las matematicas

5.7: Números complejos y sus operaciones

5.7: Números complejos y sus operaciones

Introducción a los números complejos

 

Hasta este punto, la raíz cuadrada de un número negativo no se ha definido. Por ejemplo, sabemos que ( sqrt {- 9} ) no es un número real.

 

( sqrt {- 9} = color {Cerulean} {?} Color {black} { quad text {or}} quad ( color {Cerulean} {?} Color {black} {)} ^ {2} = – 9 )

 

No hay un número real que al cuadrado resulte en un número negativo. Comenzamos a resolver este problema definiendo la imaginaria unidad 26 , (i ), como la raíz cuadrada de ( −1 ).

 

(i = sqrt {- 1} quad text {y} quad i ^ {2} = – 1 )

 

Para expresar una raíz cuadrada de un número negativo en términos de la unidad imaginaria (i ), utilizamos la siguiente propiedad donde (a ) representa cualquier número real no negativo:

 

( sqrt {- a} = sqrt {- 1 cdot a} = sqrt {- 1} cdot sqrt {a} = i sqrt {a} )

 

Con esto podemos escribir.

 

( sqrt {- 9} = sqrt {- 1 cdot 9} = sqrt {- 1} cdot sqrt {9} = i cdot 3 = 3 i )

 

Si ( sqrt {- 9} = 3 i ), entonces esperaríamos que (3i ) al cuadrado sea igual a (- 9 ):

 

((3 i) ^ {2} = 9 i ^ {2} = 9 (- 1) = – 9 : : color {Cerulean} {✓} )

 

De esta manera, cualquier raíz cuadrada de un número real negativo se puede escribir en términos de la unidad imaginaria. Tal número a menudo se llama un imaginario número 27 .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Reescribe en términos de la unidad imaginaria (i ).

 
         
  1. ( sqrt {- 7} )
    2.      
  2. ( sqrt {- 25} )
    3.      
  3. ( sqrt {- 72} )
    4.  
 

Solución

 
         
  1. ( sqrt {- 7} = sqrt {- 1 cdot 7} = sqrt {- 1} cdot sqrt {7} = i sqrt {7} )
    2.      
  2. ( sqrt {- 25} = sqrt {- 1 cdot 25} = sqrt {- 1} cdot sqrt {25} = i cdot 5 = 5 i )
    3.      
  3. ( sqrt {- 72} = sqrt {- 1 cdot 36 cdot 2} = sqrt {- 1} cdot sqrt {36} cdot sqrt {2} = i cdot 6 cdot sqrt {2} = 6 i sqrt {2} )
    4.  
 
 
 

Cuando un número imaginario involucra un radical, colocamos (i ) delante del radical. Considere lo siguiente:

 

(6 i sqrt {2} = 6 sqrt {2} i )

 

Dado que la multiplicación es conmutativa, estos números son equivalentes. Sin embargo, en la forma (6 sqrt {2} i ), la unidad imaginaria (i ) a menudo se malinterpreta como parte del radicando. Para evitar esta confusión, es una buena práctica colocar (i ) delante del radical y usar (6 i sqrt {2} )

 
 

Un complejo número 28 es cualquier número de la forma,

 

(a + b i )

 

donde (a ) y (b ) son números reales. Aquí, a se llama real parte 29 y (b ) se llama imaginario [ 19459007] parte 30 . Por ejemplo, (3 – 4i ) es un número complejo con una parte real de (3 ) y una parte imaginaria de (- 4 ). Es importante tener en cuenta que cualquier número real también es un número complejo. Por ejemplo, (5 ) es un número real; se puede escribir como (5 + 0i ) con una parte real de (5 ) y una parte imaginaria de (0 ). Por lo tanto, el conjunto de números reales, denotado (ℝ ), es un subconjunto del conjunto de números complejos, denotado (ℂ ).

 

(C = {a + b i | a, b in ℝ } )

 
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Figura 5.7.1
 

Los números complejos se utilizan en muchos campos, incluidos la electrónica, la ingeniería, la física y las matemáticas. En este libro de texto los usaremos para comprender mejor las soluciones a ecuaciones como (x ^ {2} + 4 = 0 ). Por esta razón, a continuación exploramos operaciones algebraicas con ellos.

 

Sumar y restar números complejos

 

Sumar o restar números complejos es similar a sumar y restar polinomios con términos similares. Sumamos o restamos las partes reales y luego las partes imaginarias.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Agregar ((5 – 2 i) + (7 + 3 i) ).

 

Solución

 

Agrega las partes reales y luego agrega las partes imaginarias.

 

( begin {alineado} (5 – 2 i) + (7 + 3 i) & = 5 – 2 i + 7 + 3 i \ & = 5 + 7 – 2 i + 3 i \ & = 12 + i end {alineado} )

 

Respuesta

 

(12 + i )

 
 

Para restar números complejos, restamos las partes reales y restamos las partes imaginarias. Esto es consistente con el uso de la propiedad distributiva.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Restar ((10 – 7 i) – (9 + 5 i) ).

 

Solución

 

Distribuya el signo negativo y luego combine términos similares.

 

( begin {alineado} (10 – 7 i) – (9 + 5 i) & = 10 – 7 i – 9 – 5 i \ & = 10 – 9 – 7 i – 5 i \ & = 1 – 12 i end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(1-12i )

 
 

En general, los números reales dados (a ), (b ), (c ) y (d ):

 

( begin {array} {l} {(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i} \ {(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i} end {array} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Simplifica ((5 + i) + (2 – 3 i) – (4 – 7 i) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} (5 + i) + (2 – 3 i) – (4 – 7 i) & = 5 + i + 2 – 3 i – 4 + 7 i \ & = 3 + 5 i end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(3 + 5i )

 
 

En resumen, sumar y restar números complejos da como resultado un número complejo.

 

Multiplicar y dividir números complejos

 

Multiplicar números complejos es similar a multiplicar polinomios. Se aplica la propiedad distributiva. Además, hacemos uso del hecho de que (i ^ {2} = −1 ) para simplificar el resultado en forma estándar (a + bi ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Multiplicar (- 6 i (2 – 3 i) ).

 

Solución

 

Comenzamos aplicando la propiedad distributiva.

 

( begin {alineado} – 6 i (2 – 3 i) & = color {Cerulean} {(- 6 i)} color {black} { cdot} 2 – color {Cerulean} { (- 6 i)} cdot 3i quad color {Cerulean} {Distribuir.} \ & = – 12 i + 18 i ^ {2} quad quad quad quad : : : color {Cerulean} {Sustituye : i ^ {2} = – 1.} \ & = – 12 i + 18 (- 1) quad quad quad : : color {Cerulean} {Simplify.} & = – 12 i – 18 \ & = – 18 – 12 i end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- 18-12i )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Multiplicar ((3 – 4 i) (4 + 5 i) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} (3 – 4 i) (4 + 5 i) & = color {Cerulean} {3 cdot} color {black} {4} + color {Cerulean} {3 cdot} color {black} {5} i color {Cerulean} {- 4 i cdot} color {black} {4} color {Cerulean} {- 4 i cdot} color {black} { 5} i quad color {Cerulean} {Distribuir.} \ & = 12 + 15 i – 16 i – 20 i ^ {2} quad quad color {Cerulean} {Sustituir : i ^ {2} = -1.} \ & = 12 + 15 i – 16 i – 20 (- 1) \ & = 12 – i + 20 \ & = 32 – i end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(32-i )

 
 

En general, los números reales dados (a ), (b ), (c ) y (d ):

 

( begin {alineado} (a + bi) (c + di) & = ac + adi + bci + bdi ^ {2} \ & = ac + adi + bci + bd (- 1) \ & = ac + (ad + bc) i – bd \ & = (ac – bd) + (ad + bc) i end {alineado} )

 

Dado un número complejo (a + bi ), su complejo conjugado 31 es (a – bi A continuación, exploramos el producto de conjugados complejos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Multiplicar ((5 + 2 i) (5 – 2 i) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} (5 + 2 i) (5 – 2 i) & = color {Cerulean} {5 cdot} color {black} {5} – color {Cerulean} {5 cdot} color {black} {2} i + color {Cerulean} {2 i cdot} color {black} {5} – color {Cerulean} {2 i cdot} color {black} { 2} i \ & = 25 – 10 i + 10 i – 4 i ^ {2} \ & = 25 – 4 (- 1) \ & = 25 + 4 \ & = 29 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(29 )

 
 

En general, el producto de conjugados complejos 32 sigue:

 

( begin {alineado} (a + bi) (a – bi) & = a ^ {2} – a cdot bi + bi cdot a – b ^ {2} i ^ {2} \ & = a ^ {2} – abi + abi – b ^ {2} (- 1) \ & = a ^ {2} + b ^ {2} end {alineado} )

 

Tenga en cuenta que el resultado no involucra la unidad imaginaria; Por lo tanto, es real. Esto nos lleva a la propiedad muy útil

 

((a + b i) (a – b i) = a ^ {2} + b ^ {2} )

 

Para dividir números complejos, aplicamos la técnica utilizada para racionalizar el denominador. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El resultado se puede simplificar en forma estándar (a + bi ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Divide ( frac {1} {2 – 3 i} ).

 

Solución

 

En este ejemplo, el conjugado del denominador es (2 + 3i ). Por lo tanto, multiplicaremos por (1 ) en la forma ( frac {(2 + 3 i)} {(2 + 3 i)} ).

 

( begin {alineado} frac {1} {2 – 3 i} & = frac {1} {(2 – 3 i)} cdot color {Cerulean} { frac {(2 + 3 i)} {(2 + 3 i)}} \ & = frac {(2 + 3 i)} {2 ^ {2} + 3 ^ {2}} \ & = frac {2 + 3 i} {4 + 9} \ & = frac {2 + 3 i} {13} end {alineado} )

 

Para escribir este número complejo en forma estándar, hacemos uso del hecho de que 13 es un denominador común.

 

( begin {alineado} frac {2 + 3 i} {13} & = frac {2} {13} + frac {3 i} {13} \ & = frac {2} {13} + frac {3} {13} i end {alineado} )

 

Respuesta

 

( frac {2} {13} + frac {3} {13} i )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Divide: ( frac {1 – 5 i} {4 + i} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} frac {1 – 5 i} {4 + i} & = frac {(1 – 5 i)} {(4 + i)} cdot color {Cerulean} { frac {(4 – i)} {(4 – i)}} \ & = frac {4 – i – 20 i + 5 i ^ {2}} {4 ^ {2} + 1 ^ {2} } \ & = frac {4 – 21 i + 5 (- 1)} {16 + 1} \ & = frac {4 – 21 i – 5} {16 + 1} \ & = frac { – 1 – 21 i} {17} \ & = – frac {1} {17} – frac {21} {17} i end {alineado} )

 

Respuesta

 

(- frac {1} {17} – frac {21} {17} i )

 
 

En general, los números reales dados (a ), (b ), (c ) y (d ) donde (c ) y (d ) no son ambos (0 ):

 

( begin {alineado} frac {(a + bi)} {(c + di)} & = frac {(a + bi)} {(c + di)} cdot color {Cerulean } { frac {(c – di)} {(c – di)}} \ & = frac {ac – adi + bci – bdi ^ {2}} {c ^ {2} + d ^ {2} } \ & = frac {(ac + bd) + (bc – ad) i} {c ^ {2} + d ^ {2}} \ & = left ( frac {ac + bd} {c ^ {2} + d ^ {2}} right) + left ( frac {bc – ad} {c ^ {2} + d ^ {2}} right) i end {alineado} ) [ 19459005]  

 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Divide: ( frac {8 – 3 i} {2 i} ).

 

Solución

 

Aquí podemos pensar en (2i = 0 + 2i ) y así podemos ver que su conjugado es (- 2i = 0 – 2i ).

 

( begin {alineado} frac {8 – 3 i} {2 i} & = frac {(8 – 3 i)} {(2 i)} cdot frac {(- 2 i) } {(- 2 i)} \ & = frac {- 16 i + 6 i ^ {2}} {- 4 i ^ {2}} \ & = frac {- 16 i + 6 (- 1 )} {- 4 (- 1)} \ & = frac {- 16 i – 6} {4} \ & = frac {- 6 – 16 i} {4} \ & = frac {- 6} {4} – frac {-16i} {4} \ & = – frac {3} {2} – 4 i end {alineado} )

 

Debido a que el denominador es un monomio, podríamos multiplicar numerador y denominador por (1 ) en forma de ( frac {i} {i} ) y guardar algunos pasos reduciéndolos al final.

 

( begin {alineado} frac {8 – 3 i} {2 i} & = frac {(8 – 3 i)} {(2 i)} cdot color {Cerulean} { frac {i} {i}} \ & = frac {8 i – 3 i ^ {2}} {2 i ^ {2}} \ & = frac {8 i – 3 (- 1)} {2 (- 1)} \ & = frac {8 i + 3} {- 2} \ & = frac {8 i} {- 2} + frac {3} {- 2} \ & = – 4 i – frac {3} {2} end {alineado} )

 

Respuesta

 

(- frac {3} {2} – 4 i )

 
 

Al multiplicar y dividir números complejos, debemos tener cuidado de comprender que las reglas de producto y cociente para radicales requieren que tanto (a ) como (b ) sean positivos. En otras palabras, si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, entonces tenemos las siguientes reglas.

 

( begin {array} {l} {Producto : rule : for : radicales: : : : sqrt [n] {a cdot b} = sqrt [n] {a } cdot sqrt [n] {b}} \ Cociente : regla : para : radicales: : { sqrt [n] { frac {a} {b}} = frac { sqrt [ n] {a}} { sqrt [n] {b}}} end {array} )

 

Por ejemplo, podemos demostrar que la regla del producto es verdadera cuando (a ) y (b ) son positivas de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} sqrt {4} cdot sqrt {9} & = sqrt {36} \ 2 cdot 3 & = 6 \ 6 & = 6 : : color { Verde oliva} {✓} end {alineado} )

 

Sin embargo, cuando (a ) y (b ) son negativos, la propiedad no es verdadera.

 

( begin {alineado} sqrt {- 4} cdot sqrt {- 9} y stackrel { color {Cerulean} {?}} { Color {black} {=}} sqrt { 36} \ 2 i cdot 3 i & = 6 \ 6 i ^ {2} & = 6 \ – 6 & = 6 : : color {rojo} {✗} end {alineado} )

 

Aquí ( sqrt {−4} ) y ( sqrt {−9} ) no son números reales y la regla del producto para radicales no produce una declaración verdadera. Por lo tanto, para evitar algunos errores comunes asociados con este tecnicismo, asegúrese de que cualquier número complejo esté escrito en términos de la unidad imaginaria (i ) antes de realizar cualquier operación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Multiplicar ( sqrt {- 6} cdot sqrt {- 15} ).

 

Solución

 

Comienza escribiendo los radicales en términos de la unidad imaginaria (i ).

 

( sqrt {- 6} cdot sqrt {- 15} = i sqrt {6} cdot i sqrt {15} )

 

Ahora los radicandos son positivos y se aplica la regla del producto para radicales.

 

( begin {alineado} sqrt {- 6} cdot sqrt {- 15} & = i sqrt {6} cdot i sqrt {15} \ & = i sqrt {6 cdot 15} \ & = (- 1) sqrt {90} \ & = (- 1) sqrt {9 cdot 10} \ & = (- 1) cdot 3 cdot sqrt {10} \ & = – 3 sqrt {10} end {alineado} )

 

Respuesta

 

(- 3 sqrt {10} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Multiplicar: ( sqrt {- 10} ( sqrt {- 6} – sqrt {10}) ).

 

Solución

 

Comienza escribiendo los radicales en términos de la unidad imaginaria i y luego distribuye.

 

( begin {alineado} sqrt {- 10} ( sqrt {- 6} – sqrt {10}) & = i sqrt {10} (i sqrt {6} – sqrt {10 }) \ & = i ^ {2} sqrt {60} – i sqrt {100} \ & = (- 1) sqrt {4 cdot 15} – i sqrt {100} \ & = (- 1) cdot 2 cdot sqrt {15} – i cdot 10 \ & = – 2 sqrt {15} – 10 i end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- 2 sqrt {15} – 10 i )

 
 

En resumen, multiplicar y dividir números complejos da como resultado un número complejo.

 
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antonio1095

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