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las matematicas

6.3: Factorizando ax² + bx + c cuando a = 1

En esta sección nos concentramos en aprender a factorizar trinomios que tienen la forma (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a = 1 ). La primera tarea es asegurarse de que todos puedan identificar adecuadamente los coeficientes (a ), (b ) y (c ).

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Compare (x ^ 2−8x − 9 ) con la forma (ax ^ 2 + bx + c ) e identifique los coeficientes ffi clientes (a ), (b ) y (c )

 

Solución

 

Alinee el trinomio (x ^ 2−8x − 9 ) con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ), luego compare los coeficientes. Tenga en cuenta que el coeficiente entendido de (x ^ 2 ) es (1 ).

 

[ begin {array} {l} {ax ^ {2} + b x + c} \ {{ color {Red} 1} x ^ {2} -8 x-9} end { matriz} nonumber ]

 

Vemos que (a = 1 ), (b = −8 ) y (c = −9 ). Debido a que el coeficiente principal es (1 ), este es el tipo de trinomio que aprenderemos a factorizar en esta sección.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Compare (- 40 + 6x ^ 2 – x ) con la forma (ax ^ 2 + bx + c ) e identifique los coeficientes ffi clientes (a ), (b ) y (c ).

 

Solución

 

Primero, organice (- 40+ 6x ^ 2 −x ) en potencias descendentes de (x ), luego alinéelo con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ) y compare los coeficientes. Tenga en cuenta que el coeficiente comprendido de (x ) es (- 1 ).

 

[ begin {array} {l} {ax ^ {2} + b x + c} \ {6 x ^ {2} – { color {Red} 1} x-40} end { matriz} nonumber ]

 

Vemos que (a = 6 ), (b = −1 ) y (c = −40 ). Debido a que el coeficiente principal es (6 ), tendremos que esperar hasta que aprendamos sobre factorizar (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a neq 1 ) en sección 6.4 antes de aprender a factorizar este trinomio.

 

En esta sección, el coeficiente principal debe ser igual a (1 ). Nuestro trabajo en esta sección se centrará solo en trinomios de la forma (x ^ 2 + bx + c ), es decir, la forma (ax ^ 2 + bx + c ) donde (a = 1 ).

El (ac ) – Método

 

Ahora vamos a introducir una técnica llamada (ac ) – método (o (ac ) – prueba) para factorizar trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c ) cuando ( a = 1 ). En la próxima sección 6.4 sobre factoring (ax ^ 2 + bx + c ) when (a neq 1 ), veremos que este método también puede emplearse cuando (a neq 1 ), con una pequeña excepción. Pero para el resto de esta sección, nos centramos estrictamente en trinomios cuyo coeficiente principal es (1 ).

 

Comencemos por encontrar el siguiente producto:

 

[ begin {alineado} (x + 12) (x-4) & = x (x-4) +12 (x-4) quad color {Rojo} text {Aplicar el Propiedad distributiva. } \ & = x ^ {2} -4 x + 12 x-48 quad color {Red} text {Distribuir de nuevo. } \ & = x ^ {2} +8 x-48 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]

 

Ahora, ¿podemos revertir el proceso? Es decir, ¿podemos comenzar con (x ^ 2 + 8x − 48 ) y colocarlo en su forma factorizada original ((x + 12) (x − 4) )? La respuesta es sí, si aplicamos el siguiente procedimiento.

 
 

El método (ac )

 

Compare el polinomio dado con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ), determine los coeficientes ffi cients (a ), (b ) y (c ), luego proceda de la siguiente manera:

 
         
  1. Multiplique los coeficientes ffi cients (a ) y (c ) y determine su producto (ac ). Enumere todos los pares de enteros cuyo producto sea igual a (ac ).
  2.      
  3. Encierra en un círculo el par en la lista producida en el paso 1 cuya suma es igual a (b ), el coeficiente del término medio de (ax ^ 2 + bx + c ).
  4.      
  5. Reemplace el término medio (bx ) con una suma de términos similares utilizando el par en un círculo del paso 2.
  6.      
  7. Factorizar por agrupación.
  8.      
  9. Verifique el resultado utilizando el acceso directo FOIL .
  10.  
 
 

Sigamos los pasos del método (ac ) para factorizar (x ^ 2 + 8x − 48 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Factor: (x ^ 2 + 8x − 48 ).

 

Solución

 

Compare (x ^ 2 + 8x − 48 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) e identifique (a = 1 ), (b = 8 ) y (c = −48 ). Tenga en cuenta que el coeficiente principal es (a = 1 ). Calcular (ac ). Tenga en cuenta que (ac = (1) (- 48) ), entonces (ac = −48 ). Liste todos los pares de enteros cuyo producto es (ac = −48 ).

 

[ begin {array} {ll} {1, -48} y {-1,48} \ {2, -24} y {-2,24} \ {3, -16} & {-3,16} \ {4, -12} y {-4,12} \ {6, -8} y {-6,8} end {array} nonumber ]

 

Encierra en un círculo el par ordenado cuya suma es (b = 8 ).

 

[ begin {array} {ll} {1, -48} y {-1,48} \ {2, -24} y {-2,24} \ {3, -16} & {-3,16} \ {4, -12} y { color {Rojo} -4,12} \ {6, -8} y {-6,8} end {array} nonumber ]

 

Reemplace el término medio (8x ) con una suma de términos similares utilizando el par en un círculo cuya suma es (8 ).

 

[x ^ 2 { color {Red} + 8x} -48 = x ^ 2 { color {Red} -4x + 12x} -48 nonumber ]

 

Factorizar por agrupación.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} +8 x-48 & = x (x-4) +12 (x-4) \ & = (x + 12) (x-4) end {alineado} nonumber ]

 

Usa el atajo FOIL para verificar mentalmente tu respuesta. Para determinar el producto ((x + 12) (x − 4) ), use estos pasos:

 
         
  • Multiplica los términos en las posiciones “Primero”: (x ^ 2 ).
  •      
  • Multiplique los términos en las posiciones “Exterior” e “Interior” y combine los resultados mentalmente: (- 4x + 12x = 8x ).
  •      
  • Multiplica los términos en las posiciones “Últimas”: (- 48 ).
  •  
 

Es decir:

 

[(x + 12) (x-4) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} \ x ^ 2 & – & 4x & + & 12x & – & 48 end {array} nonumber ]

 

Combinando términos similares, ((x + 12) (x − 4) = x ^ 2 + 8x − 48 ), que es el trinomio original, entonces nuestra solución verifica. Tenga en cuenta que si combina mentalmente los productos “Externo” e “Interno”, el control va aún más rápido.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Factor: (x ^ 2 + 11x + 28 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 4) (x + 7) )

     
 
 
 

Algunos lectores podrían preguntar “¿Es una coincidencia que el par en un círculo ( color {Red} −4,12 ) pareciera” caer en su lugar “en la factorización resultante ((x + 12) (x− 4) )? Antes de responder a esa pregunta, intentemos con otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factor: (x ^ 2 −9x − 36 ).

 

Solución

 

Compare (x ^ 2−9x − 36 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 1 ), (b = −9 ) y ( c = −36 ). Calcule (ac = (1) (- 36) ), entonces (ac = −36 ).

 

En este punto, algunos lectores podrían preguntar “¿Qué pasa si comienzo a enumerar los pares ordenados y veo el par que necesito? ¿Necesito continuar enumerando los pares restantes?

 

La respuesta es “No.” En este caso, comenzamos a enumerar los pares enteros cuyo producto es (ac = −36 ), pero tenemos en cuenta que necesitamos un par entero cuya suma sea (b = −9 ). El par entero (3 ) y (- 12 ) tiene un producto igual a (ac = −36 ) y una suma igual a (b = −9 ).

 

[ begin {array} {r} {1, -36} \ {2, -18} \ { color {Red} 3, -12} end {array} nonumber ] [ 19459003]  

Observe cómo dejamos de enumerar pares ordenados en el momento en que encontramos el par que necesitábamos. A continuación, reemplace el término medio (- 9x ) con una suma de términos similares utilizando el par marcado.

 

[x ^ 2 { color {Red} -9x} -36 = x ^ 2 { color {Red} + 3x-12x} -36 nonumber ]

 

Factorizar por agrupación.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} { color {Red} -9 x} -36 & = x (x + 3) -12 (x + 3) \ & = (x-12 ) (x + 3) end {alineado} nonumber ]

 

Use el atajo FOIL para verificar su respuesta.

 

[(x + 3) (x-12) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} \ x ^ 2 & – & 12x & + & 3x & – & 36 end {array} nonumber ]

 

Combinando términos similares, ((x + 3) (x − 12) = x ^ 2 −9x − 36 ), el trinomio original. Nuestra solución verifica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factor: (x2 + 10x − 24 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x + 12) (x − 2) )

     
 
 
 

Acelerando un poco las cosas

 

Los lectores podrían volver a preguntar “¿Es una coincidencia que el par en un círculo ( color {Red} 3, −12 ) pareciera” caer en su lugar “en la factorización resultante ((x − 12) (x + 3) )? ” La respuesta es “No”, no es una coincidencia. Siempre que el coeficiente principal del trinomio (ax ^ 2 + bx + c ) sea (a = 1 ), siempre se puede “colocar en el lugar” el par marcado para llegar a la factorización final, omitiendo la factorización por agrupación

 

Algunos lectores también podrían preguntarse “¿Realmente tengo que enumerar alguno de esos pares ordenados si ya reconozco el par que necesito?” ¡La respuesta es no!” Si ve el par que necesita, colóquelo en su lugar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Factor: (x ^ 2 −5x − 24 ).

 

Solución

 

Compare (x ^ 2−5x − 24 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 1 ), (b = −5 ) y ( c = −24 ). Calcule (ac = (1) (- 24) ), entonces (ac = −24 ). Ahora, ¿puedes pensar en un par entero cuyo producto sea (ac = −24 ) y cuya suma sea (b = −5 )? Para algunos, el par requerido simplemente aparece en su cabeza: (- 8 ) y (3 ). El producto de estos dos enteros es (- 24 ) y su suma es (- 5 ). “Suelta” este par en su lugar y listo.

 

[x ^ 2 −5x − 24 = (x − 8) (x + 3) nonumber ]

 

Use el atajo FOIL para verificar su respuesta.

 

[(x-8) (x + 3) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} \ x ^ 2 & + & 3x & – & 8x & – & 24 end {array} nonumber ]

 

Combinando términos similares, ((x − 8) (x + 3) = x ^ 2 −5x − 24 ), el trinomio original. Nuestra solución verifica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Factor: (x ^ 2 −12x + 35 )

 
     
Respuesta
     
     

((x − 7) (x − 5) )

     
 
 
 

La técnica “Drop in Place” del Ejemplo ( PageIndex {5} ) nos permite revisar un poco el método (ac ).

 
 

Revisado (ac ) – método

 

Compare el polinomio dado con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ), determine los coeficientes ffi cients (a ), (b ) y (c ), luego determine un par de enteros cuyo producto es igual a (ac ) y cuya suma es igual a (b ). Entonces tiene dos opciones:

 
         
  1. Escriba el término medio como un producto de términos similares utilizando el par ordenado cuyo producto es (ac ) y cuya suma es (b ). Complete el proceso de factorización factorizando por agrupación.
  2.      
  3. ( Solo funciona si (a = 1 ).) Simplemente “coloque” el par ordenado cuyo producto es (ac ) y cuya suma es (b ) para completar El proceso de factorización. Nota: Aprenderemos sobre factoring (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a neq 1 ) en sección 6.4 por qué esta opción de “colocar en el lugar” no funciona cuando (a neq 1 )
  4.  
 
 

Se recomienda encarecidamente a los lectores que verifiquen su factorización determinando el producto utilizando el método FOIL . Si esto produce el trinomio original, la factorización es correcta.

 

Ecuaciones no lineales revisadas

 

La capacidad de factorizar trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c ), donde (a = 1 ), aumenta el número de ecuaciones no lineales que ahora podemos resolver.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 

Solución

 

Debido a que hay una potencia de (x ) mayor que uno, la ecuación es no lineal. Pon un lado a cero.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 quad color {Red} text {Ecuación original. } \ x ^ {2} -2 x & = 3 quad color {Rojo} text {Restar} 2 x text {de ambos lados. } \ x ^ {2} -2 x-3 & = 0 quad color {Rojo} text {Restar} 3 text {de ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Compare (x ^ 2−2x − 3 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 1 ), (b = −2 ) y (c = −3 ). Necesitamos un par entero cuyo producto sea (ac = −3 ) y cuya suma sea (b = −2 ). Me viene a la mente el par entero (1 ) y (- 3 ). “Suelta” estos en su lugar para factorizar.

 

[(x + 1) (x-3) = 0 quad color {Rojo} text {Factor.} Nonumber ]

 

Tenemos un producto que es igual a cero. Use la propiedad del producto cero para completar la solución.

 

[ begin {alineado} x + 1 & = 0 \ x & = – 1 end {alineado} nonumber ]

 

o

 

[ begin {array} {r} {x-3 = 0} \ {x = 3} end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 2 = 2x + 3 ) son (x = −1 ) y (x = 3 ).

 

Solución gráfica:

 

Cargue cada lado de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) en el menú Y = de su calculadora gráfica, (y = x ^ 2 ) en ( mathbb {Y1} ), (y = 2x + 3 ) en ( mathbb {Y2} ) (ver Figura ( PageIndex {1} )). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
fig 6.3.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Croquis (y = x ^ 2 ) y (y = 2x + 3 ).
 

Uno de los puntos de intersección es visible a la izquierda, pero el segundo punto de intersección está muy cerca de la parte superior de la pantalla a la derecha (ver Figura ( PageIndex {1} )). Extendamos un poco la parte superior de la pantalla. Presione el botón VENTANA y realice ajustes en ( mathbb {Ymin} ) y ( mathbb {Ymax} ) (consulte la Figura ( PageIndex {2} )), luego presione el GRAPH para adoptar los cambios.

 

Tenga en cuenta que ambos puntos de intersección ahora son visibles en la ventana de visualización (consulte la Figura ( PageIndex {2} )). Para encontrar las coordenadas de los puntos de intersección, seleccione 5: intersecte en el menú CALC . Presione la tecla ENTER para aceptar la “Primera curva”, presione ENTER nuevamente para aceptar la “Segunda curva”, luego presione ENTER nuevamente para aceptar la posición actual del cursor como su suposición. El resultado se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {3} ). Repita el proceso para encontrar el segundo punto de intersección, solo cuando llegue el momento de ingresar su “Guess”, use la tecla de flecha derecha para mover el cursor más cerca del segundo punto de intersección que el primero.

 
fig 6.3.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Ajuste de la vista.
 
fig 6.3.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Use 5: intersecte desde el menú CALC para encontrar puntos de intersección.
 

Informar la solución en su tarea:

 

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
fig 6.3.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) (ver Figura ( PageIndex {4} )).
  •  
 

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (x ^ 2 = 2 x + 3 ), a saber (x = −1 ) y (x = 3 ), coinciden con las soluciones encontradas utilizando el método algebraico . Esta es una evidencia sólida de que ambos métodos de solución son correctos. Sin embargo, no está de más comprobar las respuestas finales en la ecuación original, sustituyendo (- 1 ) por (x ) y (3 ) por (x ).

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 \ (- 1) ^ {2} & = 2 (-1) +3 \ 1 & = – 2 + 3 end {alineado} nonumber ]

 

y

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 \ (3) ^ {2} & = 2 (3) +3 \ 9 & = 6 + 3 end {alineado } nonumber ]

 

Debido a que las dos últimas afirmaciones son afirmaciones verdaderas, las soluciones (x = −1 ) y (x = 3 ) verifican la ecuación original (x ^ 2 = 2x + 3 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 = −3x + 4 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(- 4 ), (1 )

     

Exercise 6.3.6.png

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 

Solución

 

Debido a que hay una potencia de (x ) mayor que uno, la ecuación (x ^ 2 – 4x − 96 = 0 ) es no lineal. Ya tenemos un lado cero, por lo que podemos proceder con la factorización. Comience a enumerar pares enteros cuyo producto es (ac = −96 ), teniendo en cuenta el hecho de que necesitamos un par cuya suma sea (b = −4 ).

 

[ begin {array} {l} {1, -96} \ {2, -48} \ {3, -32} \ {4, -24} \ {6, -16 } \ { color {Red} 8, -12} \ end {array} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que detuvimos el proceso de listado tan pronto como encontramos un par cuya suma era (b = −4 ). “Suelta” este par en su lugar para factorizar el trinomio.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} -4 x-96 & = 0 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ (x + 8) (x-12) & = 0 quad color {Red} text {Factor. } end {alineado} nonumber ]

 

Tenemos un producto que es igual a cero. Use la propiedad del producto cero para completar la solución.

 

[ begin {alineado} x + 8 & = 0 \ x & = – 8 end {alineado} nonumber ]

 

o

 

[ begin {alineado} x-12 & = 0 \ x & = 12 end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ) son (x = −8 ) y (x = 12 ).

 

Solución gráfica:

 

Cargue la ecuación (y = x ^ 2 −4x − 96 ) en ( mathbb {Y1} ) en el menú Y = de su calculadora gráfica (vea la Figura ( Índice de página {5} )). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
fig 6.3.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Dibuje el gráfico de (y = x ^ 2 −4x − 96 ).
 

Cuando el grado de un polinomio es dos, estamos acostumbrados a ver algún tipo de parábola. En la Figura ( PageIndex {5} ), vimos que el gráfico bajaba y apagaba la pantalla, pero no lo vimos girar y volver a subir. Ajustemos los parámetros WINDOW para que el vértice (punto de inflexión) de la parábola y ambas (x ) – intercepciones sean visibles en la ventana de visualización. Después de experimentar un poco, la configuración que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) revela el vértice y las intersecciones con (x ). Presione el botón GRAPH para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
fig 6.3.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Ajuste de la vista.
 

Tenga en cuenta que ambos (x ) – las intersecciones de la parábola ahora son visibles en la ventana de visualización (ver Figura ( PageIndex {6} )). Para encontrar las coordenadas de las intersecciones (x ), seleccione 2: cero en el menú CALC . Use las teclas de flecha izquierda y derecha para mover el cursor a la izquierda de la primera intersección (x ), luego presione ENTER para marcar el “límite izquierdo”. Luego, mueva el cursor a la derecha de la primera intersección (x ) -, luego presione ENTER para marcar el “Límite derecho”. Presione ENTER para aceptar la posición actual del cursor como su “Guess”. El resultado se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {7} ). Repita el proceso para encontrar las coordenadas de la segunda intersección (x ). El resultado se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
fig 6.3.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): Use 2: cero del menú CALC para encontrar el (x ) – intercepta.
 

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {8} )).
  •      
  • Coloque los parámetros de su VENTANA al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {8} )).
  •      
  • Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {8} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2−4x − 96 = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {8} )).
  •  
 
fig 6.3.8.png
Figura ( PageIndex {8} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ), a saber (x = −8 ) y (x = 12 ), coinciden con las soluciones encontradas usando el método algebraico método. Esta es una evidencia sólida de que ambos métodos de solución son correctos. Sin embargo, no está de más comprobar las respuestas finales en la ecuación original, sustituyendo (- 8 ) por (x ) y (12 ) por (x ).

 

[ begin {array} {r} {x ^ {2} -4 x-96 = 0} \ {(-8) ^ {2} -4 (-8) -96 = 0} {64 + 32-96 = 0} end {array} nonumber ]

 

y

 

[ begin {alineado} x ^ {2} -4 x-96 & = 0 \ (12) ^ {2} -4 (12) -96 & = 0 \ 144-48-96 & = 0 end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que las dos últimas afirmaciones son afirmaciones verdaderas, las soluciones (x = −8 ) y (x = 12 ) verifican la ecuación original (x ^ 2 −4x − 96−0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 −21x + 90 = 0 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(6 ), (15 )

     

Exercise 6.3.7.png

     
 
 
 
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