Saltar al contenido
las matematicas

5.7: Funciones racionales

Identificando asíntotas horizontales de funciones racionales

 

Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico a medida que la salida se vuelve muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales ayudan a describir el comportamiento de un gráfico a medida que la entrada se hace muy grande o muy pequeña. Recuerde que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Del mismo modo, el comportamiento final de una función racional reflejará el de la razón de la función que es la razón de los términos principales.

 

Hay tres resultados distintos al verificar las asíntotas horizontales:

 

Caso 1 : Si el grado del denominador> grado del numerador, hay una asíntota horizontal en (y = 0 ).

 
 

Ejemplo: (f (x) = dfrac {4x + 2} {x ^ 2 + 4x − 5} )

 
 

En este caso, el comportamiento final es (f (x) ≈ frac {4x} {x ^ 2} = frac {4} {x} ). Esto nos dice que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de manera similar a la función (g (x) = frac {4} {x} ), y las salidas se acercarán a cero, dando como resultado un asíntota horizontal en (y = 0 ). Ver Figura ( PageIndex {13} ). Tenga en cuenta que este gráfico cruza la asíntota horizontal.

 
Graph of f(x)=(4x+2)/(x^2+4x-5) with its vertical asymptotes at x=-5 and x=1 and its horizontal asymptote at y=0.
Figura ( PageIndex {13} ): asíntota horizontal (y = 0 ) cuando (f (x) = dfrac {p (x)} {q (x) } ), (q (x) ≠ 0 ) donde grado de (p )
 

Caso 2 : Si el grado del denominador  

 

Ejemplo: (f (x) = dfrac {3x ^ 2−2x + 1} {x − 1} )

 
 

En este caso, el comportamiento final es (f (x) ≈ frac {3x ^ 2} {x} = 3x ). Esto nos dice que a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de manera similar a la función (g (x) = 3x ). A medida que las entradas crecen, las salidas crecerán y no se nivelarán, por lo que este gráfico no tiene asíntota horizontal. Sin embargo, la gráfica de (g (x) = 3x ) parece una línea diagonal, y dado que (f ) se comportará de manera similar a (g ), se acercará a una línea cercana a (y = 3x ). Esta línea es una asíntota inclinada.

 

Para encontrar la ecuación de la asíntota inclinada, divida ( frac {3x ^ 2−2x + 1} {x − 1} ). El cociente es (3x + 1 ), y el resto es 2. La asíntota inclinada es la gráfica de la línea (g (x) = 3x + 1 ). Ver Figura ( PageIndex {14} ).

 
Graph of f(x)=(3x^2-2x+1)/(x-1) with its vertical asymptote at x=1 and a slant asymptote aty=3x+1.
Figura ( PageIndex {14} ): asíntota inclinada cuando (f (x) = frac {p (x)} {q (x)} ), (q (x) ≠ 0 ) donde grado de (p )> grado de (q ) por 1.
 

Caso 3 : Si el grado del denominador = grado del numerador, hay una asíntota horizontal en (y = dfrac {a_n} {b_n} ), donde (a_n ) y (b_n ) son respectivamente los coeficientes principales de (p (x) ) y (q (x) ) para (f (x) = dfrac {p (x)} {q (x )} ), (q (x) ≠ 0 ).

 
 

Ejemplo: (f (x) = dfrac {3x ^ 2 + 2} {x ^ 2 + 4x − 5} )

 
 

En este caso, el comportamiento final es (f (x) ≈ dfrac {3x ^ 2} {x ^ 2} = 3 ). Esto nos dice que a medida que las entradas crecen, esta función se comportará como la función (g (x) = 3 ), que es una línea horizontal. Como (x rightarrow pm infty ), (f (x) rightarrow 3 ), dando como resultado una asíntota horizontal en (y = 3 ). Ver Figura ( PageIndex {15} ). Tenga en cuenta que este gráfico cruza la asíntota horizontal.

 
Graph of f(x)=(3x^2+2)/(x^2+4x-5) with its vertical asymptotes at x=-5 and x=1 and its horizontal asymptote at y=3.
Figura ( PageIndex {15} ): asíntota horizontal cuando (f (x) = frac {p (x)} {q (x)} ), (q (x) ≠ 0 ) donde grado de (p ) = grado de (q ).
 

Observe que, si bien la gráfica de una función racional nunca cruzará una asíntota vertical , la gráfica puede o no cruzar una asíntota horizontal o inclinada. Además, aunque el gráfico de una función racional puede tener muchas asíntotas verticales, el gráfico tendrá como máximo una asíntota horizontal (o inclinada).

 
]]>