Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Factor: (x ^ 2 + 8x − 48 ).

 

Solución

 

Compare (x ^ 2 + 8x − 48 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) e identifique (a = 1 ), (b = 8 ) y (c = −48 ). Tenga en cuenta que el coeficiente principal es (a = 1 ). Calcular (ac ). Tenga en cuenta que (ac = (1) (- 48) ), entonces (ac = −48 ). Liste todos los pares de enteros cuyo producto es (ac = −48 ).

 

[ begin {array} {ll} {1, -48} y {-1,48} \ {2, -24} y {-2,24} \ {3, -16} & {-3,16} \ {4, -12} y {-4,12} \ {6, -8} y {-6,8} end {array} nonumber ]

 

Encierra en un círculo el par ordenado cuya suma es (b = 8 ).

 

[ begin {array} {ll} {1, -48} y {-1,48} \ {2, -24} y {-2,24} \ {3, -16} & {-3,16} \ {4, -12} y { color {Rojo} -4,12} \ {6, -8} y {-6,8} end {array} nonumber ]

 

Reemplace el término medio (8x ) con una suma de términos similares utilizando el par en un círculo cuya suma es (8 ).

 

[x ^ 2 { color {Red} + 8x} -48 = x ^ 2 { color {Red} -4x + 12x} -48 nonumber ]

 

Factorizar por agrupación.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} +8 x-48 & = x (x-4) +12 (x-4) \ & = (x + 12) (x-4) end {alineado} nonumber ]

 

Usa el atajo FOIL para verificar mentalmente tu respuesta. Para determinar el producto ((x + 12) (x − 4) ), use estos pasos:

 

     
• Multiplica los términos en las posiciones “Primero”: (x ^ 2 ).
     
• Multiplique los términos en las posiciones “Exterior” e “Interior” y combine los resultados mentalmente: (- 4x + 12x = 8x ).
     
• Multiplica los términos en las posiciones “Últimas”: (- 48 ).
 

 

Es decir:

 

[(x + 12) (x-4) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} \ x ^ 2 & – & 4x & + & 12x & – & 48 end {array} nonumber ]

 

Combinando términos similares, ((x + 12) (x − 4) = x ^ 2 + 8x − 48 ), que es el trinomio original, entonces nuestra solución verifica. Tenga en cuenta que si combina mentalmente los productos “Externo” e “Interno”, el control va aún más rápido.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factor: (x ^ 2 −9x − 36 ).

 

Solución

 

Compare (x ^ 2−9x − 36 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 1 ), (b = −9 ) y ( c = −36 ). Calcule (ac = (1) (- 36) ), entonces (ac = −36 ).

 

En este punto, algunos lectores podrían preguntar “¿Qué pasa si comienzo a enumerar los pares ordenados y veo el par que necesito? ¿Necesito continuar enumerando los pares restantes?

 

La respuesta es “No.” En este caso, comenzamos a enumerar los pares enteros cuyo producto es (ac = −36 ), pero tenemos en cuenta que necesitamos un par entero cuya suma sea (b = −9 ). El par entero (3 ) y (- 12 ) tiene un producto igual a (ac = −36 ) y una suma igual a (b = −9 ).

 

[ begin {array} {r} {1, -36} \ {2, -18} \ { color {Red} 3, -12} end {array} nonumber ] [ 19459003]  

Observe cómo dejamos de enumerar pares ordenados en el momento en que encontramos el par que necesitábamos. A continuación, reemplace el término medio (- 9x ) con una suma de términos similares utilizando el par marcado.

 

[x ^ 2 { color {Red} -9x} -36 = x ^ 2 { color {Red} + 3x-12x} -36 nonumber ]

 

Factorizar por agrupación.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} { color {Red} -9 x} -36 & = x (x + 3) -12 (x + 3) \ & = (x-12 ) (x + 3) end {alineado} nonumber ]

 

Use el atajo FOIL para verificar su respuesta.

 

[(x + 3) (x-12) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} \ x ^ 2 & – & 12x & + & 3x & – & 36 end {array} nonumber ]

 

Combinando términos similares, ((x + 3) (x − 12) = x ^ 2 −9x − 36 ), el trinomio original. Nuestra solución verifica.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Factor: (x ^ 2 −5x − 24 ).

 

Solución

 

Compare (x ^ 2−5x − 24 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 1 ), (b = −5 ) y ( c = −24 ). Calcule (ac = (1) (- 24) ), entonces (ac = −24 ). Ahora, ¿puedes pensar en un par entero cuyo producto sea (ac = −24 ) y cuya suma sea (b = −5 )? Para algunos, el par requerido simplemente aparece en su cabeza: (- 8 ) y (3 ). El producto de estos dos enteros es (- 24 ) y su suma es (- 5 ). “Suelta” este par en su lugar y listo.

 

[x ^ 2 −5x − 24 = (x − 8) (x + 3) nonumber ]

 

Use el atajo FOIL para verificar su respuesta.

 

[(x-8) (x + 3) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} \ x ^ 2 & + & 3x & – & 8x & – & 24 end {array} nonumber ]

 

Combinando términos similares, ((x − 8) (x + 3) = x ^ 2 −5x − 24 ), el trinomio original. Nuestra solución verifica.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 

Solución

 

Debido a que hay una potencia de (x ) mayor que uno, la ecuación es no lineal. Pon un lado a cero.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 quad color {Red} text {Ecuación original. } \ x ^ {2} -2 x & = 3 quad color {Rojo} text {Restar} 2 x text {de ambos lados. } \ x ^ {2} -2 x-3 & = 0 quad color {Rojo} text {Restar} 3 text {de ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Compare (x ^ 2−2x − 3 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 1 ), (b = −2 ) y (c = −3 ). Necesitamos un par entero cuyo producto sea (ac = −3 ) y cuya suma sea (b = −2 ). Me viene a la mente el par entero (1 ) y (- 3 ). “Suelta” estos en su lugar para factorizar.

 

[(x + 1) (x-3) = 0 quad color {Rojo} text {Factor.} Nonumber ]

 

Tenemos un producto que es igual a cero. Use la propiedad del producto cero para completar la solución.

 

[ begin {alineado} x + 1 & = 0 \ x & = – 1 end {alineado} nonumber ]

 

o

 

[ begin {array} {r} {x-3 = 0} \ {x = 3} end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 2 = 2x + 3 ) son (x = −1 ) y (x = 3 ).

 

Solución gráfica:

 

Cargue cada lado de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) en el menú Y = de su calculadora gráfica, (y = x ^ 2 ) en ( mathbb {Y1} ), (y = 2x + 3 ) en ( mathbb {Y2} ) (ver Figura ( PageIndex {1} )). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {1} ).

 

 

Uno de los puntos de intersección es visible a la izquierda, pero el segundo punto de intersección está muy cerca de la parte superior de la pantalla a la derecha (ver Figura ( PageIndex {1} )). Extendamos un poco la parte superior de la pantalla. Presione el botón VENTANA y realice ajustes en ( mathbb {Ymin} ) y ( mathbb {Ymax} ) (consulte la Figura ( PageIndex {2} )), luego presione el GRAPH para adoptar los cambios.

 

Tenga en cuenta que ambos puntos de intersección ahora son visibles en la ventana de visualización (consulte la Figura ( PageIndex {2} )). Para encontrar las coordenadas de los puntos de intersección, seleccione 5: intersecte en el menú CALC . Presione la tecla ENTER para aceptar la “Primera curva”, presione ENTER nuevamente para aceptar la “Segunda curva”, luego presione ENTER nuevamente para aceptar la posición actual del cursor como su suposición. El resultado se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {3} ). Repita el proceso para encontrar el segundo punto de intersección, solo cuando llegue el momento de ingresar su “Guess”, use la tecla de flecha derecha para mover el cursor más cerca del segundo punto de intersección que el primero.

 

 

 

Informar la solución en su tarea:

 

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 

 

     
• Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
     
• Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
     
• Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {4} )).
     
• Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) (ver Figura ( PageIndex {4} )).
 

 

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (x ^ 2 = 2 x + 3 ), a saber (x = −1 ) y (x = 3 ), coinciden con las soluciones encontradas utilizando el método algebraico . Esta es una evidencia sólida de que ambos métodos de solución son correctos. Sin embargo, no está de más comprobar las respuestas finales en la ecuación original, sustituyendo (- 1 ) por (x ) y (3 ) por (x ).

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 \ (- 1) ^ {2} & = 2 (-1) +3 \ 1 & = – 2 + 3 end {alineado} nonumber ]

 

y

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 \ (3) ^ {2} & = 2 (3) +3 \ 9 & = 6 + 3 end {alineado } nonumber ]

 

Debido a que las dos últimas afirmaciones son afirmaciones verdaderas, las soluciones (x = −1 ) y (x = 3 ) verifican la ecuación original (x ^ 2 = 2x + 3 ).

 

 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 

Solución

 

Debido a que hay una potencia de (x ) mayor que uno, la ecuación (x ^ 2 – 4x − 96 = 0 ) es no lineal. Ya tenemos un lado cero, por lo que podemos proceder con la factorización. Comience a enumerar pares enteros cuyo producto es (ac = −96 ), teniendo en cuenta el hecho de que necesitamos un par cuya suma sea (b = −4 ).

 

[ begin {array} {l} {1, -96} \ {2, -48} \ {3, -32} \ {4, -24} \ {6, -16 } \ { color {Red} 8, -12} \ end {array} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que detuvimos el proceso de listado tan pronto como encontramos un par cuya suma era (b = −4 ). “Suelta” este par en su lugar para factorizar el trinomio.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} -4 x-96 & = 0 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ (x + 8) (x-12) & = 0 quad color {Red} text {Factor. } end {alineado} nonumber ]

 

Tenemos un producto que es igual a cero. Use la propiedad del producto cero para completar la solución.

 

[ begin {alineado} x + 8 & = 0 \ x & = – 8 end {alineado} nonumber ]

 

o

 

[ begin {alineado} x-12 & = 0 \ x & = 12 end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ) son (x = −8 ) y (x = 12 ).

 

Solución gráfica:

 

Cargue la ecuación (y = x ^ 2 −4x − 96 ) en ( mathbb {Y1} ) en el menú Y = de su calculadora gráfica (vea la Figura ( Índice de página {5} )). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {5} ).

 

 

Cuando el grado de un polinomio es dos, estamos acostumbrados a ver algún tipo de parábola. En la Figura ( PageIndex {5} ), vimos que el gráfico bajaba y apagaba la pantalla, pero no lo vimos girar y volver a subir. Ajustemos los parámetros WINDOW para que el vértice (punto de inflexión) de la parábola y ambas (x ) – intercepciones sean visibles en la ventana de visualización. Después de experimentar un poco, la configuración que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) revela el vértice y las intersecciones con (x ). Presione el botón GRAPH para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {6} ).

 

 

Tenga en cuenta que ambos (x ) – las intersecciones de la parábola ahora son visibles en la ventana de visualización (ver Figura ( PageIndex {6} )). Para encontrar las coordenadas de las intersecciones (x ), seleccione 2: cero en el menú CALC . Use las teclas de flecha izquierda y derecha para mover el cursor a la izquierda de la primera intersección (x ), luego presione ENTER para marcar el “límite izquierdo”. Luego, mueva el cursor a la derecha de la primera intersección (x ) -, luego presione ENTER para marcar el “Límite derecho”. Presione ENTER para aceptar la posición actual del cursor como su “Guess”. El resultado se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {7} ). Repita el proceso para encontrar las coordenadas de la segunda intersección (x ). El resultado se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {7} ).

 

 

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 

     
• Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {8} )).
     
• Coloque los parámetros de su VENTANA al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {8} )).
     
• Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {8} )).
     
• Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2−4x − 96 = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {8} )).
 

 

 

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ), a saber (x = −8 ) y (x = 12 ), coinciden con las soluciones encontradas usando el método algebraico método. Esta es una evidencia sólida de que ambos métodos de solución son correctos. Sin embargo, no está de más comprobar las respuestas finales en la ecuación original, sustituyendo (- 8 ) por (x ) y (12 ) por (x ).

 

[ begin {array} {r} {x ^ {2} -4 x-96 = 0} \ {(-8) ^ {2} -4 (-8) -96 = 0} {64 + 32-96 = 0} end {array} nonumber ]

 

y

 

[ begin {alineado} x ^ {2} -4 x-96 & = 0 \ (12) ^ {2} -4 (12) -96 & = 0 \ 144-48-96 & = 0 end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que las dos últimas afirmaciones son afirmaciones verdaderas, las soluciones (x = −8 ) y (x = 12 ) verifican la ecuación original (x ^ 2 −4x − 96−0 ).