6.2: Funciones exponenciales

Objetivos de aprendizaje

Evalúa funciones exponenciales.
Encuentra la ecuación de una función exponencial.
Usa fórmulas de interés compuesto.
Evalúa funciones exponenciales con base (e ).

India es el segundo país más poblado del mundo con una población de aproximadamente (1.25 ) billones de personas en 2013. La población crece a una tasa de aproximadamente (. 2 % ) cada año. Si esta tasa continúa, la población de India superará a la población de China para el año 2031. Cuando las poblaciones crecen rápidamente, a menudo decimos que el crecimiento es “exponencial”, lo que significa que algo está creciendo muy rápidamente. Para un matemático, sin embargo, el término crecimiento exponencial tiene un significado muy específico. En esta sección, veremos las funciones exponenciales , que modelan este tipo de crecimiento rápido.

Identificación de funciones exponenciales

Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante, un número constante por el cual la producción aumentó para cada unidad de aumento en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación (f (x) = 3x + 4 ), la pendiente nos dice que la salida aumenta en (3 ) cada vez que la entrada aumenta en (1 ). El escenario en el ejemplo de la población de India es diferente porque tenemos un cambio por ciento por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas.

Tabla de contenidos

Definición de una función exponencial

Un estudio encontró que el porcentaje de la población que es vegana en los Estados Unidos se duplicó de 2009 a 2011. En 2011, (2.5 % ) de la población era vegana, y seguía una dieta que no incluía ninguna productos de origen animal: sin carne, pollo, pescado, lácteos o huevos. Si esta tasa continúa, los veganos constituirán el 10% de la población de EE. UU. En 2015, (40 % ) en 2019 y (80 % ) en 2050.

¿Qué significa exactamente crecer exponencialmente ? ¿Qué tiene en común la palabra doble con el aumento porcentual ? La gente lanza estas palabras por error. ¿Se usan estas palabras correctamente? Las palabras ciertamente aparecen con frecuencia en los medios.

El cambio porcentual se refiere a un cambio basado en un por ciento de la cantidad original.
El crecimiento exponencial se refiere a un aumento basado en una tasa de cambio multiplicativa constante en incrementos iguales de tiempo, es decir, un porcentaje aumento del original cantidad con el tiempo.
La disminución exponencial se refiere a una disminución basada en una tasa de cambio multiplicativa constante en incrementos iguales de tiempo, es decir, una disminución por ciento del original cantidad con el tiempo.

Para que podamos obtener una comprensión clara del crecimiento exponencial , comparemos el crecimiento exponencial con el crecimiento lineal . Construiremos dos funciones. La primera función es exponencial. Comenzaremos con una entrada de (0 ), y aumentaremos cada entrada en (1 ). Duplicaremos las salidas consecutivas correspondientes. La segunda función es lineal. Comenzaremos con una entrada de (0 ), y aumentaremos cada entrada en (1 ). Agregaremos (2 ) a las salidas consecutivas correspondientes (Tabla ( PageIndex {1} )).

De la Tabla ( PageIndex {1} ) podemos inferir que para estas dos funciones, el crecimiento exponencial enana el crecimiento lineal.

El crecimiento exponencial se refiere al valor original del rango aumenta en el mismo porcentaje sobre incrementos iguales encontrados en el dominio.
El crecimiento lineal se refiere al valor original del rango aumenta en la misma cantidad sobre incrementos iguales encontrados en el dominio.

Tabla ( PageIndex {1} )
(x )	(f (x) = 2 ^ x )	(g (x) = 2x )
0	1	0
1	2	2
2	4	4
3	8	6
4	16	8
5	32	10
6	64	12

Aparentemente, la diferencia entre “el mismo porcentaje” y “la misma cantidad” es bastante significativa. Para el crecimiento exponencial, en incrementos iguales, la tasa de cambio multiplicativa constante resultó en duplicar la producción cada vez que la entrada aumentaba en uno. Para el crecimiento lineal, la tasa de cambio aditiva constante sobre incrementos iguales resultó en la adición de (2 ) a la salida cada vez que la entrada aumentaba en uno.

La forma general de la función exponencial es (f (x) = ab ^ x ), donde (a ) es cualquier número distinto de cero, (b ) es un real positivo número no igual a (1 ).

Si (b> 1 ), la función crece a una tasa proporcional a su tamaño.
Si (0

Veamos la función (f (x) = 2 ^ x ) de nuestro ejemplo. Crearemos una tabla (Tabla ( PageIndex {2} )) para determinar las salidas correspondientes durante un intervalo en el dominio de (- 3 ) a (3 ).


Tabla ( PageIndex {2} )
(x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )

(f (x) = 2 ^ x )

(2 ^ {- 3} = dfrac {1} {8} )

(2 ^ {- 2} = dfrac {1} {4} )

(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )

(2 ^ 0 = 1 )

(2 ^ 1 = 2 )

(2 ^ 2 = 4 )

(2 ^ 3 = 8 )


Examinemos la gráfica de (f ) trazando los pares ordenados de la Tabla ( PageIndex {2} ) y luego hagamos algunas observaciones ( PageIndex {1} ).

$Graph of Companies A and B’s functions, which values are found in the previous table.$
Figura ( PageIndex {1} )

Vamos a definir el comportamiento de la gráfica de la función exponencial (f (x) = 2 ^ x ) y resaltar algunas de sus características clave.


el dominio es ((- infty, infty) ),

el rango es ((0, infty) ),

como (x rightarrow infty ), (f (x) rightarrow infty ),

como (x rightarrow – infty ), (f (x) rightarrow 0 ),

(f (x) ) siempre está aumentando,

la gráfica de (f (x) ) nunca tocará el eje x porque la base dos elevada a cualquier exponente nunca tiene el resultado de cero.

(y = 0 ) es la asíntota horizontal.

la y -intercepción es (1 ).

Definición: FUNCIÓN EXPONENCIAL

Para cualquier número real (x ), una función exponencial es una función con la forma

[f (x) = ab ^ x ]

donde


(a ) es un número real distinto de cero llamado valor inicial y

(b ) es cualquier número real positivo tal que (b ≠ 1 ).

El dominio de (f ) es todos los números reales.

El rango de (f ) es todos los números reales positivos si (a> 0 ).

El rango de (f ) es todos los números reales negativos si (a <0 ).

La intersección y es ((0, a) ), y la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificación de funciones exponenciales

¿Cuál de las siguientes ecuaciones son no funciones exponenciales?


(f (x) = 4 ^ {3 (x − 2)} )

(g (x) = x ^ 3 )

(h (x) = {( dfrac {1} {3})} ^ x )

(j (x) = {(- 2)} ^ x )

Solución

Por definición, una función exponencial tiene una constante como base y una variable independiente como exponente. Por lo tanto, (g (x) = x ^ 3 ) no representa una función exponencial porque la base es una variable independiente. De hecho, (g (x) = x ^ 3 ) es una función de potencia.

Recuerde que la base (b ) de una función exponencial es siempre una constante positiva, y (b ≠ 1 ). Por lo tanto, (j (x) = {(- 2)} ^ x ) no representa una función exponencial porque la base, (- 2 ), es menor que (0 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representan funciones exponenciales?


(f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 )

(g (x) = {0.875} ^ x )

(h (x) = 1.75x + 2 )

(j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} )


Respuesta


(g (x) = {0.875} ^ x ) y (j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} ) representan funciones exponenciales.

Tabla ( PageIndex {2} )
(x )	(- 3 )	(- 2 )	(- 1 )	(0 )	(1 )	(2 )	(3 )
(f (x) = 2 ^ x )	(2 ^ {- 3} = dfrac {1} {8} )	(2 ^ {- 2} = dfrac {1} {4} )	(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )	(2 ^ 0 = 1 )	(2 ^ 1 = 2 )	(2 ^ 2 = 4 )	(2 ^ 3 = 8 )

Evaluación de funciones exponenciales

Recuerde que la base de una función exponencial debe ser un número real positivo distinto de (1 ). ¿Por qué limitamos la base bb a valores positivos? Para garantizar que las salidas serán números reales. Observe lo que sucede si la base no es positiva:


Sea (b = −9 ) y (x = dfrac {1} {2} ). Entonces (f (x) = f left ( dfrac {1} {2} right) = {(- 9)} ^ { dfrac {1} {2}} = sqrt {−9} ) , que no es un número real.

¿Por qué limitamos la base a valores positivos distintos de (1 )? Porque base (1 ) da como resultado la función constante. Observe lo que sucede si la base es (1 ):


Sea (b = 1 ). Entonces (f (x) = 1 ^ x = 1 ) para cualquier valor de (x ).

Para evaluar una función exponencial con la forma (f (x) = b ^ x ), simplemente sustituimos (x ) con el valor dado y calculamos la potencia resultante. Por ejemplo:

Sea (f (x) = 2 ^ x ). ¿Qué es (f (3) )?

[ begin {align *} f (x) & = 2 ^ x \ f (3) & = 2 ^ 3 qquad text {Substitute} x = 3 \ & = 8 qquad text {Evaluar el poder} end {align *} ]

Para evaluar una función exponencial con una forma diferente a la forma básica, es importante seguir el orden de las operaciones. Por ejemplo:

Sea (f (x) = 30 {(2)} ^ x ). ¿Qué es (f (3) )?

[ begin {align *} f (x) & = 30 {(2)} ^ x \ f (3) & = 30 {(2)} ^ 3 qquad text {Substitute} x = 3 \ & = 30 (8) qquad text {Simplifique la potencia primero} \ & = 240 qquad text {Multiply} end {align *} ]

Tenga en cuenta que si no se siguiera el orden de las operaciones, el resultado sería incorrecto:

[f (3) = 30 {(2)} ^ 3 ≠ {60} ^ 3 = 216,000 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de funciones exponenciales

Sea (f (x) = 5 {(3)} ^ {x + 1} ). Evalúe (f (2) ) sin usar una calculadora.

Solución

Siga el orden de las operaciones. Asegúrese de prestar atención a los paréntesis.

[ begin {align *} f (x) & = 5 {(3)} ^ {x + 1} \ f (2) & = 5 {(3)} ^ {2 + 1} qquad text {Sustituir} x = 2 \ & = 5 {(3)} ^ 3 qquad text {Agregue los exponentes} \ & = 5 (27) qquad text {Simplifique la potencia} \ & = 135 qquad text {Multiplicar} end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Sea (f (x) = 8 {(1.2)} ^ {x − 5} ). Evalúe (f (3) ) usando una calculadora. Redondea a cuatro decimales.


Respuesta


(5.5556 )


Definición del crecimiento exponencial

Debido a que la producción de funciones exponenciales aumenta muy rápidamente, el término “crecimiento exponencial” a menudo se usa en el lenguaje cotidiano para describir cualquier cosa que crece o aumenta rápidamente. Sin embargo, el crecimiento exponencial se puede definir con mayor precisión en un sentido matemático. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, la función modela el crecimiento exponencial.

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

Una función que modela el crecimiento exponencial crece en una proporción proporcional a la cantidad presente. Para cualquier número real (x ) y cualquier número real positivo (a ) y (b ) tal que (b ≠ 1 ), una función de crecimiento exponencial tiene la forma

[f (x) = ab ^ x ]

donde


(a ) es el valor inicial o inicial de la función.

(b ) es el factor de crecimiento o multiplicador de crecimiento por unidad (x ).

En términos más generales, tenemos una función exponencial , en la que una base constante se eleva a un exponente variable. Para diferenciar entre funciones lineales y exponenciales, consideremos dos compañías, A y B. La compañía A tiene (100 ) tiendas y se expande abriendo (50 ) nuevas tiendas al año, por lo que su crecimiento puede ser representado por la función (A (x) = 100 + 50x ). La empresa B tiene (100 ) tiendas y se expande aumentando el número de tiendas en (50 % ) cada año, por lo que su crecimiento puede estar representado por la función (B (x) = 100 {(1 + 0.5 )} ^ x ).

En la Tabla ( PageIndex {3} ) se ilustran algunos años de crecimiento para estas compañías.


Tabla ( PageIndex {3} )
Año, (x ) Tiendas, empresa A Tiendas, empresa B

(0 ) (100 + 50 (0) = 100 ) (100 {(1 + 0.5)} ^ 0 = 100 )
(1 ) (100 + 50 (1) = 150 ) (100 {(1 + 0.5)} ^ 1 = 150 )
(2 ) (100 + 50 (2) = 200 ) (100 {(1 + 0.5)} ^ 2 = 225 )
(3 ) (100 + 50 (3) = 250 ) (100 {(1 + 0.5)} ^ 3 = 337.5 )
(x ) (A (x) = 100 + 50x ) (B (x) = 100 {(1 + 0.5)} ^ x )

Los gráficos que comparan el número de tiendas para cada compañía durante un período de cinco años se muestran en la Figura ( PageIndex {2} ). Podemos ver que, con un crecimiento exponencial, el número de tiendas aumenta mucho más rápidamente que con el crecimiento lineal.

$Graph of Companies A and B’s functions, which values are found in the previous table.$
Figura ( PageIndex {2} ): El gráfico muestra el número de tiendas que las Empresas A y B abrieron durante un período de cinco años.

Observe que el dominio para ambas funciones es ([0, infty) ), y el rango para ambas funciones es ([100, infty) ). Después del año 1, la Compañía B siempre tiene más tiendas que la Compañía A.

Ahora dirigiremos nuestra atención a la función que representa el número de tiendas para la Compañía (B ), (B (x) = 100 {(1 + 0.5)} ^ x ). En esta función exponencial, (100 ) representa el número inicial de tiendas, (0.50 ) representa la tasa de crecimiento y (1 + 0.5 = 1.5 ) representa el factor de crecimiento. Generalizando aún más, podemos escribir esta función como (B (x) = 100 {(1.5)} ^ x ), donde (100 ) es el valor inicial, (1.5 ) se llama la base , y (x ) se denomina exponente .

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Evaluación de un modelo exponencial del mundo real

Al comienzo de esta sección, supimos que la población de la India era de aproximadamente (1,25 ) mil millones en el año 2013, con una tasa de crecimiento anual de aproximadamente (1,2% ). Esta situación está representada por la función de crecimiento (P (t) = 1.25 {(1.012)} ^ t ), donde tt es el número de años desde 2013. Para la milésima más cercana, cuál será la población de India en 2031 ?

Solución

Para estimar la población en 2031, evaluamos los modelos para (t = 18 ), porque 2031 es (18 ) años después de 2013. Redondeando a la milésima más cercana,

[P (18) = 1.25 {(1.012)} ^ 18≈1.549 nonumber ]

Habrá alrededor de (1.549 ) billones de personas en India en el año 2031.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

La población de China era de aproximadamente (1,39 ) mil millones en el año 2013, con una tasa de crecimiento anual de aproximadamente (0,6% ). Esta situación está representada por la función de crecimiento (P (t) = 1.39 {(1.006)} ^ t ), donde (t ) es el número de años desde 2013. Para la milésima más cercana, ¿cuál será la población de ¿China será para el año 2031? ¿Cómo se compara esto con la predicción de población que hicimos para India en el Ejemplo ( PageIndex {3} )?


Respuesta


Aproximadamente (1,548 ) billones de personas; para el año 2031, la población de India superará a la de China en aproximadamente (0.001 ) billones, o (1 ) millones de personas.


Encontrar ecuaciones de funciones exponenciales

En los ejemplos anteriores, se nos asignó una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada dada. A veces se nos da información sobre una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos usar la información para escribir primero la forma de la función, luego determinar las constantes (a, a ) y (b, b ), y evaluar la función.

Cómo: dados dos puntos de datos, escribir un modelo exponencial


Si uno de los puntos de datos tiene la forma ((0, a) ), entonces (a ) es el valor inicial. Usando (a ), sustituya el segundo punto en la ecuación (f (x) = a {(b)} ^ x ), y resuelva (b ).

Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ((0, a) ), sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma (f (x) = a {(b)} ^ x ). Resuelve el sistema resultante de dos ecuaciones en dos incógnitas para encontrar (a ) y (b ).

Usando (a ) y (b ) que se encuentran en los pasos anteriores, escriba la función exponencial en la forma (f (x) = a {(b)} ^ x ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Escribir un modelo exponencial cuando se conoce el valor inicial

En 2006, (80 ) venados fueron introducidos en un refugio de vida silvestre. Para 2012, la población había crecido a (180 ) ciervos. La población estaba creciendo exponencialmente. Escriba una función algebraica (N (t) ) que represente la población ((N) ) del venado a lo largo del tiempo (t ).

Solución

Permitimos que nuestra variable independiente (t ) sea el número de años después de 2006. Por lo tanto, la información dada en el problema puede escribirse como pares de entrada-salida: (0, 80) y (6, 180). Observe que al elegir nuestra variable de entrada que se medirá como años después de 2006, nos hemos dado el valor inicial para la función, (a = 80 ). Ahora podemos sustituir el segundo punto en la ecuación (N (t) = 80b ^ t ) para encontrar (b ):

[ begin {align *} N (t) & = 80b ^ t \ 180 & = 80b ^ 6 qquad text {Sustituir usando el punto} (6, 180) \ dfrac {9} {4 } & = b ^ 6 qquad text {Divide y escribe en los términos más bajos} \ b & = { left ( dfrac {9} {4} right)} ^ { tfrac {1} {6}} qquad text {Aislar b usando propiedades de exponentes} \ b & aprox 1.1447 qquad text {Redondear a 4 decimales} end {align *} ]

A menos que se indique lo contrario, no redondee ningún cálculo intermedio. Luego redondea la respuesta final a cuatro lugares para el resto de esta sección.

El modelo exponencial para la población de ciervos es (N (t) = 80 {(1.1447)} ^ t ). (Tenga en cuenta que esta función exponencial modela el crecimiento a corto plazo. A medida que las entradas se hacen más grandes, la salida se hará cada vez más grande, tanto que el modelo puede no ser útil a largo plazo).

Podemos graficar nuestro modelo para observar el crecimiento de la población de ciervos en el refugio a lo largo del tiempo. Observe que el gráfico en la Figura ( PageIndex {3} ) pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ((0, 80) ) y ((6, 180) ). También podemos ver que el dominio para la función es ([0, infty) ), y el rango para la función es ([80, infty) ).

$Graph of the exponential function, N(t) = 80(1.1447)^t, with labeled points at (0, 80) and (6, 180).$
Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico que muestra la población de ciervos a lo largo del tiempo, (N (t) = 80 {(1.1447)} ^ t ), (t ) años después de 2006

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Una población de lobos está creciendo exponencialmente. En 2011, se contaron (129 ) lobos. Para 2013, la población había alcanzado (236 ) lobos. ¿Qué dos puntos se pueden usar para derivar una ecuación exponencial que modele esta situación? Escribe la ecuación que representa la población (N ) de lobos a lo largo del tiempo (t ).


Respuesta


((0,129) ) y ((2,236) ); (N (t) = 129 {(1.3526)} ^ t )


Ejemplo ( PageIndex {5} ): Escribir un modelo exponencial cuando no se conoce el valor inicial

Encuentra una función exponencial que pase por los puntos ((- 2,6) ) y ((2,1) ).

Solución

Debido a que no tenemos el valor inicial, sustituimos ambos puntos en una ecuación de la forma (f (x) = ab ^ x ), y luego resolvemos el sistema para (a ) y ( si).


Sustituyendo ((- 2,6) ) da (6 = ab ^ {- 2} )

Sustituyendo ((2,1) ) da (1 = ab ^ 2 )

Usa la primera ecuación para resolver (a ) en términos de (b ):

[ begin {align *} 6 & = ab ^ {- 2} \ dfrac {6} {b ^ {- 2}} & = a qquad text {Divide} \ a & = 6b ^ 2 qquad text {Usar las propiedades de los exponentes para reescribir el denominador} end {align *} ]

Sustituye a en la segunda ecuación y resuelve (b ):

[ begin {align *} 1 & = ab ^ {2} \ 1 & = 6b ^ 2 b ^ 2 \ & = 6b ^ 4 qquad text {Sustituya a} \ b & = left ( dfrac {1} {6} right) ^ { tfrac {1} {4}} qquad text {Alrededor de 4 decimales reescribe el denominador} \ b & aprox 0.6389 end {align *} ] [ 19459003]

Usa el valor de (b ) en la primera ecuación para resolver el valor de (a ):

[ begin {align *} a & = 6b ^ {2} \ & approx 6 (0.6389) ^ 2 \ & approx 2.4492 end {align *} ]

Por lo tanto, la ecuación es (f (x) = 2.4492 {(0.6389)} ^ x ).

Podemos graficar nuestro modelo para verificar nuestro trabajo. Observe que el gráfico en la Figura ( PageIndex {4} ) pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ((- 2, 6) ) y ((2, 1) ). El gráfico es un ejemplo de una función de disminución exponencial.

$Graph of the exponential function, f(x)=2.4492(0.6389)^x, with labeled points at (-2, 6) and (2, 1).$
Figura ( PageIndex {4} ): La gráfica de (f (x) = 2.4492 {(0.6389)} ^ x ) modela la disminución exponencial.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Dados los dos puntos ((1,3) ) y ((2,4.5) ), encuentre la ecuación de la función exponencial que pasa por estos dos puntos.


Respuesta


(f (x) = 2 {(1.5)} ^ x )


P y R: ¿Dos puntos siempre determinan una función exponencial única?

Sí, siempre que los dos puntos estén ambos sobre el eje x o ambos debajo del eje x y tengan diferentes coordenadas x. Pero tenga en cuenta que también necesitamos saber que el gráfico es, de hecho, una función exponencial. No todos los gráficos que parecen exponenciales son realmente exponenciales. Necesitamos saber que el gráfico se basa en un modelo que muestra el mismo porcentaje de crecimiento con cada aumento de unidad en (x ), que en muchos casos del mundo real implica tiempo.

Cómo: dada la gráfica de una función exponencial, escriba su ecuación


Primero, identifica dos puntos en el gráfico. Elija la (y ): intercepte como uno de los dos puntos siempre que sea posible. Intente elegir puntos que estén lo más separados posible para reducir el error de redondeo.

Si uno de los puntos de datos es (y ) – intercepción ((0, a) ), entonces (a ) es el valor inicial. Usando (a ), sustituya el segundo punto en la ecuación (f (x) = a {(b)} ^ x ), y resuelva (b )

Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ((0, a) ), sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma (f (x) = a {(b)} ^ x ). Resuelve el sistema resultante de dos ecuaciones en dos incógnitas para encontrar (a ) y (b ).

Escribe la función exponencial, (f (x) = a {(b)} ^ x ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Escribir una función exponencial dada su gráfica

Encuentre una ecuación para la función exponencial graficada en la Figura ( PageIndex {5} ).

$Graph of an increasing exponential function with notable points at (0, 3) and (2, 12).$
Figura ( PageIndex {5} )

Solución

Podemos elegir la (y ) -intercepción de la gráfica, ((0,3) ), como nuestro primer punto. Esto nos da el valor inicial, (a = 3 ). Luego, elija un punto en la curva a cierta distancia de ((0,3) ) que tenga coordenadas enteras. Uno de esos puntos es ((2,12) ).

[ begin {align *} y & = ab ^ x qquad text {Escriba la forma general de una ecuación exponencial} \ y & = 3b ^ x qquad text {Sustituya el valor inicial} 3 text {para} a \ 12 & = 3b ^ 2 qquad text {Sustituya en 12 por} y text {y} 2 text {for} x \ 4 & = b ^ 2 qquad text {Dividir por} 3 \ b & = pm 2 qquad text {Sacar la raíz cuadrada} end {align *} ]

Debido a que nos restringimos a valores positivos de (b ), usaremos (b = 2 ). Sustituya (a ) y (b ) en la forma estándar para obtener la ecuación (f (x) = 3 {(2)} ^ x ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre una ecuación para la función exponencial graficada en la Figura ( PageIndex {6} ).

$Graph of an increasing function with a labeled point at (0, sqrt(2)).$
Figura ( PageIndex {6} )


Respuesta


(f (x) = sqrt {2} {( sqrt {2})} ^ x ). Las respuestas pueden variar debido a un error de redondeo. La respuesta debe estar muy cerca de (1.4142 {(1.4142)} ^ x ).


Cómo: dados dos puntos en la curva de una función exponencial, usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación


Presione [STAT].

Borre todas las entradas existentes en las columnas L1 o L2.

En L1 , ingrese las coordenadas x proporcionadas.

En L2 , ingrese las coordenadas y correspondientes.

Presione [STAT] nuevamente. Cursor derecho a CALC , desplácese hacia abajo hasta ExpReg (Regresión exponencial) , y presione [ENTER].

La pantalla muestra los valores de a y b en la ecuación exponencial (y = a⋅b ^ x ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso de una calculadora gráfica para encontrar una función exponencial

Usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación exponencial que incluye los puntos ((2,24.8) ) y ((5,198.4) ).

Solución

Siga las pautas anteriores. Primero presione [STAT] , [EDIT] , [1: Edit…], y borre las listas L1 y L2 . Luego, en la columna L1 , ingrese las coordenadas (x ), (2 ) y (5 ). Haga lo mismo en la columna L2 para las coordenadas (y ), (24.8 ) y (198.4 ).

Ahora presione [STAT] , [CALC] , [0: ExpReg] y presione [ENTER] . Se mostrarán los valores (a = 6.2 ) y (b = 2 ). La ecuación exponencial es (y = 6.2⋅2 ^ x ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación exponencial que incluye los puntos ((3, 75.98) ) y ((6, 481.07) ).


Respuesta


(y≈12⋅ {1.85} ^ x )


Aplicación de la fórmula de interés compuesto

Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos mutuos y las cuentas de jubilación, utilizan interés compuesto . El término capitalización se refiere a los intereses ganados no solo por el valor original, sino también por el valor acumulado de la cuenta.

La tasa de porcentaje anual (APR) de una cuenta, también llamada tasa nominal , es la tasa de interés anual obtenida por una cuenta de inversión. El término nominal se utiliza cuando la capitalización se produce varias veces, una vez al año. De hecho, cuando el interés se capitaliza más de una vez al año, la tasa de interés efectiva termina siendo mayor que la tasa nominal. Esta es una herramienta poderosa para invertir.

Podemos calcular el interés compuesto usando la fórmula de interés compuesto, que es una función exponencial de las variables tiempo (t ), principal (P ), (APR ) (r ) y número de períodos compuestos en un año (n ):

[A (t) = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} nonumber ]

Por ejemplo, observe la Tabla ( PageIndex {4} ), que muestra el resultado de invertir ($ 1,000 ) en (10% ) durante un año. Observe cómo aumenta el valor de la cuenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización.


Tabla ( PageIndex {4} )
Frecuencia Valor después de (1 ) año

Anualmente ($ 1100 )
Semestralmente ($ 1102.50 )
Trimestralmente ($ 1103.81 )
Mensual ($ 1104.71 )
Diario ($ 1105.16 )

Definición: LA FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto se puede calcular usando la fórmula

[A (t) = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} ]

donde


(A (t) ) es el valor de la cuenta,

(t ) se mide en años,

(P ) es el monto inicial de la cuenta, a menudo llamado principal, o más generalmente el valor presente,

(r ) es la tasa de porcentaje anual (APR) expresada como decimal, y

(n ) es el número de períodos compuestos en un año.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Cálculo del interés compuesto

Si invertimos ($ 3,000 ) en una cuenta de inversión que paga (3% ) intereses compuestos trimestralmente, ¿cuánto valdrá la cuenta en (10 ) años?

Solución

Porque comenzamos con ($ 3,000 ), (P = 3000 ). Nuestra tasa de interés es (3% ), entonces (r = 0.03 ). Debido a que estamos capitalizando trimestralmente, estamos capitalizando (4 ) veces por año, entonces (n = 4 ). Queremos saber el valor de la cuenta en (10 ) años, por lo que estamos buscando (A (10) ), el valor cuando (t = 10 ).

[ begin {align *} A (t) & = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} qquad text {Use la fórmula de interés compuesto } \ A (10) & = 3000 { left (1+ dfrac {0.03} {4} right)} ^ {(4) cdot (10)} qquad text {Sustituir usando los valores dados} & approx $ 4045.05 qquad text {Redondear a dos decimales} end {align *} ]

La cuenta tendrá un valor aproximado de ($ 4,045.05 ) en (10 ) años.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Una inversión inicial de ($ 100,000 ) a (12% ) interés se capitaliza semanalmente (use (52 ) semanas en un año). ¿Cuánto valdrá la inversión en (30 ) años?


Respuesta


about ($3,644,675.88)


Example (PageIndex{9}): Using the Compound Interest Formula to Solve for the Principal

A 529 Plan is a college-savings plan that allows relatives to invest money to pay for a child’s future college tuition; the account grows tax-free. Lily wants to set up a 529 account for her new granddaughter and wants the account to grow to ($40,000) over (18) years. She believes the account will earn (6%) compounded semi-annually (twice a year). To the nearest dollar, how much will Lily need to invest in the account now?

Solución

The nominal interest rate is (6%), so (r=0.06). Interest is compounded twice a year, so (k=2).

We want to find the initial investment, (P), needed so that the value of the account will be worth ($40,000) in (18) years. Substitute the given values into the compound interest formula, and solve for (P).

[begin{align*} A(t)&= P{left (1+dfrac{r}{n} right )}^{nt} qquad text{Use the compound interest formula}\ 40,000&= P{left (1+dfrac{0.06}{2} right )}^{2(18)} qquad text{Substitute using given values } A, r, n, t\ 40,000&= P{(1.03)}^{36} qquad text{Simplify}\ dfrac{40,000}{ {(1.03)}^{36} }&= P qquad text{Isolate } P\ P&approx $13,801 qquad text{Divide and round to the nearest dollar} end{align*}]

Lily will need to invest ($13,801) to have ($40,000) in (18) years.

Exercise (PageIndex{9})

Refer to Example (PageIndex{9}). To the nearest dollar, how much would Lily need to invest if the account is compounded quarterly?


Answer


($13,693)


Evaluating Functions with Base (e)

As we saw earlier, the amount earned on an account increases as the compounding frequency increases. Table (PageIndex{5}) shows that the increase from annual to semi-annual compounding is larger than the increase from monthly to daily compounding. This might lead us to ask whether this pattern will continue.

Examine the value of ($1) invested at (100%) interest for (1) year, compounded at various frequencies, listed in Table (PageIndex{5}).



Table (PageIndex{5})

Frequency (A(t)={left (1+dfrac{1}{n} right )}^n) Value

Annually ({left (1+dfrac{1}{1} right )}^1) ($2)
Semiannually ({left (1+dfrac{1}{2} right )}^2) ($2.25)
Quarterly ({left (1+dfrac{1}{4} right )}^4) ($2.441406)
Monthly ({left (1+dfrac{1}{12} right )}^{12}) ($2.613035)
Daily ({left (1+dfrac{1}{365} right )}^{365}) ($2.714567)
Hourly ({left (1+dfrac{1}{8760} right )}^{8760}) ($2.718127)
Once per minute ({left (1+dfrac{1}{525600} right )}^{525600}) ($2.718279)
Once per second ({left (1+dfrac{1}{31536000} right )}^{31536000}) ($2.718282)

These values appear to be approaching a limit as (n) increases without bound. In fact, as (n) gets larger and larger, the expression ({left (1+dfrac{1}{n} right )}^n) approaches a number used so frequently in mathematics that it has its own name: the letter (e). This value is an irrational number, which means that its decimal expansion goes on forever without repeating. Its approximation to six decimal places is shown below.

Definition: THE NUMBER (E)

The letter (e) represents the irrational number

[{left (1+dfrac{1}{n} right )}^n]

as (n) increases without bound

The letter (e) is used as a base for many real-world exponential models. To work with base (e), we use the approximation, (e≈2.718282). The constant was named by the Swiss mathematician Leonhard Euler (1707–1783) who first investigated and discovered many of its properties.

Example (PageIndex{10}): Using a Calculator to Find Powers of (e)

Calculate (e^{3.14}). Round to five decimal places.

Solución

On a calculator, press the button labeled ([e^x]). The window shows ([e {}^( ]). Type (3.14) and then close parenthesis, ([)]). Press [ENTER]. Rounding to (5) decimal places, (e^{3.14}≈23.10387). Caution: Many scientific calculators have an “Exp” button, which is used to enter numbers in scientific notation. It is not used to find powers of (e).

Exercise (PageIndex{10})

Use a calculator to find (e^{−0.5}). Round to five decimal places.


Answer


(e^{−0.5}≈0.60653)


Investigating Continuous Growth

So far we have worked with rational bases for exponential functions. For most real-world phenomena, however, (e) is used as the base for exponential functions. Exponential models that use (e) as the base are called continuous growth or decay models. We see these models in finance, computer science, and most of the sciences, such as physics, toxicology, and fluid dynamics.

Definition: THE CONTINUOUS GROWTH/DECAY FORMULA

For all real numbers (t),and all positive numbers (a) and (r),continuous growth or decay is represented by the formula

[A(t)=ae^{rt}]

donde


(a) is the initial value,

(r) is the continuous growth rate per unit time,

(t) is the elapsed time.

If (r>0) , then the formula represents continuous growth. If (r<0), then the formula represents continuous decay.

For business applications, the continuous growth formula is called the continuous compounding formula and takes the form

[A(t)=Pe^{rt}]

donde


(P) is the principal or the initial invested,

(r) is the growth or interest rate per unit time,

(t) is the period or term of the investment.

How to: Given the initial value, rate of growth or decay, and time (t), solve a continuous growth or decay function


Use the information in the problem to determine (a), the initial value of the function.

Use the information in the problem to determine the growth rate (r).

If the problem refers to continuous growth, then (r>0).

If the problem refers to continuous decay, then (r<0).



Use the information in the problem to determine the time (t).

Substitute the given information into the continuous growth formula and solve for (A(t)).

Example (PageIndex{11}): Calculating Continuous Growth

A person invested ($1,000) in an account earning a nominal (10%) per year compounded continuously. How much was in the account at the end of one year?

Solución

Since the account is growing in value, this is a continuous compounding problem with growth rate (r=0.10). The initial investment was ($1,000), so (P=1000). We use the continuous compounding formula to find the value after (t=1) year:

[begin{align*} A(t)&= Pe^{rt} qquad text{Use the continuous compounding formula}\ &= 1000{(e)}^{0.1} qquad text{Substitute known values for } P, r, t\ &approx 1105.17 qquad text{Use a calculator to approximate} end{align*}]

The account is worth ($1,105.17) after one year.

Exercise (PageIndex{11})

A person invests ($100,000) at a nominal (12%) interest per year compounded continuously. What will be the value of the investment in (30) years?


Answer


($3,659,823.44)


Example (PageIndex{12}): Calculating Continuous Decay

(Radon-222) decays at a continuous rate of (17.3%) per day. How much will (100 mg) of (Radon-222) decay to in (3) days?

Solución

Since the substance is decaying, the rate, (17.3%), is negative. So, (r = −0.173). The initial amount of (Radon-222) was (100) mg, so (a=100). We use the continuous decay formula to find the value after (t=3) days:

[begin{align*} A(t)&= ae^{rt} qquad text{Use the continuous growth formula}\ &= 100e6{-0.173(3)} qquad text{Substitute known values for } a, r, t\ &approx 59.5115 qquad text{Use a calculator to approximate} end{align*}]

So (59.5115) mg of (Radon-222) will remain.

Exercise (PageIndex{12})

Using the data in Example (PageIndex{12}), how much (Radon-222) will remain after one year?


Answer


(3.77E-26) (This is calculator notation for the number written as (3.77×10^{−26}) in scientific notation. While the output of an exponential function is never zero, this number is so close to zero that for all practical purposes we can accept zero as the answer.)


Medios

Access these online resources for additional instruction and practice with exponential functions.

Key Equations


definition of the exponential function (f(x)=b^x), where (b>0), (b≠1)
definition of exponential growth (f(x)=ab^x), where (a>0), (b>0), (b≠1)
compound interest formula
(A(t)=P{(1+dfrac{r}{n})}^{nt}) ,

where (A(t)) is the account value at time (t)

(t) is the number of years

(P) is the initial investment, often called the principal

(r) is the annual percentage rate (APR), or nominal rate

(n) is the number of compounding periods in one year

continuous growth formula (A(t)=ae^{rt}), where (t) is the number of unit time periods of growth (a) is the starting amount (in the continuous compounding formula a is replaced with (P), the principal) (e) is the mathematical constant, (e≈2.718282)

Key Concepts


An exponential function is defined as a function with a positive constant other than (1) raised to a variable exponent. See Example .

A function is evaluated by solving at a specific value. See Example and Example .

An exponential model can be found when the growth rate and initial value are known. See Example .

An exponential model can be found when the two data points from the model are known. See Example .

An exponential model can be found using two data points from the graph of the model. See Example .

An exponential model can be found using two data points from the graph and a calculator. See Example .

The value of an account at any time (t) can be calculated using the compound interest formula when the principal, annual interest rate, and compounding periods are known. See Example .

The initial investment of an account can be found using the compound interest formula when the value of the account, annual interest rate, compounding periods, and life span of the account are known. See Example .

The number (e) is a mathematical constant often used as the base of real world exponential growth and decay models. Its decimal approximation is (e≈2.718282).

Scientific and graphing calculators have the key ([ex]) or ([exp(x)]) for calculating powers of (e). See Example .

Continuous growth or decay models are exponential models that use (e) as the base. Continuous growth and decay models can be found when the initial value and growth or decay rate are known. See Example and Example .