las matematicas

6.3: Trinomios factoriales

6.3: Trinomios factoriales

Trinomios de factor de la forma ax 2 + bx + c usando Trial y Error [1945 ]  

Nuestro siguiente paso es factorizar trinomios cuyo coeficiente principal no es 1, trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c ).

 

¡Recuerde siempre verificar primero un GCF primero! A veces, después de factorizar el MCD, el coeficiente principal del trinomio se convierte en (1 ) y puede factorizarlo por los métodos que hemos utilizado hasta ahora. Hagamos un ejemplo para ver cómo funciona esto.

 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {16} )

 

Factoriza completamente: (4x ^ 3 + 16x ^ 2−20x ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lll} text {¿Existe un factor común máximo?} & Qquad & 4x ^ 3 + 16x ^ 2−20x \ quad text {Sí,} GCF = 4x. text {Factorizarlo} & & 4x (x ^ 2 + 4x − 5) \ & & \ & & \ text {Binomial, trinomial o más de tres términos?} & & \ quad text {Es un trinomio. Entonces “deshacer FOIL”.} & & 4x (x quad) (x quad) \ & & \ & & \ text {Use una tabla como la que se muestra para encontrar dos números que } & & 4x (x − 1) (x + 5) \ text {multiplicar a} −5 text {y agregar a} 4. & & \ & & \ & & end {array} ) [ 19459009]      

                                                                                                                                                                             
Factores de (- 5 ) Suma de factores
(- 1,5 )
(1, −5 ) 		(- 1 + 5 = 4 ^ ∗ )
(1 + (- 5) = – 4 )
     

( begin {array} {l} text {Verificar:} \ hspace {27mm} 4x (x − 1) (x + 5) \ hspace {25mm} 4x (x ^ 2 + 5x − x − 5) \ hspace {30mm} 4x (x ^ 2 + 4x − 5) \ hspace {25mm} 4x ^ 3 + 16×2−20x checkmark end {array} ) [ 19459009]      

 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {17} )

 

Factoriza completamente: (5x ^ 3 + 15x ^ 2−20x ).

 
     
Respuesta
     
     

(5x (x − 1) (x + 4) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {18} )

 

Factoriza completamente: (6y ^ 3 + 18y ^ 2−60y ).

 
     
Respuesta
     
     

(6y (y − 2) (y + 5) )

     
 
 
 
 
 

¿Qué sucede cuando el coeficiente principal no es (1 ) y no hay un MCD? Existen varios métodos que pueden usarse para factorizar estos trinomios. Primero usaremos el método de prueba y error.

 

Factoricemos el trinomio (3x ^ 2 + 5x + 2 ).

 

De nuestro trabajo anterior, esperamos que esto se convierta en dos binomios.

 

[3x ^ 2 + 5x + 2 nonumber ] [( quad) ( quad) nonumber ]

 

Sabemos que los primeros términos de los factores binomiales se multiplicarán para darnos (3x ^ 2 ). Los únicos factores de (3x ^ 2 ) son (1x, space 3x ). Podemos colocarlos en los binomios.

 

The polynomial is 3x squared plus 5x plus 2. There are two pairs of parentheses, with the first terms in them being x and 3x.

 

Comprobar: ¿ (1x · 3x = 3x ^ 2 )?

 

Sabemos que los últimos términos de los binomios se multiplicarán por (2 ). Como este trinomio tiene todos los términos positivos, solo necesitamos considerar factores positivos. Los únicos factores de (2 ) son (1 ) y (2 ). Pero ahora tenemos dos casos a considerar, ya que marcará la diferencia si escribimos (1 ), (2 ) o (2 ), (1 ).

 

Figure shows the polynomial 3x squared plus 5x plus 2 and two possible pairs of factors. One is open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses 3x plus 2 close parentheses. The other is open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 3x plus 1 close parentheses.

 

¿Qué factores son correctos? Para decidir eso, multiplicamos los términos internos y externos.

 

Figure shows the polynomial 3x squared plus 5x plus 2 and two possible pairs of factors. One is open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses 3x plus 2 close parentheses. The other is open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 3x plus 1 close parentheses. In each case, arrows are shown pairing the first term of the first factor with the last term of the second factor and the first term of the second factor with the last term of the first factor.

 

Dado que el término medio del trinomio es (5x ), los factores en el primer caso funcionarán. Usemos FOIL para verificar.

 

[(x + 1) (3x + 2) nonumber ] [3x ^ 2 + 2x + 3x + 2 nonumber ] [3x ^ 2 + 5x + 2 checkmark nonumber ] [ 19459009]  

Nuestro resultado de la factorización es:

 

[3x ^ 2 + 5x + 2 nonumber ] [(x + 1) (3x + 2) nonumber ]

 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {20} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (2a ^ 2 + 5a + 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((a + 1) (2a + 3) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {21} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (4b ^ 2 + 5b + 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

((b + 1) (4b + 1) )

     
 
 
 
 
 
 
 

FACTOR TRINOMIALES DE LA FORMA (ax ^ 2 + bx + c ) UTILIZANDO PRUEBA Y ERROR.

 
 
         
  1. Escribe el trinomio en orden descendente de grados según sea necesario.
    2.      
  2. Factorizar cualquier GCF.
    3.      
  3. Encuentre todos los pares de factores del primer término.
    4.      
  4. Encuentre todos los pares de factores del tercer término.
    5.      
  5. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
    6.      
  6. Verificar multiplicando.
    7.  
 
 
 
 

Recuerde, cuando el término medio es negativo y el último término es positivo, los signos en los binomios deben ser negativos.

 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {22} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (6b ^ 2−13b + 5 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
El trinomio ya está en orden descendente. .
Encuentra los factores del primer término. .
Encuentra los factores del último término. Considera las señales.
Dado que el último término, (5 ), es positivo, sus factores deben ser
positivos o ambos ser negativos. El coeficiente del término medio
es negativo, por lo que utilizamos los factores negativos. 		.
     

Considere todas las combinaciones de factores.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
(6b ^ 2−13b + 5 )
Factores posibles Producto
((b − 1) (6b − 5) ) (6b ^ 2−11b + 5 )
((b − 5) (6b − 1) ) (6b ^ 2−31b + 5 )
((2b − 1) (3b − 5) ) (6b ^ 2−13b + 5 ^ ∗ )
((2b − 5) (3b − 1) ) (6b ^ 2−17b + 5 )
     

( begin {array} {ll} text {Los factores correctos son aquellos cuyo producto} & \ text {es el trinomio original.} & (2b − 1) (3b − 5) \ texto {Verificar multiplicando:} & \ hspace {50mm} (2b − 1) (3b − 5) y \ hspace {47mm} 6b ^ 2−10b − 3b + 5 y \ hspace {50mm} 6b ^ 2−13b + 5 marca de verificación & end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {23} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (8x ^ 2−13x + 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((2x − 3) (4x − 1) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {24} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (10y ^ 2−37y + 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

((2y − 7) (5y − 1) )

     
 
 
 
 
 

Cuando factorizamos una expresión, siempre buscamos primero un factor común máximo. Si la expresión no tiene un factor común máximo, tampoco puede haber uno en sus factores. Esto puede ayudarnos a eliminar algunas de las posibles combinaciones de factores.

 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {25} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (18x ^ 2−37xy + 15y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
El trinomio ya está en orden descendente. .
Encuentra los factores del primer término. .
Encuentra los factores del último término. Considera las señales.
Dado que 15 es positivo y el coeficiente del término medio
es negativo, utilizamos los factores negativos. 		.
     

Considere todas las combinaciones de factores.

     This table shows the possible factors and corresponding products of the trinomial 18 x squared minus 37xy plus 15 y squared. In some pairs of factors, when one factor contains two terms with a common factor, that factor is highlighted. In such cases, product is not an option because if trinomial has no common factors, then neither factor can contain a common factor. Factor: open parentheses x minus 1y close parentheses open parentheses 18x minus 15y close parentheses, highlighted. Factor, open parentheses x minus 15y close parentheses open parentheses 18x minus 1y close parentheses; product: 18 x squared minus 271xy plus 15 y squared. Factor open parentheses x minus 3y close parentheses open parentheses 18x minus 5 y close parentheses; product: 18 x squared minus 59xy plus 15 y squared. Factor: open parentheses x minus 5y close parentheses open parentheses 18x minus 3y close parentheses highlighted. Factor: open parentheses 2x minus 1y close parentheses open parentheses 9x minus 15y close parentheses highlighted. Factor: open parentheses 2x minus 15y close parentheses open parentheses 9x minus 1y close parentheses; product 18 x squared minus 137 xy plus 15y squared. Factor: open parentheses 2x minus 3y close parentheses open parentheses 9x minus 5y close parentheses; product: 18 x squared minus 37xy plus 15 y squared, which is the original trinomial. Factor: open parentheses 2x minus 57 close parentheses open parentheses 9x minus 3y close parentheses highlighted. Factor: open parentheses 3x minus 1y close parentheses open parentheses 6x minus 15y close parentheses highlighted. Factor: open parentheses 3x minus 15y close parentheses highlighted open parentheses 6x minus 1y close parentheses. Factor: open parentheses 3x minus 3y close parentheses highlighted open parentheses 6x minus 5y.      

( begin {array} {ll} text {Los factores correctos son aquellos cuyo producto es} & \ text {el trinomio original.} & (2x − 3y) (9x − 5y) \ texto {Verificar multiplicando:} & \ & \ & \ & \ hspace {50mm} (2x − 3y) (9x − 5y) y \ hspace {45mm} 18x ^ 2−10xy − 27xy + 15y ^ 2 & \ hspace {47mm} 18x ^ 2−37xy + 15y ^ 2 checkmark & ​​ end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {26} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error (18x ^ 2−3xy − 10y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((3x + 2y) (6x − 5y) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {27} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (30x ^ 2−53xy − 21y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((3x + y) (10x − 21y) )

     
 
 
 
 
 

No olvides buscar primero un MCD y recordar si el coeficiente principal es negativo, también lo es el MCD.

 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {28} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (- 10y ^ 4−55y ^ 3−60y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
.
Observe el mayor factor común, así que factorícelo primero. .
Factoriza el trinomio. .
     

Considera todas las combinaciones.

     
     
This table shows the possible factors and product of the trinomial 2 y squared plus 11y plus 12. In some pairs of factors, when one factor contains two terms with a common factor, that factor is highlighted. In such cases, product is not an option because if trinomial has no common factors, then neither factor can contain a common factor. Factor: y plus 1, 2y plus 12 highlighted. Factor: y plus 12, 2y plus 1; product: 2 y squared plus 25y plus 12. Factor: y plus 2, 2y plus 6 highlighted. Factor: y plus 6, 2y plus 2 highlighted. Factor: y plus 3, 2y plus 4 highlighted. Factor: y plus 4, 2y plus 3; product: 2 y squared plus 11y plus 12. This is the original trinomial.
     
     

( begin {array} {ll} text {Los factores correctos son aquellos cuyo producto} & \ text {es el trinomio original. Recuerde incluir} & \ text {the factor} −5 ^ y2. & −5y ^ 2 (y + 4) (2y + 3) \ text {Marque multiplicando:} & \ hspace {50mm} −5y ^ 2 (y + 4) (2y + 3) & \ hspace {45mm} −5y ^ 2 (2y ^ 2 + 8y + 3y + 12) y \ hspace {47mm} −10y ^ 4−55y ^ 3−60y ^ 2 checkmark & ​​ end {array } )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {29} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (15n ^ 3−85n ^ 2 + 100n ).

 
     
Respuesta
     
     

(5n (n − 4) (3n − 5) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {30} )

 

Factoriza completamente usando prueba y error: (56q ^ 3 + 320q ^ 2−96q ).

 
     
Respuesta
     
     

(8q (q + 6) (7q − 2) )

     
 
 
 
 
 
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antonio1095

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