6.2: Ceros de polinomios

6.2: Ceros de polinomios

En la sección anterior estudiamos el comportamiento final de los polinomios. Sabemos que el comportamiento final de un polinomio es idéntico al comportamiento final de su término principal. Nuestro enfoque se concentró en los extremos derecho e izquierdo del gráfico y no en lo que sucede en el medio. En esta sección, nuestro enfoque se desplaza hacia el interior. Hay dos áreas importantes de concentración: los máximos y mínimos locales del polinomio, y la ubicación de las intersecciones x o ceros del polinomio. En esta sección nos concentramos en encontrar los ceros del polinomio.

Ceros

 

Comencemos con una definición formal de los ceros de un polinomio.

 
 

Definición: Cero del polinomio

 

Sea (p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {n} x ^ {n} ) ser un polinomio con coeficientes reales Decimos que (a ) es un cero del polinomio si y solo si (p (a) = 0 ).

 
 

La definición también es válida si los coeficientes son complejos, pero ese es un tema para un curso más avanzado.

 

Por ejemplo, −5 es un cero del polinomio (p (x) = x ^ {2} +3 x-10 ) porque

 

[ begin {alineado} p (-5) & = (- 5) ^ {2} +3 (-5) -10 \ & = 25-15-10 \ & = 0 end { alineado} ]

 

Del mismo modo, −1 es un cero del polinomio (p (x) = x ^ {3} +3 x ^ {2} -x-3 ) porque

 

[ begin {alineado} p (-1) & = (- 1) ^ {3} +3 (-1) ^ {2} – (- 1) -3 \ & = – 1 + 3 + 1-3 \ & = 0 end {alineado} ]

 

Veamos un ejemplo más extenso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentra los ceros del polinomio definido por

 

[p (x) = (x + 3) (x-2) (x-5). nonumber ]

 

Solución

 

A primera vista, la función no parece tener la forma de un polinomio. Sin embargo, dos aplicaciones de la propiedad distributiva proporcionan el producto de los dos últimos factores.

 

[ begin {alineado} p (x) & = (x + 3) (x (x-5) -2 (x-5)) \ & = (x + 3) left (x ^ {2} -5 x-2 x + 10 right) \ & = (x + 3) left (x ^ {2} -7 x + 10 right) end {alineado} ]

 

Una tercera y cuarta aplicación de la propiedad distributiva revela la naturaleza de nuestra función.

 

[ begin {alineado} p (x) & = x left (x ^ {2} -7 x + 10 right) +3 left (x ^ {2} -7 x + 10 right ) \ & = x ^ {3} -7 x ^ {2} +10 x + 3 x ^ {2} -21 x + 30 \ & = x ^ {3} -4 x ^ {2} -11 x + 30 end {alineado} ]

 

Por lo tanto, p es claramente un polinomio. Sin embargo, la forma factorizada original proporciona un acceso más rápido a los ceros de este polinomio. Usando la Definición 1, necesitamos encontrar valores de x que hagan p (x) = 0. Es decir, necesitamos resolver la ecuación [p (x) = 0 ]

 

Por supuesto, p (x) = (x + 3) (x – 2) (x – 5), entonces, de manera equivalente, necesitamos resolver la ecuación

 

[(x + 3) (x-2) (x-5) = 0 ]

 

Por la propiedad del producto cero,

 

[x + 3 = 0 quad text {o} quad x-2 = 0 quad text {o} quad x-5 = 0 ]

 

Estas son ecuaciones lineales (primer grado), cada una de las cuales se puede resolver de forma independiente. Por lo tanto, ya sea

 

[x = -3 quad text {o} quad x = 2 quad text {o} quad x = 5 ]

 

Por lo tanto, los ceros del polinomio p son −3, 2 y 5.

 

Usemos la ecuación (4) para verificar que −3 es un cero del polinomio p. Sustituya −3 por x en (p (x) = x ^ {3} -4 x ^ {2} -11 x + 30 ).

 

[ begin {alineado} p (-3) & = (- 3) ^ {3} -4 (-3) ^ {2} -11 (-3) +30 \ & = – 27- 36 + 33 + 30 \ & = 0 end {alineado} ]

 

Este cálculo verifica que −3 es un cero del polinomio p. Sin embargo, es mucho más fácil comprobar que −3 es un cero del polinomio usando la ecuación (3). Sustituye −3 por x en p (x) = (x + 3) (x – 2) (x – 5).

 

[ begin {alineado} p (-3) & = (- 3 + 3) (- 3-2) (- 3-5) \ & = (0) (- 5) (- 8) \ & = 0 end {alineado} ]

 

Dejaremos que nuestros lectores verifiquen que 2 y 5 también son ceros del polinomio p.

 

Es muy importante tener en cuenta que una vez que se conocen los factores lineales (primer grado) de un polinomio, los ceros se siguen con facilidad. En el último ejemplo, p (x) = (x + 3) (x − 2) (x − 5), por lo que los factores lineales son x + 3, x – 2 yx – 5. En consecuencia, los ceros son – 3, 2 y 5.

 
 

Antes de continuar, nos tomamos un momento para revisar un patrón de multiplicación importante.

 

La diferencia de dos cuadrados

 

Un patrón de multiplicación especial que aparece con frecuencia en este texto se llama la diferencia de dos cuadrados. Use la propiedad distributiva para expandir (a + b) (a – b).

 

[ begin {alineado} (a + b) (ab) & = a (ab) + b (ab) \ & = a ^ {2} -a b + b ab ^ {2} end {alineado} ]

 

Desde (ab = ba ), tenemos el siguiente resultado.

 
 

Propiedad 5: La diferencia del patrón de dos cuadrados

 

[(a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2} ]

 
 

Por lo tanto, si tiene dos binomios con un primer y segundo términos idénticos, pero los términos de uno están separados por un signo más, mientras que los términos del segundo están separados por un signo menos, entonces multiplica al cuadrar el primero y segundos términos y separando estos cuadrados con un signo menos. De ahí el nombre, la «diferencia de dos cuadrados».

 

Por ejemplo,

 

[(2 x + 3) (2 x-3) = (2 x) ^ {2} – (3) ^ {2} = 4 x ^ {2} -9 nonumber ]

 

Observe cómo simplemente cuadramos los términos primero y segundo coincidentes y luego separamos nuestros cuadrados con un signo menos. De manera similar,

 

[ begin {alineado} (x + 5) (x-5) & = x ^ {2} -25 \ (5 x + 4) (5 x-4) & = 25 x ^ {2 } -16 \ (3 x-7) (3 x + 7) & = 9 x ^ {2} -49 end {alineado} ]

 

En cada caso, observe cómo cuadramos los términos primero y segundo coincidentes, luego separamos los cuadrados con un signo menos.

 

Una vez que hayas dominado la multiplicación usando el patrón «Diferencia de cuadrados», es fácil factorizar usando el mismo patrón. Simplemente invierte el procedimiento. Por ejemplo

 

[4 x ^ {2} -9 = (2 x + 3) (2 x-3) nonumber ]

 

Comenzamos tomando la raíz cuadrada de los dos cuadrados. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 (x ^ {2} ) es 2x y la raíz cuadrada de 9 es 3. Luego formamos dos binomios con los resultados 2x y 3 como coincidencia del primer y segundo término, separando un par con un signo más, el otro par con un signo menos.

 

De manera similar, [9 x ^ {2} -49 = (3 x + 7) (3 x-7) nonumber ]

 

Nuevamente, observe cómo tomamos la raíz cuadrada de cada término, formamos dos binomios con los resultados, luego separamos un par con un signo más y el otro con un signo menos.

 

Encontraremos el patrón de «Diferencia de cuadrados» a mano en lo que sigue.

 

Encontrar ceros por factorización

 

Ahora exploraremos cómo podemos encontrar los ceros de un polinomio factorizando, seguido de la aplicación de la propiedad del producto cero. Es importante comprender que los polinomios de esta sección se han seleccionado cuidadosamente para que pueda factorizarlos utilizando las diversas técnicas que siguen.

 

Exploremos la factorización agrupando.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentra los ceros del polinomio [p (x) = x ^ {3} +2 x ^ {2} -25 x-50 ]

 

Solución

 

En el ejemplo ( PageIndex {1} ) aprendimos que es fácil detectar los ceros de un polinomio si el polinomio se expresa como un producto de factores lineales (primer grado). En este ejemplo, el polinomio no está factorizado, por lo que parece que lo primero que tendremos que hacer es factorizar nuestro polinomio.

 

Siempre que se te presente una expresión de cuatro términos, una cosa que puedes intentar es factorizar agrupando. Entonces, con este pensamiento en mente, factoricemos una x de los primeros dos términos, luego un −25 de los dos últimos términos.

 

[ begin {alineado} p (x) & = x ^ {3} +2 x ^ {2} -25 x-50 \ & = x ^ {2} (x + 2) -25 ( x + 2) end {alineado} ]

 

Tenga en cuenta que este último resultado es la diferencia de dos términos. El polinomio aún no está completamente factorizado ya que aún no es producto de dos o más factores. Sin embargo, tenga en cuenta que cada uno de los dos términos tiene un factor común de x + 2. Vamos a factorizar este factor común.

 

[p (x) = left (x ^ {2} -25 right) (x + 2) ]

 

Todavía no hemos factorizado completamente nuestro polinomio. El primer factor es la diferencia de dos cuadrados y puede factorizarse aún más.

 

[p (x) = (x + 5) (x-5) (x + 2) ]

 

El polinomio p ahora está completamente factorizado. Para encontrar los ceros del polinomio p, necesitamos resolver la ecuación [p (x) = 0 ]

 

Sin embargo, p (x) = (x + 5) (x – 5) (x + 2), por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación [(x + 5) (x-5) (x + 2) = 0 ]

 

Podemos usar la propiedad del producto cero. Ya sea [x + 5 = 0 quad text {o} quad x-5 = 0 quad text {o} quad x + 2 = 0 ]

 

Nuevamente, cada una de estas ecuaciones lineales (primer grado) se puede resolver de forma independiente. Ya sea [x = -5 quad text {o} quad x = 5 quad text {o} quad x = -2 ]

 

Por lo tanto, los ceros del polinomio p son −5, 5 y −2. Dejaremos que nuestros lectores verifiquen estos resultados.

 

Nuevamente, es muy importante darse cuenta de que una vez que se determinan los factores lineales (primer grado), siguen los ceros del polinomio. En este ejemplo, los factores lineales son x + 5, x – 5 yx + 2. De inmediato se deduce que los ceros del polinomio son −5, 5 y −2.

 
 

En el siguiente ejemplo, veremos que a veces el primer paso es factorizar el máximo factor común.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentra los ceros del polinomio [p (x) = x ^ {4} +2 x ^ {3} -16 x ^ {2} -32 x ]

 

Solución

 

Para encontrar los ceros del polinomio, necesitamos resolver la ecuación [p (x) = 0 ]

 

De manera equivalente, porque (p (x) = x ^ {4} +2 x ^ {3} -16 x ^ {2} -32 x ), necesitamos resolver la ecuación

 

[x ^ {4} +2 x ^ {3} -16 x ^ {2} -32 x = 0 ]

 

Tenga en cuenta que cada término en el lado izquierdo tiene un factor común de x. Por lo tanto, nuestro primer paso es factorizar este factor común de x.

 

[x left [x ^ {3} +2 x ^ {2} -16 x-32 right] = 0 ]

 

La expresión de cuatro términos dentro de los corchetes parece familiar. Intentemos factorizar agrupando. Factoriza un (x ^ 2 ) a partir de los primeros dos términos, luego un −16 del tercer y cuarto término.

 

[x left [x ^ {2} (x + 2) -16 (x + 2) right] = 0 ]

 

Ahora tenemos un factor común de x + 2, así que lo factorizamos.

 

[x left [ left (x ^ {2} -16 right) (x + 2) right] = 0 ]

 

Los corchetes ya no son necesarios (la multiplicación es asociativa), por lo que los dejamos, luego usamos el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar (x ^ 2 – 16 ).

 

[x (x + 4) (x-4) (x + 2) = 0 ]

 

La propiedad del producto cero nos dice que

 

[x = 0 quad text {o} quad text {o} quad x + 4 = 0 quad text {o} quad x-4 = 0 quad text {o} quad text {o} quad x + 2 = 0 ]

 

Cada uno de estos factores lineales (primer grado) se puede resolver de forma independiente. Cualquiera

 

[x = 0 quad text {o} quad x = -4 quad text {o} quad x = 4 quad text {o} quad x = -2 ] [19459003 ]  

Por lo tanto, los ceros del polinomio p son 0, −4, 4 y −2. Dejaremos que nuestros lectores verifiquen estos resultados.

 

Nuevamente, es muy importante tener en cuenta que una vez que ha determinado los factores lineales (primer grado) de un polinomio, entonces conoce los ceros. En este caso, los factores lineales son x, x + 4, x – 4 yx + 2. Por lo tanto, los ceros son 0, −4, 4 y −2, respectivamente. Esta discusión conduce a un resultado llamado Teorema del factor.

 
 
 

Teorema del factor

 

Sea (p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + ldots + a_ {n} x ^ {n} ) ser un polinomio con coeficientes reales Si x – a es un factor del polinomio p (x), entonces a es un cero del polinomio. Es decir, si x – a es un factor del polinomio p (x), entonces p (a) = 0.

 
 

El resultado de todas estas observaciones es el hecho de que, si conoce los factores lineales del polinomio, entonces conoce los ceros. Lo contrario también es cierto, pero no lo necesitaremos en este curso.

 

Examinemos la conexión entre los ceros del polinomio y las intersecciones en x de la gráfica del polinomio.

 

Las intersecciones en x y los ceros de un polinomio

 

Para la discusión que sigue, supongamos que la variable independiente es xy la variable dependiente es y. En correspondencia con estas asignaciones, también asumiremos que hemos etiquetado el eje horizontal con xy el eje vertical con y, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

 

El hecho clave para el resto de esta sección es que una función es cero en los puntos donde su gráfica cruza el eje x. Las frases «valores de función» y «valores de y» son equivalentes (siempre que su variable dependiente sea y), por lo que cuando se le pregunta dónde está el valor de su función es igual a cero, en realidad se le pregunta «dónde es igual su valor de y ¿a cero?» Por supuesto, y = 0 donde la gráfica de la función cruza el eje horizontal (de nuevo, siempre que esté usando la letra y para su variable dependiente, etiquetando el eje vertical con y).

 

Un polinomio es una función, por lo que, como cualquier función, un polinomio es cero donde su gráfico cruza el eje horizontal. Como puede ver en la Figura ( PageIndex {1} ), la gráfica del polinomio cruza el eje horizontal en x = −6, x = 1 yx = 5. Observe que en cada una de estas intersecciones, la y -valor (valor de la función) es igual a cero. Los ceros del polinomio son −6, 1 y 5. Por lo tanto, las intersecciones x de la gráfica del polinomio se encuentran en (−6, 0), (1, 0) y (5, 0).

 
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Figura ( PageIndex {1} ). Una función es cero donde su gráfico cruza el eje horizontal.
 

Usemos estas ideas para trazar los gráficos de varios polinomios.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Dibuje el gráfico del polinomio en el Ejemplo ( PageIndex {2} ).

 

Solución

 

En el ejemplo ( PageIndex {2} ), el polinomio (p (x) = x ^ {3} +2 x ^ {2} -25 x-50 ) factorizado en factores lineales [p (x) = (x + 5) (x-5) (x + 2) ]

 

En consecuencia, los ceros del polinomio fueron −5, 5 y −2. Por lo tanto, las intersecciones x de la gráfica del polinomio se ubican en (−5, 0), (5, 0) y (−2, 0).

 

El polinomio (p (x) = x ^ {3} +2 x ^ {2} -25 x-50 ) tiene el término principal (x ^ 3 ). En consecuencia, a medida que balanceamos nuestros ojos de izquierda a derecha, la gráfica del polinomio p debe elevarse desde el infinito negativo, moverse a través de sus intersecciones en x, y luego continuar hasta el infinito positivo. No tenemos más remedio que dibujar un gráfico similar al de la Figura ( PageIndex {2} ).

 

Tenga en cuenta que hay dos «puntos de inflexión» del polinomio en la Figura ( PageIndex {2} ). Puede preguntar cómo supimos dónde colocar estos «puntos de inflexión» del polinomio. La respuesta es «no sabíamos dónde colocarlos». Sabemos que tienen que estar allí, pero no sabemos su ubicación precisa. Es por eso que no hemos escalado el eje vertical, porque sin la ayuda de una calculadora, es difícil determinar la ubicación precisa de los puntos de giro que se muestran en la Figura ( PageIndex {2} ).

 

Sin embargo, tenga en cuenta que el conocimiento del comportamiento final y los ceros del polinomio nos permite construir un facsímil razonable del gráfico real. Si queremos más precisión de la que proporciona una aproximación aproximada, como la precisión que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ), tendremos que usar nuestra calculadora gráfica, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} )

 
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Figura ( PageIndex {2} ). El gráfico se eleva desde el infinito negativo, se mueve a través de sus intersecciones en x, luego se eleva hasta el infinito positivo.
 
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Figura ( PageIndex {3} ). La gráfica de (p (x) = x ^ {3} +2 x ^ {2} -25 x-50 ) y la configuración de la ventana utilizada.
 

Tendremos más que decir sobre los «puntos de inflexión» (extremos relativos) en la siguiente sección. Por ahora, sigamos centrándonos en el comportamiento final y los ceros.

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Dibuje el gráfico del polinomio en el Ejemplo ( PageIndex {3} ).

 

Solución

 

En el ejemplo ( PageIndex {3} ), el polinomio (p (x) = x ^ {4} +2 x ^ {3} -16 x ^ {2} -32 x ) factorizado en un producto de factores lineales

 

[p (x) = x (x + 4) (x-4) (x + 2) ]

 

En consecuencia, los ceros del polinomio son 0, −4, 4 y −2. Por lo tanto, las intersecciones x de la gráfica del polinomio se encuentran en (0, 0), (−4, 0), (4, 0) y (−2, 0).

 

El polinomio (p (x) = x ^ {4} +2 x ^ {3} -16 x ^ {2} -32 x ) tiene el término principal (x ^ 4 ). En consecuencia, a medida que balanceamos nuestros ojos de izquierda a derecha, la gráfica del polinomio p debe caer desde el infinito positivo, moverse a través de sus intersecciones con el eje x y luego volver al infinito positivo. No tenemos más remedio que dibujar un gráfico similar al de la Figura ( PageIndex {4} ).

 
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Figura ( PageIndex {4} ). El gráfico cae desde el infinito positivo, se mueve a través de sus intersecciones con el eje x y luego vuelve a subir al infinito positivo.
 

Nuevamente, podemos dibujar un bosquejo de la gráfica sin el uso de la calculadora, usando solo el comportamiento final y los ceros del polinomio. Sin embargo, si queremos la precisión que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), en particular para encontrar las ubicaciones correctas de los «puntos de inflexión», tendremos que recurrir al uso de una calculadora gráfica. Esto se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
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Figura ( PageIndex {5} ). La gráfica de (p (x) = x ^ {4} -20 x ^ {2} +64 ) y la configuración de la ventana utilizada.
 
 

Veamos un ejemplo final que requiere descomponer un factor común máximo seguido de la prueba ac.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Encuentra los ceros del polinomio [p (x) = 4 x ^ {3} -2 x ^ {2} -30 x ]

 

Solución

 

Primero, observe que cada término de este trinomio es divisible por 2x. Este es el máximo común divisor, o equivalente, el mayor común divisor. Siempre debe buscar factorizar el mayor factor común en su primer paso.

 

[ begin {alineado} p (x) & = 4 x ^ {3} -2 x ^ {2} -30 x \ & = 2 x left [2 x ^ {2} -x- 15 derecha] fin {alineado} ]

 

Luego, compara el trinomio (2 x ^ {2} -x-15 ) con (a x ^ {2} + b x + c ) y observa que ac = −30. El par entero {5, −6} tiene el producto −30 y la suma −1. Reescribe el término medio de (2 x ^ {2} -x-15 ) en términos de este par y factoriza agrupando.

 

[ begin {alineado} p (x) & = 2 x left [2 x ^ {2} +5 x-6 x-15 right] \ & = 2 x [x (2 x + 5) -3 (2 x + 5)] \ & = 2 x (x-3) (2 x + 5) end {alineado} ]

 

Para encontrar los ceros, necesitamos resolver la ecuación polinómica p (x) = 0, o equivalente,

 

[2 x (x-3) (2 x + 5) = 0 ]

 

Utilizando la propiedad de producto cero,

 

[2 x = 0, quad text {o} quad x-3 = 0, quad text {o} quad 2 x + 5 = 0 ]

 

Cada uno de estos factores lineales se puede resolver de forma independiente. Por lo tanto, ya sea

 

[x = 0, quad text {o} quad x = 3, quad text {or} quad x = – frac {5} {2} ]

 

Por lo tanto, los ceros del polinomio son 0, 3 y −5/2.

 

Alternativamente, uno puede factorizar un 2 del tercer factor en la ecuación (12).

 

[ begin {alineado} p (x) & = 2 x (x-3) (2) left (x + frac {5} {2} right) \ & = 4 x (x- 3) left (x + frac {5} {2} right) end {alineado} ]

 

De esta forma,

 
         
  • x es un factor, entonces x = 0 es un cero,
  •      
  • x – 3 es un factor, entonces x = 3 es un cero, y
  •      
  • x + 5/2 es un factor, entonces x = −5/2 es un cero.
  •  
 

El término principal de (p (x) = 4 x ^ {3} -2 x ^ {2} -30 x ) es 4 (x ^ {2} ), de modo que nuestros ojos oscilan De izquierda a derecha, la gráfica del polinomio debe elevarse desde el infinito negativo, moverse a través de sus ceros y luego elevarse hasta el infinito positivo. Por lo tanto, el gráfico debe ser similar al que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

 

Una vez más, las intersecciones y el comportamiento final proporcionan amplias pistas sobre la forma del gráfico, pero, si queremos que la precisión se muestre en la Figura 6, debemos confiar en la calculadora gráfica. La configuración de gráfico y ventana utilizada se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
 
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Figura ( PageIndex {6} ). El gráfico se eleva desde el infinito negativo, se mueve a través de sus ceros, luego se eleva hasta el infinito positivo
 
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Figura ( PageIndex {7} ). La gráfica de (p (x) = 4 x ^ {3} -2 x ^ {2} -30 x ) y la configuración de la ventana utilizada.
   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 6 , usa la sustitución directa para mostrar que el valor dado es un cero del polinomio dado.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

(p (x) = x ^ 3−3x ^ 2−13x + 15 ), x = −3

 
     
Respuesta
     
     

p (−3) = (−3) 3−3 (−3) 2−13 (−3) +15 = 0

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

(p (x) = x ^ 3−2x ^ 2−13x − 10 ), x = −2

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

(p (x) = x ^ 4 − x ^ 3−12x ^ 2 ), x = 4

 
     
Respuesta
     
     

(p (4) = 4 ^ 4−4 ^ 3−12 (4) ^ 2 = 0 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

(p (x) = x ^ 4−2x ^ 3−3x ^ 2 ), x = −1

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

(p (x) = x ^ 4 + x ^ 2−20 ), x = −2

 
     
Respuesta
     
     

(p (−2) = (−2) ^ 4 + (- 2) ^ 2−20 = 0 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

(p (x) = x ^ 4 + x ^ 3−19x ^ 2 + 11x + 30 ), x = −1

 
 

En Ejercicios 7 28 , identifica todos los ceros del polinomio dado sin la ayuda de una calculadora. Use una técnica algebraica y muestre todo el trabajo (factor cuando sea necesario) necesario para obtener los ceros.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

p (x) = (x − 2) (x + 4) (x − 5)

 
     
Respuesta
     
     

4, 2 y 5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

p (x) = (x − 1) (x − 3) (x + 8)

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

p (x) = −2 (x − 3) (x + 4) (x − 2)

 
     
Respuesta
     
     

4, 2 y 3

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

p (x) = −3 (x + 1) (x − 1) (x − 8)

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

p (x) = x (x − 3) (2x + 1)

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {1} {2} ), 0 y 3

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

p (x) = −3x (x + 5) (3x − 2)

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

p (x) = −2 (x + 3) (3x − 5) (2x + 1)

 
     
Respuesta
     
     

−3, (- frac {1} {2} ) y ( frac {5} {3} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

p (x) = 3 (x − 2) (2x + 5) (3x − 4)

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

(p (x) = 3x ^ 3 + 5x ^ 2−12x − 20 )

 
     
Respuesta
     
     

−2, (- frac {5} {3} ) y 2

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

(p (x) = 3x ^ 3 + x ^ 2−12x − 4 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

(p (x) = 2x ^ 3 + 5x ^ 2−2x − 5 )

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {5} {2} ), −1 y 1

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

(p (x) = 2x ^ 3−5x ^ 2−18x + 45 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

(p (x) = x ^ 4 + 4x ^ 3−9x ^ 2−36x )

 
     
Respuesta
     
     

0, −3, 3 y −4

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

(p (x) = −x ^ 4 + 4x ^ 3 + x ^ 2−4x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

(p (x) = −2x ^ 4−10x ^ 3 + 8x ^ 2 + 40x )

 
     
Respuesta
     
     

0, −2, 2 y −5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

(p (x) = 3x ^ 4 + 6x ^ 3−75x ^ 2−150x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

(p (x) = 2x ^ 3−7x ^ 2−15x )

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {3} {2} ), 0 y 5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

(p (x) = 2x ^ 3 − x ^ 2−10x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

(p (x) = −6x ^ 3 + 4x ^ 2 + 16x )

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {4} {3} ), 0 y 2

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

(p (x) = 9x ^ 3 + 3x ^ 2−30x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

(p (x) = −2x ^ 7−10x ^ 6 + 8x ^ 5 + 40x ^ 4 )

 
     
Respuesta
     
     

0, −2, 2 y −5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

(p (x) = 6x ^ 5−21x ^ 4−45x ^ 3 )

 
 

En Ejercicios 29 34 , se proporciona la gráfica de un polinomio. Realice cada una de las siguientes tareas

 
         
  1.      

    Copia la imagen en el papel de tu tarea. Etiquete y escale sus ejes, luego etiquete cada intersección con sus coordenadas.

         
  2.      
  3.      

    Identifica los ceros del polinomio.

         
  4.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

Screen Shot 2019-08-30 at 1.37.41 PM.png

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: −4, 1 y 2

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

Screen Shot 2019-08-30 at 1.40.56 PM.png

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

Screen Shot 2019-08-30 at 1.54.19 PM.png

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: 4, 0 y 5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

Screen Shot 2019-08-30 at 1.56.11 PM.png

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

Screen Shot 2019-08-30 at 1.58.00 PM.png

 
     
Respuesta
     
     

Ceros: 0, 6, 3, 2

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

Screen Shot 2019-08-30 at 1.59.46 PM.png

 
 

Para cada uno de los polinomios en Ejercicios 35 46 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Factoriza el polinomio para obtener los ceros. Muestra tu trabajo.

         
  2.      
  3.      

    Configure un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Rotula y escala el eje horizontal. Use los ceros y el comportamiento final para ayudar a dibujar el gráfico del polinomio sin el uso de una calculadora.

         
  4.      
  5.      

    Verifique su resultado con una calculadora gráfica.

         
  6.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

(p (x) = 5x ^ 3 + x ^ 2−45x − 9 )

 
     
Respuesta
     
Screen Shot 2019-09-02 at 8.29.45 AM.png
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

(p (x) = 4x ^ 3 + 3x ^ 2−64x − 48 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

(p (x) = 4x ^ 3−12x ^ 2−9x + 27 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-02 at 8.23.07 AM.png

     

Screen Shot 2019-09-02 at 8.24.25 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

(p (x) = x ^ 3 + x ^ 2−16x − 16 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

(p (x) = x ^ 4 + 2x ^ 3−25x ^ 2−50x )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-02 at 8.25.10 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

(p (x) = −x ^ 4−5x ^ 3 + 4x ^ 2 + 20x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

(p (x) = −3x ^ 4−9x ^ 3 + 3x ^ 2 + 9x )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-02 at 8.25.46 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

(p (x) = 4x ^ 4−29x ^ 2 + 25 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

(p (x) = −x ^ 3 − x ^ 2 + 20x )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-02 at 8.26.25 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

(p (x) = 2x ^ 3−7x ^ 2−30x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

(p (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2−35x )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-02 at 8.26.56 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

(p (x) = −2x ^ 3−11x ^ 2 + 21x )

 
             
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