6.1: Extrayendo raíces cuadradas y completando el cuadrado
Extracción de raíces cuadradas
Recuerde que una ecuación cuadrática está en estándar forma 1 si es igual a (0 ): [19459010 ]
(a x ^ {2} + b x + c = 0 )
donde (a, b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ). Una solución a dicha ecuación es una raíz de la función cuadrática definida por (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ). Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones reales, una solución real o ninguna solución real, en cuyo caso habrá dos soluciones complejas. Si los factores de expresión cuadrática, entonces podemos resolver la ecuación factorizando. Por ejemplo, podemos resolver (4x ^ {2} – 9 = 0 ) factorizando de la siguiente manera:
( begin {alineado} 4 x ^ {2} – 9 & = 0 \ (2 x + 3) (2 x – 3) & = 0 end {alineado} )
( begin {array} {c} {2 x + 3 = 0 quad text {o} quad 2 x – 3 = 0} \ {2 x = – 3 quad quad : : : 2 x = 3} \ {x = – frac {3} {2} quad quad : : : : x = frac {3} {2}} end {array } )
Las dos soluciones son (± frac {3} {2} ). Aquí usamos (± ) para escribir las dos soluciones en una forma más compacta. El objetivo en esta sección es desarrollar un método alternativo que pueda usarse para resolver fácilmente ecuaciones donde (b = 0 ), dando la forma
(a x ^ {2} + c = 0 )
La ecuación (4x ^ {2} – 9 = 0 ) tiene esta forma y se puede resolver aislando primero (x ^ {2} ).
( begin {alineado} 4 x ^ {2} – 9 & = 0 \ 4 x ^ {2} & = 9 \ x ^ {2} & = frac {9} {4} final {alineado} )
Si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación, obtenemos lo siguiente:
( begin {alineado} sqrt {x ^ {2}} & = sqrt { frac {9} {4}} \ | x | & = frac {3} {2} end {alineado} )
Aquí vemos que (x = ± frac {3} {2} ) son soluciones a la ecuación resultante. En general, esto describe la propiedad raíz cuadrada 2 ; para cualquier número real (k ),
( text {If} quad x ^ {2} = k, quad text {then} quad x = pm sqrt {k} )
La aplicación de la propiedad de la raíz cuadrada como un medio para resolver una ecuación cuadrática se llama extraer la raíz 3 . Este método nos permite resolver ecuaciones que no factorizan.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Resuelve: (9 x ^ {2} – 8 = 0 ).
Solución
Observe que la expresión cuadrática de la izquierda no tiene en cuenta. Sin embargo, tiene la forma (ax ^ {2} + c = 0 ) y podemos resolverlo extrayendo las raíces. Comience aislando (x ^ {2} ).
( begin {alineado} 9 x ^ {2} – 8 & = 0 \ 9 x ^ {2} & = 8 \ x ^ {2} & = frac {8} {9} final {alineado} )
A continuación, aplique la propiedad de raíz cuadrada. Recuerde incluir (± ) y simplificar.
( begin {alineado} x & = pm sqrt { frac {8} {9}} \ & = pm frac {2 sqrt {2}} {3} end {alineado } )
Para completar, verifique que estas dos soluciones reales resuelvan la ecuación cuadrática original.
Marque (x = – frac {2 sqrt {2}} {3} )
Marque (x = frac {2 sqrt {2}} {3} )
( begin {alineado} 9 x ^ {2} – 8 & = 0 \ 9 left ( color {Cerulean} {- frac {2 sqrt {2}} {3}} right ) ^ { color {black} {2}} – 8 & = 0 \ 9 left ( frac {4.2} {9} right) – 8 & = 0 \ 8 – 8 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
( begin {alineado} 9 x ^ {2} – 8 & = 0 \ 9 left ( color {Cerulean} { frac {2 sqrt {2}} {3}} right) ^ { color {black} {2}} – 8 & = 0 \ 9 left ( frac {4.2} {9} right) – 8 & = 0 \ 8 – 8 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
A veces las ecuaciones cuadráticas no tienen una solución real. En este caso, las soluciones serán números complejos.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Resuelve: (x ^ {2} + 25 = 0 ).
Solución
Comience aislando (x ^ {2} ) y luego aplique la propiedad de raíz cuadrada.
( begin {alineado} x ^ {2} + 25 & = 0 \ x ^ {2} & = – 25 \ x & = pm sqrt {- 25} end {alineado} )
Después de aplicar la propiedad de raíz cuadrada, nos queda la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, no hay una solución real para esta ecuación; Las soluciones son complejas. Podemos escribir estas soluciones en términos de la unidad imaginaria (i = sqrt {- 1} ).
( begin {alineado} x & = pm sqrt {- 25} \ & = pm sqrt {- 1 cdot 25} \ & = pm i cdot 5 \ & = pm 5 i end {alineado} )
Verificación (x = -5i )
Verificación (x = 5i )
( begin {alineado} x ^ {2} + 25 & = 0 \ ( color {Cerulean} {- 5 i} color {black} {)} ^ {2} + 25 & = 0 \ 25 i ^ {2} + 25 & = 0 \ 25 (- 1) + 25 & = 0 \ – 25 + 25 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} { ✓} end {alineado} )
( begin {alineado} x ^ {2} + 25 & = 0 \ ( color {Cerulean} {- 5 i} color {black} {)} ^ {2} + 25 & = 0 \ 25 i ^ {2} + 25 & = 0 \ 25 (- 1) + 25 & = 0 \ – 25 + 25 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} { ✓} end {alineado} )
Tabla 6.1.2
Respuesta :
Dos soluciones complejas, ( pm 5 i ).
Considera resolver la siguiente ecuación:
((x + 5) ^ {2} = 9 )
Para resolver esta ecuación factorizando, primero cuadrado (x + 5 ) y luego pon la ecuación en forma estándar, igual a cero, restando (9 ) de ambos lados.
( begin {alineado} (x + 5) ^ {2} & = 9 \ x ^ {2} + 10 x + 25 & = 9 \ x ^ {2} + 10 x + 16 & = 0 end {alineado} )
Factoriza y luego aplica la propiedad de producto cero.
( begin {alineado} x ^ {2} + 10 x + 16 & = 0 \ (x + 8) (x + 2) & = 0 \ x + 8 & = 0 quad quad text {or} quad x + 2 = 0 \ x & = – 8 quad quad quad quad quad : x = – 2 end {alineado} )
Las dos soluciones son (- 8 ) y (- 2 ). Cuando una ecuación está en esta forma, podemos obtener las soluciones en menos pasos extrayendo las raíces.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Resuelve extrayendo raíces: ((x + 5) ^ {2} = 9 ).
Solución
El término con el factor cuadrado está aislado, por lo que comenzamos aplicando la propiedad de la raíz cuadrada.
( begin {alineado} (x + 5) ^ {2} & = 9 quad quad quad color {Cerulean} {} Apply : the : square : root : property. x + 5 & = pm sqrt {9} quad : : color {Cerulean} {Simplify.} \ x + 5 & = pm sqrt {9} \ x & = – 5 pm 3 end {alineado} )
En este punto, separe el “más o menos” en dos ecuaciones y resuelva cada una individualmente.
( begin {array} {l} {x = – 5 + 3 quad text {or} quad x = – 5 – 3} \ {x = – 2 quad quad quad quad quad x = – 8} end {array} )
Respuesta :
Las soluciones son (- 2 ) y (- 8 ).
Además de menos pasos, este método nos permite resolver ecuaciones que no tienen en cuenta.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Resuelve: (2 (x – 2) ^ {2} – 5 = 0 ).
Solución
Comienza aislando el término con el factor cuadrado.
Luego, extrae las raíces, resuelve (x ) y luego simplifica.
( begin {alineado} x – 2 & = pm sqrt { frac {5} {2}} quad quad quad quad color {Cerulean} {Racionalizar : el : denominador .} \ x & = 2 pm frac { sqrt {5}} { sqrt {2}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt {2}} { sqrt {2}} } \ x & = 2 pm frac { sqrt {10}} {2} \ x & = frac {4 pm sqrt {10}} {2} end {alineado} ) [19459010 ]
Respuesta :
Las soluciones son ( frac {4 – sqrt {10}} {2} ) y ( frac {4 + sqrt {10}} {2} ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve: (2 (3 x – 1) ^ {2} + 9 = 0 ).
Respuesta
Las soluciones son ( frac {1} {3} pm frac { sqrt {2}} {2} i ).
Completando la plaza
En esta sección, idearemos un método para reescribir cualquier ecuación cuadrática de la forma
(a x ^ {2} + b x + c = 0 )
como una ecuación de la forma
((x – p) ^ {2} = q )
Este proceso se llama completando el cuadrado 4 . Como hemos visto, las ecuaciones cuadráticas en esta forma se pueden resolver fácilmente extrayendo raíces. Comenzamos examinando trinomios cuadrados perfectos:
( begin {alineado} (x + 3) ^ {2} = x ^ {2} + quad y 6 x quad quad quad + & 9 \ & color {Cerulean} { downarrow } & color {Cerulean} { uparrow} \ & left ( frac {6} {2} right) ^ {2} = (3) ^ {2} = & 9 end {alineado} ) [ 19459010]
El último término, (9 ), es el cuadrado de la mitad del coeficiente de (x ). En general, esto es cierto para cualquier trinomio cuadrado perfecto de la forma (x ^ {2} + bx + c ).
( begin {alineado} left (x + frac {b} {2} right) ^ {2} & = x ^ {2} + 2 cdot frac {b} {2} x + left ( frac {b} {2} right) ^ {2} \ & = x ^ {2} + bx + left ( frac {b} {2} right) ^ {2} final {alineado} )
En otras palabras, cualquier trinomio de la forma (x ^ {2} + bx + c ) será un trinomio cuadrado perfecto si
(c = left ( frac {b} {2} right) ^ {2} )
Nota
Es importante señalar que el coeficiente principal debe ser igual a (1 ) para que esto sea cierto.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Completa el cuadrado: (x ^ {2} – 6 x + color {Cerulean} {?} Color {black} {=} (x + color {Cerulean} {?} Color {black} {)} ^ {2} ).
Solución
En este ejemplo, el coeficiente (b ) del término medio es (- 6 ). Encuentre el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:
( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {- 6} {2} right) ^ {2} = (- 3) ^ { 2} = color {Cerulean} {9} )
El valor que completa el cuadrado es (9 ).
( begin {alineado} x ^ {2} – 6 x color {Cerulean} {+ 9} & color {black} {=} (x – 3) (x – 3) \ & = (x – 3) ^ {2} end {alineado} )
Respuesta :
(x ^ {2} – 6 x + 9 = (x – 3) ^ {2} )
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Completa el cuadrado: (x ^ {2} + x + color {Cerulean} {?} Color {black} {=} (x + color {Cerulean} {?} Color {black} { )} ^ {2} ).
Solución
Aquí (b = 1 ). Encuentre el valor que completará el cuadrado de la siguiente manera:
( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {1} {2} right) ^ {2} = color {Cerulean} { frac {1} {4}} )
El valor ( frac {1} {4} ) completa el cuadrado:
( begin {alineado} x ^ {2} + x color {Cerulean} {+ frac {1} {4}} & color {black} {=} left (x + frac { 1} {2} right) left (x + frac {1} {2} right) \ & = left (x + frac {1} {2} right) ^ {2} end {alineado} )
Respuesta :
(x ^ {2} + x + frac {1} {4} = left (x + frac {1} {2} right) ^ {2} )
Podemos usar esta técnica para resolver ecuaciones cuadráticas. La idea es tomar cualquier ecuación cuadrática en forma estándar y completar el cuadrado para que podamos resolverlo extrayendo raíces. Los siguientes son pasos generales para resolver una ecuación cuadrática con el coeficiente principal 1 en forma estándar completando el cuadrado.
Ejemplo ( PageIndex {7} ):
Resuelve completando el cuadrado: (x ^ {2} – 8 x – 2 = 0 ).
Solución
Es importante notar que el coeficiente principal es (1 ).
Paso 1 : Suma o resta el término constante para obtener una ecuación de la forma (x ^ {2} + bx = c ). Aquí agregamos (2 ) a ambos lados de la ecuación.
( begin {alineado} x ^ {2} – 8 x – 2 & = 0 \ x ^ {2} – 8 x & = 2 end {alineado} )
Paso 2 : Usa ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ) para determinar el valor que completa el cuadrado. En este caso, (b = – 8 ).
( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {- 8} {2} right) ^ {2} = (- 4) ^ { 2} = color {Cerulean} {16} )
Paso 3 : Agrega ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ) a ambos lados de la ecuación y completa el cuadrado.
( begin {alineado} x ^ {2} – 8 x & = 2 \ x ^ {2} – 8 x color {Cerulean} {+ 16} & color {black} {=} 2 color {Cerulean} {+ 16} \ (x – 4) (x – 4) & = 18 \ (x – 4) ^ {2} & = 18 end {alineado} )
Paso 4 : resuelve extrayendo raíces.
( begin {alineado} (x – 4) ^ {2} & = 18 \ x – 4 & = pm sqrt {18} \ x & = 4 pm sqrt {9 cdot 2} \ x & = 4 pm 3 sqrt {2} end {alineado} )
Respuesta :
Las soluciones son (4 – 3 sqrt {2} ) y (4 + 3 sqrt {2} ). El cheque se deja al lector.
Ejemplo ( PageIndex {8} ):
Resuelve completando el cuadrado: (x ^ {2} + 2 x – 48 = 0 ).
Solución
Comience agregando (48 ) a ambos lados
( begin {alineado} x ^ {2} + 2 x – 48 & = 0 \ x ^ {2} + 2 x & = 48 end {alineado} )
Luego, encuentre el valor que completa el cuadrado usando (b = 2 ).
( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {2} {2} right) ^ {2} = (1) ^ {2} = color {Cerulean} {1} )
Para completar el cuadrado, agregue (1 ) a ambos lados, complete el cuadrado y luego resuelva extrayendo las raíces.
( begin {alineado} x ^ {2} + 2 x & = 48 quad quad quad color {Cerulean} {Complete : the : square.} \ x ^ {2} + 2 x color {Cerulean} {+ 1} & color {black} {=} 48 color {Cerulean} {+ 1} \ (x + 1) (x + 1) & = 49 \ (x + 1) ^ {2} & = 49 quad quad quad color {Cerulean} {Extracto : las : raíces.} \ x + 1 & = pm sqrt {49} \ x + 1 & = pm 7 \ x & = – 1 pm 7 end {alineado} )
En este punto, separe el “más o menos” en dos ecuaciones y resuelva cada una individualmente.
( begin {array} {l} {x = – 1 – 7 text {or} x = – 1 + 7} \ {x = – 8 quad quad quad x = 6} end {array} )
Respuesta :
Las soluciones son (- 8 ) y (6 ).
Nota
En el ejemplo anterior, las soluciones son enteros. Si este es el caso, la ecuación original será un factor.
( begin {array} {c} {x ^ {2} + 2 x – 48 = 0} \ {(x – 6) (x + 8) = 0} end {array} )
Si una ecuación factoriza, podemos resolverla factorizando. Sin embargo, no todas las ecuaciones cuadráticas serán un factor. Además, las ecuaciones a menudo tienen soluciones complejas.
Ejemplo ( PageIndex {9} ):
Resuelve completando el cuadrado: (x ^ {2} – 10 x + 26 = 0 ).
Solución
Comienza restando (26 ) de ambos lados de la ecuación.
( begin {alineado} x ^ {2} – 10 x + 26 & = 0 \ x ^ {2} – 10 x & = – 26 end {alineado} )
Aquí (b = -10 ), y determinamos el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:
( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {- 10} {2} right) ^ {2} = (- 5) ^ { 2} = color {Cerulean} {25} )
Para completar el cuadrado, agregue (25 ) a ambos lados de la ecuación.
( begin {alineado} x ^ {2} – 10 x & = – 26 \ x ^ {2} – 10 x color {Cerulean} {+ 25} & color {black} {=} – 26 + color {Cerulean} {25} \ x ^ {2} – 10 x color {Cerulean} {+ 25} & color {black} {=} – 1 end {alineado} ) [19459010 ]
Factoriza y luego resuelve extrayendo raíces.
( begin {alineado} x ^ {2} – 10 x + 25 & = – 1 \ (x – 5) (x – 5) & = – 1 \ (x – 5) ^ {2 } & = – 1 \ x – 5 & = pm sqrt {- 1} \ x – 5 & = pm i \ x & = 5 pm i end {alineado} )
Respuesta :
Las soluciones son (5 pm i ).
El coeficiente de (x ) no siempre es divisible por (2 ).
( begin {alineado} x ^ {2} + 3 x + 4 & = 0 \ x ^ {2} + 3 x & = – 4 end {alineado} )
Use (b = 3 ) para encontrar el valor que completa el cuadrado:
( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {3} {2} right) ^ {2} = color {Cerulean} { frac {9} {4}} )
Para completar el cuadrado, agregue ( frac {9} {4} ) a ambos lados de la ecuación.
( begin {alineado} x ^ {2} + 3 x & = – 4 \ x ^ {2} + 3 x color {Cerulean} {+ frac {9} {4}} & color {black} {=} – 4 + color {Cerulean} { frac {9} {4}} \ left (x + frac {3} {2} right) left (x + frac {3} {2} right) & = frac {- 16} {4} + frac {9} {4} \ left (x + frac {3} {2} right) ^ {2 } & = frac {- 7} {4} end {alineado} )
Resuelve extrayendo raíces.
( begin {alineado} left (x + frac {3} {2} right) ^ {2} & = – frac {7} {4} \ x + frac {3} {2} & = pm sqrt { frac {- 1 cdot 7} {4}} \ x + frac {3} {2} & = pm frac {i sqrt {7}} { 2} \ x & = – frac {3} {2} pm frac { sqrt {7}} {2} i end {alineado} )
Respuesta :
Las soluciones son (- frac {3} {2} pm frac { sqrt {7}} {2} i ).
Hasta ahora, todos los ejemplos han tenido un coeficiente principal de (1 ). La fórmula ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ) determina el valor que completa el cuadrado solo si el coeficiente inicial es (1 ). Si este no es el caso, simplemente divida ambos lados entre el coeficiente principal antes de comenzar los pasos descritos para completar el cuadrado.
Ejemplo ( PageIndex {11} ):
Resuelve completando el cuadrado: (2 x ^ {2} + 5 x – 1 = 0 ).
Solución
Observe que el coeficiente principal es (2 ). Por lo tanto, divida ambos lados entre (2 ) antes de comenzar los pasos necesarios para resolver completando el cuadrado.
( begin {array} {c} { frac {2 x ^ {2} + 5 x – 1} { color {Cerulean} {2}} color {black} {=} frac { 0} { color {Cerulean} {2}}} \ { frac {2 x ^ {2}} {2} + frac {5 x} {2} – frac {1} {2} = 0 } \ {x ^ {2} + frac {5} {2} x – frac {1} {2} = 0} end {array} )
Agregue ( frac {1} {2} ) a ambos lados de la ecuación.
( begin {array} {r} {x ^ {2} + frac {5} {2} x – frac {1} {2} = 0} \ {x ^ {2} + frac {5} {2} x = frac {1} {2}} end {array} )
Aquí (b = frac {5} {2} ), y podemos encontrar el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:
( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac { color {OliveGreen} {5/2}} { color {black} {} 2 } right) ^ {2} = left ( frac {5} {2} cdot frac {1} {2} right) ^ {2} = left ( frac {5} {4} derecha) ^ {2} = color {Cerulean} { frac {25} {16}} )
Para completar el cuadrado, agregue ( frac {25} {16} ) a ambos lados de la ecuación.
( begin {alineado} x ^ {2} + frac {5} {2} x & = frac {1} {2} \ x ^ {2} + frac {5} {2 } x color {Cerulean} {+ frac {25} {16}} & color {black} {=} frac {1} {2} color {Cerulean} {+ frac {25} {16} } \ left (x + frac {5} {4} right) left (x + frac {5} {4} right) & = frac {8} {16} + frac {25 } {16} \ left (x + frac {5} {4} right) ^ {2} & = frac {33} {16} end {alineado} )
