las matematicas

6.2: Fórmula cuadrática

6.2: Fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática

 

En esta sección, desarrollaremos una fórmula que dé las soluciones a cualquier ecuación cuadrática en forma estándar. Para hacer esto, comenzamos con una ecuación cuadrática general en forma estándar y resolvemos (x ) completando el cuadrado. Aquí (a, b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ):

 

( begin {alineado} ax ^ {2} + b x + c & = 0 quad quad color {Cerulean} {Standard : form : of : a : quadratic : ecuación.} \ frac {ax ^ {2} + b x + c} { color {Cerulean} {a}} & color {black} {=} frac {0} { color {Cerulean} {a}} quad : : color {Cerulean} {Divde : both : sides : by : a.} \ x ^ {2} + frac {b} {a} x + frac {c} { a} & = 0 quad quad color {Cerulean} {Restar : frac {c} {a} : de : ambos : lados.} \ x ^ {2} + frac {b} {a} x & = – frac {c} {a} end {alineado} )

 

Determine la constante que completa el cuadrado: tome el coeficiente de (x ), divídalo entre 2 y luego cuadrátelo.

 

[ left ( frac {b / a} {2} right) ^ {2} = left ( frac {b} {2 a} right) ^ {2} = frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} nonumber ]

 

Agregue esto a ambos lados de la ecuación para completar el cuadrado y luego factorizar.

 

( begin {alineado} x ^ {2} + frac {b} {a} x + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} & = – frac {c} {a} + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} \ izquierda (x + frac {b} {2 a} derecha) izquierda (x + frac {b} {2 a} right) & = – frac {c} {a} + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} \ left (x + frac {b} {2 a} derecha) ^ {2} & = – frac {4 ac} {4 a ^ {2}} + frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} \ izquierda (x + frac { b} {2 a} right) ^ {2} & = frac {b ^ {2} -4 ac} {4 a ^ {2}} end {alineado} )

 

Resuelve extrayendo raíces.

 

( begin {alineado} left (x + frac {b} {2 a} right) ^ {2} & = frac {b ^ {2} -4 ac} {4 a ^ {2 }} \ x + frac {b} {2 a} & = pm sqrt { frac {b ^ {2} -4 ac} {4 a ^ {2}}} \ x + frac {b} {2 a} & = pm frac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ x & = – frac {b} {2 a} pm frac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} end {alineado} )

 

Esta derivación nos da una fórmula que resuelve cualquier ecuación cuadrática en forma estándar. Dado (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), donde (a, b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ), las soluciones se pueden calcular usando la fórmula cuadrática 5 :

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} label {quad} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resolver usando la fórmula cuadrática: (2 x ^ {2} -7 x-15 = 0 )

 

Solución

 

Comience identificando los coeficientes de cada término: (a, b ) y (c ).

 

(a = 2 quad b = -7 quad c = -15 )

 

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}) y luego simplifique.

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {- 7} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {- 7} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {2 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 15} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)}} & = frac {7 pm sqrt {49 + 120}} {4} \ & = frac {7 pm sqrt {169}} {4} \ & = frac {7 pm 13 } {4} end {alineado} )

 

Separe el “más o menos” en dos ecuaciones y simplifique aún más.

 

(x = frac {7-13} {4} ) o (x = frac {7 + 13} {4} )
(x = frac {-6} { 4} quad x = frac {20} {4} )
(x = – frac {3} {2} quad x = 5 )

 

Respuesta :

 

Las soluciones son (- frac {3} {2} ) y (5 ).

 
 

El ejemplo anterior se puede resolver factorizando de la siguiente manera:

 

(2 x ^ {2} -7 x-15 = 0 )
((2 x + 3) (x-5) = 0 )

 

( begin {alineado} 2 x + 3 & = 0 quad text {o} x-5 = 0 \ 2 x & = – 3 quad x = 5 \ x & = – frac {3} {2} end {alineado} )

 

Por supuesto, si los factores de expresión cuadrática, entonces es una mejor práctica resolver la ecuación factorizando. Sin embargo, no todos los polinomios cuadráticos factorizan tan fácilmente. La fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}) nos proporciona un medio para resolver todas las ecuaciones cuadráticas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resolver usando la fórmula cuadrática: (3 x ^ {2} +6 x-2 = 0 ).

 

Solución

 

Comience por identificar (a, b ) y (c ).

 

(a = 3 quad b = 6 quad c = -2 )

 

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}).

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {6} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {6} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)}} \ & = frac {-6 pm sqrt {36 + 24}} {6} \ & = frac {-6 pm sqrt {60}} {6} end {alineado} )

 

En este punto vemos que (60 = 4 times 15 ) y, por lo tanto, la fracción se puede simplificar aún más.

 

( begin {alineado} & = frac {-6 pm sqrt {60}} {6} \ & = frac {-6 pm sqrt {4 times 15}} {6 } \ & = frac {-6 pm 2 sqrt {15}} {6} \ & = frac { cancel {2} (- 3 pm sqrt {15})} { cancel { 6}} \ & = frac {-3 pm sqrt {15}} {3} end {alineado} )

 

Es importante señalar que hay dos soluciones aquí:

 

(x = frac {-3- sqrt {15}} {3} quad ) o ( quad x = frac {-3+ sqrt {15}} {3} )

 

Podemos usar ( pm ) para escribir las dos soluciones en una forma más compacta.

 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( frac {-3 pm sqrt {15}} {3} ).

 
 

A veces faltan términos. Cuando este es el caso, use (0 ) como coeficiente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resolver usando la fórmula cuadrática: (x ^ {2} -45 = 0 )

 

Solución

 

Esta ecuación es equivalente a

 

(1 x ^ {2} +0 x-45 = 0 )

 

Y podemos usar los siguientes coeficientes:

 

(a = 1 quad b = 0 quad c = -45 )

 

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}).

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {0} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 45} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} \ & = frac {0 pm sqrt {0 + 180}} {2} \ & = frac { pm sqrt {36}} {2} \ & = frac { pm sqrt {36} sqrt {5}} {2} \ & = frac { pm 6 sqrt {5}} {2} \ & = pm 3 sqrt {5} end {alineado} )

 

Dado que el coeficiente de (x ) era (0 ), podríamos haber resuelto esta ecuación extrayendo las raíces. Como ejercicio, resuélvalo usando este método y verifique que los resultados sean los mismos.

 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( pm 3 sqrt {5} ).

 
 

A menudo, las soluciones a las ecuaciones cuadráticas no son reales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resolver usando la fórmula cuadrática: (x ^ {2} -4 x + 29 = 0 ).

 

Solución

 

Comience por identificar (a, b ) y (c ). Aquí

 

(a = 1 quad b = -4 quad c = 29 )

 

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}) y luego simplifique.

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {- 4} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {1 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {29} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} \ & = frac {4 pm sqrt {16-116}} {2} \ & = frac {4 pm sqrt {-100}} {2} quad quad color {Cerulean} {Negativo : radicand} \ & = frac {4 pm 10 i} {2} quad quad quad color {Cerulean} {Two : complex : solutions} \ & = frac {4} { 2} pm frac {10 i} {2} \ & = 2 pm 5 i end {alineado} )

 

Comprueba estas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

                                                                                                              
Verificar (x = 2-5 i ) Verificar (x = 2 + 5 i )
( begin {alineado} x ^ {2} -4 x + 29 & = 0 \ ( color {OliveGreen} {2-5 i} color {black} {)} ^ {2} – 4 ( color {OliveGreen} {2-5 i} color {black} {)} + 29 & = 0 \ 4-20 i + 25 i ^ {2} -8 + 20 i + 29 & = 0 25 i ^ {2} +25 & = 0 \ 25 (-1) +25 & = 0 \ – 25 + 25 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) ( begin {alineado} x ^ {2} -4 x + 29 & = 0 \ ( color {OliveGreen} {2 + 5 i} color {black} {)} ^ {2} – 4 ( color {OliveGreen} {2 + 5 i} color {black} {)} + 29 & = 0 \ 4 + 20 i + 25 i ^ {2} -8-20 i + 29 & = 0 25 i ^ {2} +25 & = 0 \ 25 (-1) +25 & = 0 \ – 25 + 25 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Tabla 6.2.1

 

Respuesta :

 

Las soluciones son 2 ( pm 5 i ).

 
 

La ecuación no se puede dar en forma estándar. Los pasos generales para usar la fórmula cuadrática se describen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resolver: ((5 x + 1) (x-1) = x (x + 1) )

 

Solución

 

Paso 1 : Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar, con cero en un lado del signo igual.

 

( begin {alineado} (5 x + 1) (x-1) & = x (x + 1) \ 5 x ^ {2} -5 x + x-1 & = x ^ {2 } + x \ 5 x ^ {2} -4 x-1 & = x ^ {2} + x \ 4 x ^ {2} -5 x-1 & = 0 end {alineado} ) [19459005 ]  

Paso 2 : Identifique (a, b ) y (c ) para usar en la fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}). Aquí

 

(a = 4 quad b = -5 quad c = -1 )

 

Paso 3 : Sustituya los valores apropiados en la fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}) y luego simplifique.

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {- 5} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {4 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)}} & = frac {5 pm sqrt {25 + 16}} {8} \ & = frac {5 pm sqrt {41}} {8} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es ( frac {5 pm sqrt {41}} {8} ).

 
 

El discriminante

 

Si se le da una ecuación cuadrática en forma estándar, (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), donde (a, b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ), entonces las soluciones se pueden calcular usando la fórmula cuadrática:

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} label {discriminante} ]

 

Como hemos visto, las soluciones pueden ser racionales, irracionales o complejas. Podemos determinar el número y tipo de soluciones estudiando el discriminante 6 , la expresión dentro del radical, (b ^ { 2} – 4ac ). Si el valor de esta expresión es negativo, entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas. Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales. Y si el discriminante es (0 ), entonces la ecuación tiene una solución real, una raíz doble.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Determine el tipo y el número de soluciones: (2 x ^ {2} + x + 3 = 0 )

 

Solución

 

Comenzamos identificando (a, b ) y (c ). Aquí

 

(a = 2 quad b = 1 quad c = 3 )

 

Sustituya estos valores en el discriminante (Ecuación ref {discriminante}) y simplifique.

 

( begin {alineado} b ^ {2} -4 ac & = (1) ^ {2} -4 (2) (3) \ & = 1-24 \ & = – 23 end {alineado} )

 

Dado que el discriminante es negativo, concluimos que no hay soluciones reales. Son complejos

 

Respuesta :

 

Las soluciones complejas.

 
 

Si usamos la fórmula cuadrática en el ejemplo anterior, encontramos que un radical negativo introduce la unidad imaginaria y nos quedan dos soluciones complejas.

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {1} color {black} {)} pm sqrt { color {OliveGreen} {- 23}}} { color {black} {2 (2)}} \ & = frac {-1 pm i sqrt {23}} {4} \ & = – frac {1} {4} pm frac { sqrt {23}} {4} i quad color {Cerulean} {Two : complejo : soluciones} end {alineado} )

 
 

Las soluciones irracionales y complejas de ecuaciones cuadráticas siempre aparecen en pares conjugados.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Determine el tipo y el número de soluciones: (6 x ^ {2} -5 x-1 = 0 ).

 

Solución

 

En este ejemplo,

 

(a = 6 quad b = -5 quad c = -1 )

 

Sustituya estos valores en el discriminante (Ecuación ref {discriminante}) y simplifique.

 

( begin {alineado} b ^ {2} -4 ac & = (- 5) ^ {2} -4 (6) (- 1) \ & = 25 + 24 \ & = 49 final {alineado} )

 

Dado que el discriminante es positivo, concluimos que la ecuación tiene dos soluciones reales. Además, dado que el discriminante es un cuadrado perfecto, obtenemos dos soluciones racionales.

 

Respuesta :

 

Dos soluciones racionales

 
 

Debido a que el discriminante es un cuadrado perfecto, podríamos resolver la ecuación cuadrática anterior factorizando o usando la fórmula cuadrática.

                                                                                                                           
Resuelva factorizando: Resolver usando la fórmula cuadrática:
             

( begin {alineado} 6 x ^ {2} -5 x-1 & = 0 \ (6 x + 1) (x-1) & = 0 end {alineado} )

             

( begin {array} {rl} {6 x + 1} & {= 0 quad text {or} x-1 = 0} \ {6 x = -1} & {x = 1 } \ {x = – frac {1} {6}} end {array} )

             		              

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- (- 5) pm sqrt { color {Cerulean} {49}}} { color {black} {2 (6)}} \ & = frac {5 pm 7} {12} end {alineado} ) [ 19459005]              

( begin {array} {l} {x = frac {5-7} {12}} & { text {or} x = frac {5 + 7} {12}} \ { x = frac {-2} {12}} & quad : : {x = frac {12} {12}} \ {x = – frac {1} {6}} & quad : : {x = 1} end {array} )

             
 

Tabla 6.2.2

 

Dada la condición especial donde el discriminante es (0 ), obtenemos solo una solución, una doble raíz.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Determine el tipo y el número de soluciones: (25 x ^ {2} -20 x + 4 = 0 ).

 

Solución

 

Aquí (a = 25, b = -20 ) y (c = 4 ), y tenemos (a través de (Ecuación ref {discriminante}))

 

( begin {alineado} b ^ {2} -4 ac & = (- 20) ^ {2} -4 (25) (4) \ & = 400-400 \ & = 0 end {alineado} )

 

Dado que el discriminante es (0 ), concluimos que la ecuación tiene solo una solución real, una raíz doble.

 

Respuesta :

 

Una solución racional

 
 

Dado que (0 ) es un cuadrado perfecto, podemos resolver la ecuación anterior factorizando.

 

(25 x ^ {2} -20 x + 4 = 0 )
((5 x-2) (5 x-2) = 0 )

 

(5 x-2 = 0 ) o (5 x-2 = 0 )
(5 x = 2 quad 5 x = 2 )
(x = frac {2} {5} quad x = frac {2} {5} )

 

Aquí ( frac {2} {5} ) es una solución que ocurre dos veces; Es una doble raíz.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Determine el tipo y el número de soluciones: (x ^ {2} -2 x-4 = 0 ).

 

Solución

 

Aquí (a = 1, b = -2 ) y (c = -4 ), y tenemos

 

[ begin {alineado} b ^ {2} -4 ac & = (- 2) ^ {2} -4 (1) (- 4) \ & = 4 + 16 \ & = 20 final {alineado} ]

 

Dado que el discriminante es positivo, podemos concluir que la ecuación tiene dos soluciones reales. Además, dado que (20 ) no es un cuadrado perfecto, ambas soluciones son irracionales.

 

Respuesta

 

Dos soluciones irracionales.

 
 

Si usamos la fórmula cuadrática en el ejemplo anterior, encontramos que un radicando positivo en la fórmula cuadrática conduce a dos soluciones reales.

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- (- 2) pm sqrt { color {OliveGreen} {20}}} { color {black} {2 (1)}} quad quad color {Cerulean} {Positivo : discriminante} \ & = frac {2 pm sqrt {4 times 5}} {2} \ & = frac {2 pm 2 sqrt {5}} {2} \ & = frac { cancel {2} (1 pm sqrt {5}} { cancel {2}} \ & = 1 pm sqrt {5} quad quad quad quad color {Cerulean} {Dos : irracional : soluciones} end { alineado} )

 

Dos soluciones reales son (1- sqrt {5} ) y (1+ sqrt {5} ). Tenga en cuenta que estas soluciones son irracionales; Podemos aproximar los valores con una calculadora.

 

(1- sqrt {5} aprox-1.24 ) y (1+ sqrt {5} aprox 3.24 )

 

En resumen, si se da alguna ecuación cuadrática en forma estándar, (ax ^ {2} + b x + c = 0 ), donde (a, b ) y (c ) son números reales y (a neq 0 ), entonces tenemos lo siguiente:

 
         
  • Discriminante positivo: (b ^ {2} -4 a c> 0 ) Dos soluciones reales
    •      
  • Cero discriminante: (b ^ {2} -4 a c = 0 ) Una solución real
    •      
  • Discriminante negativo : (b ^ {2} -4 a c <0 ) Dos soluciones complejas
    •  
 

Además, si el discriminante no es negativo y es un cuadrado perfecto, entonces las soluciones a la ecuación son racionales; de lo contrario son irracionales. Como veremos, conocer el número y el tipo de soluciones con anticipación nos ayuda a determinar qué método es mejor para resolver una ecuación cuadrática.

 

Puntos clave

 
         
  • Podemos usar la fórmula cuadrática para resolver cualquier ecuación cuadrática en forma estándar.
    •      
  • Para resolver cualquier ecuación cuadrática, primero la reescribimos en forma estándar (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), sustituimos los coeficientes apropiados en la fórmula cuadrática, (x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} ), y luego simplificar.
    •      
  • Podemos determinar el número y tipo de soluciones para cualquier ecuación cuadrática en forma estándar usando el discriminante, (b ^ {2} – 4ac ). Si el valor de esta expresión es negativo, entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas. Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales. Y si el discriminante es (0 ), entonces la ecuación tiene una solución real, una raíz doble.
    •      
  • Podemos clasificar aún más las soluciones reales en números racionales o irracionales. Si el discriminante es un cuadrado perfecto, las raíces son racionales y la ecuación tendrá en cuenta. Si el discriminante no es un cuadrado perfecto, las raíces son irracionales.
    •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Identifique los coeficientes, (a, b ) y (c ), utilizados en la fórmula cuadrática. No lo resuelvas.

 
         
  1. (x ^ {2} -x + 3 = 0 )
    2.      
  2. (5 x ^ {2} -2 x-8 = 0 )
    3.      
  3. (4 x ^ {2} -9 = 0 )
    4.      
  4. (x ^ {2} +3 x = 0 )
    5.      
  5. (- x ^ {2} +2 x-7 = 0 )
    6.      
  6. (- 2 x ^ {2} -5 x + 2 = 0 )
    7.      
  7. (p x ^ {2} -q x-1 = 0 )
    8.      
  8. (p ^ {2} x ^ {2} -x + 2 q = 0 )
    9.      
  9. ((x-5) ^ {2} = 49 )
    10.      
  10. ((2 x + 1) ^ {2} = 2 x-1 )
    11.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a = 1; b = -1; c = 3 )

     

3. (a = 4; b = 0; c = -9 )

     

5. (a = -1; b = 2; c = -7 )

     

7. (a = p, b = -q; c = -1 )

     

9. (a = 1; b = -10; c = -24 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve factorizando y luego resuelve usando la fórmula cuadrática. Revisar respuestas.

 
         
  1. (x ^ {2} -6 x-16 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} -3 x-18 = 0 )
    3.      
  3. (2 x ^ {2} +7 x-4 = 0 )
    4.      
  4. (3 x ^ {2} +5 x-2 = 0 )
    5.      
  5. (4 y ^ {2} -9 = 0 )
    6.      
  6. (9 y ^ {2} -25 = 0 )
    7.      
  7. (5 t ^ {2} -6 t = 0 )
    8.      
  8. (t ^ {2} +6 t = 0 )
    9.      
  9. (- x ^ {2} +9 x-20 = 0 )
    10.      
  10. (- 2 x ^ {2} -3 x + 5 = 0 )
    11.      
  11. (16 y ^ {2} -24 y + 9 = 0 )
    12.      
  12. (4 y ^ {2} -20 y + 25 = 0 )
    13.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 2,8 )

     

3. (- 4, frac {1} {2} )

     

5. ( pm frac {3} {2} )

     

7. (0, frac {6} {5} )

     

9. (4,5 )

     

11. ( frac {3} {4} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve extrayendo las raíces y luego resuelve usando la fórmula cuadrática. Revisar respuestas.

 
         
  1. (x ^ {2} -18 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} -12 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} + 12 = 0 )
    4.      
  4. (x ^ {2} + 20 = 0 )
    5.      
  5. (3 x ^ {2} + 2 = 0 )
    6.      
  6. (5 x ^ {2} + 3 = 0 )
    7.      
  7. ((x + 2) ^ {2} + 9 = 0 )
    8.      
  8. ((x-4) ^ {2} + 1 = 0 )
    9.      
  9. ((2 x + 1) ^ {2} -2 = 0 )
    10.      
  10. ((3 x + 1) ^ {2} -5 = 0 )
    11.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( pm 3 sqrt {2} )

     

3. ( pm 2 i sqrt {3} )

     

5. ( pm frac {i sqrt {6}} {3} )

     

7. (- 2 pm 3 i )

     

9. ( frac {-1 pm sqrt {2}} {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resolver usando la fórmula cuadrática.

 
         
  1. (x ^ {2} -5 x + 1 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} -7 x + 2 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} +8 x + 5 = 0 )
    4.      
  4. (x ^ {2} -4 x + 2 = 0 )
    5.      
  5. (y ^ {2} -2 y + 10 = 0 )
    6.      
  6. (y ^ {2} -4 y + 13 = 0 )
    7.      
  7. (2 x ^ {2} -10 x-1 = 0 )
    8.      
  8. (2 x ^ {2} -4 x-3 = 0 )
    9.      
  9. (3 x ^ {2} -x + 2 = 0 )
    10.      
  10. (4 x ^ {2} -3 x + 1 = 0 )
    11.      
  11. (5 u ^ {2} -2 u + 1 = 0 )
    12.      
  12. (8 u ^ {2} -20 u + 13 = 0 )
    13.      
  13. (- y ^ {2} +16 y-62 = 0 )
    14.      
  14. (- y ^ {2} +14 y-46 = 0 )
    15.      
  15. (- 2 t ^ {2} +4 t + 3 = 0 )
    16.      
  16. (- 4 t ^ {2} +8 t + 1 = 0 )
    17.      
  17. ( frac {1} {2} y ^ {2} +5 y + frac {3} {2} = 0 )
    18.      
  18. (3 y ^ {2} + frac {1} {2} y- frac {1} {3} = 0 )
    19.      
  19. (2 x ^ {2} – frac {1} {2} x + frac {1} {4} = 0 )
    20.      
  20. (3 x ^ {2} – frac {2} {3} x + frac {1} {3} = 0 )
    21.      
  21. (1.2 x ^ {2} -0.5 x-3.2 = 0 )
    22.      
  22. (0,4 x ^ {2} +2,3 x + 1,1 = 0 )
    23.      
  23. (2.5 x ^ {2} -x + 3.6 = 0 )
    24.      
  24. (- 0.8 x ^ {2} +2.2 x-6.1 = 0 )
    25.      
  25. (- 2 y ^ {2} = 3 (y-1) )
    26.      
  26. (3 y ^ {2} = 5 (2 y-1) )
    27.      
  27. ((t + 1) ^ {2} = 2 t + 7 )
    28.      
  28. ((2 t-1) ^ {2} = 73-4 t )
    29.      
  29. ((x + 5) (x-1) = 2 x + 1 )
    30.      
  30. ((x + 7) (x-2) = 3 (x + 1) )
    31.      
  31. (2 x (x-1) = – 1 )
    32.      
  32. (x (2 x + 5) = 3 x-5 )
    33.      
  33. (3 t (t-2) + 4 = 0 )
    34.      
  34. (5 t (t-1) = t-4 )
    35.      
  35. ((2 x + 3) ^ {2} = 16 x + 4 )
    36.      
  36. ((2 y + 5) ^ {2} -12 (y + 1) = 0 )
    37.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {5 pm sqrt {21}} {2} )

     

3. (- 4 pm sqrt {11} )

     

5. (1 pm 3 i )

     

7. ( frac {5 pm 3 sqrt {3}} {2} )

     

9. ( frac {1} {6} pm frac { sqrt {23}} {6} i )

     

11. ( frac {1} {5} pm frac {2} {5} i )

     

13. (8 pm sqrt {2} )

     

15. ( frac {2 pm sqrt {10}} {2} )

     

17. (- 5 pm sqrt {22} )

     

19. ( frac {1} {8} pm frac { sqrt {7}} {8} i )

     

21. (x approx-1.4 ) o (x approx 1.9 )

     

23. (x aprox 0.2 pm 1.2 i )

     

25. ( frac {-3 pm sqrt {33}} {4} )

     

27. ( pm sqrt {6} )

     

29. (- 1 pm sqrt {7} )

     

31. ( frac {1} {2} pm frac {1} {2} i )

     

33. (1 pm frac { sqrt {3}} {3} i )

     

35. ( frac {1} {2} pm i )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Suponga que (p ) y (q ) son enteros distintos de cero y utilice la fórmula cuadrática para resolver (x ).

 
         
  1. (p x ^ {2} + x + 1 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} + p x + 1 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} + x-p = 0 )
    4.      
  4. (x ^ {2} + p x + q = 0 )
    5.      
  5. (p ^ {2} x ^ {2} +2 p x + 1 = 0 )
    6.      
  6. (x ^ {2} -2 q x + q ^ {2} = 0 )
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x = frac {-1 pm sqrt {1-4 p}} {2 p} )

     

3. (x = frac {-1 pm sqrt {1 + 4 p}} {2} )

     

5. (x = – frac {1} {p} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resolver usando álgebra.

 
         
  1. La altura en pies alcanzada por una pelota de béisbol lanzada hacia arriba a una velocidad de (48 ) pies por segundo desde el suelo está dada por ( (h (t) = – 16 t ^ {2} +48 t ) ), donde (t ) representa el tiempo en segundos después del lanzamiento de la pelota. ¿A qué hora llega el béisbol a (24 ) pies? (Redondear a la décima de segundo más cercana)
    2.      
  2. La altura en pies de un proyectil lanzado hacia arriba a una velocidad de (32 ) pies por segundo desde una altura de (64 ) pies viene dada por ( (h (t) = – 16 t ^ {2} +32 t + 64 ) ). ¿A qué hora después del lanzamiento el proyectil cae al suelo? (Redondear a la décima de segundo más cercana)
    3.      
  3. La ganancia en dólares de operar una línea de ensamblaje que produce uniformes personalizados cada día viene dada por ( (P (t) = – 40 t ^ {2} +960 t-4,000 ) ) donde (t ) representa el número de horas que la línea está en funcionamiento. Determine la cantidad de horas que la línea de ensamblaje debe funcionar para obtener una ganancia de $ (1,760 ) por día.
    4.      
  4. Una empresa manufacturera ha determinado que el ingreso diario R en miles de dólares viene dado por ( (R (n) = 12 n-0.6 n ^ {2} ) ) donde (n ) representa el Número de paletas de producto vendido. Determine la cantidad de paletas que deben venderse para mantener los ingresos en (60 ) mil dólares por día.
    5.      
  5. El área de un rectángulo es (10 ​​) pulgadas cuadradas. Si el largo es (3 ) pulgadas más del doble del ancho, entonces encuentre las dimensiones del rectángulo. (Redondear a la centésima de pulgada más cercana)
    6.      
  6. El área de un triángulo es (2 ) metros cuadrados. Si la base es (2 ) metros menos que la altura, encuentre la base y la altura. (Redondea a la centésima de metro más cercana)
    7.      
  7. Para usar una escalera de manera segura, la base debe colocarse a frac {1} {4} ) del largo de la escalera lejos de la pared. Si una escalera de (32 ) pies se usa de manera segura, entonces, ¿qué tan alto contra un edificio llega la parte superior de la escalera? (Redondea a la décima de pie más cercana)
    8.      
  8. La longitud de un rectángulo es dos veces su ancho. Si la diagonal del rectángulo mide (10 ​​) centímetros, encuentre las dimensiones del rectángulo. (Redondea a la décima de centímetro más cercana.)
    9.      
  9. Suponiendo condiciones de carretera seca y tiempos de reacción promedio, la distancia de parada segura en pies de cierto automóvil viene dada por (d (x) = frac {1} {20} x ^ {2} + x ) donde (x ) representa la velocidad del automóvil en millas por hora. Determine la velocidad segura del automóvil si espera detenerse en (50 ) pies. (Redondea a la milla más cercana por hora)
    10.      
  10. El ancho de un sólido rectangular es (2.2 ) centímetros menos que su longitud y la profundidad mide (10 ​​) centímetros.
    11.  
 

 

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Figura 6.2.1
 
 

Determine la longitud y el ancho si el volumen total del sólido es (268.8 ) centímetros cúbicos.

 

11. Un ejecutivo viajó (25 ) millas en un automóvil y luego otras (30 ) millas en un helicóptero. Si el helicóptero fue (10 ​​) millas por hora menos del doble de rápido que el automóvil y el viaje total tomó (1 ) hora, entonces ¿cuál fue la velocidad promedio del automóvil? (Redondea a la milla más cercana por hora)

 

12. Joe puede pintar una habitación típica en (1,5 ) horas menos que James. Si Joe y James pueden pintar (2 ) habitaciones trabajando juntos en un turno de (8 ) horas, ¿cuánto tiempo le toma a James pintar una habitación individual? (Redondea a la décima de hora más cercana).

 
     
Respuesta
     
     

1. (0.6 ) segundos y (2.4 ) segundos

     

3. (12 ) horas

     

5. Longitud: (6.22 ) pulgadas; anchura; (1.61 ) pulgadas

     

7. (31.0 ) pies

     

9. (23 ) millas por hora

     

11. (42 ) millas por hora

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Calcule el discriminante y úselo para determinar el número y tipo de soluciones. No lo resuelvas.

 
         
  1. (x ^ {2} -x + 1 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} +2 x + 3 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} -2 x-3 = 0 )
    4.      
  4. (x ^ {2} -5 x-5 = 0 )
    5.      
  5. (3 x ^ {2} -1 x-2 = 0 )
    6.      
  6. (3 x ^ {2} -1 x + 2 = 0 )
    7.      
  7. (9 y ^ {2} + 2 = 0 )
    8.      
  8. (9 y ^ {2} -2 = 0 )
    9.      
  9. (2 x ^ {2} +3 x = 0 )
    10.      
  10. (4 x ^ {2} -5 x = 0 )
    11.      
  11. ( frac {1} {2} x ^ {2} -2 x + frac {5} {2} = 0 )
    12.      
  12. ( frac {1} {2} x ^ {2} -x- frac {1} {2} = 0 )
    13.      
  13. (- x ^ {2} -3 x + 4 = 0 )
    14.      
  14. (- x ^ {2} -5 x + 3 = 0 )
    15.      
  15. (25 t ^ {2} +30 t + 9 = 0 )
    16.      
  16. (9 t ^ {2} -12 t + 4 = 0 )
    17.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 3 ); dos soluciones complejas

     

3. (16 ); dos soluciones racionales

     

5. (25 ); dos soluciones racionales

     

7. (- 72 ); dos soluciones complejas

     

9. (9 ); dos soluciones racionales

     

11. (- 1 ); dos soluciones complejas

     

13. (25 ); dos soluciones racionales

     

15. (0 ); Una solución racional

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentre un entero distinto de cero (p ) para que las siguientes ecuaciones tengan una solución real. (Sugerencia: si el discriminante es cero, habrá una solución real).

 
         
  1. (p x ^ {2} -4 x-1 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} -8 x + p = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} + p x + 25 = 0 )
    4.      
  4. (x ^ {2} -2 x + p ^ {2} = 0 )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (p = -4 )

     

3. (p = pm 10 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 
         
  1. Cuando se habla de una ecuación cuadrática en forma estándar (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), ¿por qué es necesario indicar que (a ≠ 0 )? ¿Qué pasaría si a es igual a cero?
    2.      
  2. Investigue y discuta la historia de la fórmula cuadrática y las soluciones a ecuaciones cuadráticas.
    3.      
  3. Resuelve (mx ^ {2} + nx + p = 0 ) para (x ) completando el cuadrado.
    4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 
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