Encontrar el inverso de una función polinómica
Dos funciones (f ) y (g ) son funciones inversas si para cada par de coordenadas en (f ), ((a, b) ), existe un par de coordenadas correspondiente en el inverso función, (g ), ((b, a) ). En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas. Solo las funciones uno a uno tienen inversas. Recuerde que una función uno a uno tiene un valor de salida único para cada valor de entrada y pasa la prueba de línea horizontal.
Por ejemplo, supongamos que se construye un colector de escorrentía de agua en la forma de un cilindro parabólico como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ). Podemos usar la información en la figura para encontrar el área de superficie del agua en el canal en función de la profundidad del agua.
Debido a que sería útil tener una ecuación para la forma transversal parabólica, impondremos un sistema de coordenadas en la sección transversal, con (x ) medido horizontalmente y (y ) medido verticalmente, con el origen en el vértice de la parábola (Figura ( PageIndex {3} )).
De esto encontramos una ecuación para la forma parabólica. Colocamos el origen en el vértice de la parábola, por lo que sabemos que la ecuación tendrá la forma (y (x) = ax ^ 2 ). Nuestra ecuación deberá pasar por el punto ((6, 18) ), desde el cual podemos resolver el factor de estiramiento (a ).
[ begin {align *} 18 & = a6 ^ 2 \ [4pt] a & = dfrac {18} {36} \ [4pt] & = dfrac {1} {2} end { alinear *} ]
Nuestra sección transversal parabólica tiene la ecuación
(y (x) = dfrac {1} {2} x ^ 2 )
Estamos interesados en el área de superficie del agua, por lo que debemos determinar el ancho en la parte superior del agua en función de la profundidad del agua. Para cualquier profundidad (y ), el ancho estará dado por (2x ), por lo que debemos resolver la ecuación anterior para (x ) y encontrar la función inversa. Sin embargo, tenga en cuenta que la función original no es uno a uno, y de hecho, dada cualquier salida, hay dos entradas que producen la misma salida, una positiva y otra negativa.
Para encontrar un inverso, podemos restringir nuestra función original a un dominio limitado en el que es uno a uno. En este caso, tiene sentido restringirnos a valores positivos (x ). En este dominio, podemos encontrar un inverso resolviendo la variable de entrada:
[ begin {align *} y & = dfrac {1} {2} x ^ 2 \ [4pt] 2y & = x ^ 2 \ [4pt] x & = pm sqrt {2y} end {alinear *} ]
Esta no es una función como está escrita. Nos estamos limitando a valores positivos (x ), por lo que eliminamos la solución negativa, dándonos la función inversa que estamos buscando.
(y = dfrac {x ^ 2} {2} ), (x> 0 )
Debido a que (x ) es la distancia desde el centro de la parábola a cada lado, todo el ancho del agua en la parte superior será (2x ). El canal es de 3 pies (36 pulgadas) de largo, por lo que el área de superficie será:
[ begin {align *} text {Area} & = l⋅w \ [4pt] & = 36⋅2x \ [4pt] & = 72x \ [4pt] & = 72 sqrt { 2y} end {align *} ]
Este ejemplo ilustra dos puntos importantes:
- Al encontrar el inverso de una cuadrática, tenemos que limitarnos a un dominio en el que la función es uno a uno.
- La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Ambas son funciones del kit de herramientas y diferentes tipos de funciones de potencia.
Las funciones que involucran raíces a menudo se denominan funciones radicales . Si bien no es posible encontrar una inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos tienen inversas. Tales funciones se llaman funciones invertibles , y usamos la notación (f ^ {- 1} (x) ).
Advertencia: (f ^ {- 1} (x) ) no es lo mismo que el recíproco de la función (f (x) ). Este uso de “–1” está reservado para denotar funciones inversas. Para denotar el recíproco de una función (f (x) ), necesitaríamos escribir:
[(f (x)) ^ {- 1} = frac {1} {f (x)}. ]
Una relación importante entre las funciones inversas es que se “deshacen” entre sí. Si (f ^ {- 1} ) es el inverso de una función (f ), entonces (f ) es el inverso de la función (f ^ {- 1} ). En otras palabras, cualquier cosa que la función (f ) haga a (x ), (f ^ {- 1} ) la deshace, y viceversa.
(f ^ {- 1} (f (x)) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f )
y
(f (f ^ {- 1} (x)) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f ^ {- 1} )
Tenga en cuenta que el inverso cambia el dominio y el rango de la función original.
VERIFICAR DOS FUNCIONES SON INVERSIONES DE UNA OTRA
Dos funciones, (f ) y (g ), son inversas entre sí si para todo (x ) en el dominio de (f ) y (g ),
(g (f (x)) = f (g (x)) = x )
Howto: Dada una función polinómica, encuentre el inverso de la función restringiendo el dominio de tal manera que la nueva función sea uno a uno
- Reemplace (f (x) ) con (y ).
- Intercambio (x ) y (y ).
- Resuelva para (y ) y cambie el nombre de la función (f ^ {- 1} (x) ).
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Verificación de funciones inversas
Demuestre que (f (x) = frac {1} {x + 1} ) y (f ^ {- 1} (x) = frac {1} {x} −1 ) son inversas, para (x ≠ 0, −1 ).
Solución
Debemos mostrar que (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) y (f (f ^ {- 1} (x)) = x ).
[ begin {align *} f ^ {- 1} (f (x)) & = f ^ {- 1} left ( dfrac {1} {x + 1} right) \ [ 4pt] & = dfrac {1} { dfrac {1} {x + 1}} – 1 \ [4pt] & = (x + 1) −1 \ [4pt] & = x end {align * } ]
y
[ begin {align *} f (f ^ {- 1} (x)) & = f ( dfrac {1} {x − 1}) \ [4pt] & = dfrac {1} { left ( dfrac {1} {x − 1} right) +1} \ [4pt] & = dfrac {1} { dfrac {1} {x}} \ [4pt] & = x end {align *} ]
Por lo tanto, (f (x) = dfrac {1} {x + 1} ) y (f ^ {- 1} (x) = dfrac {1} {x} −1 ) son inversas.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Demuestre que (f (x) = frac {x + 5} {3} ) y (f ^ {- 1} (x) = 3x − 5 ) son inversas.
- Responda a
-
(f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} ( frac {x + 5} {3}) = 3 ( frac {x + 5} {3}) −5 = (x − 5) + 5 = x )
- Respuesta b
-
(f (f ^ {- 1} (x)) = f (3x − 5) = frac {(3x − 5) +5} {3} = frac {3x} {3} = x )