6.1: El mayor factor común

6.1: El mayor factor común

                 

Comenzamos esta sección con definiciones de factores y divisores. Como (24 = 2 cdot 12 ), tanto (2 ) como (12 ) son factores de (24 ). Sin embargo, tenga en cuenta que (2 ) también es un divisor de (24 ), porque cuando divide (24 ) por (2 ) obtiene (12 ), con un resto de cero. Del mismo modo, (12 ) también es un divisor de (24 ), porque cuando divide (24 ) por (12 ) obtiene (2 ), con un resto de cero.

 
 

Factores y divisores

 

Supongamos que (m ) y (n ) son enteros. Entonces (m ) es un divisor (factor) de (n ) si y solo si existe otro número entero (k ) para que (n = m cdot k ).

 
 

Las palabras divisor y factor son equivalentes. Tienen el mismo significado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Enumere los divisores positivos (factores) de (24 ) .

 

Solución

 

Primero, enumere todas las formas posibles en que podemos expresar (24 ) como producto de dos enteros positivos:

 

[24 = 1 cdot 24 quad text {o} quad 24 = 2 cdot 12 quad text {o} quad 24 = 3 cdot 8 quad text {o} quad 24 = 4 cdot 6 nonumber ]

 

Por lo tanto, los divisores positivos (factores) de (24 ) son (1,2,3,4,6,8, ) y (24 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Enumera los divisores positivos de (18 ).

 
     
Respuesta
     
     

(1,2,3,6,9, ) y (18 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Enumere los divisores positivos (factores) que (36 ) y (48 ) tienen en común.

 

Solución

 

Primero, enumere todos los divisores positivos (factores) de (36 ) y (48 ) por separado, luego encuadre los divisores que son comunes.

 

Los divisores de (36 ) son: ([1], [2], [3], [4], [6], 9, [12], 18, 36 )

 

Los divisores de (48 ) son: ([1], [2], [3], [4], [6], 8, [12], 16, 24, 48 )

 

Por lo tanto, los divisores positivos comunes (factores) de (36 ) y (48 ) son (1, 2, 3, 4, 6, ) y (12 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Enumere los divisores positivos que (40 ) y (60 ) tienen en común.

 
     
Respuesta
     
     

(1,2,4,5,10, ) y (20 )

     
 
 
 
 

Máximo común divisor

 

El máximo común divisor ( factor) de (a ) y (b ) es el número positivo más grande que divide de manera uniforme (sin resto) tanto (a ) como (b ). El máximo común divisor de (a ) y (b ) se denota por el simbolismo ( operatorname {GCD} (a, b) ). También usaremos la abreviatura ( operatorname {GCF} (a, b) ) para representar el máximo factor común de (a ) y (b ).

 
 

Recuerde, el máximo común divisor y el máximo común divisor tienen el mismo significado. En el Ejemplo ( PageIndex {2} ) , enumeramos los divisores positivos comunes de (36 ) y (48 ). El mayor de estos divisores comunes fue (12 ). Por lo tanto, el máximo común divisor de (36 ) y (48 ) es (12 ), escrito ( operatorname {GCD} (36, 48) = 12 ).

 

Con números más pequeños, generalmente es fácil identificar el máximo común divisor (factor).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Indique el máximo común divisor (factor) de cada uno de los siguientes pares de números:

 
         
  1. (18 ) y (24 )
  2.      
  3. (30 ) y (40 )
  4.      
  5. (16 ) y (24 )
  6.  
 

Solución

 

En cada caso, debemos encontrar el número entero positivo más grande posible que se divida uniformemente en ambos números dados.

 
         
  1. El número entero positivo más grande que se divide uniformemente en (18 ) y (24 ) es (6 ). Por lo tanto, ( operatorname {GCD} (18, 24) = 6 ) .
  2.      
  3. El número entero positivo más grande que se divide uniformemente en (30 ) y (40 ) es (10 ​​). Por lo tanto, ( operatorname {GCD} (30, 40) = 10 ) .
  4.      
  5. El número entero positivo más grande que se divide de manera uniforme en (16 ) y (24 ) es (8 ). Por lo tanto, ( operatorname {GCD} (16, 24) = 8 ) .
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Indique el máximo común divisor de (36 ) y (60 ).

 
     
Respuesta
     
     

(12 )

     
 
 
 

Con números más grandes, es más difícil identificar el máximo divisor común (factor). ¡Sin embargo, la factorización prima salvará el día!

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentra el máximo común divisor (factor) de (360 ) y (756 ).

 

Solución

 

Factor primo (360 ) y (756 ), escribiendo su respuesta en forma exponencial.

 
fig 6.1.1.png
Figura ( PageIndex {1} )
 

Así:

 

[ begin {array} {l} {360 = 2 ^ {3} cdot 3 ^ {2} cdot 5} \ {756 = 2 ^ {2} cdot 3 ^ {3} cdot 7} end {array} nonumber ]

 
 

Nota

 

Para encontrar el máximo común divisor (factor), enumere cada factor que aparece en común con la potencia más alta que aparece en común.

 
 

En este caso, los factores (2 ) y (3 ) aparecen en común, siendo (22 ) la mayor potencia de (2 ) y (32 ) La potencia más alta de (3 ) que aparece en común. Por lo tanto, el máximo común divisor de (360 ) y (756 ) es:

 

[ begin {alineado} mathrm {GCD} (360,756) & = 2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} \ & = 4 cdot 9 \ & = 36 end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, el máximo común divisor (factor) es ( mathrm {GCD} (360,756) = 36 ). Tenga en cuenta lo que sucede cuando escribimos cada uno de los números dados como un producto del máximo factor común y un segundo factor:

 

[ begin {array} {l} {360 = { color {Red} 36} cdot 10} \ {756 = { color {Red} 36} cdot 21} end {array} nonumber ]

 

En cada caso, observe cómo los segundos segundos factores ( (10 ​​) y (21 )) no contienen factores comunes adicionales.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra el máximo común divisor de (120 ) y (450 ).

 
     
Respuesta
     
     

(30 )

     
 
 
 

Encontrando el máximo factor común de monomios

 

Exampl e ( PageIndex {4} ) revela la técnica utilizada para encontrar el máximo factor común de dos o más monomios.

 
 

Encontrar el MCD de dos o más monomios

 

Para encontrar el máximo factor común de dos o más monomios, proceda de la siguiente manera:

 
         
  1. Encuentre el máximo común divisor de los coeficientes de los monomios dados. Use factorización prima si es necesario.
  2.      
  3. Enumere cada variable que aparece en común en los monomios dados.
  4.      
  5. Eleva cada variable que aparece en común a la potencia más alta que aparece en común entre los monomios dados.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentre el máximo factor común de (6 x ^ {3} y ^ {3} ) y (9 x ^ {2} y ^ {5} ).

 

Solución

 

Para encontrar el ( mathrm {GCF} ) de (6 x ^ {3} y ^ {3} ) y (9 x ^ {2} y ^ {5 } ), notamos que:

 
         
  1. El máximo común divisor de (6 ) y (9 ) es (3 ).
  2.      
  3. Los monomios (6x ^ 3y ^ 3 ) y (9x ^ 2y ^ 5 ) tienen las variables (x ) y (y ) en común.
  4.      
  5. La potencia más alta de (x ) en común es (x ^ 2 ). La potencia más alta de (y ) en común es (y ^ 3 ).
  6.  
 

Por lo tanto, el máximo factor común es ( mathrm {GCF} left (6 x ^ {3} y ^ {3}, 9 x ^ {2} y ^ {5} right) = 3 x ^ {2} y ^ {3} ) . Tenga en cuenta lo que sucede cuando escribimos cada uno de los monomios dados como un producto del mayor factor común y un segundo monomio:

 

[ begin {array} {l} {6 x ^ {3} y ^ {3} = { color {Red} 3 x ^ {2} y ^ {3}} cdot 2 x} \ {9 x ^ {2} y ^ {5} = { color {Red} 3 x ^ {2} y ^ {3}} cdot 3 y} end {array} nonumber ] [ 19459003]

 

Observe que el conjunto de segundos factores monomiales ( (2x ) y (3y )) no contienen factores comunes adicionales.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra el máximo común divisor de (16xy ^ 3 ) y (12x ^ 4y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(4 x y ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Encuentre el máximo factor común de (12x ^ 4 ), (18 x ^ 3 ) y (30 x ^ 2 ).

 

Solución

 

Para encontrar ( mathrm {GCF} ) de (12x ^ 4 ), (18 x ^ 3 ) y (30 x ^ 2 ), tenga en cuenta que:

 
         
  1. El máximo común divisor de (12 ), (18 ) y (30 ) es (6 ).
  2.      
  3. Los monomios (12x ^ 4 ), (18 x ^ 3 ) y (30 x ^ 2 ) tienen la variable (x ) en común.
  4.      
  5. La potencia más alta de (x ) en común es (x ^ 2 ).
  6.  
 

Por lo tanto, el máximo factor común es ( mathrm {GCF} left (12 x ^ {4}, 18 x ^ {3}, 30 x ^ {2} right) = 6 x ^ {2} ). Tenga en cuenta lo que sucede cuando escribimos cada uno de los monomios dados como producto del mayor factor común y un segundo monomio:

 

[ begin {array} {l} {12 x ^ {4} = { color {Red} 6 x ^ {2}} cdot 2 x ^ {2}} \ {18 x ^ {3} = { color {Rojo} 6 x ^ {2}} cdot 3 x} \ {30 x ^ {2} = { color {Rojo} 6 x ^ {2}} cdot 5 } end {array} nonumber ]

 

Observe que el conjunto de segundos factores monomiales ( (2x ^ 2 ), (3 x ) y (5 )) no contienen factores comunes adicionales.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentre el máximo factor común de (6y ^ 3 ), (15 y ^ 2 ) y (9 y ^ 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

(3 y ^ {2} )

     
 
 
 

Factoriza el GCF

 

En Capítulo 5 , multiplicamos un monomio y un polinomio distribuyendo los tiempos monomiales cada término en el polinomio.

 

[ begin {alineado} { color {Red} 2 x (} 3 x ^ {2} +4 x-7 { color {Red})} & = { color {Red} 2 x} cdot 3 x ^ {2} + { color {Rojo} 2 x} cdot 4 x – { color {Rojo} 2 x} cdot 7 \ & = 6 x ^ {3} +8 x ^ {2} -14 x end {alineado} nonumber ]

 

En esta sección revertimos ese proceso de multiplicación. Le presentamos el producto final y le pedimos que recupere el problema de multiplicación original. En el caso (6 x ^ {3} +8 x ^ {2} -14 x ), el máximo factor común de (6x ^ 3 ), (8x ^ 2 ) y (14x ) es (2x ). Luego usamos la propiedad distributiva para factorizar (2x ) de cada término del polinomio.

 

[ begin {alineado} 6 x ^ {3} +8 x ^ {2} -14 x & = { color {Red} 2 x} cdot 3 x ^ {2} + { color {Rojo} 2 x} cdot 4 x – { color {Rojo} 2 x} cdot 7 \ & = { color {Rojo} 2 x (} 3 x ^ {2} +4 x-7 { color {Red})} end {alineado} nonumber ]

 
 

Factoring

 

Factoring es «inmultiplicar». Le dan el producto, luego le piden que encuentre el problema de multiplicación original.

 
 
 

Primera regla de factorización

 

Si los términos del polinomio dado tienen un factor común máximo ( ( mathrm {GCF} )), entonces factoriza el ( mathrm {GCF} ).

 
 

Veamos algunos ejemplos que factorizan el ( mathrm {GCF} ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Factor: (6 x ^ {2} +10 x + 14 )

 

Solución

 

El máximo factor común ( ( mathrm {GCF} )) de (6x ^ 2 ), (10 ​​x ) y (14 ) es (2 ). Factoriza el ( mathrm {GCF} ).

 

[ begin {alineado} 6 x ^ {2} + 10x + 14 x & = { color {Red} 2} cdot 3 x ^ {2} + { color {Red} 2 } cdot 5 x + { color {Red} 2} cdot 7 \ & = { color {Red} 2 (} 3 x ^ {2} +5 x + 7 { color {Red})} end {alineado} nonumber ]

 
 

Verificando su trabajo

 

Cada vez que factoriza un polinomio, remultiply para verificar su trabajo.

 
 

Verificar: Multiplicar. Distribuya el (2 ).

 

[ begin {alineado} { color {Red} 2 (} 3 x ^ {2} +5 x + 7 { color {Red})} & = { color {Red} 2 } cdot 3 x ^ {2} + { color {Red} 2} cdot 5 x + { color {Red} 2} cdot 7 \ & = 6 x ^ {2} +10 x + 14 end {alineado} nonumber ]

 

Ese es el polinomio original, por lo que factorizamos correctamente.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Factor: (9 y ^ {2} -15 y + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

(3 left (3 y ^ {2} -5 y + 4 right) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Factor: (12 y ^ {5} -32 y ^ {4} +8 y ^ {2} )

 

Solución

 

El máximo factor común ( ( mathrm {GCF} )) de (12y ^ 5 ), (32y ^ 4 ) y (8y ^ 2 ) es (4y ^ 2 ). Factoriza el ( mathrm {GCF} ).

 

[ begin {alineado} 12 y ^ {5} -32 y ^ {4} +8 y ^ {2} & = { color {Rojo} 4 y ^ {2}} cdot 3 y ^ {3} – { color {Red} 4 y ^ {2}} cdot 8 y ^ {2} + { color {Red} 4 y ^ {2}} cdot 2 \ & = { color {Rojo} 4 y ^ {2} (} 3 y ^ {3} -8 y ^ {2} +2 { color {Rojo})} end {alineado} nonumber ] [19459004 ]  

Verificar: Multiplicar. Distribuya el monomio (4y ^ 2 ).

 

[ begin {alineado} { color {Red} 4 y ^ {2} (} 3 y ^ {3} -8 y ^ {2} +2 { color {Red})} & = { color {Rojo} 4 y ^ {2}} cdot 3 y ^ {3} – { color {Rojo} 4 y ^ {2}} cdot 8 y ^ {2} + { color { Rojo} 4 y ^ {2}} cdot 2 \ & = 12 y ^ {5} -32 y ^ {4} +8 y ^ {2} end {alineado} nonumber ] [19459004 ]  

Ese es el polinomio original. Hemos factorizado correctamente.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Factor: (8 x ^ {6} +20 x ^ {4} -24 x ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(4 x ^ {3} left (2 x ^ {3} +5 x-6 right) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Factor: (12 a ^ {3} b + 24 a ^ {2} b ^ {2} +12 a b ^ {3} )

 

Solución

 

El máximo factor común ( ( mathrm {GCF} )) de (12a ^ 3b ), (24 a ^ 2b ^ 2 ) y (12ab ^ 3 ) es (12ab ). Factoriza el ( mathrm {GCF} ).

 

[ begin {alineado} 12 a ^ {3} b + 24 a ^ {2} b ^ {2} +12 ab ^ {3} & = { color {Red} 12ab} cdot a ^ {2} – { color {Red} 12ab} cdot 2 a b + { color {Red} 12ab} cdot b ^ {2} \ & = { color {Red} 12ab (} a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} { color {Red})} end {alineado} nonumber ]

 

Verificar: Multiplicar. Distribuya el monomio (12ab ).

 

[ begin {alineado} { color {Red} 12ab (} a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} { color {Red})} & = { color {Red } 12ab} cdot a ^ {2} – { color {Red} 12ab} cdot 2 a b + { color {Red} 12ab} cdot b ^ {2} \ & = 12 a ^ {3} b +24 a ^ {2} b ^ {2} +12 ab ^ {3} end {alineado} nonumber ]

 

Ese es el polinomio original. Hemos factorizado correctamente.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Factor: (15 s ^ {2} t ^ {4} +6 s ^ {3} t ^ {2} +9 s ^ {2} t ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(3 s ^ {2} t ^ {2} left (5 t ^ {2} +2 s + 3 right) )

     
 
 
 

Acelerando un poco las cosas

 

Finalmente, después de se muestra su trabajo en una serie de ejemplos, como los de los Ejemplos ( PageIndex {7} ), ( PageIndex {8} ) y ( PageIndex {9} ), necesitará aprender a realizar el proceso mentalmente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Factoriza cada uno de los siguientes polinomios:

 
         
  1. (24 x + 32 )
  2.      
  3. (5 x ^ {3} -10 x ^ {2} -10 x )
  4.      
  5. (2 x ^ {4} y + 2 x ^ {3} y ^ {2} -6 x ^ {2} y ^ {3} )
  6.  
 

Solución

 

En cada caso, factorizar el máximo común divisor ( ( mathrm {GCF} )):

 
         
  1. El ( mathrm {GCF} ) de (24x ) y (32 ) es (8 ). Por lo tanto, [24x + 32 = 8 (3x + 4) nonumber ]
  2.      
  3. El ( mathrm {GCF} ) de (5x ^ 3 ), (10 ​​x ^ 2 ) y (10 ​​x ) es ( 5x ). Entonces: [5 x ^ {3} -10 x ^ {2} -10 x = 5 x left (x ^ {2} -2 x-2 right) nonumber ]
  4.      
  5. El ( mathrm {GCF} ) de (2x ^ 4y ), (2x ^ 3y ^ 2 ) y (6x ^ 2y ^ 3 ) es (2x ^ 2y ). Así: [2 x ^ {4} y + 2 x ^ {3} y ^ {2} -6 x ^ {2} y ^ {3} = 2 x ^ {2} y left (x ^ {2 } + x y-3 y ^ {2} right) nonumber ]
  6.  
 

A medida que acelera las cosas factorizando mentalmente el ( mathrm { GCF } ) , Es aún más importante que verifique sus resultados. El control también se puede hacer mentalmente. Por ejemplo, al verificar el tercer resultado, distribuya mentalmente (2x ^ 2y ) veces cada término de (x ^ 2 + xy − 3y ^ 2 ). Multiplicar (2x ^ 2y ) por el primer término (x ^ 2 ) produce (2x ^ 4y ), el primer término en el polinomio original.

 

fig 6.1.a.png

 

Continúe de esta manera, verificando mentalmente el producto de (2x ^ 2y ) con cada término de (x ^ 2 + xy −3y ^ 2 ), asegurándose de que cada resultado concuerde con el correspondiente Término del polinomio original.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Factor: (18 p ^ {5} q ^ {4} -30 p ^ {4} q ^ {5} +42 p ^ {3} q ^ {6} )

 
     
Respuesta
     
     

(6 p ^ {3} q ^ {4} left (3 p ^ {2} -5 p q + 7 q ^ {2} right) )

     
 
 
 

Recuerde que la propiedad distributiva nos permite extraer el ( mathrm {GCF} ) en f ront de la expresión o extraerlo hacia atrás. En símbolos:

 

({ color {Red} a} b + { color {Red} a} c = { color {Red} a} (b + c) quad ) o ( quad b { color {Red} a} + c { color {Red} a} = (b + c) { color {Red} a} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Factor: (2 x (3 x + 2) +5 (3 x + 2) )

 

Solución

 

I n este caso, el máximo factor común ( ( mathrm {GCF} )) es (3x + 2 ).

 

[ begin {alineado} 2x (3 x + 2) +5 (3 x + 2) & = 2x cdot { color {Red} (3 x + 2)} + 5 cdot { color {Rojo} (3 x + 2)} \ & = (2 x + 5) { color {Rojo} (3 x + 2)} end {alineado} nonumber ]

 

Debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, es igualmente válido sacar el ( mathrm {GCF} ) al frente.

 

[ begin {alineado} 2x (3 x + 2) +5 (3 x + 2) & = 2x cdot { color {Red} (3 x + 2)} + 5 cdot { color {Rojo} (3 x + 2)} \ & = { color {Rojo} (3 x + 2)} (2 x + 5) end {alineado} ]

 

Tenga en cuenta que el orden de los factores difiere de la primera solución, pero debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, el orden no importa. Las respuestas son las mismas.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Factor: (3 x ^ {2} (4 x-7) +8 (4 x-7) )

 
     
Respuesta
     
     

( left (3 x ^ {2} +8 right) (4 x-7) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Factor: (15 a (a + b) -12 (a + b) )

 

Solución

 

En este caso, el máximo factor común ( ( mathrm {GCF} )) es (3 (a + b) ).

 

[ begin {alineado} 15 a (a + b) -12 (a + b) & = { color {Red} 3 (a + b)} cdot 5 a – { color {Red} 3 (a + b)} cdot 4 \ & = { color {Red} 3 (a + b)} (5 a-4) end {alineado} nonumber ]

 

Solución alternativa:

 

Es posible que no note que (15 ) y (12 ) son divisibles por (3 ), factorizando solo el factor común (a + b ).

 

[ begin {alineado} 15 a (a + b) -12 (a + b) & = 15a cdot { color {Red} (a + b)} – 12 cdot { color {Red { } (a + b)} \ & = (15a-12) { color {Red} (a + b)} end {alineado} nonumber ]

 

Sin embargo, ahora necesita notar que puede continuar, factorizando (3 ) tanto de (15a ) como de (12 ).

 

(= 3 (5 a-4) (a + b) )

 

Tenga en cuenta que el orden de los factores difiere de la primera solución, pero debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, el orden no importa. Las respuestas son las mismas.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Factor: (24 m (m-2 n) +20 (m-2 n) )

 
     
Respuesta
     
     

(4 (6 m + 5) (m-2 n) )

     
 
 
 

Factoring por agrupación

 

La habilidad de factorización final en esta sección involucra expresiones de cuatro términos. La técnica para factorizar una expresión de cuatro términos se denomina factorización agrupando .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Factor por grupo en g: (x ^ {2} +8 x + 3 x + 24 )

 

Solución

 

«Agrupamos» el primer y segundo término, señalando que podemos factorizar una (x ) a partir de ambos términos. Luego «agrupamos» los términos tercero y cuarto, señalando que podemos factorizar (3 ) a partir de ambos términos.

 

fig 6.1.b.png

 

Ahora podemos factorizar (x + 8 ) a partir de estos dos términos.

 

((x + 3) { color {Red} (x + 8)} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Factoriza por agrupación: (x ^ {2} -6 x + 2 x-12 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 2) (x-6) )

     
 
 
 

Intentemos una agrupación que contenga algunos signos negativos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Factoriza por agrupación: (x ^ {2} +4 x-7 x-28 )

 

Solución

 

«Agrupamos» el primer y segundo término, señalando que podemos factorizar (x ) a partir de ambos términos. Luego «agrupamos» los términos tercero y cuarto, luego tratamos de factorizar a (7 ) a partir de ambos términos.

 

fig 6.1.c.png

 

Esto no conduce a un factor común. Intentemos nuevamente, esta vez factorizando un (- 7 ) fuera del tercer y cuarto término.

 

fig 6.1.d.png

 

¡Eso funcionó! Ahora factorizamos un factor común (x + 4 ).

 

((x-7) { color {Red} (x + 4)} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Factoriza por agrupación: (x ^ {2} -5 x-4 x + 20 )

 
     
Respuesta
     
     

((x-4) (x-5) )

     
 
 
 

Aumentemos un poco el tamaño de los números.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Factoriza por agrupación: (6 x ^ {2} -8 x + 9 x-12 )

 

Solución

 

Tenga en cuenta que podemos factorizar (2x ) a partir de los primeros dos términos y (3 ) a partir de los segundos dos términos.

 

fig 6.1.e.png

 

Ahora tenemos un factor común (3x − 4 ) que podemos factorizar.

 

((2x + 3) { color {Rojo} (3x-4)} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Factoriza por agrupación: (15 x ^ {2} +9 x + 10 x + 6 )

 
     
Respuesta
     
     

((3 x + 2) (5 x + 3) )

     
 
 
 

A medida que los números se hacen más y más grandes, es necesario que elimine ( ( mathrm {GCF} )) de cada gr ouping. Si no, no obtendrá un factor común para terminar la factorización.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Factoriza por agrupación: (24 x ^ {2} -32 x-45 x + 60 )

 

Solución

 

Supongamos que factorizamos (8x ) a partir de los primeros dos términos y (- 5 ) a partir de los dos últimos términos.

 

fig 6.1.f.png

 

Eso no funcionó, ya que no tenemos un factor común para completar el proceso de factorización. Sin embargo, tenga en cuenta que todavía podemos factorizar a (3 ) desde (9x − 12 ). Como ya hemos factorizado un (5 ), y ahora vemos que puede factorizar un (3 ) adicional, esto significa que deberíamos haber factorizado (3 ) veces (5 ), o (15 ), para empezar. Comencemos de nuevo, solo que esta vez factorizaremos (15 ) a partir de los dos segundos términos.

 

fig 6.1.g.png

 

¡Hermoso! Ahora podemos factorizar (3x − 4 ).

 

((8x-15) { color {Red} (3x-4)} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Factoriza por agrupación: (36 x ^ {2} -84 x + 15 x-35 )

 
     
Respuesta
     
     

((12 x + 5) (3 x-7) )

     
 
 
 
                                  
]]>

,

Deja una respuesta