Al igual que existen diferentes formas de representar la multiplicación de números, existen varios métodos que pueden usarse para multiplicar un binomial por un binomio. Comenzaremos usando la propiedad distributiva.
Observe que antes de combinar términos similares, tenía cuatro términos. Multiplicaste los dos términos del primer binomio por los dos términos del segundo binomio: cuatro multiplicaciones.
Multiplicar un binomio por un binomio usando el método FOIL
Recuerde que cuando multiplica un binomio por un binomio, obtiene cuatro términos. A veces puede combinar términos similares para obtener un trinomio , pero a veces, como en el Ejercicio ( PageIndex {28} ), no hay términos similares para combinar.
Veamos nuevamente el último ejemplo y prestemos especial atención a cómo obtuvimos los cuatro términos.
[ begin {array} {c} {(x-2) (xy)} \ {x ^ {2} -x y-2 x + 2 y} end {array} ] [19459003 ]
¿De dónde viene el primer término, (x ^ {2} )?
Abreviamos «Primero, Exterior, Interior, Último» como FOIL. Las letras significan ‘ F primero, O útero, I nner, L ast ‘. La palabra FOIL es fácil de recordar y garantiza que encontremos los cuatro productos.
[ begin {array} {c} {(x-2) (xy)} \ {x ^ {2} -x y-2 x + 2 y} \ {F qquad O qquad I qquad L} end {array} ]
Veamos (x + 3) (x + 7).
Observe cómo los términos en tercera línea se ajustan al patrón FOIL.
Ahora haremos un ejemplo en el que usamos el patrón FOIL para multiplicar dos binomios.
Ejercicio ( PageIndex {32} )
Multiplica usando el método FOIL: ((x + 6) (x + 8) )
- Respuesta
-
(x ^ {2} +14 x + 48 )
Ejercicio ( PageIndex {33} )
Multiplica usando el método FOIL: ((y + 17) (y + 3) )
- Respuesta
-
(y ^ {2} +20 y + 51 )
A continuación resumimos los pasos del método FOIL. ¡El método FOIL solo se aplica a la multiplicación de binomios, no a otros polinomios!
MULTIPLICA DOS BINOMIALES USANDO EL MÉTODO FOIL

Cuando multiplicas por el método FOIL, dibujar las líneas ayudará a tu cerebro a enfocarse en el patrón y facilitará la aplicación.
Ejercicio ( PageIndex {34} )
Multiplicar: (y − 7) (y + 4).
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {35} )
Multiplicar: (x − 7) (x + 5).
- Respuesta
-
(x ^ {2} -2 x-35 )
Ejercicio ( PageIndex {36} )
Multiplicar: (b − 3) (b + 6).
- Respuesta
-
(b ^ {2} +3 b-18 )
Ejercicio ( PageIndex {37} )
Multiplicar: (4x + 3) (2x − 5).
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {38} )
Multiplicar: (3x + 7) (5x − 2).
- Respuesta
-
(15 x ^ {2} +29 x-14 )
Ejercicio ( PageIndex {39} )
Multiplicar: (4y + 5) (4y − 10).
- Respuesta
-
(16 y ^ {2} -20 y-50 )
Los productos finales en los últimos cuatro ejemplos fueron trinomios porque pudimos combinar los dos términos intermedios. Este no es siempre el caso.
Ejercicio ( PageIndex {40} )
Multiplicar: (3x − y) (2x − 5).
- Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {41} )
Multiplicar: (10c − d) (c − 6).
- Respuesta
-
(10 c ^ {2} -60 c-c d + 6 d )
Ejercicio ( PageIndex {42} )
Multiplicar: (7x − y) (2x − 5).
- Respuesta
-
(14 x ^ {2} -35 x-2 x y + 10 y )
Tenga cuidado con los exponentes en el siguiente ejemplo.
Ejercicio ( PageIndex {43} )
Multiplicar: ( left (n ^ {2} +4 right) (n-1) )
- Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {44} )
Multiplicar: ( left (x ^ {2} +6 right) (x-8) )
- Respuesta
-
(x ^ {3} -8 x ^ {2} +6 x-48 )
Ejercicio ( PageIndex {45} )
Multiplicar: ( left (y ^ {2} +7 right) (y-9) )
- Respuesta
-
(y ^ {3} -9 y ^ {2} +7 y-63 )
Ejercicio ( PageIndex {46} )
Multiplicar: ((3 p q + 5) (6 p q-11) )
- Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {47} )
Multiplicar: ((2 a b + 5) (4 a b-4) )
- Respuesta
-
(8 a ^ {2} b ^ {2} +12 a b-20 )
Ejercicio ( PageIndex {48} )
Multiplicar: ((2 x y + 3) (4 x y-5) )
- Respuesta
-
(8 x ^ {2} y ^ {2} +2 x y-15 )
Multiplicar un binomio por un binomio usando el método vertical
El método FOIL suele ser el método más rápido para multiplicar dos binomios, pero solo funciona para binomios. Puede usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de dos polinomios. Otro método que funciona para todos los polinomios es el Método Vertical. Es muy parecido al método que utiliza para multiplicar números enteros. Mire cuidadosamente este ejemplo de multiplicar números de dos dígitos.
Ahora aplicaremos este mismo método para multiplicar dos binomios.
Ejercicio ( PageIndex {49} )
Multiplica usando el Método Vertical: ((3 y-1) (2 y-6) )
- Respuesta
-
No importa qué binomio vaya arriba.
( begin {array} {lll} { text {Multiply} 3 y-1 text {by} -6 text {.}} && \ { text {Multiply} 3 y-1 text {by} 2 y text {.}} & & \ \ & { qquad space3 y-1} & \ & { dfrac { space space times 2 y-6} { quad -18 y + 6}} & text {producto parcial} & \ &
(haga clic para más detalles)& text {producto parcial} & \ text {Agregar términos similares.} && text {producto} end {array} )Callstack: en (Estanterías / Álgebra / Libro: _Elementary_Algebra_ (OpenStax) /06:_Polynomials/6.03:_Multiply_Polynomials), / content / body / div [4] / div [14] / div [1] / dl / dd / p [2] / tramo, línea 1, columna 3
Observe que los productos parciales son los mismos que los términos del método FOIL.
Ejercicio ( PageIndex {50} )
Multiplica usando el Método Vertical: ((5 m-7) (3 m-6) )
- Respuesta
-
(15 m ^ {2} -51 m + 42 )
Ejercicio ( PageIndex {51} )
Multiplica usando el Método Vertical: ((6 b-5) (7 b-3) )
- Respuesta
-
(42 b ^ {2} -53 b + 15 )
Ahora hemos utilizado tres métodos para multiplicar binomios. Asegúrese de practicar cada método e intente decidir cuál prefiere. Los métodos se enumeran aquí todos juntos, para ayudarlo a recordarlos.
MULTIPLICANDO DOS BINOMIALES
Para multiplicar binomios, use:
- Propiedad distributiva
- Método FOIL
- Método vertical
Recuerde, FOIL solo funciona cuando se multiplican dos binomios.
Multiplicar un trinomio por un binomio
Hemos multiplicado monomios por monomios, monomios por polinomios y binomios por binomios. Ahora estamos listos para multiplicar un trinomio por un binomio . Recuerde, FOIL no funcionará en este caso, pero podemos usar la Propiedad Distributiva o el Método Vertical. Primero miramos un ejemplo usando la Propiedad Distributiva.
Ejercicio ( PageIndex {52} )
Multiplica usando la propiedad distributiva: ((b + 3) left (2 b ^ {2} -5 b + 8 right) )
- Respuesta
-
Distribuir. Multiplica. Combina términos similares.
Ejercicio ( PageIndex {53} )
Multiplica usando la propiedad distributiva: ((y-3) left (y ^ {2} -5 y + 2 right) )
- Respuesta
-
(y ^ {3} -8 y ^ {2} +17 y-6 )
Ejercicio ( PageIndex {54} )
Multiplica usando la propiedad distributiva: ((x + 4) left (2 x ^ {2} -3 x + 5 right) )
- Respuesta
-
(2 x ^ {3} +5 x ^ {2} -7 x + 20 )
Ahora hagamos la misma multiplicación usando el Método vertical.
Ejercicio ( PageIndex {55} )
Multiplica usando el Método Vertical: ((b + 3) left (2 b ^ {2} -5 b + 8 right) )
- Respuesta
-
Es más fácil colocar el polinomio con menos términos en la parte inferior porque obtenemos menos productos parciales de esta manera.
Multiplicar (2 b 2 – 5 b + 8) por 3. Multiplicar (2 b 2 – 5 b + 8) por b. Agregue términos similares.
Ejercicio ( PageIndex {56} )
Multiplica usando el Método Vertical: ((y-3) left (y ^ {2} -5 y + 2 right) )
- Respuesta
-
(y ^ {3} -8 y ^ {2} +17 y-6 )
Ejercicio ( PageIndex {57} )
Multiplica usando el Método Vertical: ((x + 4) left (2 x ^ {2} -3 x + 5 right) )
- Respuesta
-
(2 x ^ {3} +5 x ^ {2} -7 x + 20 )
Ahora hemos visto dos métodos que puede usar para multiplicar un trinomio por un binomio. Después de practicar cada método, probablemente descubra que prefiere una forma sobre la otra. Aquí enumeramos ambos métodos, para una fácil referencia.
MULTIPLICANDO UN TRINOMIAL POR UN BINOMIAL
Para multiplicar un trinomio por un binomio, use:
- Propiedad distributiva
- Método vertical
Nota
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con polinomios multiplicadores:
Conceptos clave
- Método FOIL para multiplicar dos binomios —Para multiplicar dos binomios:
- Multiplica los términos Primero .
- Multiplica los términos Exterior .
- Multiplica los términos Interior .
- Multiplica los términos Último .
- Multiplicar dos binomios —Para multiplicar binomios, use:
- Multiplicar un trinomio por un binomio —Para multiplicar un trinomio por un binomio, use: