Saltar al contenido
las matematicas

5.6: Resolviendo Ecuaciones Radicales

Ecuaciones radicales

 

Un radical ecuación 22 es cualquier ecuación que contiene uno o más radicales con una variable en el radicando. Los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones radicales, que se resolverán en esta sección:

                                                                            
( sqrt {2 x – 1} = 3 ) ( sqrt [3] {4 x ^ {2} + 7} – 2 = 0 ) ( sqrt {x + 2} – sqrt {x} = 1 )
 

Tabla 5.6.1

 

Comenzamos con la propiedad de cuadratura de igualdad 23 ; dados los números reales (a ) y (b ), tenemos lo siguiente:

 

( text {If} : : : a = b, text {then} a ^ {2} = b ^ {2} )

 

En otras palabras, la igualdad se conserva si cuadramos ambos lados de una ecuación.

 

( begin {alineado} – 3 = – 3 Rightarrow (- 3) ^ {2} & = (- 3) ^ {2} \ 9 & = 9 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Lo contrario, por otro lado, no es necesariamente cierto,

 

( begin {alineado} 9 & = 9 \ (- 3) ^ {2} & = (3) ^ {2} Rightarrow – 3 neq 3 : : color {rojo} { ✗} end {alineado} )

 

Esto es importante porque usaremos esta propiedad para resolver ecuaciones radicales. Considere una ecuación radical muy simple que puede resolverse mediante inspección,

 

( sqrt {x} = 5 )

 

Aquí podemos ver que (x = 25 ) es una solución. Para resolver esta ecuación algebraicamente, utilice la propiedad cuadrática de igualdad y el hecho de que (( sqrt {a}) ^ {2} = sqrt {a ^ {2}} = a ) cuando (a ) no es negativo. Elimine la raíz cuadrada al cuadrar ambos lados de la ecuación de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {(} color {black} { sqrt {x}} color {Cerulean} {) ^ {2}} & color {black} {= } color {Cerulean} {(} color {black} {5} color {Cerulean} {) ^ {2}} \ x & = 25 end {alineado} )

 

Como verificación, podemos ver que ( sqrt {25} = 5 ) como se esperaba. Debido a que lo inverso de la propiedad cuadrática de la igualdad no es necesariamente cierto, las soluciones a la ecuación al cuadrado pueden no ser soluciones al original. Por lo tanto, la cuadratura a ambos lados de una ecuación introduce la posibilidad de soluciones 24 , que son soluciones que no resuelven la ecuación original. Por ejemplo,

 

( sqrt {x} = – 5 )

 

Esta ecuación claramente no tiene una solución de número real. Sin embargo, cuadrar ambos lados nos da una solución:

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {(} color {black} { sqrt {x}} color {Cerulean} {) ^ {2}} & color {black} {= } color {Cerulean} {(} color {black} {-5} color {Cerulean} {) ^ {2}} \ x & = 25 end {alineado} )

 

Como verificación, podemos ver que ( sqrt {25} neq – 5 ). Por esta razón, debemos verificar las respuestas que resultan de cuadrar ambos lados de una ecuación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resuelve: ( sqrt {3 x + 1} = 4 ).

 

Solución

 

Podemos eliminar la raíz cuadrada aplicando la propiedad cuadrática de la igualdad.

 

( begin {alineado} sqrt {3 x + 1} & = 4 \ ( sqrt {3 x + 1}) ^ {2} & = (4) ^ {2} quad color {Cerulean} {Cuadrado : ambos : lados.} \ 3 x + 1 & = 16 quad : : : color {Cerulean} {Resolver.} \ 3 x & = 15 \ x & = 5 end {alineado} )

 

A continuación, debemos verificar.

 

( begin {alineado} sqrt {3 ( color {OliveGreen} {5} color {black} {)} + 1} & = 4 \ sqrt {15 + 1} & = 4 sqrt {16} & = 4 \ 4 & = 4 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es (5 ).

 
 

Hay una interpretación geométrica del ejemplo anterior. Grafica la función definida por (f (x) = sqrt {3 x + 1} ) y determina dónde se cruza con la gráfica definida por (g (x) = 4 ).

 
3f037eb56381aa157ac81ee8bd6a85a8.png  
Figura 5.6.1
 
 

Como se ilustra, (f (x) = g (x) ) donde (x = 5 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resuelve: ( sqrt {x – 3} = x – 5 ).

 

Solución

 

Comience por cuadrar ambos lados de la ecuación.

 

( begin {alineado} sqrt {x – 3} & = x – 5 \ ( sqrt {x – 3}) ^ {2} & = (x – 5) ^ {2} quad quad quad color {Cerulean} {Cuadrado : ambos : lados.} \ x – 3 & = x ^ {2} – 10 x + 25 end {alineado} )

 

La ecuación cuadrática resultante se puede resolver factorizando.

 

( begin {alineado} x – 3 & = x ^ {2} – 10 x + 25 \ 0 & = x ^ {2} – 11 x + 28 \ 0 & = (x – 4) (x – 7) end {alineado} )

 

( begin {array} {rl} {x – 4 = 0} & { text {or} quad x – 7 = 0} \ {x = 4} & quad quad quad quad : {x = 7} end {array} )

 

Comprobar las soluciones después de cuadrar ambos lados de una ecuación no es opcional. Use la ecuación original cuando realice la verificación.

                                                                                                       
Tabla 5.6.2
( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 4} ) ( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 7} )
( begin {alineado} sqrt {x – 3} & = x – 5 \ sqrt { color {Cerulean} {4} color {black} {-} 3} & = color { Cerulean} {4} color {black} {-} 5 \ sqrt {1} & = – 1 \ 1 & = – 1 quad color {red} {✗} end {alineado} ) [ 19459018]               ( begin {alineado} sqrt {x – 3} & = x – 5 \ sqrt { color {Cerulean} {7} color {black} {-} 3} & = color { Cerulean} {7} color {black} {-} 5 \ sqrt {4} & = 2 \ 2 & = 2 quad color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Después de verificar, puede ver que (x = 4 ) es una solución extraña; no resuelve la ecuación radical original. Haga caso omiso de esa respuesta. Esto deja a (x = 7 ) como la única solución.

 

Respuesta :

 

La solución es (7 ).

 
 

Geométricamente podemos ver que (f (x) = sqrt {x + 3} ) es igual a (g (x) = x – 5 ) donde (x = 7 ).

 

 

2cf52a39d571cb46cefee616d835a8b4.png  
Figura 5.6.2
 
 

En los dos ejemplos anteriores, observe que el radical está aislado en un lado de la ecuación. Por lo general, este no es el caso. Los pasos para resolver ecuaciones radicales que involucran raíces cuadradas se describen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resuelve: ( sqrt {2 x – 1} + 2 = x ).

 

Solución

 

Paso 1: Aísla la raíz cuadrada. Comience restando 2 de ambos lados de la ecuación.

 

( begin {alineado} sqrt {2 x – 1} + 2 & = x \ sqrt {2 x – 1} & = x – 2 end {alineado} )

 

Paso 2: Cuadra ambos lados. Cuadrar ambos lados elimina la raíz cuadrada.

 

( begin {alineado} ( sqrt {2 x – 1}) ^ {2} & = (x – 2) ^ {2} \ 2 x – 1 & = x ^ {2} – 4 x + 4 end {alineado} )

 

Paso 3: Resuelve la ecuación resultante. Aquí nos queda una ecuación cuadrática que puede resolverse factorizando.

 

( begin {alineado} 2 x – 1 & = x ^ {2} – 4 x + 4 \ 0 & = x ^ {2} – 6 x + 5 \ 0 & = (x – 1 ) (x – 5) end {alineado} )

 

( begin {array} {rl} {x – 1 = 0} & { text {or} quad x – 5 = 0} \ {x = 1} & quad quad quad quad {x = 5} end {array} )

 

Paso 4: Comprueba las soluciones en la ecuación original. Cuadrar ambos lados introduce la posibilidad de soluciones extrañas; por lo tanto, se requiere la verificación.

                                                                                                                     
Tabla 5.6.3
( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 1} ) ( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 5} )
( begin {alineado} sqrt {2 x – 1} + 2 & = x \ sqrt {2 ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} – 1} + 2 & = color {Cerulean} {1} \ sqrt {1} + 2 & = 1 \ 1 + 2 & = 1 \ 3 & = 1 : : color {red} {✗} final {alineado} ) ( begin {alineado} sqrt {2 x – 1} + 2 & = x \ sqrt {2 ( color {Cerulean} {5} color {black} {)} – 1} + 2 & = color {Cerulean} {5} \ sqrt {9} + 2 & = 5 \ 3 + 2 & = 5 \ 5 & = 5 : : color {Cerulean} {✓} final {alineado} )
 

Después de verificar, podemos ver que (x = 1 ) es una solución extraña; no resuelve la ecuación radical original. Esto deja a (x = 5 ) como la única solución.

 

Respuesta :

 

La solución es (5 ).

 
 

A veces hay más de una solución para una ecuación radical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelve: (2 sqrt {2 x + 5} – x = 4 ).

 

Solución

 

Comienza por aislar el término con el radical.

 

( begin {alineado} 2 sqrt {2 x + 5} – x & = 4 quad quad color {Cerulean} {Agregar : x : a : ambos : lados.} 2 sqrt {2 x + 5} & = x + 4 end {alineado} )

 

A pesar de que el término en el lado izquierdo tiene un coeficiente, aún lo consideramos aislado. Recuerde que los términos están separados por operadores de suma o resta.

 

( begin {alineado} 2 sqrt {2 x + 5} & = x + 4 \ (2 sqrt {2 x + 5}) ^ {2} & = (x + 4) ^ { 2} quad quad quad color {Cerulean} {Cuadrado : ambos : lados.} \ 4 (2 x + 5) & = x ^ {2} + 8 x + 16 end {alineado} )

 

Resuelve la ecuación cuadrática resultante.

 

( begin {alineado} 4 (2 x + 5) & = x ^ {2} + 8 x + 16 \ 8 x + 20 & = x ^ {2} + 8 x + 16 \ 0 & = x ^ {2} – 4 \ 0 & = (x + 2) (x – 2) end {alineado} )

 

( begin {array} {rl} {x + 2 = 0} & { text {or} x – 2 = 0} \ {x = – 2} & quad quad quad : {x = 2} end {array} )

 

Como cuadramos ambos lados, debemos verificar nuestras soluciones.

                                                                                                                     
Tabla 5.6.4
( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = -2} ) ( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 2} )
( begin {array} {r} {2 sqrt {2 x + 5} – x = 4} \ {2 sqrt {2 ( color {Cerulean} {- 2} color {black { } {)} + 5} – ( color {Cerulean} {- 2} color {black} {)} = 4} \ {2 sqrt {- 4 + 5} + 2 = 4} \ {2 sqrt {1} + 2 = 4} \ {2 + 2 = 4} \ {4 = 4} : : color {Cerulean} {✓} end {array} ) ( begin {alineado} 2 sqrt {2 x + 5} – x & = 4 \ 2 sqrt {2 ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} + 5 } – ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} & = 4 \ 2 sqrt {4 + 5} – 2 & = 4 \ 2 sqrt {9} – 2 & = 4 \ 6 – 2 & = 4 \ 4 & = 4 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Después de verificar, podemos ver que ambas son soluciones a la ecuación original.

 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( pm 2 ).

 
 

Algunas veces las dos posibles soluciones son extrañas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resuelve: ( sqrt {4 – 11 x} – x + 2 = 0 ).

 

Solución

 

Comience aislando el radical.

 

( begin {alineado} sqrt {4 – 11 x} – x + 2 & = 0 quad quad quad quad quad color {Cerulean} {Isolate : the : radical.} \ sqrt {4 – 11 x} & = x – 2 \ ( sqrt {4 – 11 x}) ^ {2} & = (x – 2) ^ {2} quad quad color {Cerulean } {Cuadrado : ambos : lados.} \ 4 – 11 x & = x ^ {2} – 4 x + 4 : : color {Cerulean} {Resolver.} \ 0 & = x ^ { 2} + 7 x \ 0 & = x (x + 7) end {alineado} )

 

( begin {alineado} x = 0 text {o} x + 7 & = 0 \ x & = – 7 end {alineado} )

 

Como cuadramos ambos lados, debemos verificar nuestras soluciones.

                                                                                                                     
Tabla 5.6.5
( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 0} ) ( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = -7} )
( begin {alineado} sqrt {4 – 11 x} – x + 2 & = 0 \ sqrt {4 – 11 ( color {Cerulean} {0} color {black} {)} } – color {Cerulean} {0} color {black} {+} 2 & = 0 \ sqrt {4} + 2 & = 0 \ 2 + 2 & = 0 \ 4 & = 0 : : color {rojo} {✗} end {alineado} ) ( begin {alineado} sqrt {4 – 11 x} – x + 2 & = 0 \ sqrt {4 – 11 ( color {Cerulean} {- 7} color {black} {) }} – ( color {Cerulean} {- 7} color {black} {)} + 2 & = 0 \ sqrt {4 + 77} + 7 + 2 & = 0 \ sqrt {81} + 9 & = 0 \ 9 + 9 & = 0 \ 18 & = 0 : : color {rojo} {✗} end {alineado} )
 

Dado que ambas posibles soluciones son extrañas, la ecuación no tiene solución.

 

Respuesta :

 

Sin solución, ( emptyset )

 
 

La propiedad cuadrática de la igualdad se extiende a cualquier potencia entera positiva (n ). Dados los números reales (a ) y (b ), tenemos lo siguiente:

 

( text {If} : : : a = b, text {then} a ^ {n} = b ^ {n} )

 

Esto a menudo se conoce como la propiedad de poder de igualdad 25 . Use esta propiedad, junto con el hecho de que (( sqrt [n] {a}) ^ {n} = sqrt [n] {a ^ {n}} = a ), cuando (a ) es no negativo, para resolver ecuaciones radicales con índices mayores que (2 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resuelve ( sqrt [3] {4 x ^ {2} + 7} – 2 = 0 ).

 

Solución

 

Aísle el radical y luego cubique ambos lados de la ecuación.

 

( begin {alineado} sqrt [3] {4 x ^ {2} + 7} – 2 & = 0 quad quad color {Cerulean} {Isolate : the : radical.} sqrt [3] {4 x ^ {2} + 7} & = 2 \ left ( sqrt [3] {4 x ^ {2} + 7} right) ^ {3} & = (2 ) ^ {3} quad color {Cerulean} {Cubo : ambos : lados.} \ 4 x ^ {2} + 7 & = 8 quad quad color {Cerulean} {Resolver.} \ 4 x ^ {2} – 1 & = 0 \ (2 x + 1) (2 x – 1) & = 0 end {alineado} )

 

( begin {array} {rl} {2 x + 1 = 0} & { text {or} quad 2 x – 1 = 0} \ {2 x = – 1} & quad quad quad quad : {2 x = 1} \ {x = – frac {1} {2}} & quad quad quad quad : : ; {x = frac {1 } {2}} end {array} )

 

Verificar.

                                                                                                       
Tabla 5.6.6
( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = – frac {1} {2}} ) ( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = frac {1} {2}} )
( begin {alineado} sqrt [3] {4 x ^ {2} + 7} – 2 & = 0 \ sqrt [3] {4 left ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} right) ^ {2} + 7} – 2 & = 0 \ sqrt [3] {4 cdot frac {1} {4} + 7} – 2 & = 0 \ sqrt [3] {8} – 2 & = 0 \ 2- 2 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) [19459018 ]               ( begin {alineado} sqrt [3] {4 x ^ {2} + 7} – 2 & = 0 \ sqrt [3] {4 left ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} right) ^ {2} + 7} – 2 & = 0 \ sqrt [3] {4 cdot frac {1} {4} + 7} – 2 & = 0 sqrt [3] {1 + 7} -2 & = 0 \ sqrt [3] {8} – 2 & = 0 \ 2 – 2 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( pm frac {1} {2} ).

 
 

Puede darse el caso de que la ecuación tenga más de un término que consista en expresiones radicales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resuelve: ( sqrt {5 x – 3} = sqrt {4 x – 1} ).

 

Solución

 

Ambos radicales se consideran aislados en lados separados de la ecuación.

 

( begin {alineado} sqrt {5 x – 3} & = sqrt {4 x – 1} \ ( sqrt {5 x – 3}) ^ {2} & = ( sqrt { 4 x – 1}) ^ {2} quad color {Cerulean} {Cuadrado : ambos : lados.} \ 5 x – 3 & = 4 x – 1 quad quad quad color {Cerulean} {Resolver.} \ x & = 2 end {alineado} )

 

Comprueba (x = 2 ).

 

( begin {alineado} sqrt {5 x – 3} & = sqrt {4 x – 1} \ sqrt {5 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {) } – 3} & = sqrt {4 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} – 1} \ sqrt {10 – 3} & = sqrt {8 – 1} \ sqrt {7} & = sqrt {7} : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es (2 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve: ( sqrt [3] {x ^ {2} + x – 14} = sqrt [3] {x + 50} ).

 

Solución

 

Elimina los radicales cubicando ambos lados.

 

( begin {alineado} sqrt [3] {x ^ {2} + x – 14} & = sqrt [3] {x + 50} \ left ( sqrt [3] {x ^ {2} + x – 14} right) ^ {3} & = ( sqrt [3] {x + 50}) ^ {3} quad color {Cerulean} {Cubo : ambos : lados. } \ x ^ {2} + x – 14 & = x + 50 quad quad quad color {Cerulean} {Resolver.} \ x ^ {2} – 64 & = 0 \ (x + 8 ) (x – 8) & = 0 end {alineado} )

 

( begin {array} {rl} {x + 8 = 0} & { text {or} quad x – 8 = 0} \ {x = – 8} & quad quad quad quad {x = 8} end {array} )

 

Verificar.

                                                                                                       
Tabla 5.6.7
( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = -8} ) ( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 8} )
( begin {alineado} sqrt [3] {x ^ {2} + x – 14} & = sqrt [3] {x + 50} \ sqrt [3] {( color { Cerulean} {- 8} color {black} {)} ^ {2} + ( color {Cerulean} {- 8} color {black} {)} – 14} & = sqrt [3] {( color {Cerulean} {- 8} color {black} {)} + 50} \ sqrt [3] {64 – 8 – 14} & = sqrt [3] {42} \ sqrt [3] {42} & = sqrt [3] {42 Tabla 5.6.7 } : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) [19459018 ]               ( begin {alineado} sqrt [3] {x ^ {2} + x – 14} & = sqrt [3] {x + 50} \ sqrt [3] {( color { Cerulean} {8} color {black} {)} ^ {2} + ( color {Cerulean} {8} color {black} {)} – 14} & = sqrt [3] {( color { Cerulean} {8} color {black} {)} + 50} \ sqrt [3] {64 + 8 – 14} & = sqrt [3] {58} \ sqrt [3] {58} & = sqrt [3] {58} : : color {Cerulean} {✓} end {alineado}
 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( pm 8 ).

 
 

Puede que no sea posible aislar un radical en ambos lados de la ecuación. Cuando este sea el caso, aísle los radicales, uno a la vez, y aplique la propiedad cuadrática de la igualdad varias veces hasta que solo quede un polinomio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Resolver: ( sqrt {x + 2} – sqrt {x} = 1 )

 

Solución

 

Comience aislando uno de los radicales. En este caso, agregue ( sqrt {x} ) a ambos lados de la ecuación.

 

( begin {alineado} sqrt {x + 2} – sqrt {x} & = 1 \ sqrt {x + 2} & = sqrt {x} + 1 end {alineado} )

 

Luego, cuadra ambos lados. Tenga cuidado de aplicar la propiedad distributiva al lado derecho.

 

( begin {alineado} ( sqrt {x + 2}) ^ {2} & = ( sqrt {x} + 1) ^ {2} \ x + 2 & = ( sqrt {x } + 1) ( sqrt {x} + 1) \ x + 2 & = sqrt {x ^ {2}} + sqrt {x} + sqrt {x} + 1 \ x + 2 & = x + 2 sqrt {x} + 1 end {alineado} )

 

En este punto tenemos un término que contiene un radical. Aíslelo y cuadre ambos lados nuevamente.

 

( begin {alineado} x + 2 & = x + 2 sqrt {x} + 1 \ 1 & = 2 sqrt {x} \ (1) ^ {2} & = (2 sqrt {x}) ^ {2} \ 1 & = 4 x \ frac {1} {4} & = x end {alineado} )

 

Verifique si (x = frac {1} {4} ) satisface la ecuación original ( sqrt {x + 2} – sqrt {x} = 1 )

 

( begin {array} {r} { sqrt { color {OliveGreen} { frac {1} {4}} color {black} {+} 2} – sqrt { color {OliveGreen } { frac {1} {4}}} color {black} {=} 1} \ { sqrt { frac {9} {4}} – frac {1} {2} = 1} { frac {3} {2} – frac {1} {2} = 1} \ { frac {2} {2} = 1} \ {1 = 1} color {Cerulean} {✓ } end {array} )

 

Respuesta

 

La solución es ( frac {1} {4} ).

 
 
 

Debido a que ((A + B) ^ {2} neq A ^ {2} + B ^ {2} ), no podemos simplemente cuadrar cada término. Por ejemplo, es incorrecto cuadrar cada término de la siguiente manera.

 
 

( color {Cerulean} {(} color {black} { sqrt {x + 2}} color {Cerulean} {) ^ {2}} color {black} {-} color { Cerulean} {(} color {black} { sqrt {x}} color {Cerulean} {) ^ {2}} color {black} {=} color {Cerulean} {(} color {black} {1} color {Cerulean} {) ^ {2}} \ color {red} {¡Incorrecto!} )

 

Este es un error común y conduce a un resultado incorrecto. Al cuadrar ambos lados de una ecuación con múltiples términos, debemos tener cuidado de aplicar la propiedad distributiva.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Resolver: ( sqrt {2 x + 10} – sqrt {x + 6} = 1 )

 

Solución

 

Comience aislando uno de los radicales. En este caso, agregue ( sqrt {x + 6} ) a ambos lados de la ecuación.

 

( begin {alineado} sqrt {2 x + 10} – sqrt {x + 6} & = 1 \ sqrt {2 x + 10} & = sqrt {x + 6} + 1 end {alineado} )

 

Luego, cuadra ambos lados. Tenga cuidado de aplicar la propiedad distributiva al lado derecho.

 

( begin {alineado} ( sqrt {2 x + 10}) ^ {2} & = ( sqrt {x + 6} + 1) ^ {2} \ 2 x + 10 & = x + 6 + 2 sqrt {x + 6} + 1 \ 2 x + 10 & = x + 7 + 2 sqrt {x + 6} end {alineado} )

 

En este punto tenemos un término que contiene un radical. Aíslelo y cuadre ambos lados nuevamente.

 

( begin {alineado} 2 x + 10 & = x + 7 + 2 sqrt {x + 6} \ x + 3 & = 2 sqrt {x + 6} \ (x + 3) ^ {2} & = (2 sqrt {x + 6}) ^ {2} \ x ^ {2} + 6 x + 9 & = 4 (x + 6) \ x ^ {2} + 6 x + 9 & = 4 x + 24 \ x ^ {2} + 2 x – 15 & = 0 \ (x – 3) (x + 5) & = 0 end {alineado} )

 

( begin {array} {rl} {x – 3 = 0} & { text {or} quad x + 5 = 0} \ {x = 3} & quad quad quad quad : {x = – 5} end {array} )

 

Verificar.

                                                                                                                     
Tabla 5.6.8
( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = 3} ) ( color {Cerulean} {Check} color {black} {x = -5} )
( begin {alineado} sqrt {2 x + 10} – sqrt {x + 6} & = 1 \ sqrt {2 ( color {Cerulean} {3} color {black} { )} + 10} – sqrt { color {Cerulean} {3} color {black} {+} 6} & = 1 \ sqrt {16} – sqrt {9} & = 1 \ 4 – 3 & = 1 \ 1 & = 1 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) ( begin {alineado} sqrt {2 x + 10} – sqrt {x + 6} & = 1 \ sqrt {2 ( color {Cerulean} {- 5} color {black} {)} + 10} – sqrt { color {Cerulean} {- 5} color {black} {+} 6} & = 1 \ sqrt {0} – sqrt {1} & = 1 \ 0 – 1 & = 1 \ – 1 & = 1 : : color {rojo} {✗} end {alineado} )
 

Respuesta

 

La solución es (3 ).

 
 
]]>