6.3: Gráficas de funciones exponenciales

6.3: Gráficas de funciones exponenciales

Como discutimos en la sección anterior, las funciones exponenciales se utilizan para muchas aplicaciones del mundo real como las finanzas, la medicina forense, la informática y la mayoría de las ciencias de la vida. Trabajar con una ecuación que describe una situación del mundo real nos da un método para hacer predicciones. La mayoría de las veces, sin embargo, la ecuación en sí misma no es suficiente. Aprendemos mucho acerca de las cosas al ver sus representaciones pictóricas, y eso es exactamente por qué representar gráficamente ecuaciones exponenciales es una herramienta poderosa. Nos da otra capa de información para predecir eventos futuros.

Representación gráfica de funciones exponenciales

 

Antes de comenzar a graficar, es útil revisar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recuerde la tabla de valores para una función de la forma (f (x) = b ^ x ) cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función (f (x) = 2 ^ x ). Observe cómo cambian los valores de salida en la Tabla ( PageIndex {1} ) a medida que la entrada aumenta en (1 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {1} )
(x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )
(f (x) = 2 ^ x ) ( dfrac {1} {8} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {2} ) (1 ) (2 ) (4 ) (8 )
 

Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, (2 ). Llamamos a la base (2 ) la relación constante . De hecho, para cualquier función exponencial con la forma (f (x) = ab ^ x ), (b ) es la relación constante de la función. Esto significa que a medida que la entrada aumenta en (1 ), el valor de salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de (a ).

 

Observe en la tabla que

 
         
  • los valores de salida son positivos para todos los valores de (x );
  •      
  • a medida que (x ) aumenta, los valores de salida aumentan sin límite; y
  •      
  • a medida que (x ) disminuye, los valores de salida se reducen y se acercan a cero.
  •  
 

La figura ( PageIndex {1} ) muestra la función de crecimiento exponencial (f (x) = 2 ^ x ).

 
Graph of the exponential function, 2^(x), with labeled points at (-3, 1/8), (-2, ¼), (-1, ½), (0, 1), (1, 2), (2, 4), and (3, 8). The graph notes that the x-axis is an asymptote.
Figura ( PageIndex {1} ): Observe que el gráfico se acerca al eje x, pero nunca lo toca.
 

El dominio de (f (x) = 2 ^ x ) es todos los números reales, el rango es ((0, infty) ), y la asíntota horizontal es (y = 0 ).

 

Para tener una idea del comportamiento de la disminución exponencial, podemos crear una tabla de valores para una función de la forma (f (x) = b ^ x ) cuya base está entre cero y uno. Utilizaremos la función (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ). Observe cómo cambian los valores de salida en la Tabla ( PageIndex {2} ) a medida que la entrada aumenta en (1 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {2} )
(x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )
(g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ) (8 ) (4 ) (2 ) (1 ) ( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {8} )
 

Nuevamente, debido a que la entrada aumenta en (1 ), cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, o la razón constante ( dfrac {1} {2} ).

 

Observe en la tabla que

 
         
  • los valores de salida son positivos para todos los valores de (x );
  •      
  • a medida que (x ) aumenta, los valores de salida se reducen, acercándose a cero; y
  •      
  • a medida que (x ) disminuye, los valores de salida crecen sin límite.
  •  
 

La figura ( PageIndex {2} ) muestra la función de disminución exponencial, (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ).

 
Graph of decreasing exponential function, (1/2)^x, with labeled points at (-3, 8), (-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 1/2), (2, 1/4), and (3, 1/8). The graph notes that the x-axis is an asymptote.
Figura ( PageIndex {2} )
 

El dominio de (g (x) = {( dfrac {1} {2})} ^ x ) es todos los números reales, el rango es ((0, infty) ), y el asíntota horizontal es (y = 0 ).

 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN GRÁFICA DE LOS PADRES (F (X) = b ^ x )

 

Una función exponencial con la forma (f (x) = b ^ x ), (b> 0 ), (b ≠ 1 ), tiene estas características:

 
         
  • función uno a uno
  •      
  • asíntota horizontal: (y = 0 )
  •      
  • dominio: ((- infty, infty) )
  •      
  • rango: ((0, infty) )
  •      
  • x- intercepción: ninguna
  •      
  • y- intercepción: ((0,1) )
  •      
  • aumentando si (b> 1 )
  •      
  • disminuyendo si (b <1 )
  •  
 

La Figura ( PageIndex {3} ) compara las gráficas de las funciones de crecimiento y decaimiento exponencial.

 
Graph of two functions where the first graph is of a function of f(x) = b^x when b>1 and the second graph is of the same function when b is 0<b<1. Both graphs have the points (0, 1) and (1, b) labeled.
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 

Cómo: Dada una función exponencial de la forma (f (x) = b ^ x ), grafica la función

 
         
  1. Crea una tabla de puntos.
  2.      
  3. Trace al menos (3 ) puntos de la tabla, incluyendo el y -intercept ((0,1) ).
  4.      
  5. Dibuja una curva suave a través de los puntos.
  6.      
  7. Indique el dominio, ((- infty, infty) ), el rango, ((0, infty) ) y la asíntota horizontal, (y = 0 ).
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Dibujar el gráfico de una función exponencial de la forma (f (x) = b ^ x )

 

Dibuja una gráfica de (f (x) = 0.25 ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Antes de graficar, identifique el comportamiento y cree una tabla de puntos para el gráfico.

                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {3} )
(x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )
(f (x) = {0.25} ^ x ) (64 ) (16 ) (4 ) (1 ) (0,25 ) (0,0625 0 (0,015625 )
 
         
  • Dado que (b = 0.25 ) está entre cero y uno, sabemos que la función está disminuyendo. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota (y = 0 ).
  •      
  • Cree una tabla de puntos como en Table ( PageIndex {3} ).
  •      
  • Trace el y -intercepción, ((0,1) ), junto con otros dos puntos. Podemos usar ((- 1,4) ) y ((1,0.25) ).
  •  
 

Dibuje una curva suave que conecte los puntos como en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
Graph of the decaying exponential function f(x) = 0.25^x with labeled points at (-1, 4), (0, 1), and (1, 0.25).
Figura ( PageIndex {4} )
 

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dibuja la gráfica de (f (x) = 4 ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

     

Graph of the increasing exponential function f(x) = 4^x with labeled points at (-1, 0.25), (0, 1), and (1, 4).

     
 
 
 

Representación gráfica de transformaciones de funciones exponenciales

 

Las transformaciones de gráficos exponenciales se comportan de manera similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones primarias, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamientos, reflexiones, estiramientos y compresiones) a la función primaria (f (x) = b ^ x ) sin pérdida de forma. Por ejemplo, así como la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general independientemente de las transformaciones aplicadas.

 

Graficando un desplazamiento vertical

 

La primera transformación ocurre cuando agregamos una constante (d ) a la función padre (f (x) = b ^ x ), dándonos un desplazamiento vertical d unidades en la misma dirección que el signo. Por ejemplo, si comenzamos graficando una función principal, (f (x) = 2 ^ x ), podemos graficar dos desplazamientos verticales a su lado, usando (d = 3 ): el desplazamiento hacia arriba, ( g (x) = 2 ^ x + 3 ) y el desplazamiento hacia abajo, (h (x) = 2 ^ x − 3 ). Ambos desplazamientos verticales se muestran en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
Graph of three functions, g(x) = 2^x+3 in blue with an asymptote at y=3, f(x) = 2^x in orange with an asymptote at y=0, and h(x)=2^x-3 with an asymptote at y=-3. Note that each functions’ transformations are described in the text.
Figura ( PageIndex {5} )
 

Observe los resultados del desplazamiento (f (x) = 2 ^ x ) verticalmente:

 
         
  • El dominio, ((- infty, infty) ) permanece sin cambios.
  •      
  • Cuando la función se desplaza hacia arriba (3 ) unidades a (g (x) = 2 ^ x + 3 ):      
               
    • La intercepción y- desplaza hacia arriba (3 ) unidades a ((0,4) ).
    •          
    • La asíntota se desplaza hacia arriba (3 ) unidades a (y = 3 ).
    •          
    • El rango se convierte en ((3, infty) ).
    •      
         
  •      
  • Cuando la función se desplaza hacia abajo (3 ) unidades a (h (x) = 2 ^ x − 3 ):      
               
    • La intercepción y- desplaza hacia abajo (3 ) unidades a ((0, −2) ).
    •          
    • La asíntota también desplaza hacia abajo (3 ) unidades a (y = −3 ).
    •          
    • El rango se convierte en ((- 3, infty) ).
    •      
         
  •  
 

Graficando un desplazamiento horizontal

 

La siguiente transformación ocurre cuando agregamos una constante (c ) a la entrada de la función padre (f (x) = b ^ x ), dándonos un desplazamiento horizontal (c ) unidades en el dirección opuesta de la señal. Por ejemplo, si comenzamos graficando la función principal (f (x) = 2 ^ x ), entonces podemos graficar dos desplazamientos horizontales a su lado, usando (c = 3 ): el desplazamiento a la izquierda, (g (x) = 2 ^ {x + 3} ), y el desplazamiento a la derecha, (h (x) = 2 ^ {x − 3} ). (h (x) = 2 ^ {x − 3} ). Ambos cambios horizontales se muestran en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
Graph of three functions, g(x) = 2^(x+3) in blue, f(x) = 2^x in orange, and h(x)=2^(x-3). Each functions’ asymptotes are at y=0Note that each functions’ transformations are described in the text.
Figura ( PageIndex {6} )
 

Observe los resultados del desplazamiento (f (x) = 2 ^ x ) horizontalmente:

 
         
  • El dominio, ((- infty, infty) ), permanece sin cambios.
  •      
  • La asíntota, (y = 0 ), permanece sin cambios.
  •      
  • La y- intercepta cambios tales que:      
               
    • Cuando la función se desplaza hacia la izquierda (3 ) unidades a (g (x) = 2 ^ {x + 3} ), la intercepción y se convierte en ((0,8 ) ). Esto se debe a que (2 ^ {x + 3} = (8) 2 ^ x ), por lo que el valor inicial de la función es (8 ).
    •          
    • Cuando la función se desplaza hacia la derecha (3 ) unidades a (h (x) = 2 ^ {x − 3} ), la intercepción y se convierte en ((0, dfrac {1} {8}) ). Nuevamente, vea que (2 ^ {x − 3} = ( dfrac {1} {8}) 2 ^ x ), entonces el valor inicial de la función es ( dfrac {1} {8} ) .
    •      
         
  •  
 
 
 

CAMBIOS DE LA FUNCIÓN DE LOS PADRES (F (X) = b ^ x )

 

Para cualquier constante (c ) y (d ), la función (f (x) = b ^ {x + c} + d ) desplaza la función padre (f (x) = b ^ x )

 
         
  • unidades verticalmente (d ), en la misma dirección del signo de (d ).
  •      
  • unidades horizontalmente (c ), en la dirección opuesta del signo de (c ).
  •      
  • La intersección y se convierte en ((0, b ^ c + d) ).
  •      
  • La asíntota horizontal se convierte en (y = d ).
  •      
  • El rango se convierte en ((d, infty) ).
  •      
  • El dominio, ((- infty, infty) ), permanece sin cambios.
  •  
 
 
 
 

Cómo: Dada una función exponencial con la forma (f (x) = b ^ {x + c} + d ), grafica la traducción

 
         
  1. Dibuje la asíntota horizontal (y = d ).
  2.      
  3. Identifique el cambio como ((- c, d) ). Desplace la gráfica de (f (x) = b ^ x ) a la izquierda (c ) unidades si (c ) es positiva, y a la derecha (c ) unidades si (c ) es negativa.
  4.      
  5. Desplaza la gráfica de (f (x) = b ^ x ) hacia arriba (d ) unidades si (d ) es positiva, y hacia abajo (d ) unidades si (d ) es negativo.
  6.      
  7. Indique el dominio, ((- infty, infty) ), el rango, ((d, infty) ) y la asíntota horizontal (y = d ).
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Graficando un cambio de una función exponencial

 

Gráfico (f (x) = 2 ^ {x + 1} −3 ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Tenemos una ecuación exponencial de la forma (f (x) = b ^ {x + c} + d ), con (b = 2 ), (c = 1 ) y ( d = −3 ).

 

Dibuja la asíntota horizontal (y = d ), así que dibuja (y = −3 ).

 

Identifique el cambio como ((- c, d) ), por lo que el cambio es ((- 1, −3) ).

 

Desplaza la gráfica de (f (x) = b ^ x ) izquierda (1 ) unidades y abajo (3 ) unidades.

 
Graph of the function, f(x) = 2^(x+1)-3, with an asymptote at y=-3. Labeled points in the graph are (-1, -2), (0, -1), and (1, 1).
Figura ( PageIndex {7} )
 

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((- 3, infty) ); la asíntota horizontal es (y = −3 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Gráfico (f (x) = 2 ^ {x − 1} +3 ). Dominio de estado, rango y asíntota.

 
     
Respuesta
     
     

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((3, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 3 ).

     

Graph of the function, f(x) = 2^(x-1)+3, with an asymptote at y=3. Labeled points in the graph are (-1, 3.25), (0, 3.5), and (1, 4).

     
 
 
 
 

Cómo: dada una ecuación de la forma (f (x) = b ^ {x + c} + d ) para (x ), use una calculadora gráfica para aproximar la solución

 
         
  • Presione [Y =] . Ingrese la ecuación exponencial dada en la línea encabezada “ Y 1 = ”.
  •      
  • Ingrese el valor dado para f (x) f (x) en la línea encabezada “ Y 2 = ”.
  •      
  • Presione [VENTANA] . Ajuste el eje y para que incluya el valor ingresado para “ Y 2 = ”.
  •      
  • Presione [GRAPH] para observar la gráfica de la función exponencial junto con la línea para el valor especificado off (x). f (x).
  •      
  • Para encontrar el valor de x, x, calculamos el punto de intersección. Presione [2º] luego [CALC] . Seleccione «intersectar» y presione [ENTRAR] tres veces. El punto de intersección da el valor de x para el valor indicado de la función.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Aproximación de la solución de una ecuación exponencial

 

Resuelve (42 = 1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) gráficamente. Redondea a la milésima más cercana.

 

Solución

 

Presione [Y =] e ingrese (1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) al lado de Y 1 =. Luego ingrese (42 ) al lado de Y2 = . Para una ventana, use los valores (- 3 ) a (3 ) para (x ) y (- 5 ) a (55 ) para (y ). Presione [GRÁFICO] . Los gráficos deben cruzarse en algún lugar cerca de (x = 2 ).

 

Para una mejor aproximación, presione [2ND] luego [CALC] . Seleccione [5: intersección] y presione [ENTER] tres veces. La x -coordinada del punto de intersección se muestra como (2.1661943 ). (Su respuesta puede ser diferente si usa una ventana diferente o usa un valor diferente para Guess? ) A la milésima más cercana, (x≈2.166 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve (4 = 7.85 {(1.15)} ^ x − 2.27 ) gráficamente. Redondea a la milésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

(x≈ − 1.608 )

     
 
 
 

Graficando un estiramiento o compresión

 

Si bien los cambios horizontales y verticales implican agregar constantes a la entrada o a la función en sí, se produce un estiramiento o cuando multiplicamos la función principal (f (x) = b ^ x ) por una constante (| a |> 0 ). Por ejemplo, si comenzamos graficando la función padre (f (x) = 2 ^ x ), entonces podemos graficar el estiramiento, usando (a = 3 ), para obtener (g (x) = 3 {(2)} ^ x ) como se muestra a la izquierda en la Figura ( PageIndex {8} ), y la compresión, usando (a = dfrac {1} {3} ), para obtener ( h (x) = dfrac {1} {3} {(2)} ^ x ) como se muestra a la derecha en la Figura ( PageIndex {8} ).

 
Two graphs where graph a is an example of vertical stretch and graph b is an example of vertical compression.
Figura ( PageIndex {8} ): (a) (g (x) = 3 {(2)} ^ x ) estira la gráfica de (f (x) = 2 ^ x ) verticalmente por un factor de (3 ). (b) (h (x) = dfrac {1} {3} {(2)} ^ x ) comprime la gráfica de (f (x) = 2 ^ x ) verticalmente por un factor de ( dfrac {1} {3} ).
 
 
 

ESTIRAMIENTOS Y COMPRESIONES DE LA FUNCIÓN DE LOS PADRES (F (X) = B ^ X )

 

Para cualquier factor (a> 0 ), la función (f (x) = a {(b)} ^ x )

 
         
  • se estira verticalmente por un factor de (a ) if (| a |> 1 ).
  •      
  • se comprime verticalmente por un factor de (a ) if (| a | <1 ).
  •      
  • tiene una y -intercepción de ((0, a) ).
  •      
  • tiene una asíntota horizontal en (y = 0 ), un rango de ((0, infty) ) y un dominio de ((- infty, infty) ), que no cambian desde la función padre.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficando el estiramiento de una función exponencial

 

Dibuje un gráfico de (f (x) = 4 {( dfrac {1} {2})} ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave en el gráfico.

 
         
  • Dado que (b = dfrac {1} {2} ) está entre cero y uno, la cola izquierda del gráfico aumentará sin límite a medida que (x ) disminuya, y la cola derecha se acercará a [ 19459025] x -eje a medida que aumenta (x ).
  •      
  • Dado que (a = 4 ), la gráfica de (f (x) = {( dfrac {1} {2})} ^ x ) se estirará por un factor de (4 ) .
  •      
  • Cree una tabla de puntos como se muestra en la Tabla ( PageIndex {4} ).                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
    Tabla ( PageIndex {4} )
    (x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )
                     

    (f (x) = 4 {( dfrac {1} {2})} ^ x )

                     
    (32 ) (16 ) (8 ) (4 ) (2 ) (1 ) (0,5 )
         
  •      
  • Trace la intersección y- , ((0,4) ), junto con otros dos puntos. Podemos usar ((- 1,8) ) y ((1,2) ).
  •  
 

Dibuje una curva suave que conecte los puntos, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

 
Graph of the function, f(x) = 4(1/2)^(x), with an asymptote at y=0. Labeled points in the graph are (-1, 8), (0, 4), and (1, 2).
Figura ( PageIndex {9} )
 

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Dibuje la gráfica de (f (x) = dfrac {1} {2} {(4)} ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

     

Graph of the function, f(x) = (1/2)(4)^(x), with an asymptote at y=0. Labeled points in the graph are (-1, 0.125), (0, 0.5), and (1, 2).

     
 
 
 
 

Representación gráfica de reflexiones

 

Además de cambiar, comprimir y estirar un gráfico, también podemos reflejarlo sobre el eje x o el eje y . Cuando multiplicamos la función padre (f (x) = b ^ x ) por (- 1 ), obtenemos una reflexión sobre el eje x . Cuando multiplicamos la entrada por (- 1 ), obtenemos una reflexión sobre el eje y . Por ejemplo, si comenzamos graficando la función padre (f (x) = 2 ^ x ), entonces podemos graficar las dos reflexiones a su lado. La reflexión sobre el eje x , (g (x) = – 2 ^ x ), se muestra en el lado izquierdo de la Figura ( PageIndex {10} ), y la reflexión sobre el eje y (h (x) = 2 ^ {- x} ), se muestra en el lado derecho de la Figura ( PageIndex {10} ).

 
Two graphs where graph a is an example of a reflection about the x-axis and graph b is an example of a reflection about the y-axis.
La figura ( PageIndex {10} ): (a) (g (x) = – 2 ^ x ) refleja la gráfica de (f (x) = 2 ^ x ) Sobre el eje x. (b) (g (x) = 2 ^ {- x} ) refleja la gráfica de (f (x) = 2 ^ x ) sobre el eje y.
 
 
 

REFLEXIONES DE LA FUNCIÓN DE LOS PADRES (F (X) = B ^ x )

 

La función (f (x) = – b ^ x )

 
         
  • refleja la función padre (f (x) = b ^ x ) sobre el eje x .
  •      
  • tiene una y -intercepción de ((0, −1) ).
  •      
  • tiene un rango de ((- infty, 0) )
  •      
  • tiene una asíntota horizontal en (y = 0 ) y un dominio de ((- infty, infty) ), que no cambia desde la función principal.
  •  
 

La función (f (x) = b ^ {- x} )

 
         
  • refleja la función padre (f (x) = b ^ x ) sobre el eje y .
  •      
  • tiene una y -intercepción de ((0,1) ), una asíntota horizontal en (y = 0 ), un rango de ((0, infty) ) , y un dominio de ((- infty, infty) ), que no han cambiado desde la función principal.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Escribir y graficar la reflexión de una función exponencial

 

Encuentra y representa gráficamente la ecuación para una función, (g (x) ), que refleja (f (x) = {( dfrac {1} {4})} ^ x ) sobre el [19459025 ] x -eje. Indique su dominio, rango y asíntota.

 

Solución

 

Dado que queremos reflejar la función padre (f (x) = {( dfrac {1} {4})} ^ x ) sobre el eje x- , multiplicamos ( f (x) ) por (- 1 ) para obtener, (g (x) = – {( dfrac {1} {4})} ^ x ). A continuación, creamos una tabla de puntos como en Table ( PageIndex {5} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {5} )
(x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )
             

(g (x) = – {( dfrac {1} {4})} ^ x )

             
             

(- 64 )

             
             

(- 16 )

             
             

(- 4 )

             
             

(- 1 )

             
             

(- 0,25 )

             
             

(- 0,0625 )

             
             

(- 0,0156 )

             
 

Trace la intersección y- , ((0, −1) ), junto con otros dos puntos. Podemos usar ((- 1, −4) ) y ((1, −0.25) ).

 

Dibuja una curva suave que conecta los puntos:

 
Graph of the function, g(x) = -(0.25)^(x), with an asymptote at y=0. Labeled points in the graph are (-1, -4), (0, -1), and (1, -0.25).
Figura ( PageIndex {11} )
 

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((- infty, 0) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra y representa gráficamente la ecuación para una función, (g (x) ), que refleja (f (x) = {1.25} ^ x ) sobre el eje y . Indique su dominio, rango y asíntota.

 
     
Respuesta
     
     

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

     

Graph of the function, g(x) = -(1.25)^(-x), with an asymptote at y=0. Labeled points in the graph are (-1, 1.25), (0, 1), and (1, 0.8).

     
 
 
 
 

Resumiendo las traducciones de la función exponencial

 

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traducción para la función exponencial, podemos resumirlos en Tabla ( PageIndex {6} ) para llegar a la ecuación general para traducir funciones exponenciales.

  Traducción                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Formulario
Cambio              
                     
  • Horizontalmente (c ) unidades a la izquierda
  •                  
  • Unidades verticalmente (d ) arriba
  •              
             
             

(f (x) = b ^ {x + c} + d )

             
Estirar y comprimir              
                     
  • Estirar si (| a |> 1 )
  •                  
  • Compresión si (0 <| a | <1 )
  •              
             
             

(f (x) = ab ^ x )

             
Reflexiona sobre el eje x              

(f (x) = – b ^ x )

             
Reflexiona sobre el eje y              

(f (x) = b ^ {- x} = {( dfrac {1} {b})} ^ x )

             
Ecuación general para todas las traducciones              

(f (x) = ab ^ {x + c} + d )

             
 
 

TRADUCCIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES

 

Una traducción de una función exponencial tiene la forma

 

(f (x) = ab ^ {x + c} + d )

 

Donde la función padre, (y = b ^ x ), (b> 1 ), es

 
         
  • desplazó horizontalmente (c ) unidades a la izquierda.
  •      
  • estirado verticalmente por un factor de (| a | ) if (| a |> 0 ).
  •      
  • comprimido verticalmente por un factor de (| a | ) if (0 <| a | <1 ).
  •      
  • desplazado verticalmente (d ) unidades.
  •      
  • reflexionó sobre el eje x- cuando (a <0 ).
  •  
 

Tenga en cuenta que el orden de los cambios, transformaciones y reflexiones sigue el orden de las operaciones.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Escribir una función desde una descripción

 

Escribe la ecuación para la función que se describe a continuación. Dé la asíntota horizontal, el dominio y el rango.

 

(f (x) = e ^ x ) se estira verticalmente por un factor de (2 ), reflejado en el eje y , y luego se desplaza hacia arriba (4 ) unidades.

 

Solución

 

Queremos encontrar una ecuación de la forma general f (x) = abx + c + d. f (x) = abx + c + d. Usamos la descripción provista para finda, a, b, b, c, c y d. re.

 
         
  • Se nos da la función padre (f (x) = e ^ x ), entonces (b = e ).
  •      
  • La función se estira por un factor de (2 ), entonces (a = 2 ).
  •      
  • La función se refleja sobre el eje y . Reemplazamos (x ) con (- x ) para obtener: (e ^ {- x} ).
  •      
  • El gráfico se desplaza verticalmente 4 unidades, entonces (d = 4 ).
  •  
 

Sustituyendo en la forma general que obtenemos,

 

(f (x) = ab ^ {x + c} + d )

 

(= 2e ^ {- x + 0} +4 )

 

(= 2e ^ {- x} +4 )

 

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((4, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 4 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Escribe la ecuación para la función que se describe a continuación. Dé la asíntota horizontal, el dominio y el rango.

 

(f (x) = e ^ x ) se comprime verticalmente por un factor de ( dfrac {1} {3} ), se refleja en el eje x y luego se desplaza abajo (2 ) unidades.

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = – dfrac {1} {3} e ^ {x} −2 ); el dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((- infty, 2) ); la asíntota horizontal es (y = 2 ).

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con funciones gráficas exponenciales.

 
 
]]>

, ,

Deja una respuesta