6.2: Resolver ecuaciones no lineales

6.2: Resolver ecuaciones no lineales

Comenzamos presentando una propiedad que se utilizará ampliamente en esta y en las secciones futuras.

Usemos la propiedad del producto cero para resolver algunas ecuaciones.

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelva para (x ): ((x + 3) (x-5) = 0 )

 

Solución

 

El producto de dos factores es igual a cero.

 

[(x + 3) (x-5) = 0 no número ]

 

Por lo tanto, al menos uno de los factores debe ser igual a cero. Usando la propiedad del producto cero, configure cada factor igual a cero, luego resuelva las ecuaciones resultantes para (x ).

 

[ begin {alineado} x + 3 & = 0 \ x & = – 3 end {alineado} nonumber ]

 

o

 

[ begin {alineado} x-5 & = 0 \ x & = 5 end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones son (x = −3 ) y (x = 5 )

 

Verificación:

 

Verifique que cada solución satisfaga la ecuación original.

 

Sustituye (- 3 ) por (x ):

 

[ begin {alineado} (x + 3) (x-5) & = 0 \ (- 3 + 3) (- 3-5) & = 0 \ (0) (- 8) & = 0 \ 0 & = 0 end {alineado} nonumber ]

 

Sustituye (5 ) por (x ):

 

[ begin {alineado} (x + 3) (x-5) & = 0 \ (5 + 3) (5-5) & = 0 \ (8) (0) & = 0 0 & = 0 end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que cada verificación produce una declaración verdadera, tanto (x = −3 ) como (x = 5 ) son soluciones de ((x + 3) (x − 5) = 0 ).

 

La propiedad del producto cero también funciona igualmente bien si hay más de dos factores presentes. Por ejemplo, si (abc = 0 ), entonces (a = 0 ) o (b = 0 ) o (c = 0 ). Usemos esta idea en el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resolver para (x ): (x (2x + 9) (3x − 5) = 0 )

 

Solución

 

El producto de tres factores es igual a cero.

 

[x (2x + 9) (3x − 5) = 0 no número ]

 

Usando la propiedad del producto cero, configure cada factor igual a cero, luego resuelva las ecuaciones resultantes para (x ).

 

[x = 0 nonumber ]

 

o

 

[ begin {align *} 2x + 9 & = 0 \ 2x & = -9 \ x & = – dfrac {9} {2} end {align *} nonumber ] [19459003 ]  

o

 

[ begin {align *} 3x – 5 & = 0 \ 3x & = 5 \ x & = dfrac {5} {3} end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones son (x = 0 ), (x = −9/2 ) y (x = 5/3 ). Alentamos al lector a verificar la solución.

 

Lineal versus no lineal

 

Todas las ecuaciones resueltas en capítulos anteriores eran ejemplos de lo que se llama ecuaciones lineales. Si la potencia más alta de la variable que estamos resolviendo es una, entonces los gráficos involucrados son líneas. De ahí el término, ecuación lineal. Sin embargo, si el poder en la variable que estamos resolviendo excede uno, entonces los gráficos involucrados son curvas. De ahí el término, ecuación no lineal. En este capítulo aprenderemos cómo resolver ecuaciones no lineales que involucran polinomios. Sin embargo, primero asegurémonos de que podemos reconocer la diferencia entre una ecuación lineal y una no lineal.

 
 

Lineal versus no lineal

 

Use las siguientes condiciones para determinar si una ecuación es lineal o no lineal.

 
         
  1. Si la potencia más alta de la variable que estamos resolviendo es una, entonces la ecuación es lineal .
  2.      
  3. Si la potencia más alta de la variable que estamos resolviendo es mayor que uno, entonces la ecuación es no lineal .
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Si la instrucción es «resolver para (x )», clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales.

 
         
  1. (3x − 5 = 4−7x )
  2.      
  3. (x ^ 2 = 8x )
  4.  
 

Solución

 

Debido a que la instrucción es «resolver para (x )», para determinar si la ecuación es lineal o no lineal, identificamos la mayor potencia de (x ) presente en la ecuación.

 
         
  1. La potencia más alta de (x ) presente en la ecuación (3x− 5 = 4− 7x ) es uno. Por lo tanto, esta ecuación es lineal.
  2.      
  3. La ecuación (x ^ 2 = 8 x ) contiene una potencia de (x ) mayor que uno (contiene una (x ^ 2 )). Por lo tanto, esta ecuación es no lineal.
  4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Clasifique la siguiente ecuación como lineal o no lineal: (2x = x ^ 3 −4 )

 
     
Respuesta
     
     

no lineal

     
 
 
 

Ahora que podemos clasificar las ecuaciones como lineal o no lineal , vamos a introducir estrategias para resolver cada tipo, la primera de las cuales ya debería ser familiar.

 
 

Estrategia para resolver una ecuación lineal

 

Si una ecuación es lineal , comience el proceso de solución moviendo todos los términos que contienen la variable que está resolviendo a un lado de la ecuación, luego mueva todos los términos que no contengan la variable estás resolviendo al otro lado de la ecuación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resolver para (x ): (3 x − 5 = 4−7x )

 

Solución

 

Debido a que la instrucción es «resolver para (x )» y observamos que la mayor potencia de (x ) presente es una, la ecuación (3x − 5 = 4−7x ) es lineal. Por lo tanto, la estrategia es mover todos los términos que contienen (x ) a un lado de la ecuación, luego mover todos los términos restantes al otro lado de la ecuación.

 

[ begin {array} {rlrl} {3 x-5} & {= 4-7 x} & { color {Red} text {Ecuación original. }} \ {3 x-5 + 7 x} & {= 4} & { color {Red} text {Add} 7 x text {a ambos lados. }} \ {3 x + 7 x} & {= 4 + 5} y { color {Red} text {Add} 5 text {a ambos lados. }} end {array} nonumber ]

 

Observe cómo hemos logrado mover todos los términos que contienen (x ) a un lado de la ecuación y todos los términos que no contienen (x ) al otro lado de la ecuación.

 

[ begin {array} {rlrl} {10 x} & {= 9} & {} & { color {Red} text {Simplifique ambos lados. }} \ {x} & {= dfrac {9} {10}} & {} y { color {Red} text {Divide ambos lados entre} 10.} end {array} nonumber ] [ 19459003]  

Por lo tanto, la solución de (3x − 5 = 4−7x ) es (x = 9/10 ). Se alienta a los lectores a verificar esta solución.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Agregue texto de ejercicios aquí.

 
     
Respuesta
     
     

(1/4 )

     
 
 
 

La situación es muy diferente cuando la ecuación es no lineal.

 
 

Estrategia para resolver una ecuación no lineal

 

Si una ecuación es no lineal , primero mueva todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado de la ecuación sea igual a cero. Continúe el proceso de solución factorizando y aplicando la propiedad del producto cero .

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resolver para (x ): (x ^ 2 = 8x )

 

Solución

 

Debido a que la instrucción es «resolver para (x )» y la potencia más alta de (x ) es mayor que uno, la ecuación (x ^ 2 = 8x ) no es lineal. Por lo tanto, la estrategia requiere que muevamos todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea cero.

 

[ begin {array} {rlrl} {x ^ {2}} & {= 8 x} quad { color {Red} text {Ecuación original. }} \ {x ^ {2} -8 x} & {= 0} quad { color {Red} text {Restar} 8 x text {de ambos lados. }} end {array} nonumber ]

 

Observe cómo hemos logrado mover todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero. Para terminar la solución, factorizamos el ( mathrm {GCF} ) en el lado izquierdo.

 

[x (x-8) = 0 quad color {Red} text {Factoriza el GCF.} Nonumber ]

 

Tenga en cuenta que ahora tenemos un producto de dos factores que es igual a cero. Por la propiedad del producto cero, el primer factor es cero o el segundo factor es cero.

 

[ begin {array} {r} {x = 0 quad text {or} quad x-8 = 0} \ {x = 8} end {array} nonumber ] [19459003 ]  

Por lo tanto, las soluciones son (x = 0 ) y (x = 8 ).

 

Verificación:

 

Verifique que cada solución satisfaga la ecuación original.

 

[ begin {array} {l} { text {Substitute} 0 text {for} x:} \ { qquad begin {alineado} x ^ {2} & = 8 x \ ( 0) ^ {2} & = 8 (0) \ 0 & = 0 end {alineado}} end {array} nonumber ]

 

[ begin {array} {l} { text {Substitute} 8 text {for} x:} \ { qquad begin {alineado} x ^ {2} & = 8 x \ ( 8) ^ {2} & = 8 (8) \ 64 & = 64 end {alineado}} end {array} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que ambos resultados son afirmaciones verdaderas, lo que garantiza que tanto (x = 0 ) como (x = 8 ) son soluciones de (x ^ 2 = 8x )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resolver para (x ): (x ^ 2 = −5x )

 
     
Respuesta
     
     

(0 ), (- 5 )

     
 
 
 
 

¡Advertencia!

 

¡Lo siguiente es incorrecto!

 

Considere lo que sucedería si dividimos ambos lados de la ecuación (x ^ 2 = 8x ) en el Ejemplo ( PageIndex {5} ) por (x ):

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 8 x \ dfrac {x ^ {2}} {x} & = dfrac {8 x} {x} \ x & = 8 end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que hemos perdido la segunda respuesta encontrada en el Ejemplo ( PageIndex {5} ), (x = 0 ). ¡Este ejemplo demuestra que nunca debes dividir por la variable que estás resolviendo! Si lo hace, y se produce la cancelación, perderá las respuestas.

 
 

Intentemos resolver una ecuación no lineal que requiera factorizar agrupando.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resolver para (x ): (6x ^ 2 + 9x − 8x − 12 = 0 )

 

Solución

 

Debido a que estamos resolviendo (x ) y hay un poder de (x ) mayor que uno, esta ecuación no es lineal. Por lo tanto, el primer paso es mover todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero. Bueno, eso ya está hecho, así que factoricemos el lado izquierdo agrupando. Tenga en cuenta que podemos factorizar (3x ) a partir de los primeros dos términos y (- 4 ) a partir de los segundos dos términos.

 

fig 6.2.a.png

 

Factoriza el factor común (2x + 3 ).

 

[(3x-4) { color {Red} (2x + 3)} = 0 nonumber ]

 

Ahora tenemos un producto de dos factores que es igual a cero. Use la propiedad de producto cero para escribir:

 

[ begin {alineado} 3x-4 & = 0 \ 3x & = 4 \ x & = dfrac {4} {3} end {alineado} nonumber ]

 

o

 

[ begin {alineado} 2x + 3 & = 0 \ 2x & = -3 \ x & = – dfrac {3} {2} end {alineado} ]

 

Por lo tanto, las soluciones son (x = 4/3 ) y (x = −3 / 2 ).

 

Verificación:

 

Usemos la calculadora gráfica para verificar la solución (x = 4/3 ). Primero, almacene la solución (4/3 ) en la variable ( mathbb {X} ) usando las siguientes teclas (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
fig 6.2.b.png
La figura ( PageIndex {1} ) indica que la expresión (6x ^ 2 + 9x − 8x − 12 ) es igual a cero cuando (x = 4/3 ).
 
fig 6.2.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Comprobando la solución (x = 4/3 ).
 

Por lo tanto, la solución (x = 4/3 ) verifica. Se alienta a los lectores a usar sus calculadoras gráficas para verificar la segunda solución, (x = −3/2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resolver para (x ): (5x ^ 2 −20x − 4x + 16 = 0 )

 
     
Respuesta
     
     

(4/5 ), (4 )

     
 
 
 

Usando la calculadora gráfica

 

En esta sección, emplearemos dos rutinas de calculadoras diferentes para encontrar la solución de una ecuación no lineal. Antes de tomar la calculadora, usemos primero un método algebraico para resolver la ecuación (x ^ 2 = −5x ). La ecuación no es lineal, por lo que el primer paso es mover todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = -5x quad color {Rojo} text {No lineal. Pon un lado a cero. } \ x ^ {2} +5 x & = 0 quad color {Rojo} text {Agregar} 5x text {a ambos lados. } \ x (x + 5) & = 0 quad color {Red} text {Factoriza el MCD. } end {alineado} nonumber ]

 

Use la propiedad del producto cero, estableciendo cada factor igual a cero, y luego resolviendo las ecuaciones resultantes para (x ).

 

[x = 0 nonumber ]

 

o

 

[ begin {alineado} x + 5 & = 0 \ x & = – 5 end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones son (x = 0 ) y (x = −5 ).

 

Ahora usaremos la calculadora para encontrar las soluciones de (x ^ 2 = −5x ). La primera técnica emplea la 5: intersección rutina en el menú CALC de la calculadora.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Use la utilidad 5: intersect en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = −5x ) para (x ).

 

Solución

 

Cargue el lado izquierdo de (x ^ 2 = −5x ) en ( mathbb {Y1} ) y el lado derecho en ( mathbb {Y2} ) (vea la Figura ( PageIndex {2} )). Al seleccionar 6: ZStandard del menú ZOOM produce los gráficos que se muestran en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
fig 6.2.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Dibuje los gráficos de cada lado de la ecuación (x ^ 2 = −5x ).
 

Tenga en cuenta que la gráfica de (y = x ^ 2 ) es una parábola que se abre hacia arriba, con vértice (punto de inflexión) en el origen. Este gráfico revela por qué la ecuación (x ^ 2 = −5x ) se llama ecuación no lineal (no todos los gráficos involucrados son líneas). Luego, la gráfica de (y = −5x ) es una línea con pendiente (- 5 ) y (y ) – intercepción en el origen.

 

Las dos gráficas se cruzan obviamente en el origen, pero también parece que puede haber otro punto de intersección que está fuera de la pantalla. Aumentemos ( mathbb {Ymax} ) en un intento de revelar el segundo punto de intersección. Después de experimentar un poco, la configuración que se muestra en la primera imagen de la Figura ( PageIndex {3} ) revela ambos puntos de intersección. Al presionar el botón GRÁFICO se produce la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
fig 6.2.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Ajuste los parámetros WINDOW para revelar ambos puntos de intersección.
 

Para encontrar las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ), debemos encontrar las coordenadas de los puntos donde las gráficas de (y = x ^ 2 ) y (y = −5x ) se cruzan. La coordenada (x ) de cada punto de intersección será una solución de la ecuación (x ^ 2 = −5x ).

 
         
  • Comience seleccionando 5: intersecte del menú CALC . Cuando se le solicite “¿Primera curva?”, Presione ENTER . Cuando se le solicite la «Segunda curva?», Presione ENTER . Cuando se le solicite una «Guess», presione ENTER . El resultado es el punto ((0,0) ) que se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {4} ).
  •      
  • Repita el proceso por segunda vez. Seleccione 5: intersecte en el menú CALC . Cuando se le solicite “¿Primera curva?”, Presione ENTER . Cuando se le solicite la «Segunda curva?», Presione ENTER . Cuando se le solicite una “Adivinación”, use la tecla de flecha izquierda para mover el cursor más cerca del punto de intersección más a la izquierda, luego presione ENTER . El resultado es el punto ((- 5,25) ) que se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {4} ).
  •  
 
fig 6.2.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Use la utilidad 5: intersect para encontrar los puntos de intersección.
 

Informar la solución en su tarea:

 

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
fig 6.2.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {5} )).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (vea la Figura ( PageIndex {5} )).
  •      
  • Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {5} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ) (ver Figura ( PageIndex {5} )).
  •  
 

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 2 = −5x ) son (x = −5 ) y (x = 0 ). Tenga en cuenta que ahora coinciden con las soluciones encontradas utilizando la técnica algebraica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Use la utilidad 5: intersecte en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = 4x ) para (x ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 6.2.4.png

     
 
 
 

Antes de demostrar una segunda técnica de calculadora gráfica para resolver ecuaciones no lineales, tomemos un momento para recordar la definición de un cero de una función, que se presentó por primera vez en Capítulo 5, Sección 3 .

 
 

Ceros y (x ) – intersecciones

 

Los puntos donde la gráfica de (f ) cruza el eje (x ) – se denominan las intersecciones (x ) – de la gráfica de (f ). El (x ) – valor de cada (x ) – intercepción se llama cero de la función (f ).

 
 

Ahora emplearemos la utilidad 2: cero del menú CALC para encontrar las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Use la utilidad 2: cero en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = −5x ) para (x ).

 

Solución

 

Primero, haga que un lado de la ecuación sea igual a cero.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = – 5 x quad color {Rojo} text {Pon un lado a cero. } \ x ^ {2} +5 x & = 0 quad color {Rojo} text {Agregar} 5 x text {a ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Para determinar los valores de (x ) que hacen (x ^ 2 + 5x = 0 ), debemos ubicar los puntos donde la gráfica de (f (x) = x ^ 2 + 5x ) cruza el eje (x ). Estos puntos son los (x ) – intersecciones de la gráfica de (f ) y los (x ) – los valores de estos puntos son los ceros de la función (f ).

 

Cargue la función (f (x) = x ^ 2 +5 x ) en ( mathbb {Y1} ), luego seleccione 6: ZStandard para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {6} ). Tenga en cuenta que la gráfica de (f ) tiene dos (x ) – intersecciones, y los valores (x ) – de cada uno de estos puntos son los ceros de la función (f ).

 
fig 6.2.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Dibuje el gráfico de (p (x) = x ^ 2 + 5x ).
 
 

Nota

 

A menudo es más fácil encontrar las soluciones de una ecuación no lineal haciendo un lado cero e identificando dónde la gráfica de la función resultante cruza el eje (x ).

 
 

Seleccione 2: cero en el menú CALC (consulte la Figura ( PageIndex { 7 } ) ).

 
fig 6.2.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): Configuración de los límites izquierdo y derecho cuando se utiliza la utilidad 2: cero para encontrar el ( x ) – intersecciones de la gráfica de (f (x) = x ^ 2 + 5x ).
 
         
  • La calculadora responde pidiendo un «¿Atado a la izquierda?» Use la tecla de flecha hacia la izquierda para mover el cursor de modo que quede a la izquierda de la intersección (x ) – cerca de ((- 5,0) ) (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {7 } )), luego presione la tecla ENTER .
  •      
  • La calculadora responde preguntando por un «¿correcto?» Mueva el cursor de manera que esté ligeramente a la derecha de la intersección con el eje x cerca de ((- 5,0) ) (vea la tercera imagen Figura ( PageIndex {7} )), luego presione ENTER clave.
  •      
  • La calculadora responde pidiendo un «¿Adivina?» Observe las dos marcas triangulares cerca de la parte superior de la ventana de visualización en la primera imagen de la Figura ( PageIndex {8} ) que marcan los límites izquierdo y derecho. Siempre que coloque el cursor de modo que el valor x de la ubicación del cursor se encuentre entre estas dos marcas, habrá realizado una suposición válida. Como el cursor ya se encuentra entre estas dos marcas, generalmente lo dejamos donde está y presionamos la tecla ENTER .
  •  
 
fig 6.2.8.png
Figura ( PageIndex {8} ): Establecer el límite derecho y adivinar.
 

Después de adivinar y presionar la tecla ENTER , la calculadora procede a encontrar una aproximación de (x ) – intercepción que se encuentra entre los límites izquierdo y derecho previamente marcados (ver el segunda imagen en la Figura ( PageIndex {8} ). Por lo tanto, esta (x ) – intercepción es ((- 5,0) ), haciendo (- 5 ) un cero de (f ( x) = x ^ 2 + 5x ) y una solución de la ecuación (x ^ 2 + 5x = 0 ).

 

Dejaremos que nuestros lectores repitan el proceso 2: cero para encontrar el segundo cero en el origen.

 

Informar la solución en su tarea:

 

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {9} )).
  •      
  • Coloque los parámetros de su VENTANA al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {9} )).
  •      
  • Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {9} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los (x ) – valores de cada (x ) – intercepción. Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ) (ver Figura ( PageIndex {9} )).
  •  
 
fig 6.2.9.png
Figura ( PageIndex {9} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 2 = −5x ) son (x = −5 ) y (x = 0 ). Observe cuán bien esto concuerda con las soluciones encontradas usando la técnica algebraica y las soluciones encontradas usando la utilidad 5: intersect en el Ejemplo ( PageIndex {7} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Use la utilidad 2: cero en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = 4x ) para (x ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 6.2.8.png

     
 
 
 
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