6.4: Factorizando ax² + bx + c cuando a ≠ 1

6.4: Factorizando ax² + bx + c cuando a ≠ 1

En esta sección continuamos factorizando trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c ). En la última sección, todos nuestros ejemplos tenían (a = 1 ), y pudimos «colocar en el lugar» nuestro par entero en un círculo. Sin embargo, en esta sección, (a neq 1 ), y pronto veremos que no podremos utilizar la técnica «Colocar en el lugar». Sin embargo, los lectores estarán encantados de saber que todavía se aplicará el método (ac ).

Acelerando un poco las cosas

 

Es posible que algunos lectores ya se pregunten «¿Realmente tengo que enumerar todos esos pares ordenados si ya veo el par que necesito?» ¡La respuesta es no!» Si ve el par que necesita, úselo para dividir el término medio del trinomio como una suma de términos similares.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Factor: (3x ^ 2 −7x − 6 ).

 

Solución

 

Compare (3x ^ 2−7x − 6 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 3 ), (b = −7 ) y ( c = −6 ). Calcule (ac = (3) (- 6) ), entonces (ac = −18 ). Ahora, ¿puedes pensar en un par entero cuyo producto sea (ac = −18 ) y cuya suma sea (b = −7 )? Para algunos, la pareja simplemente aparece en su cabeza: (2 ) y (- 9 ). Divide el término medio en una suma de términos similares usando el par (2 ) y (- 9 ).

 

[ begin {align *} 3x ^ 2 { color {Red} -7x} -6 & = 3x ^ 2 { color {Red} + 2x-9x} -6 quad color {Red} -7x = 2x-9x \ & = x (3x + 2) -3 (3x + 2) quad color {Red} text {Factoriza por agrupación.} \ & = (x-3) (3x + 2) quad color {Rojo} text {Factor out} (3x + 2). end {align *} nonumber ]

 

Usa el atajo FOIL para verificar tu respuesta.

 

[(x-3) (3x + 2) = begin {array} {ccccccc} color {Red} F & & color {Red} O & & color {Red} I & & color {Rojo} L \ 3x ^ 2 & + & 2x & – & 9x & – & 6 end {array} nonumber ]

 

Combinando términos similares, ((x − 3) (3x + 2) = 3x ^ 2−7x − 6 ), el trinomio original. Nuestra solución verifica. Tenga en cuenta que si combina mentalmente los productos «Externo» e «Interno», el control va aún más rápido.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Factor: (2x ^ 2 −9x + 10 )

 
     
Respuesta
     
     

((x − 2) (2x − 5) )

     
 
 
 

Por otro lado, algunos lectores podrían estar diciendo: “Bueno, el par ordenado necesario no se me viene a la cabeza. ¿Tengo alguna forma de reducir el trabajo? ¡La respuesta es sí!» Al enumerar los pares ordenados cuyo producto es igual a (ac ), tenga en cuenta que necesita el par ordenado cuya suma es (b ). Si tropieza con el par necesario, detenga el proceso de listado y «suelte» su par ordenado en su lugar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Factor: (3x ^ 2 −33x + 54 ).

 

Solución

 

Compare (3x ^ 2 −33x + 54 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 3 ), (b = −33 ) y ( c = 54 ). Calcule (ac = (3) (54) ), entonces (ac = 162 ). ¡Ay! ¡Ese es un gran número! Sin embargo, comience a enumerar los pares enteros cuyo producto es (ac = 162 ), pero tenga en cuenta que necesita un par entero cuya suma sea (b = −33 ).

 

[ begin {array} {ll} {1,162} \ {2,81} \ {3,54} \ {6,27} y { color {Red} -6, -27} end {array} nonumber ]

 

Tan pronto como escribimos el par (6 ) y (27 ), nuestra mente dijo «la suma de (6 ) y (7 ) es (33 )». Sin embargo, necesitamos que la suma sea igual a (b = −33 ), por lo que encuadramos (- 6 ) y (- 27 ) en su lugar. Luego, dividimos el término medio en una suma de términos similares usando nuestro par en un círculo.

 

[ begin {align *} 3x ^ 2 { color {Red} -33x} -54 & = 3x ^ 2 { color {Red} -6x-27x} -54 quad color {Red} -33x = -6x-27x \ & = 3x (x-2) -27 (x-2) quad color {Red} text {Factor por agrupación.} \ & = (3x-27) (x -2) quad color {Red} text {Factor out} (x-2). end {align *} nonumber ]

 

¡Oh, oh! ¡Ahora nos damos cuenta de que podemos factorizar (3 ) de cada término en el primer factor!

 

[= 3 (x − 9) (x − 2) nonumber ]

 

¡Nos perdimos sacar el ( mathrm {GCF} ) ! Intentemos de nuevo, solo que esta vez hagamos lo que siempre se supone que debemos hacer en el primer paso: Factorizar el ( mathrm {GCF} ).

 

[3x ^ 2 −33x + 54 = 3 (x ^ 2 −11x + 18) nonumber ]

 

Al comparar (x ^ 2 – 11x + 18 ) con (ax ^ 2 + bx + c ), vemos que (a = 1 ), (b = −11 ) y (c = 18 ). Necesitamos un par entero cuyo producto sea (ac = 18 ) y cuya suma sea (b = −11 ). Tenga en cuenta que estos números son considerablemente más pequeños que los números con los que tuvimos que lidiar cuando olvidamos primero factorizar ( mathrm {GCF} ). Debido a que los números son más pequeños, el par entero (- 9 ) y (- 2 ) viene fácilmente a la mente. Además, debido a que (a = 1 ), podemos factorizar (x ^ 2 – 11x + 18 ) simplemente colocando el par entero (- 9 ) y (- 2 ) en su lugar.

 

[3 (x2 −11x + 18) = 3 (x − 9) (x − 2) nonumber ]

 

¡Una solución mucho más simple!

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Factor: (5x ^ 2 −35x − 40 )

 
     
Respuesta
     
     

(5 (x − 8) (x + 1) )

     
 
 
 

En el Ejemplo ( PageIndex {3} ), vimos cuánto más difícil hicimos el problema al olvidar factorizar primero el máximo factor común ( ( mathrm {GCF} )). Tratemos de no cometer ese error nuevamente.

 
 

Primera regla de factoring

 

El primer paso para factorizar cualquier polinomio es factorizar el máximo factor común.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factor: (30x ^ 3 −21x ^ 2 −18x ).

 

Solución

 

Tenga en cuenta que el ( mathrm {GCF} ) de (30x ^ 3 ), (21x ^ 2 ) y (18x ) es (3x ). Factoriza esto ( mathrm {GCF} ).

 

[ begin {align *} 30x ^ 3-21x ^ 2-18x & = { color {Red} 3x} cdot 10x ^ 2 – { color {Red} 3x} cdot 7x – { color {Rojo} 3x} cdot 6 \ & = { color {Rojo} 3x} (10x ^ 2-7x-6) end {align *} nonumber ]

 

Luego, compare (10x ^ 2 −7x − 6 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 10 ), (b = −7 ), y (c = −6 ). Comience a enumerar los pares enteros cuyo producto es (ac = −60 ), pero tenga en cuenta que necesita un par entero cuya suma sea (b = −7 ).

 

[ begin {array} {ll} {1, -60} \ {2, -30} \ {3, -20} \ {4, -15} \ { color {Rojo { } 5, -12} end {array} nonumber ]

 

Divide el término medio en una suma de términos similares usando nuestro par en un círculo.

 

[ begin {align *} 3x (10x ^ 2-7x-6) & = 3x (10x ^ 2 + 5x-12x-18) quad color {Red} -7x = 5x-12x \ & = 3x [5x (2x + 1) -6 (2x + 1)] quad color {Rojo} text {Factorizar por agrupación.} \ & = 3x (5x-6) (2x + 1) quad color {Red} text {Factor out} (2x + 1). end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, (30x ^ 3 −21x ^ 2 −18x = 3x (5x − 6) (2x + 1) ).

 

Verificación: Primero, use el atajo FOIL para multiplicar los dos factores binomiales, luego distribuya el factor monomial.

 

[ begin {align *} 3x (5x-6) (2x + 1) & = 3x (10x ^ 2-7x-6) quad color {Red} text {Aplicar el acceso directo FOIL} & = 3x ^ 3-21x ^ 2-18x quad color {Red} text {Distribuya el} 3x. end {align *} nonumber ]

 

Debido a que este es el polinomio original, la solución verifica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factor: (12x ^ 4 + 2x ^ 3 −30x ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(2x ^ 2 (3x + 5) (2x − 3) )

     
 
 
 

Ecuaciones no lineales revisadas

 

Usemos la técnica de factorización de este capítulo para resolver algunas ecuaciones no lineales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la ecuación (2x ^ 2 = 13 x − 20 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 

Solución

 

Debido a que hay una potencia de x mayor que uno, la ecuación es no lineal. Haz un lado igual a cero.

 

[ begin {align *} 2x ^ 2 & = 13x-20 quad color {Red} text {Ecuación original} \ 2x ^ 2-13x + 20 & = 0 quad color {Red { } text {Poner un lado a cero.} end {align *} nonumber ]

 

Compare (2x ^ 2 −13x + 20 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 2 ), (b = −13 ) y (c = 20 ). Necesitamos un par entero cuyo producto sea (ac = 40 ) y cuya suma sea (b = −13 ). Me viene a la mente el par entero (- 5 ) y (- 8 ). Escribe el término medio como una suma de términos similares usando este par.

 

[ begin {align *} 2x ^ 2-5x-8x + 20 & = 0 quad color {Red} -13x = -5x-8x \ x (2x-5) (2x-5) & = 0 quad color {Rojo} text {Factorizar agrupando.} \ (x-4) (2x-5) & = 0 quad color {Rojo} text {Factorizar} 2x-5 end {align *} nonumber ]

 

Tenemos un producto que es igual a cero. Use la propiedad del producto cero para completar la solución.

 

[ begin {align *} x-4 & = 0 \ x & = 4 end {align *} nonumber ]

 

o

 

[ begin {align *} 2x-5 & = 0 \ 2x & = 5 \ x & = dfrac {5} {2} end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones de (2x ^ 2 = 13x − 20 ) son (x = 4 ) y (x = 5/2 ).

 

Solución gráfica:

 

Cargue cada lado de la ecuación (2x ^ 2 = 13x − 20 ) en el menú Y = de su calculadora gráfica, (y = 2x ^ 2 ) en ( mathbb {Y1} ), (y = 13 x − 20 ) en ( mathbb {Y2} )

 

(ver Figura ( PageIndex {1} )). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir la imagen de la izquierda en la Figura 6.18. Sin embargo, incluso después de ajustar los parámetros WINDOW ( ( mathbb {Xmin} = −10 ), ( mathbb {Xmax} = 10 ), ( mathbb {Ymin} = −10 ), y ( mathbb {Ymax} = 60 )), la imagen resultante de presionar el botón GRAPH (vea la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {1} )) no muestra claramente los dos puntos de intersección.

 
fig 6.4.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Croquis (y = 2x ^ 2 ) y (y = 13x − 20 ).
 

Cambiemos nuestra estrategia y trabajemos con la ecuación (2×2 −13x + 20 = 0 ) en su lugar. Cargue (y = 2x ^ 2 – 13x + 20 ) en ( mathbb {Y1} ) en el menú Y = , luego seleccione 6: ZStandard del [ 19459010] ZOOM menú para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
fig 6.4.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Croquis (y = 2x ^ 2 −13x + 20 ).
 

Para encontrar las soluciones de (2x ^ 2−13x + 20 = 0 ), debemos identificar las intersecciones (x ) – de la gráfica en la Figura ( PageIndex {1} ). Seleccione 2: cero en el menú CALC , luego mueva las flechas izquierda y derecha = para mover el cursor a la izquierda de la primera (x )-interceptar. Presione ENTER para marcar el «Límite izquierdo», luego mueva el cursor a la derecha de la intercepción (x ) y presione ENTER para marcar el «Límite derecho». Finalmente, presione ENTER para usar la posición actual del cursor para su «Guess». El resultado se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {3} ). Repita el proceso para encontrar el extremo derecho (x ) – interceptar. El resultado se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
fig 6.4.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Use 2: cero del menú CALC para encontrar (x ) – intersecciones .
 

Informar la solución en su tarea:

 

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (2x ^ 2 – 13x + 20 = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {4} )).
  •  
 
fig 6.4.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (2x ^ 2−13x + 20 = 0 ), a saber (x = 2.5 ) y (x = 4 ), coinciden con las soluciones (x = 5 / 2 ) y (x = 4 ) encontrados utilizando el método algebraico. Esta es una evidencia sólida de que ambos métodos de solución son correctos. Sin embargo, no está de más comprobar las respuestas finales en la ecuación original, sustituyendo (5/2 ) por (x ) y (4 ) por (x ).

 

[ begin {align *}
2x ^ 2 & = 13x-20 \
2 left ( dfrac {5} {2} right) ^ 2 & = 13 left ( dfrac {5} {2} right) -20 \
2 left ( dfrac {25} {4} right) & = 13 left ( dfrac {5} {2} right) -20 \
dfrac {25} {2} & = dfrac {65} {2} – dfrac {40} {2}
end {align *} nonumber ]

 

y

 

[ begin {align *} 2x ^ 2 & = 13x-20 \ 2 (4) ^ 2 & = 13 (4) -20 \ 2 (16) & = 13 (4) -20 32 & = 52 – 20 end {align *} nonumber ]

 

Debido a que las dos últimas afirmaciones son afirmaciones verdaderas, las soluciones (x = 5/2 ) y (x = 4 ) verifican la ecuación original (2x ^ 2 = 13x − 20 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la ecuación (5x ^ 2 = 12x + 9 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(- 3/5 ), (3 )

     

Exercise 6.4.5.png

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la ecuación (2x ^ 3 + x ^ 2 = 28x ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 

Solución

 

Debido a que hay una potencia de x mayor que uno, la ecuación es no lineal. Haz un lado igual a cero.

 

[ begin {align *} 2x ^ 3 + x ^ 2 & = 28x quad color {Red} text {Ecuación original} \ 2x ^ 3 + x ^ 2-28x & = 0 quad color {Rojo} text {Poner un lado a cero.} end {align *} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que el ( mathrm {GCF} ) de (2x ^ 3 ), (x ^ 2 ) y (28x ) es (x ). Factoriza (x ).

 

[x (2x ^ 2 + x − 28) = 0 quad color {Rojo} text {Factoriza el GCF} nonumber ]

 

Compare (2x ^ 2 + x − 28 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observe que (a = 2 ), (b = 1 ) y (c = −28 ). Necesitamos un par entero cuyo producto sea (ac = −56 ) y cuya suma sea (b = 1 ). Me viene a la mente el par entero (- 7 ) y (8 ). Escribe el término medio como una suma de términos similares usando este par.

 

[ begin {align *} x (2x ^ 2-7x + 8x-28) & = 0 quad color {Red} x = -7x + 8x \ x [x (2x-7) + 4 (2x-7)] & = 0 quad color {Rojo} text {Factorizar por agrupación.} \ x (x + 4) (2x-7) & = 0 quad color {Rojo} text {Factorizar} 2x-7. end {align *} nonumber ]

 

Tenemos un producto de tres factores que es igual a cero. Por la propiedad del producto cero, al menos uno de los factores debe ser igual a cero.

 

[x = 0 nonumber ]

 

o

 

[ begin {align *} x + 4 & = 0 \ x & = -4 end {align *} nonumber ]

 

o

 

[ begin {align *} 2x-7 & = 0 \ 2x & = 7 \ x & = dfrac {7} {2} end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones de (2x ^ 3 + x ^ 2 = 28x ) son (x = 0 ), (x = −4 ) y (x = 7/2 ).

 

Solución gráfica:

 

En lugar de trabajar con (2x ^ 3 + x ^ 2 = 28x ), graficando cada lado por separado y encontrando dónde se intersecan las gráficas, trabajaremos con (2x ^ 3 + x ^ 2 – 28x = 0 ), localizando donde la gráfica de (y = 2x ^ 3 + x ^ 2 – 28x ) cruza el eje (x ). Cargue (y = 2x ^ 3 + x ^ 2 −28x ) en ( mathbb {Y1} ) en el menú Y = , luego seleccione 6: ZStandard de el menú ZOOM para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
fig 6.4.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Croquis (y = 2x ^ 3 + x ^ 2 −28x ).
 

En la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {6} ), vimos el gráfico elevarse desde la parte inferior de la pantalla, salir de la parte superior de la pantalla, regresar y salir por la parte inferior de la pantalla, y finalmente regresar y salir por la parte superior de la pantalla. Claramente, hay al menos dos puntos de inflexión en el gráfico que no son visibles en la ventana de visualización actual. Establezca la configuración VENTANA como se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {6} ), luego presione el botón GRAPH para producir la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {6} ). Tenga en cuenta que esta ventana ahora muestra las intersecciones (x ), así como los puntos de inflexión de la gráfica del polinomio.

 
fig 6.4.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Ajustando la vista para que los puntos de giro del polinomio sean visibles.
 

Para encontrar las soluciones de (2x ^ 3 + x2 −28x = 0 ), debemos identificar las intersecciones (x ) – de la gráfica en la Figura ( PageIndex {6} ). Seleccione 2: cero del menú CALC , luego use las teclas de flecha izquierda y derecha para mover el cursor a la izquierda de la primera intersección (x ). Presione ENTER para marcar el «Límite izquierdo», luego mueva el cursor a la derecha de la intercepción (x ) y presione ENTER para marcar el «Límite derecho». Finalmente, presione ENTER para usar la posición actual del cursor para su «Guess». El resultado se muestra en la primera imagen a la izquierda en la Figura ( PageIndex {7} ). Repita el proceso para encontrar las restantes (x ) – intercepciones. Los resultados se muestran en las siguientes dos imágenes en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
fig 6.4.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): Use 2: cero del menú CALC para encontrar el (x ) – intercepta .
 

Informar la solución en su tarea:

 

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {8} )).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {8} )).
  •      
  • Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {8} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (2x ^ 3 + x ^ 2 −28x = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {8} )).
  •  
 
fig 6.4.8.png
Figura ( PageIndex {8} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (2x ^ 3 + x ^ 2−28x = 0 ), a saber, (x = −4 ), (x = 0 ) y (x = 3.5 ), haga coincidir las soluciones (x = −4 ), (x = 0 ) y (x = 7/2 ) encontradas utilizando el método algebraico.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la ecuación (4x ^ 3 = −x ^ 2 + 14x ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(- 2 ), (0 ), (7/4 )

     

Exercise 6.4.6.png

     
 
 
 
]]>

,

Deja una respuesta