6.3: Resolver ecuaciones de forma cuadrática

6.3: Resolver ecuaciones de forma cuadrática

Usa los coeficientes de una ecuación cuadrática para ayudar a decidir qué método es el más apropiado para resolverlo. Si bien la fórmula cuadrática siempre funciona, a veces no es el método más eficiente. Si se le da alguna ecuación cuadrática en forma estándar,

donde (c = 0 ), entonces es mejor factorizar el MCD y resolver por factorización.

Si (b = 0 ), entonces podemos resolver extrayendo las raíces.

Es bueno saber que la fórmula cuadrática funcionará para encontrar las soluciones a todos los ejemplos en esta sección. Sin embargo, no siempre es la mejor solución. Si la ecuación se puede resolver factorizando o extrayendo las raíces, debe usar ese método.

Resolviendo ecuaciones cuadráticas en forma

 

En esta sección, describimos una técnica algebraica que se usa ampliamente en matemáticas para transformar ecuaciones en formas familiares. Comenzamos definiendo la forma cuadrática 7 ,

 

(a u ^ {2} + b u + c = 0 )

 

Aquí (u ) representa una expresión algebraica. A continuación se presentan algunos ejemplos:

 

( begin {alineado} left ( frac {t + 2} {t} right) ^ {2} +8 left ( frac {t + 2} {t} right) + 7 & = 0 stackrel {u = frac {t + 2} {t}} { color {Cerulean} { Longrightarrow}} color {black} {u ^ {2}} + 8 u + 7 = 0 \ x ^ {2/3} -3 x ^ {1/3} -10 & = 0 stackrel {u = x ^ {1/3}} { color {Cerulean} { Longrightarrow}} color {black} { u ^ {2}} – 3 u-10 = 0 \ 3 y ^ {- 2} +7 y ^ {- 1} -6 & = 0 stackrel {u = y ^ {- 1}} { color { Cerulean} { Longrightarrow}} color {black} {3 u ^ {2}} + 7 u-6 = 0 end {alineado} )

 

Si podemos expresar una ecuación en forma cuadrática, entonces podemos usar cualquiera de las técnicas utilizadas para resolver ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación polinómica de cuarto grado,

 

(x ^ {4} -4 x ^ {2} -32 = 0 )

 

Si dejamos (u = x ^ {2} ) entonces (u ^ {2} = left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ) y podemos escribir

 

( begin {array} {r} {x ^ {4} -4 x ^ {2} -32 = 0 color {Cerulean} { Rightarrow} left ( color {Cerulean} {x ^ {2}} right) ^ { color {black} {2}} – 4 left ( color {Cerulean} {x ^ {2}} right) color {black} {-} 32 = 0} \ color {Cerulean} { downarrow quad quad : : : downarrow quad quad quad quad : :} \ {u ^ {2} quad – : : 4 u : : – 32 = 0} end {array} )

 

Esta sustitución transforma la ecuación en una ecuación cuadrática familiar en términos de (u ) que, en este caso, puede resolverse factorizando.

 

( begin {alineado} u ^ {2} -4 u-32 & = 0 \ (u-8) (u + 4) & = 0 \ u = 8 quad text {o} quad u & = – 4 end {alineado} )

 

Dado que (u = x ^ {2} ) podemos respaldar el sustituto y luego resolver (x ).

 

( begin {alineado} & u = 8 quad text {or} & u = -4 \ & color {Cerulean} { downarrow} & color {Cerulean} { downarrow} \ & x ^ {2} = 8 & x ^ {2} = – 4 \ & x = pm sqrt {8} & x = pm sqrt {-4} \ & x = pm 2 sqrt {2} & x = pm2i end {alineado} )

 

Por lo tanto, la ecuación (x ^ {4} -4 x ^ {2} -32 = 0 ) tiene cuatro soluciones ( { pm 2 sqrt {2}, pm 2 i } ), dos reales y dos complejos. Esta técnica, a menudo llamada sustitución en U 8 , también se puede utilizar para resolver algunas ecuaciones no polinómicas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelva: (x-2 sqrt {x} -8 = 0 ).

 

Solución

 

Esta es una ecuación radical que se puede escribir en forma cuadrática. Si dejamos (u = sqrt {x} ) entonces (u ^ {2} = ( sqrt {x}) ^ {2} = x ) y podemos escribir

 

( begin {alineado} x-2 sqrt {x} -8 & = 0 \ color {Cerulean} { downarrow : : quad downarrow quad : : : : } \ u ^ {2} : : – 2 u-8 & = 0 end {alineado} )

 

Resuelve para (u ).

 

(u ^ {2} -2 u-8 = 0 )
((u-4) (u + 2) = 0 )
(u = 4 ) o (u = -2 )

 

Sustituye de nuevo (u = sqrt {x} ) y resuelve (x ).

 

( begin {array} {c} { sqrt {x} = 4 quad text {or} quad sqrt {x} = – 2} \ {( sqrt {x}) ^ {2} = (4) ^ {2} quad ( sqrt {x}) ^ {2} = (- 2) ^ {2}} \ {x = 16} quad quad quad quad { x = 4} end {array} )

 

Recuerde que la cuadratura a ambos lados de una ecuación introduce la posibilidad de soluciones extrañas. Por lo tanto, debemos verificar nuestras posibles soluciones.

 

( begin {array} {r | l} { color {OliveGreen} {Check} : color {black} {x = 16}} & { color {OliveGreen} {Check} : color {negro} {x} = 4} \ {x-2 sqrt {x} -8 = 0} y {x-2 sqrt {x} -8 = 0} \ { color {OliveGreen} { 16} color {black} {-} 2 sqrt { color {OliveGreen} {16}} color {black} {-} 18 = 0} y { color {OliveGreen} {4} color {black} {-} 2 sqrt { color {OliveGreen} {4}} color {black} {-} 8 = 0} \ {16-2 cdot 4-8 = 0} & {4-2 cdot 2 -8 = 0} \ {16-8-8 = 0} & { quad : 4-4-8 = 0} \ {0 = 0 color {Cerulean} {✓}} & { quad quad quad : : – 8 = 0 color {rojo} {✗}} end {array} )

 

Debido a que (x = 4 ) es extraño, solo hay una solución, (x = 16 ).

 

Respuesta

 

La solución es (16 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resuelva: (x ^ {2/3} -3 x ^ {1/3} -10 = 0 ).

 

Solución

 

Si dejamos (u = x ^ {1/3} ) entonces (u ^ {2} = left (x ^ {1/3} right) ^ {2} = x ^ {2 / 3} ) y podemos escribir

 

( begin {array} {c} {x ^ {2/3} -3 x ^ {1/3} -10 = 0} \ color {Cerulean} { downarrow quad quad flecha abajo : : quad quad quad quad :} \ {u ^ {2} : : : – : 3 u-10 = 0} end {array} )

 

Resuelve para (u ).

 

(u ^ {2} -3 u-10 = 0 )
((u-5) (u + 2) = 0 )
(u = 5 quad ) o ( quad u = -2 )

 

Sustituye de nuevo (u = x ^ {1/3} ) y resuelve (x ).

 

( begin {alineado} x ^ {1/3} & = 5 quad text {o} quad x ^ {1/3} = – 2 \ izquierda (x ^ {1/3 } right) ^ {3} & = (5) ^ {3} quad left (x ^ {1/3} right) ^ {3} = (- 2) ^ {3} \ x & = 125 quad quad quad : : : x = -8 end {alineado} )

 

Verificar

 

( begin {array} {r | r} { color {OliveGreen} {Check} : color {black} {x} = 125} & { color {OliveGreen} {Check} : color {negro} {x} = – 8} \ {x ^ {2/3} – 3x ^ {1/3} -10 = 0} y {x ^ {2/3} -3x ^ {1/3 } -10 = 0} \ {( color {OliveGreen} {125} color {black} {)} ^ {2/3} -3 ( color {OliveGreen} {125} color {black} {) } ^ {1/3} -10 = 0} & {( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} ^ {2/3} -3 ( color {OliveGreen} {- 8} color {negro} {)} ^ {1/3} -10 = 0} \ { left (5 ^ {3} right) ^ {2/3} -3 left (5 ^ {3} derecha) ^ {1/3} -10 = 0} & { left [(- 2) ^ {3} right] ^ {2/3} -3 left [(- 2) ^ {3} right ] ^ {1/3} -10 = 0} \ {5 ^ {2} -3 cdot 5-10 = 0} & {(- 2) ^ {2} -3 cdot (-2) -10 = 0} \ {25-15-10 = 0} & { quad quad quad quad : : : 4 + 6-10 = 0} \ {0 = 0 color {Cerulean} { ✓}} & { quad quad quad quad quad quad quad quad : : : 0 = 0 color {Cerulean} {✓}} end {array} )

 

Respuesta

 

Las soluciones son (- 8,125 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resolver: (3 y ^ {- 2} +7 y ^ {- 1} -6 = 0 )

 

Solución

 

Si dejamos (u = y ^ {- 1} ), entonces (u ^ {2} = left (y ^ {- 1} right) ^ {2} = y ^ {- 2 } ) y podemos escribir

 

( begin {array} {c} {3 y ^ {- 2} +7 y ^ {- 1} -6 = 0} \ color {Cerulean} { downarrow quad : : : : : downarrow quad quad : : : ; :} \ {3 u ^ {2} +7 u-6 = 0} end {array} )

 

Resuelve para (u ).

 

(3 u ^ {2} +7 u-6 = 0 )
((3 u-2) (u + 3) = 0 )
(u = frac { 2} {3} quad ) o ( quad u = -3 )

 

Sustituye de nuevo (u = y ^ {- 1} ) y resuelve (y ).

 

( begin {alineado} y ^ {- 1} & = frac {2} {3} text {or} y ^ {- 1} = – 3 \ frac {1} {y} & = frac {2} {3} quad quad frac {1} {y} = – 3 \ y & = frac {3} {2} quad quad y = – frac {1} {3} end {alineado} )

 

La ecuación original es en realidad una ecuación racional donde (y ≠ 0 ). En este caso, las soluciones no son restricciones; Resuelven la ecuación original.

 

Respuesta

 

Las soluciones son (- frac {1} {3}, frac {3} {2} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resolver: ( left ( frac {t + 2} {t} right) ^ {2} +8 left ( frac {t + 2} {t} right) + 7 = 0 )

 

Solución

 

Si dejamos (u = frac {t + 2} {t} ), entonces (u ^ {2} = left ( frac {t + 2} {t} right) ^ { 2} ) y podemos escribir

 

( begin {array} {c} { left ( frac {t + 2} {t} right) ^ {2} +8 left ( frac {t + 2} {t} derecha) + 7 = 0} \ color {Cerulean} { downarrow quad quad : : ; : downarrow quad quad quad quad} \ {u ^ {2} + quad 8 u quad + 7 = 0} end {array} )

 

Resuelve para (u ).

 

(u ^ {2} +8 u + 7 = 0 )
((u + 1) (u + 7) = 0 )
(u = -1 quad ) o ( quad u = -7 )

 

Sustituir de nuevo (u = frac {t + 2} {t} ) y resolver (t ).

 

( begin {array} {rl} { frac {t + 2} {t}} & {= -1 text {or} frac {t + 2} {t} = – 7} {t + 2} & {= -t quad t + 2 = -7 t} \ {2 t} & {= -2 quad quad 8 t = -2} \ {t} & {= -1} & {t = – frac {1} {4}} end {array} )

 

Respuesta

 

Las soluciones son (- 1, – frac {1} {4} ). El cheque se deja al lector.

 
 

Hasta ahora, todos los ejemplos eran de ecuaciones que factorizan. Como sabemos, no todas las ecuaciones cuadráticas factorizan. Si este es el caso, usamos la fórmula cuadrática.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve (x ^ {4} -10 x ^ {2} + 23 = 0 ). Aproximada a la centésima más cercana.

 

Solución

 

Si dejamos (u = x ^ {2} ), entonces (u ^ {2} = left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ) y podemos escribir

 

( begin {array} {l} {x ^ {4} -10 x ^ {2} + 23 = 0} \ color {Cerulean} { downarrow quad : : : flecha abajo} \ {u ^ {2} -10 u + 23 = 0} end {array} )

 

Esta ecuación no tiene en cuenta; por lo tanto, use la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones para (u ). Aquí (a = 1, b = −10 ) y (c = 23 ).

 

( begin {alineado} u & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- (- 10) pm sqrt {(- 10) ^ {2} -4 (1) (23)}} {2 (1)} \ & = frac {10 pm sqrt {8}} {2} \ & = frac {10 pm 2 sqrt {2}} {2} \ & = 5 pm sqrt {2} end {alineado} )

 

Por lo tanto, (u = 5 pm sqrt {2} ). Ahora vuelva a sustituir (u = x ^ {2} ) y resuelva (x ).

 

( begin {array} {c} {u = 5- sqrt {2} quad text {o} quad u = 5 + sqrt {2}} \ color {Cerulean} { downarrow quad quad quad quad quad quad quad downarrow quad quad quad quad} \ {x ^ {2} = 5- sqrt {2} quad quad : : : x ^ {2} = 5 + sqrt {2}} \ {x = pm sqrt {5- sqrt {2}} quad quad : x = pm sqrt {5+ sqrt {2}}} end {array} )

 

Redondea las cuatro soluciones de la siguiente manera.

 

(x = – sqrt {5- sqrt {2}} approx-1.89 x = – sqrt {5+ sqrt {2}} approx-2.53 )
(x = sqrt {5- sqrt {2}} aprox 1.89 quad x = sqrt {5+ sqrt {2}} aprox 2.53 )

 

Respuesta

 

Las soluciones son aproximadamente ( pm 1.89, pm 2.53 ).

 
 

Si se cuentan múltiples raíces y raíces complejas, entonces el teorema fundamental de álgebra 9 implica que cada polinomio con una variable tendrá tantas raíces como su grado. Por ejemplo, esperamos que (f (x) = x ^ {3} – 8 ) tenga tres raíces. En otras palabras, la ecuación

 

(x ^ {3} -8 = 0 )

 

debería tener tres soluciones. Para encontrarlos, primero se podría pensar en tratar de extraer las raíces cúbicas tal como lo hicimos con las raíces cuadradas,

 

( begin {alineado} x ^ {3} -8 & = 0 \ x ^ {3} & = 8 \ x & = sqrt [3] {8} \ x & = 2 final {alineado} )

 

Como puede ver, esto lleva a una solución, la raíz cúbica real. Debería haber otros dos; tratemos de encontrarlos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Encuentra el conjunto de todas las raíces: (f (x) = x ^ {3} -8 ).

 

Solución

 

Observe que la expresión (x ^ {3} -8 ) es una diferencia de cubos y recuerde que (a ^ {3} -b ^ {3} = (ab) left (a ^ {2 } + a b + b ^ {2} right) ). Aquí (a = x ) y (b = 2 ) y podemos escribir

 

( begin {alineado} x ^ {3} -8 & = 0 \ (x-2) left (x ^ {2} +2 x + 4 right) & = 0 end {alineado } )

 

A continuación, aplique la propiedad del producto cero y establezca cada factor igual a cero. Después de establecer los factores iguales a cero, podemos resolver la ecuación resultante usando los métodos apropiados.

 

( begin {array} {lr} {x-2 = 0} & {: text {or} quad : x ^ {2} + 2x + 4 = 0} \ {x = 2} & { begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- (2) pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {-2 pm sqrt {-12}} {2} \ & = frac {-2 pm 2 i sqrt {3}} {2} \ & = – 1 pm i sqrt {3} end {alineado}} end {array} )

 

Utilizando este método, pudimos obtener el conjunto de las tres raíces ( {2, -1 pm i sqrt {3} } ), una real y dos complejas.

 

Respuesta

 

( {2, -1 pm i sqrt {3} } )

 
 

Algunas veces las raíces de una función ocurrirán varias veces. Por ejemplo, (g (x) = (x – 2) ^ {3} ) tiene un grado tres donde las raíces se pueden encontrar de la siguiente manera:

 

((x-2) ^ {3} = 0 )
((x-2) (x-2) (x-2) = 0 )

 

( begin {array} {c} {x-2 = 0 text {o} x-2 = 0 text {o} x-2 = 0} \ { quad quad x = 2 quad quad quad x = 2 quad quad quad x = 2} end {array} )

 

Aunque (g ) es de grado (3 ) solo hay una raíz real ( {2 } ); ocurre (3 ) veces.

 
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