6.3: Extrema y modelos

6.3: Extrema y modelos

En esta sección veremos algunas aplicaciones modeladas por polinomios.

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Una pieza cuadrada de cartón mide 24 pulgadas por lado. John corta cuatro cuadrados más pequeños de cada esquina del cartón, tirando el material a un lado. Luego dobla los lados del cartón restante para formar una caja abierta sin tapa. Encuentra las dimensiones de los cuadrados cortados de cada esquina de la pieza original de cartón para que John maximice el volumen resultante de la caja.

 

Solución

 

Sea x la longitud del lado del corte cuadrado desde cada esquina del cuadrado más grande (consulte la Figura ( PageIndex {6} ) (a)). Debido a que cada lado del cuadrado original mide 24 pulgadas, y estamos cortando dos longitudes de x pulgadas de cada extremo, la longitud y el ancho resultantes de la caja es de 24 a 2x pulgadas (ver Figura ( PageIndex {6} ) (a) y / o (b)). Cuando tiramos las esquinas cuadradas, luego doblamos los lados, obtenemos una caja con las dimensiones que se muestran en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {6} ): Material y cuadro resultante.
 
 

Debido a que el volumen de una caja se calcula tomando el producto de la longitud y el ancho de la base, multiplicado por la altura de la caja, el volumen de la caja viene dado por la fórmula

 

[V = x (24-2 x) (24-2 x) nonumber ]

 

Podemos simplificar un poco la ecuación (6). Tome un factor de 2 de cada factor de 24−2x, como en

 

[V = x (2) (12-x) (2) (12-x) nonumber ]

 

luego combina factores para escribir

 

[V = 4 x (12-x) ^ {2} nonumber ]

 

Vemos que (x ) y (12 – x ) son factores lineales de (V ). Por lo tanto, los ceros de V son 0 y 12, respectivamente. Debido a que 12 − x se usa como factor dos veces, 2 es una «raíz doble», por lo que la gráfica debe ser tangente al eje x en (x = 2 ).

 

Si tuviéramos que expandir Ecuación (7) por completo, obtendríamos un polinomio con el término principal (4x ^ {3} ). Por lo tanto, el comportamiento final de nuestro polinomio de volumen debe coincidir con el comportamiento final de su término principal, que se eleva desde el infinito negativo, se mueve a través de ceros y luego se eleva al infinito positivo. Sin embargo, debido a que tenemos una «doble raíz» en x = 2, esperamos que el gráfico «bese» el eje horizontal en este cero en lugar de pasar a través de este cero.

 

Por lo tanto, la única forma posible que el polinomio de volumen puede asumir es la que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
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Figura ( PageIndex {7} ): El volumen del cuadro en función de la longitud del borde de los cuadrados eliminados.
 
 

El dominio del polinomio definido por la ecuación (7) es el conjunto de todos los números reales o, en notación de intervalo, ((- infty, infty) ). En la Figura ( PageIndex {7} ), si proyecta todos los puntos en el gráfico en el eje x, todo el eje x estaría sombreado, lo que indica que el dominio de la función de volumen es todos los números reales.

 

Sin embargo, este dominio matemático ((- infty, infty) ) ignora el hecho de que x representa la longitud del corte cuadrado desde cada esquina del cuadrado original de cartón (ver Figura ( PageIndex {6 })(una)). No puede cortar un cuadrado que tenga un lado de longitud negativa. Tras una inspección adicional, el cuadrado más grande que se podría cortar desde cada esquina tendría un borde de 12 pulgadas. Recuerde, debe cortar cuatro cuadrados, uno de cada esquina, y el borde del trozo cuadrado original de cartón mide solo 24 pulgadas. Por lo tanto, el problema restringe x al intervalo [0, 12]. Este dominio se llama dominio empírico o, si lo desea, dominio práctico.

 
 

Definición: Dominio empírico

 

El dominio empírico de una función es un subconjunto del dominio matemático, restringido para satisfacer las restricciones del modelo.

 
 

Por lo tanto, solo una parte del gráfico en la Figura ( PageIndex {7} ) tiene sentido para esta aplicación, la parte que se dibuja sobre el dominio empírico [0, 12], como se muestra en la Figura ( Índice de página {8} ).

 
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Figura ( PageIndex {8} ): Bosquejar la función de volumen sobre el dominio empírico [0, 12].
 
 

Recuerde, el objetivo original era encontrar el valor de x que maximizara el volumen de la caja. Un rápido vistazo al gráfico en la Figura ( PageIndex {8} ) muestra que hay un máximo absoluto (al menos en el dominio empírico [0, 12]) cerca de x = 4. Para obtener una mejor aproximación, use el máxima utilidad en el menú CALC de su calculadora, como lo hicimos para obtener la aproximación que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {9} ). Encontrar la longitud del borde que maximiza el volumen de la caja.
 

De hecho, parece que se alcanza un volumen máximo de 1024 pulgadas cúbicas ( (V = 1024 mathrm {in} ^ {3} )) en (x aprox 3.9999985 ). Probablemente sea seguro decir que el volumen máximo se produce si se cortan cuadrados con lados de 4 pulgadas de largo desde las esquinas de la pieza de cartón original. El 3.9999985 probablemente contiene un poco de error debido al error de redondeo en la calculadora. De hecho, es muy probable que algunos lectores obtengan exactamente x = 4 cuando usan la utilidad máxima, dependiendo de los límites y la suposición inicial utilizada, así que no se preocupe si la aproximación de su calculadora difiere ligeramente de la nuestra.

 

Veamos otro ejemplo.

 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentra las dimensiones del rectángulo del área más grande que tiene su base en el eje xy sus otros dos vértices sobre el eje x y que yace en la gráfica de la parábola (y = 4-x ^ {2} ).

 

Solución

 

La gráfica de (y = 4-x ^ {2} ) es una parábola que se abre hacia abajo y se desplaza hacia arriba 4 unidades. El lado derecho de esta ecuación factores

 

[y = (2 + x) (2-x) nonumber ]

 

entonces los ceros de esta función son −2 y 2. Debido a que el rectángulo tiene su base en el eje xy sus otros vértices están en la parábola que se encuentra sobre el eje x, solo necesitamos dibujar la parábola en el dominio [−2, 2] (ver Figura ( PageIndex {10} )).

 
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Figura ( PageIndex {10} ): Un rectángulo inscrito bajo una parábola.
 
 

Debido a la simetría, podemos restringir x al dominio empírico [0, 2]. En la Figura ( PageIndex {10} ), tenga en cuenta que hemos seleccionado un valor de x de [0, 2], luego trazamos el punto que tiene este valor de x en la parábola. Por supuesto, el valor y de este punto es (y = 4-x ^ {2} ). Por lo tanto, la altura del rectángulo es (4-x ^ {2} ) y la base (o ancho) del rectángulo es dos veces x, o 2x. El área del rectángulo viene dada por

 

[A = text {ancho} cdot text {height} ]

 

Por lo tanto, el área A en función de x viene dada por el polinomio

 

[A = 2 x izquierda (4-x ^ {2} derecha) ]

 

Tenga en cuenta que la ecuación (10) es un polinomio de tercer grado que tiene el término principal (- 2 x ^ {3} ). Por lo tanto, la gráfica del polinomio, al barrer nuestros ojos de izquierda a derecha, debe caer desde el infinito positivo, moverse a través de sus intersecciones en x, luego continuar cayendo al infinito negativo.

 

Podemos factorizar la ecuación (10) para obtener

 

[A = 2 x (2 + x) (2-x) ]

 

Por lo tanto, los ceros del polinomio son 0, −2 y 2, respectivamente. Por lo tanto, el polinomio debe tener una forma similar a la que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ). Tenga en cuenta que el gráfico tiene intersecciones en x en (−2, 0), (0, 0) y (2, 0).

 
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Figura ( PageIndex {11} ). La gráfica del polinomio A = 2x (2 + x) (2 – x).
 

Debido a la naturaleza práctica de este problema, necesitamos restringir x al dominio empírico [0, 2], como se discutió anteriormente (ver Figura ( PageIndex {10} ). La gráfica de A = 2x ( 2 + x) (2 – x), restringido al dominio [0, 2], se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ).

 
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Figura ( PageIndex {12} ). El gráfico del polinomio A = 2x (2 + x) (2 – x) restringido al dominio empírico [0, 2].
 

Parece (ver Figura ( PageIndex {12} )) que A alcanza un máximo absoluto (al menos en el dominio empírico [0, 2]) cerca de (x aprox 1.2 ). Para obtener una mejor aproximación, use la utilidad máxima en el menú CALC de la calculadora gráfica, como lo hicimos para obtener la aproximación que se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {13} ). Utilice la utilidad máxima para obtener una aproximación del valor máximo de A.
 

El resultado en la Figura ( PageIndex {13} ) (b) muestra que logramos un rectángulo de área máxima (A aprox 6.1584029 ) si elegimos (x approx 1.1547002 ). Recuerde, sus respuestas pueden diferir ligeramente de acuerdo con los límites izquierdo y derecho que seleccione, su suposición y también debido al error de redondeo inherente en todas las calculadoras.

 
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