Recuerde que el área de un círculo de radio (r ) se encuentra usando la fórmula (A = πr ^ 2 ). La circunferencia (distancia alrededor) de un círculo de radio (r ) se encuentra usando la fórmula (C = 2πr ) (ver Figura ( PageIndex {1} )).
Ejemplo ( PageIndex {13} )
En la Figura ( PageIndex {2} ) se muestran dos círculos concéntricos ( mismo centro). El círculo interno tiene radio (x ) y el círculo externo tiene radio (x + 1 ). Encuentre el área de la región sombreada (llamada anillo) en función de (x ).
Solución
Podemos encontrar el área de la región sombreada restando el área del círculo interno del área del círculo externo.
[A = text {Área del círculo exterior – Área del círculo interior} nonumber ]
Utilizamos la fórmula (A = πr ^ 2 ) para calcular el área de cada círculo. Debido a que el círculo exterior tiene radio (x + 1 ), tiene área (π (x + 1) ^ 2 ). Debido a que el círculo interno tiene radio (x ), tiene área (πx ^ 2 ).
[= pi (x + 1) ^ {2} – pi x ^ {2} nonumber ]
A continuación, expandiremos ((x + 1) ^ 2 ), luego combinaremos términos similares.
[ begin {array} {l} {= pi (x + 1) (x + 1) – pi x ^ {2}} \ {= pi left (x ^ {2} + x + x + 1 right) – pi x ^ {2}} \ {= pi left (x ^ {2} +2 x + 1 right) – pi x ^ {2}} end {array} nonumber ]
Finalmente, distribuya (π ) veces cada término de (x ^ 2 + 2x + 1 ), luego combine términos similares.
[ begin {array} {l} {= pi x ^ {2} +2 pi x + pi- pi x ^ {2}} \ {= 2 pi x + pi} end {array} nonumber ]
Por lo tanto, el área de la región sombreada es (A = 2πx + π ).
Ejemplo ( PageIndex {14} )
La demanda de widgets es una función del precio unitario, donde la demanda es la cantidad de widgets que el público comprará y el precio unitario es la cantidad cobrada por un solo widget. Suponga que la demanda viene dada por la función (x = 270−0.75p ), donde (x ) es la demanda y (p ) es el precio unitario. Observe cómo la demanda disminuye a medida que sube el precio unitario (tiene sentido). Use la calculadora gráfica para determinar el precio unitario que un minorista debe cobrar por los widgets para que sus ingresos por ventas sean iguales a ( $ 20,000 ).
Solución
Para determinar el ingreso ((R) ), multiplique el número de widgets vendidos ((x) ) por el precio unitario ((p) ).
[R = xp label {Eq5.6.1} ]
Sin embargo, sabemos que la cantidad de unidades vendidas es la demanda, dada por la fórmula
[x = 270−0.75p label {Eq5.6.2} ]
Sustituya la ecuación ( ref {Eq5.6.2} ) en la ecuación ( ref {Eq5.6.1} ) para obtener los ingresos en función del precio unitario.
[R = (270−0.75p) p nonumber ]
Expandir.
[R = 270 p-0.75 p ^ {2} label {Eq5.6.3} ]
Se nos pide determinar el precio unitario que genera un ingreso de ( $ 20,000 ). Sustituya ( $ 20,000 ) por (R ) en la ecuación ( ref {Eq5.6.3} ).
[20000 = 270 p-0.75 p ^ {2} label {Eq5.6.4} ]
Ingrese cada lado de la ecuación ( ref {Eq5.6.4} ) en el menú Y = de su calculadora (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {3} )) . Después de experimentar un poco, nos decidimos por los parámetros WINDOW que se muestran en la segunda imagen de la Figura ( PageIndex {3} ). Después de realizar estos ajustes, presione el botón GRAPH para producir el gráfico que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {3} ).
Tenga en cuenta que la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {3} ) muestra que hay dos soluciones, es decir, dos maneras en que podemos establecer el precio unitario para obtener un ingreso de ( $ 20,000 ). Para encontrar la primera solución, seleccione 5: intersecte desde el menú CALC , presione ENTER en respuesta a “Primera curva”, presione ENTER en respuesta a “Segundo curva “, luego acerque el cursor al punto de intersección a la izquierda y presione ENTER en respuesta a” Adivina “. El resultado se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {4} ).
Repita el proceso para encontrar el segundo punto de intersección. El resultado se muestra en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {4} ).
Nota
En este ejemplo, el eje horizontal es en realidad el eje (p ). Entonces, cuando configuramos ( mathrm {Xmin} ) y ( mathrm {Xmax} ) , en realidad estamos estableciendo límites en (p ) – eje.
Informar la solución en su tarea:
Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.
- Etiquete los ejes horizontal y vertical con (p ) y (R ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {5} )). Incluya las unidades (dólares y dólares).
- Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {5} )).
- Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {5} )).
- Suelta una línea vertical discontinua a través de cada punto de intersección. Sombree y etiquete los valores (p ) de los puntos donde las líneas verticales discontinuas cruzan el eje (p ). Estas son las soluciones de la ecuación (20000 = 270p− 0.75p ^ 2 ) (ver Figura ( PageIndex {5} )).
Redondeando al centavo más cercano, estableciendo el precio unitario en ( $ 104.28 ) o ( $ 255.72 ) generará un ingreso de ( $ 20,000 ).