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las matematicas

5.9: Modelado usando variación

Solución de problemas de variación directa

 

En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se pueden encontrar multiplicando sus ventas por su comisión. La fórmula (e = 0.16s ) nos dice que sus ganancias, (e ), provienen del producto de 0.16, su comisión y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que a medida que aumenta el precio de venta, las ganancias también aumentan, lo que debería ser intuitivo. Ver Tabla 5.8.1 .

                                                                                                                                                                                                                                                                                   
(s ), precio de venta (e = 0.16s ) Interpretación
$ 9,200 (e = 0.16 (9,200) = 1,472 ) La venta de un vehículo de $ 9,200 genera ganancias de $ 1472.
$ 4,600 (e = 0.16 (4,600) = 736 ) Una venta de un vehículo de $ 4,600 resulta en ganancias de $ 736.
$ 18,400 (e = 0.16 (18,400) = 2,944 ) Una venta de un vehículo de $ 18,400 resulta en ganancias de $ 2944.
 

Tabla 5.8.1

 

Observe que las ganancias son un múltiplo de las ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias aumentan de manera predecible. Duplicamos las ventas del vehículo de $ 4,600 a $ 9,200, y duplicamos las ganancias de $ 736 a $ 1,472. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como un múltiplo de la entrada. Una relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se llama variación directa . Cada variable en este tipo de relación varía directamente con la otra.

 

La figura 5.8.1 representa los datos de las ganancias potenciales de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula (y = kx ^ n ) se usa para la variación directa. El valor (k ) es una constante distinta de cero mayor que cero y se denomina constante de variación . En este caso, (k = 0.16 ) y (n = 1 ). Vimos funciones como esta cuando discutimos las funciones de poder.

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Figura 5.8.1

 
 
 

Una nota general: VARIACIÓN DIRECTA

 

Si (x ) y (y ) están relacionados por una ecuación de la forma

 

(y = kx ^ n )

 

entonces decimos que la relación es variación directa y (y ) varía directamente con, o es proporcional a, el poder (n ) th de ( X). En las relaciones de variación directa, hay una relación constante no nula (k = dfrac {y} {x ^ n} ), donde (k ) se llama la constante de variación , que ayuda a definir La relación entre las variables.

 
 
 

Cómo: Dada una descripción de un problema de variación directa, resolver un problema desconocido.

 
         
  1. Identifique la entrada, (x ) y la salida, (y ).
  2.      
  3. Determine la constante de variación. Es posible que necesite dividir (y ) por la potencia especificada de (x ) para determinar la constante de variación.
  4.      
  5. Usa la constante de variación para escribir una ecuación para la relación.
  6.      
  7. Sustituye los valores conocidos en la ecuación para encontrar lo desconocido.
  8.  
 
 
 

Ejemplo

 

Solución de un problema de variación directa

 

La cantidad (y ) varía directamente con el cubo de (x ). Si (y = 25 ) cuando (x = 2 ), encuentre (y ) cuando (x ) es (6 ).

 

Solución:

 
 

La fórmula general para la variación directa con un cubo es (y = kx ^ 3 ). La constante se puede encontrar dividiendo (y ) por el cubo de (x ).

 

(k = dfrac {y} {x ^ 3} )

 

(= dfrac {25} {2 ^ 3} )

 

(= dfrac {25} {8} )

 

Ahora usa la constante para escribir una ecuación que represente esta relación.

 

(y = dfrac {25} {8} x ^ 3 )

 

Sustituye (x = 6 ) y resuelve (y ).

 

(y = dfrac {25} {8} {(6)} ^ 3 )

 

(= 675 )

 
 

Análisis

 

La gráfica de esta ecuación es un cubo cúbico simple, como se muestra en Figura 5.8.2 .

 
Graph of y=25/8(x^3) with the labeled points (2, 25) and (6, 675).
Figura 5.8.2
 
 
 
 
 
 

P y R

 

¿Se ven las gráficas de todas las ecuaciones de variación directa Ejemplo ?

 

No. Las ecuaciones de variación directa son funciones de potencia: pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas, cuárticas, radicales, etc. Pero todas las gráficas pasan por ((0,0) ).

 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio

 

La cantidad (y ) varía directamente con el cuadrado de (x ). Si (y = 24 ) cuando (x = 3 ), encuentre (y ) cuando (x ) es 4.

 

Solución:

 

( frac {128} {3} )

 
 
 
 
 
 
 
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