Factoriza el mayor factor común de un polinomio
A veces es útil representar un número como producto de factores, por ejemplo, 12 como (2 · 6 ) o (3 · 4 ). En álgebra, también puede ser útil representar un polinomio en forma factorizada. Comenzaremos con un producto, como (3x ^ 2 + 15x ), y terminaremos con sus factores, (3x (x + 5) ). Para hacer esto, aplicamos la Propiedad Distributiva “a la inversa”.
Enunciamos la propiedad distributiva aquí tal como la viste en capítulos anteriores y “al revés”.
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Si a , b y c son números reales, entonces
[a (b + c) = ab + ac quad text {y} quad ab + ac = a (b + c) nonumber ]
El formulario de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.
Entonces, ¿cómo se usa la propiedad distributiva para factorizar un polinomio ? ¡Simplemente encuentra el MCD de todos los términos y escribe el polinomio como producto!
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Cómo usar la propiedad distributiva para factorizar un polinomio
Factor: (8m ^ 3−12m ^ 2n + 20mn ^ 2 ).
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Factor: (9xy ^ 2 + 6x ^ 2y ^ 2 + 21y ^ 3 ).
- Respuesta
-
(3y ^ 2 (3x + 2x ^ 2 + 7y) )
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Factor: (3p ^ 3−6p ^ 2q + 9pq ^ 3 ).
- Respuesta
-
(3p (p ^ 2−2pq + 3q ^ 2) )
FACTOR EL MAYOR FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO.
- Encuentre el MCD de todos los términos del polinomio.
- Reescribe cada término como un producto usando el GCF.
- Usa la propiedad distributiva “inversa” para factorizar la expresión.
- Verifica multiplicando los factores.
FACTOR COMO NOMBRE Y VERBO
Utilizamos “factor” como sustantivo y verbo:
[ begin {array} {ll} text {Sustantivo:} & hspace {50mm} 7 text {es un factor de} 14 \ text {Verb:} & hspace {50mm} text {factor} 3 text {from} 3a + 3 end {array} nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Factor: (5x ^ 3−25x ^ 2 ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Factor: (2x ^ 3 + 12x ^ 2 ).
- Respuesta
-
(2x ^ 2 (x + 6) )
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Factor: (6y ^ 3−15y ^ 2 ).
- Respuesta
-
(3y ^ 2 (2y − 5) )
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Factor: (8x ^ 3y − 10x ^ 2y ^ 2 + 12xy ^ 3 ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Factor: (15x ^ 3y − 3x ^ 2y ^ 2 + 6xy ^ 3 ).
- Respuesta
-
(3xy (5x ^ 2 − xy + 2y ^ 2) )
Ejemplo ( PageIndex {12} )
Factor: (8a ^ 3b + 2a ^ 2b ^ 2−6ab ^ 3 ).
- Respuesta
-
(2ab (4a ^ 2 + ab − 3b ^ 2) )
Cuando el coeficiente principal es negativo, factorizamos el negativo como parte del MCD.
Ejemplo ( PageIndex {13} )
Factor: (- 4a ^ 3 + 36a ^ 2−8a ).
- Respuesta
-
El coeficiente principal es negativo, por lo que el MCD será negativo.
Reescribe cada término usando el MCD, (- 4a ). 
Factoriza el MCD. 
Verificación:
[- 4a (a ^ 2−9a + 2) nonumber ]
[- 4a · a ^ 2 – (- 4a) · 9a + (- 4a) · 2 nonumber ]
[- 4a ^ 3 + 36a ^ 2−8a marca de verificación nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {14} )
Factor: (- 4b ^ 3 + 16b ^ 2−8b ).
- Respuesta
-
(- 4b (b ^ 2−4b + 2) )
Ejemplo ( PageIndex {15} )
Factor: (- 7a ^ 3 + 21a ^ 2−14a ).
- Respuesta
-
(- 7a (a ^ 2−3a + 2) )
Hasta ahora, nuestros mayores factores comunes han sido los monomios. En el siguiente ejemplo, el mayor factor común es un binomio.
Ejemplo ( PageIndex {16} )
Factor: (3y (y + 7) −4 (y + 7) ).
- Respuesta
-
El MCD es el binomio (y + 7 ).
Factoriza el MCD, ((y + 7) ). 
Comprueba tu mismo multiplicando.
Ejemplo ( PageIndex {17} )
Factor: (4m (m + 3) −7 (m + 3) ).
- Respuesta
-
((m + 3) (4m − 7) )
Ejemplo ( PageIndex {18} )
Factor: (8n (n − 4) +5 (n − 4) ).
- Respuesta
-
((n − 4) (8n + 5) )