Saltar al contenido
las matematicas

5.6: Optimización

En esta sección exploraremos la ciencia de la optimización. Suponga que está tratando de encontrar un par de números con una suma fija para que el producto de los dos números sea un máximo. Este es un ejemplo de un problema de optimización. Sin embargo, la optimización no se limita a encontrar un máximo. Por ejemplo, considere el fabricante que desea minimizar sus costos en función de ciertos criterios. Este es otro ejemplo de un problema de optimización. Como puede ver, la optimización puede abarcar la búsqueda de un máximo o un mínimo.

La optimización se puede aplicar a una amplia familia de funciones diferentes. Sin embargo, en esta sección, nos concentraremos en encontrar los máximos y mínimos de las funciones cuadráticas. Existe una gran cantidad de aplicaciones de la vida real que pueden modelarse mediante funciones cuadráticas, por lo que encontraremos que este es un excelente punto de entrada al estudio de la optimización.

Encontrar el máximo o mínimo de una función cuadrática

 

Considere la función cuadrática

 

[f (x) = – x ^ {2} +4 x + 2 nonumber ]

 

Completemos el cuadrado para colocar esta función cuadrática en forma de vértice. Primero, factoriza un signo menos.

 

[f (x) = – left [x ^ {2} -4 x-2 right] nonumber ]

 

Tome la mitad del coeficiente de (x ) y el cuadrado, como en ([(1/2) (- 4)] ^ {2} = 4 ). Suma y resta esta cantidad para mantener la ecuación equilibrada.

 

[f (x) = – left [x ^ {2} -4 x + 4-4-2 right] nonumber ]

 

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto, combina las constantes al final y luego redistribuye el signo menos para colocar la función cuadrática en forma de vértice.

 

[ begin {array} {l} {f (x) = – left [(x-2) ^ {2} -6 right]} \ {f (x) = – (x- 2) ^ {2} +6} end {array} nonumber ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia abajo, se ha desplazado 2 unidades hacia la derecha y 6 unidades hacia arriba. Esto coloca el vértice de la parábola en (2, 6), como se muestra en la Figura 1. Tenga en cuenta que el valor máximo de la función (valor y) se produce en el vértice de la parábola. Un matemático diría que la función “alcanza un valor máximo de 6 en (x ) igual a 2”.

 

Tenga en cuenta que 6 es mayor o igual que cualquier otro valor de y (valor de función) que se produce en la parábola. Esto da lugar a la siguiente definición.

   
Screen Shot 2019-07-08 at 7.52.58 PM.png
Figura ( PageIndex {1} ). El valor máximo de la función, 6, ocurre en el vértice de la parábola, (2, 6).
 
 

Definición: Máximo

 

Sea (c ) estar en el dominio de (f ). Se dice que la función (f ) alcanza un máximo en (x = c ) if (f (c) geq f (x) ) para todos (x ) en el dominio de (f ).

 
 

A continuación, veamos una función cuadrática que alcanza un mínimo en su dominio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

A continuación, veamos una función cuadrática que alcanza un mínimo en su dominio.

 

[f (x) = 2 x ^ {2} +12 x + 12 ]

 

Solución

 

Factoriza un 2. [f (x) = 2 left [x ^ {2} +6 x + 6 right] ]

 

Tome la mitad del coeficiente de x y el cuadrado, como en ([(1/2) (6)] ^ {2} = 9 ). Suma y resta esta cantidad para mantener la ecuación equilibrada.

 

[f (x) = 2 izquierda [x ^ {2} +6 x + 9-9 + 6 derecha] ]

 

Factoriza el trinomio y combina las constantes, y luego redistribuye el 2 en el siguiente paso.

 

[ begin {array} {l} {f (x) = 2 left [(x + 3) ^ {2} -3 right]} \ {f (x) = 2 (x + 3) ^ {2} -6} end {array} ]

 

El gráfico es una parábola que se abre hacia arriba, desplazada 3 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia abajo. Esto coloca el vértice en (−3, −6), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ). Tenga en cuenta que el valor mínimo de la función (valor y) se produce en el vértice de la parábola. Un matemático diría que la función “alcanza un valor mínimo de −6 en x igual a −3.

 
Screen Shot 2019-07-08 at 8.01.12 PM.png
Figura ( PageIndex {2} ). El valor mínimo de la función, -6, ocurre en el vértice de la parábola, (−3, −6).
 

Tenga en cuenta que −6 es menor o igual que cualquier otro valor de y (valor de función) que se produce en la parábola.

 
 

Este último ejemplo da lugar a la siguiente definición.

 
 

Definición

 

Sea c en el dominio de f. Se dice que la función f alcanza un mínimo en x = c if (f (c) leq f (x) ) para todas las x en el dominio de f.

 
 

Un acceso directo para el vértice

 

Ahora debería quedar claro que el vértice de la parábola desempeña un papel crucial al optimizar una función cuadrática. También sabemos que podemos completar el cuadrado para encontrar las coordenadas del vértice. Sin embargo, sería bueno si tuviéramos una forma más rápida de encontrar las coordenadas del vértice. Veamos la función cuadrática general

 

[y = a x ^ {2} + b x + c ]

 

y completa el cuadrado para encontrar las coordenadas del vértice. Primero, factoriza el a.

 

[y = a left [x ^ {2} + frac {b} {a} x + frac {c} {a} right] ]

 

Tome la mitad del coeficiente de x y cuadrado, como en ([(1/2) (b / a)] ^ {2} = [b / (2 a)] ^ {2} = b ^ { 2} / left (4 a ^ {2} right) ). Suma y resta esta cantidad para mantener la ecuación equilibrada.

 

[y = a left [x ^ {2} + frac {b} {a} x + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} – frac {b ^ { 2}} {4 a ^ {2}} + frac {c} {a} right] ]

 

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto y haz fracciones equivalentes para los términos constantes con un denominador común.

 

[ begin {array} {l} {y = a left [ left (x + frac {b} {2 a} right) ^ {2} – frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} + frac {4 ac} {4 a ^ {2}} right]} \ {y = a left [ left (x + frac {b} {2 a} derecha) ^ {2} + frac {4 a cb ^ {2}} {4 a ^ {2}} right]} end {array} ]

 

Finalmente, redistribuya que a. Observe cómo multiplicar por a cancela uno a en el denominador del término constante.

 

[y = a left (x + frac {b} {2 a} right) ^ {2} + frac {4 a c-b ^ {2}} {4 a} ]

 

Ahora, aquí está la idea clave. Los resultados dependen de los valores de a, byc, pero debe quedar claro que las coordenadas del vértice son

 

[ left (- frac {b} {2 a}, frac {4 a c-b ^ {2}} {4 a} right) ]

 

El valor y del vértice es un poco difícil de memorizar, pero el valor x del vértice es fácil de memorizar.

 
 

Atajo de vértice

 

Dada la parábola representada por la función cuadrática [y = a x ^ {2} + b x + c ]

 

la coordenada x del vértice viene dada por la fórmula [x _ { text {vertex}} = – frac {b} {2 a} ]

 
 

Probemos esto con la función cuadrática dada en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Use la fórmula (x _ { text {vertex}} = – b / (2 a) ) para encontrar la coordenada x del vértice de la parábola representada por la función cuadrática en el Ejemplo ( PageIndex { 1} ).

 

Solución

 

En el ejemplo ( PageIndex {1} ), la función cuadrática fue representada por la ecuación [f (x) = 2 x ^ {2} +12 x + 12 ]

 

En forma de vértice [f (x) = 2 (x + 3) ^ {2} -6 ]

 

se vio fácilmente que las coordenadas del vértice eran (−3, −6) (ver Figura ( PageIndex {2} )). Veamos qué revela la nueva fórmula para la coordenada x del vértice.

 

Como de costumbre, compare (f (x) = 2 x ^ {2} +12 x + 12 ) con (f (x) = ax ^ {2} + b x + c ) y observe que a = 2, b = 12 yc = 12. Por lo tanto, la coordenada x del vértice viene dada por

 

[x _ { text {vértice}} = – frac {b} {2 a} = – frac {12} {2 (2)} = – 3 ]

 

Tenga en cuenta que esto está de acuerdo con el resultado anterior (consulte la Figura ( PageIndex {2} )). Podríamos encontrar la coordenada y del vértice con

 

[y _ { text {vértice}} = frac {4 a cb ^ {2}} {4 a} = frac {4 (2) (12) – (12) ^ {2}} { 4 (2)} = frac {-48} {8} = – 6 ]

 

pero encontramos que esta fórmula para la coordenada y del vértice es un poco difícil de memorizar. Nos resulta más fácil hacer lo siguiente. Como sabemos que la coordenada x del vértice es x = −3, podemos encontrar la coordenada y del vértice simplemente sustituyendo x = −3 en la ecuación de la parábola. Es decir, con (f (x) = 2 x ^ {2} +12 x-12 ),

 

[f (-3) = 2 (-3) ^ {2} +12 (-3) + 12 = -6 ]

 
 

Destaquemos esta última técnica.

 
 

Encontrar la coordenada y del Vértice

 

Dada la parábola representada por la función cuadrática [f (x) = a x ^ {2} + b x + c ]

 

hemos visto que la coordenada x del vértice viene dada por x = −b / (2a). Para encontrar la coordenada y del vértice, probablemente sea más fácil evaluar la función en x = −b / (2a). Es decir, la coordenada y del vértice está dada por

 

[y _ { text {vértice}} = f left (- frac {b} {2 a} right) ]

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Considere la parábola que tiene la ecuación [f (x) = – 2 x ^ {2} +3 x-8 ]

 

Encuentra las coordenadas del vértice.

 

Solución

 

Primero, usa la nueva fórmula para encontrar la coordenada x del vértice.

 

[x _ { text {vértice}} = – frac {b} {2 a} = – frac {3} {2 (-2)} = frac {3} {4} ] [ 19459001]  

Luego, sustituye x = 3/4 para encontrar la coordenada y correspondiente.

 

[ begin {alineado} f left ( frac {3} {4} right) & = – 2 left ( frac {3} {4} right) ^ {2} +3 left ( frac {3} {4} right) -8 \ & = – 2 left ( frac {9} {16} right) + frac {9} {4} -8 \ & = – frac {9} {8} + frac {18} {8} – frac {64} {8} \ & = – frac {55} {8} end {alineado} ]

 

Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (3/4, −55/8).

 
 

Aplicaciones

 

Ahora estamos en condiciones de hacer algunas aplicaciones de optimización. Comencemos con un ejemplo sencillo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentra dos números reales x e y que sumen 50 y que tengan un producto que sea máximo.

 

Solución

 

Antes de aplicar la teoría de los ejemplos anteriores, juguemos un poco con los números para tener una idea de lo que se nos pide que hagamos. Necesitamos encontrar dos números que sumen 50, así que comencemos con x = 5 e y = 45. Claramente, la suma de estos dos números es 50. Por otro lado, su producto es xy = (5) (45) = 225. Coloquemos este resultado en una tabla.

 

Para una segunda aproximación, seleccione x = 10 e y = 40. La suma de estos dos números es 50 y su producto es xy = 400. Para una tercera aproximación, seleccione x = 20 e y = 30. La suma de estos dos números son 50 y su producto es xy = 600. Agreguemos estos resultados a nuestra tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                   
x y xy
5 45 225
10 40 400
20 30 600
 

Hasta ahora, el mejor par es x = 20 e y = 30, porque su producto es el máximo en la tabla anterior. ¿Pero hay otro par con un producto más grande? Recuerde que nuestro objetivo es encontrar un par con un producto que sea máximo. Es decir, nuestro par debe tener un producto más grande que cualquier otro par. ¿Puedes encontrar un par que tenga un producto mayor de 600?

 

Ahora que tenemos una idea de lo que se nos pide que hagamos (encontrar dos números que sumen 50 y que tengan un producto que sea máximo), intentemos un enfoque que sea más abstracto que “adivinar y verificar “Enfoque de nuestras mesas. Nuestra primera restricción es el hecho de que la suma de los números x e y debe ser 50. Podemos modelar esta restricción con la ecuación

 

[x + y = 50 ]

 

Se nos pide que maximicemos el producto. Por lo tanto, desea encontrar una fórmula para el producto. Dejemos que P represente el producto de x e y y escriba

 

[P = x y ]

 

Tenga en cuenta que P es una función de dos variables x e y. Sin embargo, todas nuestras funciones en este curso han sido hasta ahora una función de una sola variable. Entonces, ¿cómo podemos deshacernos de una de las variables? Simple, primero resuelve la ecuación (8) para y.

 

[ begin {alineado} x + y & = 50 \ y & = 50-x end {alineado} ]

 

Ahora, sustituya la ecuación (10) en el producto de la ecuación (9).

 

[P = x (50-x) ]

 

o, equivalentemente,

 

[P = -x ^ {2} +50 x ]

 

Tenga en cuenta que P ahora es una función de una sola variable x. Observe además que la función definida por la ecuación (11) es cuadrática. Si comparamos (P = -x ^ {2} +50 x ) con la forma general (P = ax ^ {2} + b x + c ), tenga en cuenta que a = −1 y b = 50 ( no necesitamos el hecho de que c = 0). Por lo tanto, si graficamos P versus x, el gráfico es una parábola que se abre hacia abajo (vea la Figura ( PageIndex {3} )) y el valor máximo de P ocurrirá en el vértice. La coordenada x del vértice se encuentra con

 

[x _ { text {vértice}} = – frac {b} {2 a} = – frac {50} {2 (-1)} = 25 ]

 
Screen Shot 2019-07-08 at 8.30.18 PM.png
Figura ( PageIndex {3} ). El producto máximo P = 625 ocurre en el vértice de la parábola, (25, 625).
 

Por lo tanto, nuestro primer número es x = 25. Podemos encontrar el segundo número y sustituyendo x = 25 en la ecuación (10).

 

[y = 50-x = 50-25 = 25 ]

 

Tenga en cuenta que la suma de x e y es x + y = 25 + 25 = 50. Hay dos formas en que podemos encontrar su producto. Como ahora conocemos los números x e y, podemos multiplicar para encontrar P = xy = (25) (25) = 625. Alternativamente, podríamos sustituir x = 25 en la ecuación (11) para obtener

 

[P = -x ^ {2} +50 x = – (25) ^ {2} +50 (25) = – 625 + 1250 = 625 ]

 

Cuando compara este resultado con nuestras tablas experimentales, las cosas se unen. Hemos encontrado dos números x e y que suman 50 con un producto que es máximo. Ningún otro número que suma 50 tiene un producto más grande.

 
 

Nuestra pequeña fórmula (x _ { text {vertex}} = – b / (2 a) ) ha demostrado ser un poderoso aliado. Probemos con otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentra dos números reales con una diferencia de 8 tal que la suma de los cuadrados de los dos números sea mínima.

 

Solución

 

Comencemos dejando que x e y representen los números que buscamos. A continuación, juguemos un poco como lo hicimos en el ejemplo anterior. Pruebe x = 9 e y = 1. La diferencia de estos dos números es ciertamente 8. La suma de los cuadrados de estos dos números es (S = 9 ^ {2} + 1 ^ {2} = 82 ). Pongamos este resultado en forma de tabla.

                                                                                                                                                       
x y (S = x ^ {2} + y ^ {2} )
9 1 82
 

Para una segunda aproximación, seleccione x = 8 e y = 0. La diferencia es x – y = 8 – 0 = 8, pero esta vez la suma de los cuadrados es (S = 8 ^ {2} +0 ^ {2} = 64 ). Para una tercera aproximación, intente x = 7 e y = −1. Nuevamente, la diferencia es x – y = 7 – (−1) = 8, pero la suma de los cuadrados ahora es (S = 7 ^ {2} + (- 1) ^ {2} = 50 ). Agreguemos estos resultados a nuestra tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                   
x y (S = x ^ {2} + y ^ {2} )
9 1 82
8 0 64
7 -1 50
 

Hasta ahora, el par que minimiza la suma de los cuadrados es x = 7 e y = −1. Sin embargo, ¿podría haber otro par con una diferencia de 8 y la suma de los cuadrados es menor que 50? Experimente más para ver si puede superar el mínimo actual de 50.

 

Probemos un enfoque analítico. Nuestra primera restricción es el hecho de que la diferencia de los dos números debe ser igual a 8. Esto se expresa fácilmente como

 

[x-y = 8 ]

 

A continuación, se nos pide que minimicemos la suma de los cuadrados de los dos números. Esto requiere que encontremos una fórmula para la suma de los cuadrados. Supongamos que S representa la suma de los cuadrados de x e y. Por lo tanto,

 

[S = x ^ {2} + y ^ {2} ]

 

Tenga en cuenta que S es una función de dos variables. Podemos eliminar una de las variables resolviendo la ecuación (13) para x, [x = y + 8 ]

 

luego sustituyendo este resultado en la ecuación (14).

 

[S = (y + 8) ^ {2} + y ^ {2} ]

 

Expandir y simplificar. [S = 2 y ^ {2} +16 y + 64 ]

 

Compare (S = 2 y ^ {2} +16 y + 64 ) con la cuadrática general (S = ay ^ {2} + b y + c ) y observe que a = 2 y b = 16. Por lo tanto, la gráfica de S versus y será una parábola que se abre hacia arriba (ver Figura ( PageIndex {4} )) y el valor mínimo de S ocurrirá en el vértice. La coordenada y del vértice se encuentra con

 

[y _ { mathrm {vértice}} = – frac {b} {2 a} = – frac {16} {2 (2)} = – 4 ]

 
Screen Shot 2019-07-09 at 10.21.46 PM.png
Figura ( PageIndex {4} ) Graficando la suma de los cuadrados S versus y. El mínimo S, 32, ocurre en el vértice, (−4, 32).
 

Por lo tanto, el primer número que buscamos es y = −4. Podemos encontrar el segundo número sustituyendo y = −4 en la ecuación (15).

 

[x = y + 8 = (- 4) + 8 = 4 ]

 

Por lo tanto, los números que buscamos son x = 4 e y = −4. Tenga en cuenta que la diferencia de estos dos números es x − y = 4 – (- 4) = 8 y la suma de sus cuadrados es (S = (4) ^ {2} + (- 4) ^ {2} = 32 ), que es más pequeño que el mejor resultado encontrado en nuestro experimento tabular anterior. De hecho, nuestro trabajo muestra que este es el valor más pequeño posible de S.

 

Alternativamente, puedes encontrar S sustituyendo y = −4 en la ecuación (16). Dejaremos que nuestros lectores verifiquen que esto también dé un valor mínimo de S = 32.

 
 

Veamos otra aplicación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Mary quiere cercar un jardín rectangular para evitar que los venados coman sus frutas y verduras. Un lado de su jardín linda con la pared de su cobertizo para que no necesite cercar ese lado. Sin embargo, ella también quiere usar material para separar el jardín rectangular en dos secciones (ver Figura ( PageIndex {5} )). Puede darse el lujo de comprar 80 pies totales de cerca para usar en el perímetro y la sección que divide el jardín rectangular. ¿Qué dimensiones maximizarán el área total del jardín rectangular?

 
Screen Shot 2019-07-09 at 10.24.22 PM.png
Figura ( PageIndex {5} ) El jardín rectangular de Mary necesita cercos en tres lados y también para que la cerca divida el jardín.
 

Solución

 

Nuevamente, antes de adoptar un enfoque algebraico, solo experimentemos. Tenga en cuenta que hemos etiquetado el ancho con la letra xy el alto con la letra y en nuestro boceto del jardín en la Figura ( PageIndex {5} ).

 

Hay un total de 80 pies de material de cerca. Supongamos que dejamos y = 5 pies. Debido a que hay tres lados de longitud y = 5 pies, hemos usado 15 pies de material. Eso deja 65 pies de material que se utilizará para cercar el ancho del jardín. Es decir, el ancho es x = 65 pies. Por lo tanto, las dimensiones del jardín son x = 65 pies por y = 5 pies. El área es igual al producto de estas dos medidas, entonces (A = 325 mathrm {ft} ^ {2} ). Pongamos este resultado en una tabla.

                                                                                                                                                       
x y A = xy
65 pies 5 pies 325 ( text {ft} ^ {2} )
 

Supongamos, en cambio, que dejamos que la altura sea y = 10 pies. De nuevo, hay tres secciones con esta longitud, por lo que se necesitarán 30 pies de material. Eso deja 50 pies de material, entonces el ancho x = 50 pies. El área es el producto de estas dos medidas, entonces (A = 500 mathrm {ft} ^ {2} ). Como tercer experimento, dejemos que la altura y = 15 pies. Restando tres de estas longitudes de 80 pies, vemos que el ancho x = 35 pies. El área es el producto de estas medidas, entonces (A = 525 mathrm { ft} ^ {2} ). Agreguemos estos dos últimos experimentos numéricos a nuestra tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                   
x y A = xy
65 pies 5 pies 325 ( text {ft} ^ {2} )
50 pies 10 pies 500 ( text {ft} ^ {2} )
35 pies 15 pies 525 ( text {ft} ^ {2} )
 

En este punto, el último conjunto de dimensiones produce el área máxima, pero ¿es posible que otra elección de x e y produzca un área más grande? Experimente más con los números de su elección para ver si puede encontrar dimensiones que produzcan un área mayor que el máximo actual en la tabla, a saber, 525 ( mathrm {ft} ^ {2} ).

 

Ahora invoquemos lo que hemos aprendido en esta sección para atacar este modelo. Primero, estamos limitados por la cantidad de material que tenemos para el trabajo, un total de 80 pies de cercado. Esta restricción requiere que 3 veces la altura del jardín, sumado al ancho del jardín, debe ser igual a la cantidad disponible de material de cercado. En símbolos,

 

[x + 3 y = 80 ]

 

Se nos pide que maximicemos el área, por lo que centramos nuestros esfuerzos en encontrar una fórmula para el área del jardín rectangular. Debido a que el área A del jardín rectangular es el producto del ancho y la altura, [A = x y ]

 

Ahora tenemos una fórmula para el área del jardín rectangular, pero desafortunadamente tenemos el área A en función de dos variables. Necesitamos eliminar una u otra de estas variables. Esto se hace fácilmente resolviendo la ecuación (18) para x. [x = 80-3 y ]

 

Luego, sustituya este resultado en la ecuación (19) para obtener [A = (80-3 y) y ]

 

o, equivalentemente, [A = -3 y ^ {2} +80 y ]

 

Tenga en cuenta que hemos expresado el área A en función de una sola variable y. Además, la función definida por la ecuación (21) es cuadrática. Compare (A = -3 y ^ {2} +80 y ) con la forma general (A = ay ^ {2} + b y + c ) y observe que a = −3 y b = 80 (nosotros no necesito el hecho de que c = 0). Por lo tanto, si trazamos A versus y, el gráfico es una parábola que se abre hacia abajo (vea la Figura ( PageIndex {6} )), por lo que el valor máximo de A ocurrirá en el vértice. La coordenada y del vértice se encuentra con

 

[y _ { mathrm {vértice}} = – frac {b} {2 a} = – frac {80} {2 (-3)} = frac {80} {6} = frac {40} {3} ]

 

Para encontrar el ancho del jardín rectangular, sustituya y = 40/3 en la ecuación (20) y resuelva para x.

 

[x = 80-3 y = 80-3 left ( frac {40} {3} right) = 80-40 = 40 ]

 

Por lo tanto, el ancho del jardín rectangular es de 40 pies. Podemos encontrar el área del jardín multiplicando el ancho y la altura.

 

[A = x y = (40) left ( frac {40} {3} right) = frac {1600} {3} = 533 frac {1} {3} ]

 

Tenga en cuenta que el área resultante, (A = 533 frac {1} {3} mathrm {ft} ^ {2} ), es solo un poco más grande que la última entrada tabular encontrada con nuestros experimentos numéricos.

 

También puede encontrar el área de la región rectangular sustituyendo y = 40/3 en la ecuación (21). Dejaremos que nuestros lectores verifiquen que esto proporcione la misma medida para el área. También notará que la segunda coordenada del vértice en la Figura ( PageIndex {6} ) es el área máxima (A = 1600/3 mathrm {ft} ^ {2} ).

 
Screen Shot 2019-07-09 at 10.35.09 PM.png
Figura ( PageIndex {6} ). El área máxima, A = 1600 (/ 3 mathrm {ft} ^ {2} ), ocurre en el vértice de la parábola, (40/3, 1600/3).
 
   

Ejercicio

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

Encuentre el valor máximo exacto de la función (f (x) = −x ^ 2−3x ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {9} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

Encuentre el valor máximo exacto de la función (f (x) = −x ^ 2−5x − 2 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

Encuentre el vértice de la gráfica de la función (f (x) = −3x ^ 2 − x − 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

((- frac {1} {6}, – frac {71} {12}) )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

Encuentre el rango de la función (f (x) = −2x ^ 2−9x + 2 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

Encuentre el valor máximo exacto de la función (f (x) = −3x ^ 2−9x − 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {11} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

Encuentre la ecuación del eje de simetría de la gráfica de la función (f (x) = −x ^ 2−5x − 9 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

Encuentre el vértice de la gráfica de la función (f (x) = 3x ^ 2 + 3x + 9 ).

 
     
Respuesta
     
     

((- frac {1} {2}, frac {33} {4}) )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

Encuentre el valor mínimo exacto de la función (f (x) = x ^ 2 + x + 1 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

Encuentre el valor mínimo exacto de la función (f (x) = x ^ 2 + 9x ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {81} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

Encuentre el rango de la función (f (x) = 5x ^ 2−3x − 4 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

Encuentre el rango de la función (f (x) = −3x ^ 2 + 8x − 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((- infty, frac {10} {3}] ) = { (x | x le frac {10} {3} )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

Encuentre el valor mínimo exacto de la función (f (x) = 2x ^ 2 + 5x − 6 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

Encuentre el rango de la función (f (x) = 4x ^ 2 + 9x − 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

([- frac {209} {16}, infty) ) = { (x | x ge – frac {209} {16} )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

Encuentre el valor máximo exacto de la función (f (x) = −3x ^ 2−8x − 1 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

Encuentre la ecuación del eje de simetría de la gráfica de la función (f (x) = −4x ^ 2−2x + 9 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {1} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

Encuentre el valor mínimo exacto de la función (f (x) = 5x ^ 2 + 2x − 3 ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 8 pies / s desde la parte superior de un edificio de 182 pies de altura. ¿Cuántos segundos le toma a la pelota alcanzar su altura máxima? Redondea tu respuesta a la centésima de segundo más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

0,25

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 9 pies / s desde la parte superior de un edificio de 143 pies de altura. ¿Cuántos segundos le toma a la pelota alcanzar su altura máxima? Redondea tu respuesta a la centésima de segundo más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 52 pies / s desde la parte superior de un edificio de 293 pies de altura. ¿Cuál es la altura máxima de la pelota? Redondea tu respuesta a la centésima de pie más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

335 . 25

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 23 pies / s desde la parte superior de un edificio de 71 pies de altura. ¿Cuál es la altura máxima de la pelota? Redondea tu respuesta a la centésima de pie más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

Encuentra dos números cuya suma es 20 y cuyo producto es un máximo.

 
     
Respuesta
     
     

10 y 10

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

Encuentra dos números cuya suma es 36 y cuyo producto es un máximo.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

Encuentra dos números cuya diferencia sea 12 y cuyo producto sea mínimo.

 
     
Respuesta
     
     

6 y −6

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

Encuentre dos números cuya diferencia sea 24 y cuyo producto sea mínimo.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

Un número es 3 más grande que dos veces un segundo número. Encuentra dos de esos números para que su producto sea mínimo.

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3} {2} ) y (- frac {3} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

Un número es 2 mayor que 5 veces un segundo número. Encuentra dos de esos números para que su producto sea mínimo.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

Entre todos los pares de números cuya suma es 10, encuentre el par de manera que la suma de sus cuadrados sea la más pequeña posible.

 
     
Respuesta
     
     

−5, −5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

Entre todos los pares de números cuya suma es 24, encuentre el par de tal manera que la suma de sus cuadrados sea la más pequeña posible.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

Entre todos los pares de números cuya suma es 14, encuentre el par de manera que la suma de sus cuadrados sea la más pequeña posible.

 
     
Respuesta
     
     

7, 7

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

Entre todos los pares de números cuya suma es 12, encuentre el par de tal manera que la suma de sus cuadrados sea la más pequeña posible.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

Entre todos los rectángulos que tienen un perímetro de 40 pies, encuentre las dimensiones (largo y ancho) del que tiene el área más grande.

 
     
Respuesta
     
     

10 pies por 10 pies

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

Entre todos los rectángulos que tienen un perímetro de 100 pies, encuentre las dimensiones (largo y ancho) del que tiene el área más grande.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

Un agricultor con 1700 metros de cercado quiere encerrar una parcela rectangular que bordea un río. Si no se requiere una cerca a lo largo del río, ¿cuál es el área más grande que se puede encerrar?

 
     
Respuesta
     
     

361250 metros cuadrados

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

Un ranchero con 1500 metros de cerca quiere encerrar una parcela rectangular que bordea un río. Si no se requiere una cerca a lo largo del río, y el lado paralelo al río tiene x metros de largo, encuentre el valor de x que dará el área más grande del rectángulo.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

Un guardaparque con 400 metros de cerca quiere encerrar una parcela rectangular que bordea un río. Si no se requiere una cerca a lo largo del río, y el lado paralelo al río tiene x metros de largo, encuentre el valor de x que dará el área más grande del rectángulo.

 
     
Respuesta
     
     

200

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

Un ranchero con 1000 metros de cerca quiere encerrar una parcela rectangular que bordea un río. Si no se requiere una cerca a lo largo del río, ¿cuál es el área más grande que se puede encerrar?

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

Let x represent the demand (the number the public will buy) for an object and let p represent the object’s unit price (in dollars). Suppose that the unit price and the demand are linearly related by the equation (p = −frac{1}{3}x + 40).

 
         
  1. Express the revenue R (the amount earned by selling the objects) as a function of the demand x.
  2.      
  3. Find the demand that will maximize the revenue.
  4.      
  5. Find the unit price that will maximize the revenue.
  6.      
  7. What is the maximum revenue?
  8.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (R = −frac{1}{3}x^2+40x)
  2.          
  3. x = 60 objects
  4.          
  5. p = 20 dollars
  6.          
  7. R = $1200
  8.      
     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{38})

 

Let x represent the demand (the number the public will buy) for an object and let p represent the object’s unit price (in dollars). Suppose that the unit price and the demand are linearly related by the equation (p = −frac{1}{5}x + 200).

 
         
  1. Express the revenue R (the amount earned by selling the objects) as a function of the demand x.
  2.      
  3. Find the demand that will maximize the revenue.
  4.      
  5. Find the unit price that will maximize the revenue.
  6.      
  7. What is the maximum revenue?
  8.  
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{39})

 

A point from the first quadrant is selected on the line y = mx + b. Lines are drawn from this point parallel to the axes to form a rectangle under the line in the first quadrant. Among all such rectangles, find the dimensions of the rectangle with maximum area. What is the maximum area? Assume m < 0.

 

Screen Shot 2019-09-02 at 4.00.01 PM.png

 
     
Answer
     
     

(x = −frac{b}{2m}),

     

(y = frac{b}{2}),

     

(A = −frac{b^2}{4m})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{40})

 

A rancher wishes to fence a rectangular area. The east-west sides of the rectangle will require stronger support due to prevailing east-west storm winds. Consequently, the cost of fencing for the east-west sides of the rectangular area is $18 per foot. The cost for fencing the north-south sides of the rectangular area is $12 per foot. Find the dimension of the largest possible rectangular area that can be fenced for $7200.

 
                   
]]>