El gráfico de una función cuadrática
Una función cuadrática es una función polinómica de grado (2 ) que se puede escribir en la forma general,
(f (x) = a x ^ {2} + b x + c )
Aquí (a, b ) y (c ) representan números reales donde (a ≠ 0 ). La función de cuadratura (f (x) = x ^ {2} ) es una función cuadrática cuyo gráfico sigue.
Esta forma curva general se llama parábola 10 y es compartida por los gráficos de todas las funciones cuadráticas. Tenga en cuenta que el gráfico es de hecho una función, ya que pasa la prueba de la línea vertical. Además, el dominio de esta función consiste en el conjunto de todos los números reales ((- ∞, ∞) ) y el rango consiste en el conjunto de números no negativos ([0, ∞) ).
Al graficar parábolas, queremos incluir ciertos puntos especiales en el gráfico. La intersección con (y ) es el punto donde la gráfica intersecta el eje (y ). Las intersecciones con (x ) son los puntos donde la gráfica interseca el eje (x ). El vértice 11 es el punto que define el mínimo o el máximo del gráfico. Por último, la línea de simetría 12 (también llamada el eje de simetría] [1945900] 13 ) es la línea vertical a través del vértice, sobre la cual la parábola es simétrica.
Para cualquier parábola, encontraremos el vértice y (y ) – intercepción. Además, si existen las intercepciones (x ) -, entonces también querremos determinarlas. Adivinar en (x ) – los valores de estos puntos especiales no es práctico; por lo tanto, desarrollaremos técnicas que facilitarán encontrarlos. Muchas de estas técnicas se utilizarán ampliamente a medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra.
Dada una función cuadrática (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ), encuentre la intercepción (y ) – evaluando la función donde (x = 0 ). En general, (f (0) = a (0) ^ {2} + b (0) + c = c ), y tenemos
( begin {array} {c} { color {Cerulean} {y-intercept}} \ {(0, c)} end {array} )
Luego, recuerde que las intersecciones con (x ), si existen, se pueden encontrar estableciendo (f (x) = 0 ). Al hacer esto, tenemos (a ^ {2} + bx + c = 0 ), que tiene soluciones generales dadas por la fórmula cuadrática, ( (x = frac {-b pm sqrt {b ^ { 2} -4 ac}} {2 a} ) ). Por lo tanto, las intersecciones con (x ) tienen esta forma general:
( color {Cerulean} {x-intercepts} )
( left ( frac {-b- sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}, 0 right) ) y ( left ( frac {-b + sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}, 0 right) )
Usando el hecho de que una parábola es simétrica, podemos determinar la línea vertical de simetría usando las intersecciones (x ). Para hacer esto, encontramos el (x ) – valor a medio camino entre las intersecciones con (x ) – tomando un promedio de la siguiente manera:
( begin {alineado} x & = left ( frac {-b- sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} + frac {-b + sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} right) div 2 \ & = left ( frac {-b- cancel { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} – b + cancelar { sqrt {b ^ {2} -4 ac}}} {2 a} right) div left ( frac {2} {1} right) \ & = frac {-2 b} {2 a} cdot frac {1} {2} \ & = – frac {b} {2 a} end {alineado} )
Por lo tanto, la línea de simetría es la línea vertical (x = – frac {b} {2a} ). Podemos usar la línea de simetría para encontrar el vértice.
( begin {array} {c} { color {Cerulean} {Line : of : symmetry}} quad quad quad color {Cerulean} {Vertex} \ quad quad quad {x = – frac {b} {2 a} quad quad quad quad left (- frac {b} {2 a}, f left (- frac {b} {2 a} right) right)} end {array} )
Generalmente tres puntos determinan una parábola. Sin embargo, en esta sección encontraremos cinco puntos para que podamos obtener una mejor aproximación de la forma general. Los pasos para graficar una parábola se describen en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Gráfico: (f (x) = – x ^ {2} -2 x + 3 ).
Solución
Paso 1 : Determine la intercepción (y ). Para hacer esto, configure (x ) = 0 y encuentre (f (0) ).
( begin {alineado} f (x) & = – x ^ {2} -2 x + 3 \ f (0) & = – ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} + 3 \ & = 3 end {alineado} )
La intersección (y ) – es ((0,3) ).
Paso 2 : Determine el (x ) – intercepta si hay alguno. Para hacer esto, establezca (f (x) = 0 ) y resuelva (x ).
( begin {alineado} f (x) & = – x ^ {2} -2 x + 3 quad : color {Cerulean} {Set : f (x) = 0.} \ 0 & = – x ^ {2} -2 x + 3 quad : color {Cerulean} {Multiplicar : ambos : lados : por : -1.} \ 0 & = x ^ {2} +2 x-3 quad : : : : color {Cerulean} {Factor.} \ 0 & = (x + 3) (x-1) : : : color {Cerulean} {Set : cada : factor : igual : a : cero.} end {alineado} )
( begin {array} {rl} {x + 3 = 0} & { text {or} x-1 = 0} \ {x = -3} & quad quad quad {x = 1} end {array} )
Aquí donde (f (x) = 0 ), obtenemos dos soluciones. Por lo tanto, hay dos (x ) – intersecciones, ((- 3, 0) ) y ((1, 0) ).
Paso 3 : Determine el vértice. Una forma de hacerlo es usar primero (x = – frac {b} {2a} ) para encontrar el valor (x ) – del vértice y luego sustituir este valor en la función para encontrar el correspondiente (y ) – valor. En este ejemplo, (a = −1 ) y (b = −2 ).
( begin {alineado} x & = frac {-b} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)}} {2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)}} \ & = frac {2} {- 2} \ & = – 1 end {alineado} )
Sustituye (- 1 ) en la función original para encontrar el valor (y ) correspondiente.
( begin {alineado} f (x) & = – x ^ {2} -2 x + 3 \ f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = – ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} + 3 \ & = – 1 + 2 + 3 \ & = 4 end {alineado} )
El vértice es ((- 1,4) ).
Paso 4 : Determine los puntos adicionales para que tengamos al menos cinco puntos para trazar. Asegure un buen muestreo a cada lado de la línea de simetría. En este ejemplo, otro punto será suficiente. Elija (x = −2 ) y encuentre el valor (y ) correspondiente.
| (x ) | (y ) | Punto | |
|---|---|---|---|
| (- 2 ) | (3 ) | (f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} = – ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 ) | ((- 2,3) ) |
Tabla 6.4.1
Nuestro quinto punto es ((- 2, 3) ).
Paso 5 : Grafica los puntos y dibuja el gráfico. En resumen, los puntos que hemos encontrado son
(y ) – intercepción: ((0,3) )
(x ) – intercepta: ((- 3,0) ) y ((1,0) )
Vértice: ((- 1,4) )
Punto extra: ((- 2,3) )
Respuesta :
La parábola se abre hacia abajo. En general, use el coeficiente principal para determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si el coeficiente principal es negativo, como en el ejemplo anterior, entonces la parábola se abre hacia abajo. Si el coeficiente principal es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba.
Todas las funciones cuadráticas de la forma (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) tienen gráficos parabólicos con (y ) – intercepción ((0, c) ). Sin embargo, no todas las parábolas tienen (x ) – intercepciones.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Gráfico: (f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 5 ).
Solución
Debido a que el coeficiente principal (2 ) es positivo, notamos que la parábola se abre hacia arriba. Aquí (c = 5 ) y la intercepción (y ) – es ((0, 5) ). Para encontrar las intersecciones (x ) -, configure (f (x) = 0 ).
( begin {alineado} f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 5 \ 0 = 2 x ^ {2} +4 x + 5 end {alineado} ) [19459007 ]
En este caso, (a = 2, b = 4 ) y (c = 5 ). Use el discriminante para determinar el número y tipo de soluciones.
( begin {alineado} b ^ {2} -4 ac & = (4) ^ {2} -4 (2) (5) \ & = 16-40 \ & = – 24 end {alineado} )
Dado que el discriminante es negativo, concluimos que no hay soluciones reales. Como no hay soluciones reales, no hay intercepciones (x ). A continuación, determinamos el valor (x ) del vértice.
( begin {alineado} x & = frac {-b} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)}} { 2 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)}} \ & = frac {-4} {4} \ & = – 1 end {alineado} )
Dado que el valor (x ) – del vértice es (- 1 ), sustituya (- 1 ) en la ecuación original para encontrar el valor (y ) correspondiente.
( begin {alineado} f (x) & = 2 x ^ {2} +4 x + 5 \ f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = 2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} + 5 \ & = 2 -4 + 5 \ & = 3 end {alineado} )
El vértice es ((- 1, 3) ). Hasta ahora, solo tenemos dos puntos. Para determinar tres más, elija algunos valores (x ) – a cada lado de la línea de simetría, (x = −1 ). Aquí elegimos (x ) – valores (- 3, −2 ) y (1 ).
| (x ) | (y ) | Puntos | |
|---|---|---|---|
| (- 3 ) | (11 ) | (f ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} = 2 ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} + 5 = 18-12 + 5 = 11 ) | ((- 3,11) ) |
| (- 2 ) | (5 ) | (f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} = 2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} + 5 = 8-8 + 5 = 5 ) | ((- 2,5) ) |
| (1 ) | (11 ) | (f ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} = 2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} + 5 = 2 + 4 + 5 = 11 ) | ((1,11) ) |
Tabla 6.4.2
Para resumir, tenemos
(y ) – intercepción: ((0,5) )
(x ) – intercepta: Ninguno
Vértice: ((- 1,3) )
Puntos extra: ((- 3,11), (-2,5), (1,11) )
Grafica los puntos y dibuja el gráfico.
Respuesta :
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Gráfico: (f (x) = x ^ {2} -2 x-1 ).
Solución
Desde (a = 1 ), la parábola se abre hacia arriba. Además, (c = −1 ), entonces la intercepción (y ) – es ((0, −1) ). Para encontrar las intersecciones (x ) -, configure (f (x) = 0 ).
( begin {alineado} f (x) & = x ^ {2} -2 x-1 \ 0 & = x ^ {2} -2 x-1 end {alineado} ) [19459007 ]
En este caso, resuelva usando la fórmula cuadrática con (a = 1, b = −2 ) y (c = −1 ).
( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {- 2} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {1 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} & = frac {2 pm sqrt {8}} {2} \ & = frac {2 pm 2 sqrt {2}} {2} \ & = frac {2 (1 pm sqrt {2})} {2} \ & = 1 pm sqrt {2} end {alineado} )
Aquí obtenemos dos soluciones reales para (x ), y por lo tanto hay dos (x ) – intersecciones:
( begin {array} {c} {(1- sqrt {2}, 0) text {y} (1+ sqrt {2}, 0)} quad color {Cerulean} { Exacto : valores} \ quad quad quad quad {(- 0.41,0) quad quad (2.41,0)} quad quad color {Cerulean} {Aproximado : valores} end { matriz} )
Aproximando las intersecciones (x ) usando una calculadora nos ayudará a trazar los puntos. Sin embargo, presentaremos las intersecciones exactas (x ) en el gráfico. Luego, encuentra el vértice.
( begin {alineado} x & = frac {-b} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} \ & = frac {2} {2} \ & = 1 end {alineado} )
Dado que el valor (x ) del vértice es (1 ), sustitúyalo en la ecuación original para encontrar el valor (y ) correspondiente.
( begin {alineado} y & = x ^ {2} -2 x-1 \ & = ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} – 1 \ & = 1-2-1 \ & = – 2 end {alineado} )
El vértice es ((1, -2) ). Necesitamos un punto más.
| (x ) | (y ) | Punto | |
|---|---|---|---|
| (2 ) | (- 1 ) | (f ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} = ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {Verde oliva} {2} color {negro} {)} – 1 = 4-4-1 = -1 ) | ((2, -1) ) |
Tabla 6.4.3
Para resumir, tenemos
(y ) – intercepta: ((0,1) )
(x ) – intercepta: ((1- sqrt {2}, 0) ) y ((1+ sqrt {2}, 0) )
Vértice: ((1, -2) )
Punto extra: ((2, -1) )
Grafica los puntos y dibuja el gráfico.
Respuesta :
