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las matematicas

6.4: Factor de productos especiales

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Factoriza trinomios cuadrados perfectos
  •      
  • Factorizar diferencias de cuadrados
  •      
  • Factorizar sumas y diferencias de cubos
  •  
 
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifica: ((3x ^ 2) ^ 3 ).           
  2.      
  3. Multiplicar: ((m + 4) ^ 2 ).           
  4.      
  5. Multiplicar: ((x − 3) (x + 3) ).           
  6.  
 
 

Hemos visto que algunos binomios y trinomios son el resultado de productos especiales: cuadrantes de binomios y conjugados multiplicadores. Si aprende a reconocer este tipo de polinomios, puede usar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.

 

Factor perfecto trinomios cuadrados

 

Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Resultan de multiplicar un binomio por sí mismo. Ajustamos un binomio al cuadrado usando el patrón Cuadrados binomiales en un capítulo anterior.

 

In open parentheses 3x plus 4 close parentheses squared, 3x is a and 4 is b. Writing it as a squared plus 2ab plus b squared, we get open parentheses 3x close parentheses squared plus 2 times 3x times 4 plus 4 squared. This is equal to 9 x squared plus 24x plus 16.

 

El trinomio (9x ^ 2 + 24x + 16 ) se llama trinomio cuadrado perfecto . Es el cuadrado del binomio (3x + 4 ).

 

En este capítulo, comenzarás con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizarás en sus factores primos . Puede factorizar este trinomio utilizando los métodos descritos en la última sección, ya que tiene la forma (ax ^ 2 + bx + c ). Pero si reconoce que el primer y el último término son cuadrados y el trinomio se ajusta al patrón de trinomios cuadrados perfectos, se ahorrará mucho trabajo. Aquí está el patrón: el reverso del patrón de cuadrados binomiales.

 
 
 

PATRÓN DE TRINOMIALES CUADRADOS PERFECTO

 

Si (a ) y (b ) son números reales

 

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 nonumber ]

 

[a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2 nonumber ]

 
 
 

Para hacer uso de este patrón, debes reconocer que un trinomio dado se ajusta a él. Primero verifique si el coeficiente principal es un cuadrado perfecto, (a ^ 2 ). Luego verifique que el último término sea un cuadrado perfecto, (b ^ 2 ). Luego verifique el término medio: ¿es el producto, (2ab )? Si todo se verifica, puede escribir fácilmente los factores.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos

 

Factor: (9x ^ 2 + 12x + 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

Step 1 is to check if the trinomial fits the perfect square trinomials pattern, a squared plus 2ab plus b squared. For this we check if the first term is a perfect square. 9 x squared is the square of 3x. Next we check if the last term is a perfect square. 4 is the square of 2. Next we check if the middle term is 2ab. 12 x is twice 3x times 2. Hence we have a perfect square trinomial. Step 2 is to write this as the square of a binomial. We write it as open parentheses 3x plus 2 close parentheses squared. Step 3 is to check by multiplying.

     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Factor: (4x ^ 2 + 12x + 9 ).

 
     
Respuesta
     
     

((2x + 3) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Factor: (9y ^ 2 + 24y + 16 ).

 
     
Respuesta
     
     

((3y + 4) ^ 2 )

     
 
 
 

El signo del término medio determina qué patrón usaremos. Cuando el término medio es negativo, usamos el patrón (a ^ 2−2ab + b ^ 2 ), que factoriza a ((a − b) ^ 2 ).

 

Los pasos se resumen aquí.

 
 
 

FACTOR TRINOMIALES CUADRADOS PERFECTOS

 

( begin {array} {lllll} textbf {Paso 1.} & text {¿El trinomio se ajusta al patrón?} & Quad & hspace {7mm} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 & hspace {7mm} a ^ 2−2ab + b ^ 2 \ & text {¿Los cuadrados primero y último de los términos son perfectos?} & quad & & \ & text {Escríbelos como cuadrados.} & quad & hspace {5mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & hspace {6mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 \ & text {Verificar el término medio. ¿Es} 2ab? & quad & hspace {12mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} & hspace {12mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} \ textbf {Paso 2.} & text {Escriba el cuadrado del binomio.} & quad & hspace {13mm} (a + b) ^ 2 & hspace {13mm} (a − b) ^ 2 \ textbf {Paso 3.} & text {Verificar multiplicando .} & & & end {array} )

 
 
 

Ahora trabajaremos uno donde el término medio sea negativo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factor: (81y ^ 2−72y + 16 ).

 
     
Respuesta
     
     

El primer y el último término son cuadrados. Vea si el término medio se ajusta al patrón de un trinomio cuadrado perfecto . El término medio es negativo, por lo que el cuadrado binomial sería ((a − b) ^ 2 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(81 y ^ {2} -72 y + 16 )
¿Son los primeros y últimos términos cuadrados perfectos? .
Verifique el término medio. .
¿Coincide con ((a − b) ^ 2 )? Si. .
Escribe como el cuadrado de un binomio. ((9 y-4) ^ {2} )
Verifique multiplicando:

[(9y − 4) ^ 2 nonumber ] [(9y) ^ 2−2 · 9y · 4 + 4 ^ 2 nonumber ] [81y ^ 2− 72y + 16 marca de verificación no número ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Factor: (64y ^ 2−80y + 25 ).

 
     
Respuesta
     
     

((8y − 5) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Factor: (16z ^ 2−72z + 81 ).

 
     
Respuesta
     
     

((4z − 9) ^ 2 )

     
 
 
 

El siguiente ejemplo será un trinomio cuadrado perfecto con dos variables.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Factor: (36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(36 x ^ {2} +84 x y + 49 y ^ {2} )
Pruebe cada término para verificar el patrón. .
Factor. ((6 x + 7 y) ^ {2} )
Verificar multiplicando.

[(6x + 7y) ^ 2 nonumber ] [(6x) ^ 2 + 2 · 6x · 7y + (7y) ^ 2 nonumber ] [36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 marca de verificación nonumber ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Factor: (49x ^ 2 + 84xy + 36y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((7x + 6y) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Factor: (64m ^ 2 + 112mn + 49n ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((8m + 7n) ^ 2 )

     
 
 
 

Recuerde que el primer paso en la factorización es buscar el máximo factor común. Los trinomios cuadrados perfectos pueden tener un GCF en los tres términos y se debe factorizar primero. Y, a veces, una vez que se ha factorizado el MCD, reconocerá un trinomio cuadrado perfecto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Factor: (100x ^ 2y − 80xy + 16y ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(100 x ^ {2} y-80 x y + 16 y )
¿Hay un MCD? Sí, (4y ), así que descúbrelo. (4 y izquierda (25 x ^ {2} -20 x + 4 derecha) )
¿Es este un trinomio cuadrado perfecto?
Verifique el patrón. .
Factor. (4 años (5 x-2) ^ {2} )
Recuerde: Mantenga el factor 4 y en el producto final.
                 

Verifique:

[4y (5x − 2) ^ 2 nonumber ] [4y [(5x) 2−2 · 5x · 2 + 22] nonumber ]

                 

[4y (25×2−20x + 4) nonumber ] 100x2y − 80xy + 16y checkmark ]

                 
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Factor: (8x ^ 2y − 24xy + 18y ).

 
     
Respuesta
     
     

(2y (2x − 3) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Factor: (27p ^ 2q + 90pq + 75q ).

 
     
Respuesta
     
     

(3q (3p + 5) ^ 2 )

     
 
 
 

Factor de diferencias de cuadrados

 

El otro producto especial que viste en el capítulo anterior fue el patrón Producto de conjugados. Usaste esto para multiplicar dos binomios que eran conjugados. Aquí hay un ejemplo:

 

We have open parentheses 3x minus 4 close parentheses open parentheses 3x plus 4. This is of the form a minus b, a plus b. We rewrite as open parentheses 3x close parentheses squared minus 4 squared. Here, 3x is a and 4 is b. This is equal to 9 x squared minus 16.

 

Una diferencia de factores cuadrados a un producto de conjugados.

 
 
 

DIFERENCIA DEL PATRÓN DE CUADRADOS

 

Si (a ) y (b ) son números reales,

 

a squared minus b squared equals a minus b, a plus b. Here, a squared minus b squared is difference of squares and a minus b, a plus b are conjugates.

 
 
 

Recuerde, “diferencia” se refiere a la resta. Por lo tanto, para usar este patrón, debe asegurarse de tener un binomio en el que se resten dos cuadrados.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Cómo factorizar un trinomio usando la diferencia de cuadrados

 

Factor: (64y ^ 2−1 ).

 
     
Respuesta
     
     

Step 1 is to check if the binomial 64 y squared minus 1 fits the pattern. For that we check the following: Is this a difference? Yes. Are the first and last terms perfect squares? Yes.
Step 2 is to write both terms as squares, So, we have open parentheses 8y close parentheses squared minus 1 squared.
Step 3 is to write the product of conjugates 8y minus 1, 8y plus 1.
Step 4 is to check. We multiply to get the original binomial

     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Factor: (121m ^ 2−1 ).

 
     
Respuesta
     
     

((11m − 1) (11m + 1) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Factor: (81y ^ 2−1 ).

 
     
Respuesta
     
     

((9y − 1) (9y + 1) )

     
 
 
 
 
 

DIFERENCIAS FACTORES DE CUADRADOS.

 

( begin {array} {llll} textbf {Paso 1.} & text {¿El binomio se ajusta al patrón?} & Qquad & hspace {5mm} a ^ 2 − b ^ 2 \ & text {¿Es esto una diferencia?} & qquad & hspace {2mm} text {____ − ____} \ & text {¿Los cuadrados primero y último de los términos son perfectos?} & & \ textbf {Paso 2.} & text {Escríbelos como cuadrados.} & Qquad & hspace {3mm} (a) ^ 2− (b) ^ 2 \ textbf {Paso 3.} & text {Escribe el producto de conjugados.} & qquad & (a − b) (a + b) \ textbf {Paso 4.} & text {Verificar multiplicando.} & & end {array} )

 
 
 

Es importante recordar que las sumas de cuadrados no tienen en cuenta un producto de binomios . No hay factores binomiales que se multipliquen para obtener una suma de cuadrados. ¡Después de eliminar cualquier MCD, la expresión (a ^ 2 + b ^ 2 ) es primo!

 

El siguiente ejemplo muestra variables en ambos términos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Factor: (144x ^ 2−49y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lll} & quad & 144x ^ 2−49y ^ 2 \ text {¿Es esto una diferencia de cuadrados? Sí.} & Quad & (12x) ^ 2− (7y ) ^ 2 \ text {Factorizar como el producto de conjugados.} & Quad & (12x − 7y) (12x + 7y) \ text {Verificar multiplicando.} & Quad & (12x − 7y) ( 12x + 7y) \ text {Verificar multiplicando.} & Quad & \ & quad & \ & quad & \ hspace {14mm} (12x − 7y) (12x + 7y) & quad & \ hspace {21mm} 144x ^ 2−49y ^ 2 marca de verificación & quad & end {array} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Factor: (196m ^ 2−25n ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((16m − 5n) (16m + 5n) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Factor: (121p ^ 2−9q ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((11p − 3q) (11p + 3q) )

     
 
 
 

Como siempre, primero debe buscar un factor común siempre que tenga una expresión para factorizar. A veces, un factor común puede “disfrazar” la diferencia de cuadrados y no reconocerás los cuadrados perfectos hasta que factorices el MCD.

 

Además, para factorizar completamente el binomio en el siguiente ejemplo, ¡factorizaremos una diferencia de cuadrados dos veces!

 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Factor: (48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 \ text {¿Hay un MCD? Sí,} 3y ^ 2 text {—¡fórmalo!} Y 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) \ text {¿Es el binomio una diferencia de cuadrados? Sí.} & 3y ^ 2 left ((4x ^ 2) ^ 2− (9) ^ 2 right) \ text { Factorizar como producto de conjugados.} & 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) \ text {¡Observe que el primer binomio también es una diferencia de cuadrados!} Y 3y ^ 2 ((2x) ^ 2− (3) ^ 2) (4x ^ 2 + 9) \ text {Factorizarlo como el producto de conjugados.} & 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) end {array} )

     

El último factor, la suma de cuadrados, no se puede factorizar.

     

( begin {array} {l} text {Marque multiplicando:} \ hspace {10mm} 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) \ \ \ hspace {15mm} 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) \ hspace {20mm} 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) \ hspace {19mm} 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 checkmark end {array} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Factor: (2x ^ 4y ^ 2−32y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(2y ^ 2 (x − 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Factor: (7a ^ 4c ^ 2−7b ^ 4c ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(7c ^ 2 (a − b) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2) )

     
 
 
 

El siguiente ejemplo tiene un polinomio con 4 términos. Hasta ahora, cuando esto ocurrió, agrupamos los términos en dos y los factorizamos a partir de ahí. Aquí notaremos que los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Factor: (x ^ 2−6x + 9 − y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

Observe que los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(x ^ {2} -6 x + 9-y ^ {2} )
Factoriza agrupando los primeros tres términos. ( underbrace {x ^ {2} -6 x + 9} – y ^ {2} )
Usa el patrón trinomial cuadrado perfecto. ((x-3) ^ {2} -y ^ {2} )
¿Es esta una diferencia de cuadrados? Si.
Sí, escríbelos como cuadrados. .
Factor como producto de conjugados. .
((x-3-y) (x-3 + y) )
     

Es posible que desee volver a escribir la solución como ((x − y − 3) (x + y − 3) ).

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Factor: (x ^ 2−10x + 25 − y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x − 5 − y) (x − 5 + y) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Factor: (x ^ 2 + 6x + 9−4y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x + 3−2y) (x + 3 + 2y) )

     
 
 
 

Factor de sumas y diferencias de cubos

 

Hay otro patrón especial para factorizar, uno que no usamos cuando multiplicamos polinomios. Este es el patrón para la suma y diferencia de cubos. Primero escribiremos estas fórmulas y luego las verificaremos por multiplicación.

 

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 nonumber ]

 

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) nonumber ]

 

Comprobaremos el primer patrón y le dejaremos el segundo.

                                                                                                                                                                                                              
( color {rojo} (a + b) color {negro} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) )
Distribuir. ( color {rojo} a color {negro} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) + color {red} b color {black} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) )
Multiplica. (a ^ {3} -a ^ {2} b + a b ^ {2} + a ^ {2} b-a b ^ {2} + b ^ {3} )
Combina términos similares. (a ^ {3} + b ^ {3} )
 
 
 

SUMA Y DIFERENCIA DEL PATRÓN DE CUBOS

 

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 nonumber ] [a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) nonumber ]

 
 
 

Los dos patrones se parecen mucho, ¿no? Pero observe los signos en los factores. El signo del factor binomial coincide con el signo en el binomio original. Y el signo del término medio del factor trinomial es el opuesto del signo en el binomio original. Si reconoce el patrón de los signos, puede ayudarlo a memorizar los patrones.

 

a cubed plus b cubed is open parentheses a plus b close parentheses open parentheses a squared minus ab plus b squared close parentheses. a cubed minus b cubed is open parentheses a minus close parentheses open parentheses a squared plus ab plus b squared close parentheses. In both cases, the sign of the first term on the right side of the equation is the same as the sign on the left side of the equation and the sign of the second term is the opposite of the sign on the left side.

 

El factor trinomial en el patrón de suma y diferencia de cubos no se puede factorizar.

 

Sería muy útil si aprendes a reconocer los cubos de los enteros del 1 al 10, tal como has aprendido a reconocer los cuadrados. Hemos enumerado los cubos de los enteros del 1 al 10 en Tabla .

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(n ^ 3 ) 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Factor: (x ^ 3 + 27 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x + 3) (x ^ 2−3x + 9) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Factor: (y ^ 3 + 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

((y + 2) (y ^ 2−2y + 4) )

     
 
 
 
 
 

FACTOR LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS.

 
         
  1. ¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?
    ¿Es una suma o diferencia?
    ¿Los primeros y últimos términos son cubos perfectos?
  2.      
  3. Escríbelos como cubos.
  4.      
  5. Usa el patrón de suma o diferencia de cubos.
  6.      
  7. Simplifica dentro de los paréntesis.
  8.      
  9. Verifica multiplicando los factores.
  10.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Factor: (27u ^ 3−125v ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(27 u ^ {3} -125 v ^ {3} )
Este binomio es una diferencia. El primer y último término
son ​​cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos. .
Usa el patrón de diferencia de cubos. .
Simplificar. .
Verificar multiplicando. Te dejaremos el cheque.
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Factor: (8x ^ 3−27y ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((2x − 3y) (4x ^ 2−6xy + 9y ^ 2) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Factor: (1000m ^ 3−125n ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((10m − 5n) (100m ^ 2−50mn + 25n ^ 2) )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, primero factorizamos el GCF. Entonces podemos reconocer la suma de cubos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Factor: (6x ^ 3y + 48y ^ 4 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(6 x ^ {3} y + 48 y ^ {4} )
Factoriza el factor común. (6 y izquierda (x ^ {3} +8 y ^ {3} derecha) )
Este binomio es una suma Los primeros y últimos términos
son ​​cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos. .
Usa el patrón de la suma de cubos. .
Simplificar. .
     

Verificar:

     

Para verificar, es posible que sea más fácil multiplicar primero la suma de los factores de los cubos, luego multiplicar ese producto por 6y.6y. Te dejaremos la multiplicación.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Factor: (500p ^ 3 + 4q ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(4 (5p + q) (25p ^ 2−5pq + q ^ 2) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Factor: (432c ^ 3 + 686d ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 (6c + 7d) (36c ^ 2−42cd + 49d ^ 2) )

     
 
 
 

El primer término en el siguiente ejemplo es un binomio en cubos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Factor: ((x + 5) ^ 3−64x ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
((x + 5) ^ {3} -64 x ^ {3} )
Este binomio es una diferencia. Los primeros y
últimos términos son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos. .
Usa el patrón de diferencia de cubos. .
Simplificar. ((x + 5-4 x) left (x ^ {2} +10 x + 25 + 4 x ^ {2} +20 x + 16 x ^ {2} right) ) [19459049 ]              
((- 3 x + 5) izquierda (21 x ^ {2} +30 x + 25 derecha) )
Verificar multiplicando. Te dejaremos el cheque.
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Factor: ((y + 1) ^ 3−27y ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((- 2y + 1) (13y ^ 2 + 5y + 1) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Factor: ((n + 3) ^ 3−125n ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((- 4n + 3) (31n ^ 2 + 21n + 9) )

     
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con la factorización de productos especiales.

 
                                  
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