^{2}), and then use a calculator to obtain

 

[begin{aligned} t &=frac{-100 mathrm{ft} / mathrm{s} pm sqrt{(100 mathrm{ft} / mathrm{s})^{2}-2left(-32 mathrm{ft} / mathrm{s}^{2}right)(5 mathrm{ft})}}{-32 mathrm{ft} / mathrm{s}^{2}} \ t & approx-0.05,6.29 mathrm{s} end{aligned}]

 

The negative answer does not apply in this situation, so we keep the solution (t approx 6.29) seconds. Note how this agrees with the solution found on the graphing calculator.

 

Again, it is important to make sure the units check. Underneath the radical, both terms have units (mathrm{ft}^{2} / mathrm{s}^{2}). When the square root is taken, these units become ft/s. Thus, both terms in the numerator are in ft/s, but the denominator has units (mathrm{ft} / mathrm{s}^{2}). When you invert and multiply, as we saw in Example (PageIndex{5}), the units simplify to seconds.

 
   

Exercise

 

In  Exercises 1 12 , write down the formula d = vt and solve for the unknown quantity in the problem. Once that is completed, substitute the known quantities in the result and simplify. Make sure to check that your units cancel and provide the appropriate units for your solution.

 
 

EXERCISE (PageIndex{1})

 

If Martha maintains a constant speed of 30 miles per hour, how far will she travel in 5 hours?

 
     
Answer
     
     

150 miles

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{2})

 

If Jamal maintains a constant speed of 25 miles per hour, how far will he travel in 5 hours?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{3})

 

If Arturo maintains a constant speed of 30 miles per hour, how long will it take him to travel 120 miles?

 
     
Answer
     
     

4 hours

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{4})

 

If Mei maintains a constant speed of 25 miles per hour, how long will it take her to travel 150 miles?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{5})

 

If Allen maintains a constant speed and travels 250 miles in 5 hours, what is is his constant speed?

 
     
Answer
     
     

50 miles per hour

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{6})

 

If Jane maintains a constant speed and travels 300 miles in 6 hours, what is is her constant speed?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{7})

 

If Jose maintains a constant speed of 15 feet per second, how far will he travel in 5 minutes?

 
     
Answer
     
     

4500 feet

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{8})

 

If Tami maintains a constant speed of 1.5 feet per second, how far will she travel in 4 minutes?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{9})

 

If Carmen maintains a constant speed of 80 meters per minute, how far will she travel in 600 seconds?

 
     
Answer
     
     

800 meters

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{10})

 

If Alphonso maintains a constant speed of 15 feet per second, how long will it take him to travel 1 mile? Note: 1 mile equals 5280 feet.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{11})

 

If Hoshi maintains a constant speed of 200 centimeters per second, how long will it take her to travel 20 meters? Note: 100 centimeters equals 1 meter.

 
     
Answer
     
     

10 seconds

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{12})

 

If Maeko maintains a constant speed and travels 5 miles in 12 minutes, what is her speed in miles per hour?

 
 

In  Exercises 13 18 , a plot of speed v versus time t is presented.

 
         
  1. Make an accurate duplication of the plot on graph paper. Label and scale each axis. Mark the units on each axis.
  2.      
  3. Use the graph to determine the distance traveled over the time period [0 , 5], using the time units given on the graph.
  4.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{13})

 

Screen Shot 2019-09-03 at 8.47.12 AM.png

 
     
Answer
     
     

The distance traveled is 150 feet.

     

Screen Shot 2019-09-03 at 1.12.39 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{14})

 

Screen Shot 2019-09-03 at 8.48.02 AM.png

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{15})

 

Screen Shot 2019-09-03 at 8.49.23 AM.png

 
     
Answer
     
     

The distance traveled is 100 meters.

     

Screen Shot 2019-09-03 at 1.15.01 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{16})

 

Screen Shot 2019-09-03 at 8.50.21 AM.png

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{17})

 

Screen Shot 2019-09-03 at 8.51.53 AM.png

 
     
Answer
     
     

The distance traveled is 175 miles.

     

Screen Shot 2019-09-03 at 1.14.01 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{18})

 

Screen Shot 2019-09-03 at 8.53.08 AM.png

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{19})

 

You’re told that a car moves with a constant acceleration of 7.5 ft/(s^2). In your own words, explain what this means.

 
     
Answer
     
     

It means that the velocity of the car increases at a rate of 7.5 feet per second every second.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{20})

 

You’re told that an object will fall on a distant planet with constant acceleration 6.5 m/(s^2). In your own words, explain what this means.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{21})

 

You’re told that the acceleration of a car is −18 ft/(s^2). In your own words, explain what this means.

 
     
Answer
     
     

It means that the velocity of the car is decreasing at a rate of 18 feet per second every second.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{22})

 

An observer on a distant planet throws an object into the air and as it moves upward he reports that the object has a constant acceleration of −4.5 m/(s^2). In your own words, explain what this means.

 
 

In  Exercises 23 28 , perform each of the following tasks.

 
         
  1. Solve the equation (v = v_{0} + at) for the unknown quantity.
  2.      
  3. Substitute the known quantities (with units) into your result, then simplify. Make sure the units cancel and provide appropriate units for your solution.
  4.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{23})

 

A rocket accelerates from rest with constant acceleration 15.8 m/(s^2) . What will be the speed of the rocket after 3 minutes?

 
     
Answer
     
     

2 , 844 m/s

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{24})

 

A stone is dropped from rest on a distant planet and it accelerates towards the ground with constant acceleration 3.8ft/(s^2). What will be the speed of the stone after 2 minutes?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{25})

 

A stone is thrown downward on a distant planet with an initial speed of 20 ft/s. If the stone experiences constant acceleration of 32ft/(s^2), what will be the speed of the stone after 1 minute?

 
     
Answer
     
     

1 , 940 ft/s

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{26})

 

A ball is hurled upward with an initial speed of 80m/s. If the ball experiences a constant acceleration of −9.8 m/(s^2), what will be the speed of the ball at the end of 5 seconds?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{27})

 

An object is shot into the air with an initial speed of 100m/s. If the object experiences constant deceleration of 9.8 m/(s^2), how long will it take the ball to reach its maximum height?

 
     
Answer
     
     

Approximately 10.2 seconds.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{28})

 

An object is released from rest on a distant planet and after 5 seconds, its speed is 98m/s. If the object falls with constant acceleration, determine the acceleration of the object.

 
 

In  Exercises 29 42 , use the appropriate equation of motion, either (v = v_{0} + at) or (x = x_{0}+v_{0}t+frac{1}{2}at^2) or both, to solve the question posed in the exercise.

 
         
  1. Select the appropriate equation of motion and solve for the unknown quantity.
  2.      
  3. Substitute the known quantities (with their units) into your result and simplify. Check that cancellation of units provide units appropriate for your solution.
  4.      
  5. Find a decimal approximation for your answer.
  6.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{29})

 

A rocket with initial velocity 30 m/s moves along a straight line with constant acceleration 2.5 m/(s^2). Find the velocity and the distance traveled by the rocket at the end of 10 seconds.

 
     
Answer
     
     

Velocity = 55 m/s, Distance traveled = 425 m.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{30})

 

A car is traveling at 88 ft/s when it applies the brakes and begins to slow with constant deceleration of 5 ft/(s^2). What is its speed and how far has it traveled at the end of 5 seconds?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{31})

 

A car is traveling at 88 ft/s when it applies the brakes and slows to 58 ft/s in 10 seconds. Assuming constant deceleration, find the deceleration and the distance traveled by the car in the 10 second time interval. Hint: Compute the deceleration first.

 
     
Answer
     
     

Acceleration = −3 ft/(s^2), Distance traveled = 730 ft.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{32})

 

A stone is hurled downward from above the surface of a distant planet with initial speed 45 m/s. At then end of 10 seconds, the velocity of the stone is 145 m/s. Assuming constant acceleration, find the acceleration of the stone and the distance traveled in the 10 second time period.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{33})

 

An object is shot into the air from the surface of the earth with an initial velocity of 180 ft/s. Find the maximum height of the object and the time it takes the object to reach that maximum height.Hint: The acceleration due to gravity near the surface of the earth is well known.

 
     
Answer
     
     

Time to max height = 5 . 625 s, Max height = 506 . 25 ft.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{34})

 

An object is shot into the air from the surface of a distant planet with an initial velocity of 180 m/s. Find the maximum height of the object and the time it takes the object to reach that maximum height. Assume that the acceleration due to gravity on this distant planet is 5.8 m/(s^2). Hint: Calculate the time to the maximum height first.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{35})

 

A car is traveling down the high- way at 55 mi/h when the driver spots a slide of rocks covering the road ahead and hits the brakes, providing a constant deceleration of 12 ft /( s^2). How long does it take the car to come to a halt and how far does it travel during this time period?

 
     
Answer
     
     

Time to stop (approx)   6 . 72 s, Distance traveled (approx)   271 ft

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{36})

 

A car is traveling down the highway in Germany at 81 km/h when the driver spots that traffic is stopped in the road ahead and hits the brakes, providing a constant deceleration of 2.3 m/(s^2) . How long does it take the car to come to a halt and how far does it travel during this time period? Note: 1 kilometer equals 1000 meters.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{37})

 

An object is released from rest at some distance over the surface of the earth. How far (in meters) will the object fall in 5 seconds and what will be its velocity at the end of this 5 second time period? Hint: You should know the acceleration due to gravity near the surface of the earth.

 
     
Answer
     
     

Distance = 122.5 m, Velocity = −49 m/s.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{38})

 

An object is released from rest at some distance over the surface of a distant planet. How far (in meters) will the object fall in 5 seconds and what will be its velocity at the end of this 5 second time period? Assume the acceleration due to gravity on the distant planet is 13.5 m/(s^2).

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{39})

 

An object is released from rest at a distance of 352 feet over the surface of the earth. How long will it take the object to impact the ground?

 
     
Answer
     
     

Time (approx) 4.69 s

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{40})

 

An object is released from rest at a distance of 400 meters over the surface of a distant planet. How long will it take the object to impact the ground? Assume that the acceleration due to gravity on the distant planet equals 5.3 m/ (s^2).

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{41})

 

On earth, a ball is thrown upward from an initial height of 5 meters with an initial velocity of 100 m/s. How long will it take the ball to return to the ground?

 
     
Answer
     
     

Time (approx) 20.5 s

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{42})

 

On earth, a ball is thrown upward from an initial height of 5 feet with an initial velocity of 100 ft/s. How long will it take the ball to return to the ground?

 
 

A ball is thrown into the air near the surface of the earth. In  Exercises 43 46 , the initial height of the ball and the initial velocity of the ball are given. Complete the following tasks.

 
         
  1.      

    Use (y = y_{0} +v_{0}t+frac{1}{2}at^2) to set up a formula for the height y of the ball as a function of time t. Use the appropriate constant for the acceleration due to gravity near the surface of the earth.

         
  2.      
  3.      

    Load the equation from the previous part into Y1 in your graphing calculator. Adjust your viewing window so that both the vertex and the time when the ball returns to the ground are visible. Copy the image onto your homework paper. Label and scale each axis with xmin, xmax, ymin, and ymax.

         
  4.      
  5.      

    Use the zero utility in the CALC menu of your graphing calculator to determine the time when the ball returns to the ground. Record this answer in the appropriate location on your graph.

         
  6.      
  7.      

    Use the quadratic formula to determine the time the ball returns to the ground. Use your calculator to find a decimal approximation of your solution. It should agree with that found using the zero utility on your graphing calculator. ¡Se terco! Check your work until the answers agree.

         
  8.  
 
 

EXERCISE (PageIndex{43})

 

(y_{0}) = 50 ft, (v_{0}) = 120 ft/s.

 
     
Answer
     
     

Screen Shot 2019-09-03 at 1.20.16 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{44})

 

(y_{0}) = 30 m, (v_{0}) = 100 m/s.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{45})

 

(y_{0}) = 20m, (v_{0}) = 110m/s.

 
     
Answer
     
     

Screen Shot 2019-09-03 at 1.21.02 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{46})

 

(y_{0}) = 100ft, (v_{0}) = 200ft/s.

 
     
Answer
     
     

Add texts here. Do not delete this text first.

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{47})

 

A rock is thrown upward at an initial speed of 64 ft/s. How many seconds will it take the rock to rise 61 feet? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
     
Answer
     
     

1 . 57 seconds

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{48})

 

A penny is thrown downward from the top of a tree at an initial speed of 28 ft/s. How many seconds will it take the penny to fall 289 feet? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{49})

 

A water balloon is thrown downward from the roof of a building at an initial speed of 24 ft/s. The building is 169 feet tall. How many seconds will it take the water balloon to hit the ground? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
     
Answer
     
     

2 . 59 seconds

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{50})

 

A rock is thrown upward at an initial speed of 60 ft/s. How many seconds will it take the rock to rise 51 feet? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{51})

 

A ball is thrown upward from a height of 42 feet at an initial speed of 63 ft/s. How many seconds will it take the ball to hit the ground? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
     
Answer
     
     

4 . 52 seconds

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{52})

 

A rock is thrown upward from a height of 32 feet at an initial speed of 25 ft/s. How many seconds will it take the rock to hit the ground? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{53})

 

A penny is thrown downward from the top of a tree at an initial speed of 16 ft/s. The tree is 68 feet tall. How many seconds will it take the penny to hit the ground? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
     
Answer
     
     

1 . 62 seconds

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{54})

 

A penny is thrown downward off of the edge of a cliff at an initial speed of 32 ft/s. How many seconds will it take the penny to fall 210 feet? Round your answer to the nearest hundredth of a second.

 
       
                                  
]]>