las matematicas

6.3: Multiplicar polinomios

6.3: Multiplicar polinomios

Al igual que existen diferentes formas de representar la multiplicación de números, existen varios métodos que pueden usarse para multiplicar un binomial por un binomio. Comenzaremos usando la propiedad distributiva.

Observe que antes de combinar términos similares, tenía cuatro términos. Multiplicaste los dos términos del primer binomio por los dos términos del segundo binomio: cuatro multiplicaciones.

Multiplicar un binomio por un binomio usando el método FOIL

 

Recuerde que cuando multiplica un binomio por un binomio, obtiene cuatro términos. A veces puede combinar términos similares para obtener un trinomio , pero a veces, como en el Ejercicio ( PageIndex {28} ), no hay términos similares para combinar.

 

Veamos nuevamente el último ejemplo y prestemos especial atención a cómo obtuvimos los cuatro términos.

 

[ begin {array} {c} {(x-2) (xy)} \ {x ^ {2} -x y-2 x + 2 y} end {array} ] [19459003 ]  

¿De dónde viene el primer término, (x ^ {2} )?

 

This figure explains how to multiply a binomial using the FOIL method. It has two columns, with written instructions on the left and math on the right. At the top of the figure, the text in the left column says “It is the product of x and x, the first terms in x minus 2 and x minus y.” In the right column is the product of x minus 2 and x minus y. An arrow extends from the x in x minus 2, and terminates at the x in x minus y. Below this is the word “First.” One row down, the text in the left column says “The next terms, negative xy, is the product of x and negative y, the two outer terms.” In the right column is the product of x minus 2 and x minus y, with another arrow extending from the x in x minus 2 to the y in x minus y. Below this is the word “Outer.” One row down, the text in the left column says “The third term, negative 2 x, is the product of negative 2 and x, the two inner terms.” In the right column is the product of x minus 2 and x minus y with a third arrow extending from minus 2 in x minus 2 and terminating at the x in x minus y. Below this is the word “Inner.” In the last row, the text in the left column says “And the last term, plus 2y, came from multiplying the two last terms, negative 2 and negative y.” In the right column is the product of x minus 2 and x minus y, with a fourth arrow extending from the minus 2 in x minus 2 to the minus y in x minus y. Below this is the word “Last.”

 

Abreviamos «Primero, Exterior, Interior, Último» como FOIL. Las letras significan ‘ F primero, O útero, I nner, L ast ‘. La palabra FOIL es fácil de recordar y garantiza que encontremos los cuatro productos.

 

[ begin {array} {c} {(x-2) (xy)} \ {x ^ {2} -x y-2 x + 2 y} \ {F qquad O qquad I qquad L} end {array} ]

 

Veamos (x + 3) (x + 7).

 

Observe cómo los términos en tercera línea se ajustan al patrón FOIL.

 

Ahora haremos un ejemplo en el que usamos el patrón FOIL para multiplicar dos binomios.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Multiplica usando el método FOIL: ((x + 6) (x + 8) )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} +14 x + 48 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Multiplica usando el método FOIL: ((y + 17) (y + 3) )

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {2} +20 y + 51 )

     
 
 
 

A continuación resumimos los pasos del método FOIL. ¡El método FOIL solo se aplica a la multiplicación de binomios, no a otros polinomios!

 
 
 

MULTIPLICA DOS BINOMIALES USANDO EL MÉTODO FOIL

 
 
.
 
 

Cuando multiplicas por el método FOIL, dibujar las líneas ayudará a tu cerebro a enfocarse en el patrón y facilitará la aplicación.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Multiplicar: (y − 7) (y + 4).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has three columns, with written instructions in the first column and math in the second and third columns. At the top of the figure, the text in the first column says “Multiply the first terms.” The second column contains the product of two binomials, y minus 7 and y plus 4, with an arrow extending from the y in the first binomial to the y in the second binomial. The third column contains y squared plus blank plus blank plus blank. Beneath y squared is the letter F and beneath each blank are the letters O, I, and L, respectively. One row down, the text in the first column says “Multiply the outer terms.” The second column contains the product of y minus 7 and y plus 4 again, with a second arrow extending from y in the first binomial to 4 in the second binomial. The third column contains y squared plus 4y plus blank plus blank. Below y squared is F, below 4y is O, and below the blanks are I and L. One row down, the text in the first column says “Multiply the inner terms.” The middle column contains the product of y minus 7 and y plus 4 again, with a third arrow extending from the minus 7 in the first binomial to the y in the second binomial. The third column contains y squared plus 4y minus 7y plus blank. One row down, the text in the first column says “Multiply the last terms.” The second column contains the product of y minus 7 and y plus 4 again, with a fourth arrow extending from minus 7 in the first binomial to 4 in the second binomial. In the third column is the full expression, y squared plus 4y minus 7y minus 28, with each letter of FOIL beneath each of the terms. At the bottom of the image, the text in the first column says “Combine like terms.” In the right column is y squared minus 3y minus 28.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Multiplicar: (x − 7) (x + 5).

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} -2 x-35 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Multiplicar: (b − 3) (b + 6).

 
     
Respuesta
     
     

(b ^ {2} +3 b-18 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Multiplicar: (4x + 3) (2x − 5).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has three columns. At the top of the figure, the second column contains the product of two binomials, 4x plus 3 and 2x minus 5. One row down, the text in the first column says “Multiply the first terms. 4x times 2x.” The second column contains 8x squared plus blank plus blank plus blank. Beneath 8x squared is the letter F and beneath each blank are the letters O, I, and L, respectively. One row down, the text in the first column says “Multiply the outer terms. 4x times negative 5.” The second column contains 8x squared minus 20x plus blank plus blank. Below 8x squared is F, below 20x is O, and below the blanks are I and L. One row down, the text in the first column says “Multiply the inner terms. 3 times 2x.” The second column contains 8x squared minus 20x plus 6x plus blank. One row down, the text in the first column says “Multiply the last terms. 3 times negative 5.” The second column contains the full expression, 8x squared minus 20x plus 6x minus 15, with each letter of FOIL beneath each of the terms. At the bottom of the image, the text in the first column says “Combine like terms.” In the right column is 8x squared minus 14x minus 15. In the third column is the product of the two binomials again, 4x plus 3 times 2x minus 5. An arrow extends from 4x in the first binomial to 2x in the second binomial. A second arrow extends from 4x in the first binomial to minus 5 in the second binomial. A third arrow extends from 3 in the first binomial to 2x in the second binomial. A fourth arrow extends from 3 in the first binomial to minus 5 in the second binomial.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Multiplicar: (3x + 7) (5x − 2).

 
     
Respuesta
     
     

(15 x ^ {2} +29 x-14 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Multiplicar: (4y + 5) (4y − 10).

 
     
Respuesta
     
     

(16 y ^ {2} -20 y-50 )

     
 
 
 

Los productos finales en los últimos cuatro ejemplos fueron trinomios porque pudimos combinar los dos términos intermedios. Este no es siempre el caso.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {40} )

 

Multiplicar: (3x − y) (2x − 5).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {41} )

 

Multiplicar: (10c − d) (c − 6).

 
     
Respuesta
     
     

(10 ​​c ^ {2} -60 c-c d + 6 d )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {42} )

 

Multiplicar: (7x − y) (2x − 5).

 
     
Respuesta
     
     

(14 x ^ {2} -35 x-2 x y + 10 y )

     
 
 
 

Tenga cuidado con los exponentes en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {43} )

 

Multiplicar: ( left (n ^ {2} +4 right) (n-1) )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {44} )

 

Multiplicar: ( left (x ^ {2} +6 right) (x-8) )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {3} -8 x ^ {2} +6 x-48 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {45} )

 

Multiplicar: ( left (y ^ {2} +7 right) (y-9) )

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {3} -9 y ^ {2} +7 y-63 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {46} )

 

Multiplicar: ((3 p q + 5) (6 p q-11) )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {47} )

 

Multiplicar: ((2 a b + 5) (4 a b-4) )

 
     
Respuesta
     
     

(8 a ^ {2} b ^ {2} +12 a b-20 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {48} )

 

Multiplicar: ((2 x y + 3) (4 x y-5) )

 
     
Respuesta
     
     

(8 x ^ {2} y ^ {2} +2 x y-15 )

     
 
 
 

Multiplicar un binomio por un binomio usando el método vertical

 

El método FOIL suele ser el método más rápido para multiplicar dos binomios, pero solo funciona para binomios. Puede usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de dos polinomios. Otro método que funciona para todos los polinomios es el Método Vertical. Es muy parecido al método que utiliza para multiplicar números enteros. Mire cuidadosamente este ejemplo de multiplicar números de dos dígitos.

 

This figure shows the vertical multiplication of 23 and 46. The number 23 is above the number 46. Below this, there is the partial product 138 over the partial product 92. The final product is at the bottom and is 1058. Text on the right side of the image says “Start by multiplying 23 by 6 to get 138. Next, multiply 23 by 4, lining up the partial product in the correct columns. Last you add the partial products.”

 

Ahora aplicaremos este mismo método para multiplicar dos binomios.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {49} )

 

Multiplica usando el Método Vertical: ((3 y-1) (2 y-6) )

 
     
Respuesta
     
     

No importa qué binomio vaya arriba.

     

( begin {array} {lll} { text {Multiply} 3 y-1 text {by} -6 text {.}} && \ { text {Multiply} 3 y-1 text {by} 2 y text {.}} & & \ \ & { qquad space3 y-1} & \ & { dfrac { space space times 2 y-6} { quad -18 y + 6}} & text {producto parcial} & \ &

ParseError: EOF esperado (haga clic para más detalles) 
 Callstack:
    en  (Estanterías / Álgebra / Libro: _Elementary_Algebra_ (OpenStax) /06:_Polynomials/6.03:_Multiply_Polynomials), / content / body / div [4] / div [14] / div [1] / dl / dd / p [2] / tramo, línea 1, columna 3 
 
& text {producto parcial} & \ text {Agregar términos similares.} && text {producto} end {array} )      

Observe que los productos parciales son los mismos que los términos del método FOIL.

     

This figure has two columns. In the left column is the product of two binomials, 3y minus 1 and 2y minus 6. Below this is 6y squared minus 2y minus 18y plus 6. Below this is 6y squared minus 20y plus 6. In the right column is the vertical multiplication of 3y minus 1 and 2y minus 6. Below this is the partial product negative 18y plus 6. Below this is the partial product 6y squared minus 2y. Below this is 6y squared minus 20y plus 6.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {50} )

 

Multiplica usando el Método Vertical: ((5 m-7) (3 m-6) )

 
     
Respuesta
     
     

(15 m ^ {2} -51 m + 42 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {51} )

 

Multiplica usando el Método Vertical: ((6 b-5) (7 b-3) )

 
     
Respuesta
     
     

(42 b ^ {2} -53 b + 15 )

     
 
 
 
 
 

Ahora hemos utilizado tres métodos para multiplicar binomios. Asegúrese de practicar cada método e intente decidir cuál prefiere. Los métodos se enumeran aquí todos juntos, para ayudarlo a recordarlos.

 
 
 

MULTIPLICANDO DOS BINOMIALES

 

Para multiplicar binomios, use:

 
         
  • Propiedad distributiva
    •      
  • Método FOIL
    •      
  • Método vertical
    •  
 

Recuerde, FOIL solo funciona cuando se multiplican dos binomios.

 
 
 
 
 
 

Multiplicar un trinomio por un binomio

 

Hemos multiplicado monomios por monomios, monomios por polinomios y binomios por binomios. Ahora estamos listos para multiplicar un trinomio por un binomio . Recuerde, FOIL no funcionará en este caso, pero podemos usar la Propiedad Distributiva o el Método Vertical. Primero miramos un ejemplo usando la Propiedad Distributiva.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {52} )

 

Multiplica usando la propiedad distributiva: ((b + 3) left (2 b ^ {2} -5 b + 8 right) )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
The product of a binomial, b plus 3, and a trinomial, 2 b squared minus 5 b plus 8. Two arrows extend from the trinomial, terminating at b and 3 in the binomial.
Distribuir. The sum of two products, the product of b and 2 b squared minus 5 b plus 8, and the product of 3 and 2 b squared minus 5 b plus 8.
Multiplica. 2 b cubed minus 5 b squared plus 8 b plus 6 b squared minus 15 b plus 24.
Combina términos similares. 2 b cubed plus b squared minus 7 b plus 24.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {53} )

 

Multiplica usando la propiedad distributiva: ((y-3) left (y ^ {2} -5 y + 2 right) )

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {3} -8 y ^ {2} +17 y-6 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {54} )

 

Multiplica usando la propiedad distributiva: ((x + 4) left (2 x ^ {2} -3 x + 5 right) )

 
     
Respuesta
     
     

(2 x ^ {3} +5 x ^ {2} -7 x + 20 )

     
 
 
 

Ahora hagamos la misma multiplicación usando el Método vertical.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {55} )

 

Multiplica usando el Método Vertical: ((b + 3) left (2 b ^ {2} -5 b + 8 right) )

 
     
Respuesta
     
     

Es más fácil colocar el polinomio con menos términos en la parte inferior porque obtenemos menos productos parciales de esta manera.

                                                                                                                                                                                                                                                                            
Multiplicar (2 b 2 – 5 b + 8) por 3. .
.
Multiplicar (2 b 2 – 5 b + 8) por b. .
Agregue términos similares.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {56} )

 

Multiplica usando el Método Vertical: ((y-3) left (y ^ {2} -5 y + 2 right) )

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {3} -8 y ^ {2} +17 y-6 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {57} )

 

Multiplica usando el Método Vertical: ((x + 4) left (2 x ^ {2} -3 x + 5 right) )

 
     
Respuesta
     
     

(2 x ^ {3} +5 x ^ {2} -7 x + 20 )

     
 
 
 

Ahora hemos visto dos métodos que puede usar para multiplicar un trinomio por un binomio. Después de practicar cada método, probablemente descubra que prefiere una forma sobre la otra. Aquí enumeramos ambos métodos, para una fácil referencia.

 
 
 

MULTIPLICANDO UN TRINOMIAL POR UN BINOMIAL

 

Para multiplicar un trinomio por un binomio, use:

 
         
  • Propiedad distributiva
    •      
  • Método vertical
    •  
 
 
 

Nota

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con polinomios multiplicadores:

 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Método FOIL para multiplicar dos binomios —Para multiplicar dos binomios:      
               
    1. Multiplica los términos Primero .
      2.          
    2. Multiplica los términos Exterior .
      3.          
    3. Multiplica los términos Interior .
      4.          
    4. Multiplica los términos Último .
      5.      
         
    •      
  • Multiplicar dos binomios —Para multiplicar binomios, use:           
    •      
  • Multiplicar un trinomio por un binomio —Para multiplicar un trinomio por un binomio, use:           
    •  
 
 
 
 
 
 
 
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