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las matematicas

6.4: Funciones cuadráticas y sus gráficos

El gráfico de una función cuadrática

 

Una función cuadrática es una función polinómica de grado (2 ) que se puede escribir en la forma general,

 

(f (x) = a x ^ {2} + b x + c )

 

Aquí (a, b ) y (c ) representan números reales donde (a ≠ 0 ). La función de cuadratura (f (x) = x ^ {2} ) es una función cuadrática cuyo gráfico sigue.

 
Figura 6.4.1
 

Esta forma curva general se llama parábola 10 y es compartida por los gráficos de todas las funciones cuadráticas. Tenga en cuenta que el gráfico es de hecho una función, ya que pasa la prueba de la línea vertical. Además, el dominio de esta función consiste en el conjunto de todos los números reales ((- ∞, ∞) ) y el rango consiste en el conjunto de números no negativos ([0, ∞) ).

 

Al graficar parábolas, queremos incluir ciertos puntos especiales en el gráfico. La intersección con (y ) es el punto donde la gráfica intersecta el eje (y ). Las intersecciones con (x ) son los puntos donde la gráfica interseca el eje (x ). El vértice 11 es el punto que define el mínimo o el máximo del gráfico. Por último, la línea de simetría 12 (también llamada el eje de simetría] [1945900] 13 ) es la línea vertical a través del vértice, sobre la cual la parábola es simétrica.

 
Figura 6.4.2
 

Para cualquier parábola, encontraremos el vértice y (y ) – intercepción. Además, si existen las intercepciones (x ) -, entonces también querremos determinarlas. Adivinar en (x ) – los valores de estos puntos especiales no es práctico; por lo tanto, desarrollaremos técnicas que facilitarán encontrarlos. Muchas de estas técnicas se utilizarán ampliamente a medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra.

 

Dada una función cuadrática (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ), encuentre la intercepción (y ) – evaluando la función donde (x = 0 ). En general, (f (0) = a (0) ^ {2} + b (0) + c = c ), y tenemos

 

( begin {array} {c} { color {Cerulean} {y-intercept}} \ {(0, c)} end {array} )

 

Luego, recuerde que las intersecciones con (x ), si existen, se pueden encontrar estableciendo (f (x) = 0 ). Al hacer esto, tenemos (a ^ {2} + bx + c = 0 ), que tiene soluciones generales dadas por la fórmula cuadrática, ( (x = frac {-b pm sqrt {b ^ { 2} -4 ac}} {2 a} ) ). Por lo tanto, las intersecciones con (x ) tienen esta forma general:

 

( color {Cerulean} {x-intercepts} )

 

( left ( frac {-b- sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}, 0 right) ) y ( left ( frac {-b + sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}, 0 right) )

 

Usando el hecho de que una parábola es simétrica, podemos determinar la línea vertical de simetría usando las intersecciones (x ). Para hacer esto, encontramos el (x ) – valor a medio camino entre las intersecciones con (x ) – tomando un promedio de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} x & = left ( frac {-b- sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} + frac {-b + sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} right) div 2 \ & = left ( frac {-b- cancel { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} – b + cancelar { sqrt {b ^ {2} -4 ac}}} {2 a} right) div left ( frac {2} {1} right) \ & = frac {-2 b} {2 a} cdot frac {1} {2} \ & = – frac {b} {2 a} end {alineado} )

 

Por lo tanto, la línea de simetría es la línea vertical (x = – frac {b} {2a} ). Podemos usar la línea de simetría para encontrar el vértice.

 

( begin {array} {c} { color {Cerulean} {Line : of : symmetry}} quad quad quad color {Cerulean} {Vertex} \ quad quad quad {x = – frac {b} {2 a} quad quad quad quad left (- frac {b} {2 a}, f left (- frac {b} {2 a} right) right)} end {array} )

 

Generalmente tres puntos determinan una parábola. Sin embargo, en esta sección encontraremos cinco puntos para que podamos obtener una mejor aproximación de la forma general. Los pasos para graficar una parábola se describen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Gráfico: (f (x) = – x ^ {2} -2 x + 3 ).

 

Solución

 

Paso 1 : Determine la intercepción (y ). Para hacer esto, configure (x ) = 0 y encuentre (f (0) ).

 

( begin {alineado} f (x) & = – x ^ {2} -2 x + 3 \ f (0) & = – ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} + 3 \ & = 3 end {alineado} )

 

La intersección (y ) – es ((0,3) ).

 

Paso 2 : Determine el (x ) – intercepta si hay alguno. Para hacer esto, establezca (f (x) = 0 ) y resuelva (x ).

 

( begin {alineado} f (x) & = – x ^ {2} -2 x + 3 quad : color {Cerulean} {Set : f (x) = 0.} \ 0 & = – x ^ {2} -2 x + 3 quad : color {Cerulean} {Multiplicar : ambos : lados : por : -1.} \ 0 & = x ^ {2} +2 x-3 quad : : : : color {Cerulean} {Factor.} \ 0 & = (x + 3) (x-1) : : : color {Cerulean} {Set : cada : factor : igual : a : cero.} end {alineado} )

 

( begin {array} {rl} {x + 3 = 0} & { text {or} x-1 = 0} \ {x = -3} & quad quad quad {x = 1} end {array} )

 

Aquí donde (f (x) = 0 ), obtenemos dos soluciones. Por lo tanto, hay dos (x ) – intersecciones, ((- 3, 0) ) y ((1, 0) ).

 

Paso 3 : Determine el vértice. Una forma de hacerlo es usar primero (x = – frac {b} {2a} ) para encontrar el valor (x ) – del vértice y luego sustituir este valor en la función para encontrar el correspondiente (y ) – valor. En este ejemplo, (a = −1 ) y (b = −2 ).

 

( begin {alineado} x & = frac {-b} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)}} {2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)}} \ & = frac {2} {- 2} \ & = – 1 end {alineado} )

 

Sustituye (- 1 ) en la función original para encontrar el valor (y ) correspondiente.

 

( begin {alineado} f (x) & = – x ^ {2} -2 x + 3 \ f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = – ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} + 3 \ & = – 1 + 2 + 3 \ & = 4 end {alineado} )

 

El vértice es ((- 1,4) ).

 

Paso 4 : Determine los puntos adicionales para que tengamos al menos cinco puntos para trazar. Asegure un buen muestreo a cada lado de la línea de simetría. En este ejemplo, otro punto será suficiente. Elija (x = −2 ) y encuentre el valor (y ) correspondiente.

                                                                                                                                                                                   
(x ) (y ) Punto
(- 2 ) (3 ) (f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} = – ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 ) ((- 2,3) )
 

Tabla 6.4.1

 

Nuestro quinto punto es ((- 2, 3) ).

 

Paso 5 : Grafica los puntos y dibuja el gráfico. En resumen, los puntos que hemos encontrado son

 

(y ) – intercepción: ((0,3) )

 

(x ) – intercepta: ((- 3,0) ) y ((1,0) )

 

Vértice: ((- 1,4) )

 

Punto extra: ((- 2,3) )

 

Respuesta :

 
Figura 6.4.3
 
 

La parábola se abre hacia abajo. En general, use el coeficiente principal para determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si el coeficiente principal es negativo, como en el ejemplo anterior, entonces la parábola se abre hacia abajo. Si el coeficiente principal es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba.

 
Figura 6.4.4
 

Todas las funciones cuadráticas de la forma (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) tienen gráficos parabólicos con (y ) – intercepción ((0, c) ). Sin embargo, no todas las parábolas tienen (x ) – intercepciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Gráfico: (f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 5 ).

 

Solución

 

Debido a que el coeficiente principal (2 ) es positivo, notamos que la parábola se abre hacia arriba. Aquí (c = 5 ) y la intercepción (y ) – es ((0, 5) ). Para encontrar las intersecciones (x ) -, configure (f (x) = 0 ).

 

( begin {alineado} f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 5 \ 0 = 2 x ^ {2} +4 x + 5 end {alineado} ) [19459007 ]  

En este caso, (a = 2, b = 4 ) y (c = 5 ). Use el discriminante para determinar el número y tipo de soluciones.

 

( begin {alineado} b ^ {2} -4 ac & = (4) ^ {2} -4 (2) (5) \ & = 16-40 \ & = – 24 end {alineado} )

 

Dado que el discriminante es negativo, concluimos que no hay soluciones reales. Como no hay soluciones reales, no hay intercepciones (x ). A continuación, determinamos el valor (x ) del vértice.

 

( begin {alineado} x & = frac {-b} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)}} { 2 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)}} \ & = frac {-4} {4} \ & = – 1 end {alineado} )

 

Dado que el valor (x ) – del vértice es (- 1 ), sustituya (- 1 ) en la ecuación original para encontrar el valor (y ) correspondiente.

 

( begin {alineado} f (x) & = 2 x ^ {2} +4 x + 5 \ f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = 2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} + 5 \ & = 2 -4 + 5 \ & = 3 end {alineado} )

 

El vértice es ((- 1, 3) ). Hasta ahora, solo tenemos dos puntos. Para determinar tres más, elija algunos valores (x ) – a cada lado de la línea de simetría, (x = −1 ). Aquí elegimos (x ) – valores (- 3, −2 ) y (1 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
(x ) (y ) Puntos
(- 3 ) (11 ) (f ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} = 2 ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} + 5 = 18-12 + 5 = 11 ) ((- 3,11) )
(- 2 ) (5 ) (f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} = 2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} + 5 = 8-8 + 5 = 5 ) ((- 2,5) )
(1 ) (11 ) (f ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} = 2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} + 5 = 2 + 4 + 5 = 11 ) ((1,11) )
 

Tabla 6.4.2

 

Para resumir, tenemos

 

(y ) – intercepción: ((0,5) )

 

(x ) – intercepta: Ninguno

 

Vértice: ((- 1,3) )

 

Puntos extra: ((- 3,11), (-2,5), (1,11) )

 

Grafica los puntos y dibuja el gráfico.

 

Respuesta :

 
Figura 6.4.5
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Gráfico: (f (x) = x ^ {2} -2 x-1 ).

 

Solución

 

Desde (a = 1 ), la parábola se abre hacia arriba. Además, (c = −1 ), entonces la intercepción (y ) – es ((0, −1) ). Para encontrar las intersecciones (x ) -, configure (f (x) = 0 ).

 

( begin {alineado} f (x) & = x ^ {2} -2 x-1 \ 0 & = x ^ {2} -2 x-1 end {alineado} ) [19459007 ]  

En este caso, resuelva usando la fórmula cuadrática con (a = 1, b = −2 ) y (c = −1 ).

 

( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {- 2} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {1 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} & = frac {2 pm sqrt {8}} {2} \ & = frac {2 pm 2 sqrt {2}} {2} \ & = frac {2 (1 pm sqrt {2})} {2} \ & = 1 pm sqrt {2} end {alineado} )

 

Aquí obtenemos dos soluciones reales para (x ), y por lo tanto hay dos (x ) – intersecciones:

 

( begin {array} {c} {(1- sqrt {2}, 0) text {y} (1+ sqrt {2}, 0)} quad color {Cerulean} { Exacto : valores} \ quad quad quad quad {(- 0.41,0) quad quad (2.41,0)} quad quad color {Cerulean} {Aproximado : valores} end { matriz} )

 

Aproximando las intersecciones (x ) usando una calculadora nos ayudará a trazar los puntos. Sin embargo, presentaremos las intersecciones exactas (x ) en el gráfico. Luego, encuentra el vértice.

 

( begin {alineado} x & = frac {-b} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} \ & = frac {2} {2} \ & = 1 end {alineado} )

 

Dado que el valor (x ) del vértice es (1 ), sustitúyalo en la ecuación original para encontrar el valor (y ) correspondiente.

 

( begin {alineado} y & = x ^ {2} -2 x-1 \ & = ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} – 1 \ & = 1-2-1 \ & = – 2 end {alineado} )

 

El vértice es ((1, -2) ). Necesitamos un punto más.

                                                                                                                                                                                   
(x ) (y ) Punto
(2 ) (- 1 ) (f ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} = ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {Verde oliva} {2} color {negro} {)} – 1 = 4-4-1 = -1 ) ((2, -1) )
 

Tabla 6.4.3

 

Para resumir, tenemos

 

(y ) – intercepta: ((0,1) )

 

(x ) – intercepta: ((1- sqrt {2}, 0) ) y ((1+ sqrt {2}, 0) )

 

Vértice: ((1, -2) )

 

Punto extra: ((2, -1) )

 

Grafica los puntos y dibuja el gráfico.

 

Respuesta :

 
Figura 6.4.6
 
 

Encontrar el máximo o mínimo

 

A menudo es útil encontrar los valores máximos y / o mínimos de funciones que modelan aplicaciones de la vida real. Para encontrar estos valores importantes dada una función cuadrática, usamos el vértice. Si el coeficiente principal (a ) es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba y habrá un valor mínimo de (y ). Si el coeficiente principal (a ) es negativo, entonces la parábola se abre hacia abajo y habrá un valor máximo de (y ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Determine el máximo o mínimo: (y = -4 x ^ {2} +24 x-35 ).

 

Solución

 

Dado que (a = −4 ), sabemos que la parábola se abre hacia abajo y habrá un valor máximo de (y ). Para encontrarlo, primero encuentre el valor (x ) del vértice.

 

( begin {alineado} x & = – frac {b} {2 a} quad : : : quad color {Cerulean} {x-value : of : the : vértice.} \ & = – frac { color {OliveGreen} {24}} { color {black} {2} ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {)}} quad color {Cerulean} {Sustituir : a = -4 : y : b-24.} \ & = – frac {24} {- 8} quad quad : color {Cerulean} {Simplificar .} \ & = 3 end {alineado} )

 

El valor (x ) del vértice es (3 ). Sustituya este valor en la ecuación original para encontrar el valor (y ) correspondiente.

 

( begin {alineado} y & = – 4 x ^ {2} +24 x-35 quad quad quad color {Cerulean} {Sustituir : x = 3.} \ & = – 4 (3) ^ {2} +24 (3) -35 quad : : color {Cerulean} {Simplify.} \ & = – 36 + 72-35 \ & = 1 end {alineado} )

 

El vértice es ((3, 1) ). Por lo tanto, el valor máximo de (y ) es (1 ), que ocurre donde (x = 3 ), como se ilustra a continuación:

 
Figura 6.4.8
 

Nota : No se requiere el gráfico para responder a esta pregunta.

 

Respuesta :

 

El máximo es (1 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Determine el máximo o mínimo: (y = 4 x ^ {2} -32 x + 62 ).

 

Solución

 

Dado que (a = 4 ), la parábola se abre hacia arriba y hay un valor mínimo de (y ). Comience por encontrar el valor (x ) – del vértice.

 

( begin {alineado} x & = – frac {b} {2 a} \ & = – frac { color {OliveGreen} {- 32}} { color {black} {2} ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)}} quad color {Cerulean} {Sustituir : a = 4 : y : b = -32.} \ & = – frac {-32} {8} : : : : color {Cerulean} {Simplify.} \ & = 4 end {alineado} )

 

Sustituye (x = 4 ) en la ecuación original para encontrar el valor (y ) correspondiente.

 

( begin {alineado} y & = 4 x ^ {2} -32 x + 62 \ & = 4 ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)} ^ {2} -32 ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)} + 62 \ & = 64-128 + 62 \ & = – 2 end {alineado} )

 

El vértice es ((4, −2) ). Por lo tanto, el valor mínimo (y ) – de (- 2 ) ocurre donde (x = 4 ), como se ilustra a continuación:

 
Figura 6.4.9
 

Respuesta :

 

El mínimo es (- 2 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

La altura en pies de un proyectil viene dada por la función (h (t) = – 16 t ^ {2} +72 t ), donde (t ) representa el tiempo en segundos después del lanzamiento. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil?

 

Solución

 

Aquí (a = −16 ), y la parábola se abre hacia abajo. Por lo tanto, el valor (y ) del vértice determina la altura máxima. Comience por encontrar el momento en que se produce el vértice.

 

(t = – frac {b} {2 a} = – frac {72} {2 (-16)} = frac {72} {32} = frac {9} {4} )

 

La altura máxima se producirá en ( frac {9} {4} ) segundos (o (2 frac {1} {4} ) segundos). Sustituya este tiempo en la función para determinar la altura máxima alcanzada.

 

( begin {alineado} h color {negro} { left ( color {OliveGreen} { frac {9} {4}} right)} & = – 16 color {black} { left ( color {OliveGreen} { frac {9} {4}} right) ^ {2}} + 72 color {black} { left ( color {OliveGreen} { frac {9} {4} } right)} \ & = – 16 left ( frac {81} {16} right) +72 left ( frac {9} {4} right) \ & = – 81 + 162 & = 81 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La altura máxima del proyectil es (81 ) pies.

 
 

Encontrar el vértice al completar el cuadrado

 

En esta sección, demostramos un enfoque alternativo para encontrar el vértice. Cualquier función cuadrática (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ) se puede reescribir en vértice forma 14 [ 19459017],

 

(f (x) = a (x-h) ^ {2} + k )

 

En esta forma, el vértice es ((h, k) ). Para ver que este es el caso, considere graficar (f (x) = (x – 2) ^ {2} + 3 ) usando las transformaciones.

 

( begin {array} {l} {y = x ^ {2}} quad quad quad quad : quad color {Cerulean} {Basic : squaring : function} \ {y = (x-2) ^ {2}} quad quad : : : color {Cerulean} {Horizontal : shift : right : 2 : units} \ {y = (x -2) ^ {2} +3} quad color {Cerulean} {Vertical : shift : up : 3 : units} end {array} )

 

Usa estas traducciones para dibujar el gráfico,

 
Figura 6.4.10
 

Aquí podemos ver que el vértice es ((2, 3) ).

 

( begin {array} {c} {f (x) = a (xh) ^ {2} + k} \ color {Cerulean} { quad quad quad quad quad quadarrowar : : : quad downarrow} \ {f (x) = (x-2) ^ {2} : + 3} end {array} )

 

Cuando la ecuación está en esta forma, podemos leer el vértice directamente de ella.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Determine el vértice: (f (x) = 2 (x + 3) ^ {2} -2 ).

 

Solución

 

Reescribe la ecuación de la siguiente manera antes de determinar (h ) y (k ).

 

( begin {array} {c} {f (x) = : : : a : (: x : – : h 🙂 ^ {2} : : + : : k} \ color {Cerulean} { quad quad quad quad quad quad : : : : downarrow quad quad : : downarrow} \ { f (x) = 2 [x – (- 3)] ^ {2} + (- 2)} end {array} )

 

Aquí (h = -3 ) y (k = -2 ).

 

Respuesta :

 

El vértice es ((- 3, -2) ).

 
 

A menudo la ecuación no se da en forma de vértice. Para obtener este formulario, complete el cuadrado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Reescribe en forma de vértice y determina el vértice: (f (x) = x ^ {2} +4 x + 9 ).

 

Solución

 

Comienza haciendo espacio para el término constante que completa el cuadrado.

 

( begin {alineado} f (x) & = x ^ {2} +4 x + 9 \ & = x ^ {2} +4 x + _ _ _ + 9 – _ _ _ end {alineado} )

 

La idea es sumar y restar el valor que completa el cuadrado, ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ), y luego factorizar. En este caso, suma y resta ( left ( frac {4} {2} right) ^ {2} = (2) ^ {2} = 4 ).

 

( begin {alineado} f (x) & = x ^ {2} +4 x + 9 quad quad quad quad : : color {Cerulean} {Add : y : restar : 4.} \ & = x ^ {2} +4 x color {Cerulean} {+ 4} color {black} {+} 9 color {Cerulean} {- 4} quad color { Cerulean} {Factor.} \ & = left (x ^ {2} +4 x + 4 right) +5 \ & = (x + 3) (x + 2) +5 \ & = (x +2) ^ {2} +5 end {alineado} )

 

Sumar y restar el mismo valor dentro de una expresión no lo cambia. Hacerlo es equivalente a agregar (0 ). Una vez que la ecuación está en esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

 

( begin {array} {c} {f (x) = a (xh) ^ {2} : : + : : k} \ color {Cerulean} { quad quad quad quad quad : : : downarrow quad : : : : : downarrow} \ {f (x) = (x – (- 2)) ^ {2} + 5} end {array} )

 

Aquí (h = -2 ) y (k = 5 ).

 

Respuesta :

 

El vértice es ((- 2,5) ).

 
 

Si hay un coeficiente principal distinto de (1 ), primero debemos factorizar el coeficiente principal de los dos primeros términos del trinomio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Reescribe en forma de vértice y determina el vértice: (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x + 8 ).

 

Solución

 

Dado que (a = 2 ), factorice esto a partir de los dos primeros términos para completar el cuadrado. Deje espacio dentro de los paréntesis para sumar y restar el valor que completa el cuadrado.

 

( begin {alineado} f (x) & = 2 x ^ {2} -4 x + 8 \ & = 2 left (x ^ {2} -2 x right) +8 end {alineado} )

 

Ahora use (- 2 ) para determinar el valor que completa el cuadrado. En este caso, ( left ( frac {-2} {2} right) ^ {2} = (- 1) ^ {2} = 1 ). Suma y resta (1 ) y factoriza de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} f (x) & = 2 x ^ {2} -4 x + 8 \ & = 2 left (x ^ {2} -2 x + _ _ _- _ _ _ right) +8 quad color {Cerulean} {Agregar : y : restar : 1.} \ & = 2 color {black} { left (x ^ {2} -2 x color {Cerulean} {+ 1-1} right)} + 8 quad quad quad color {Cerulean} {Factor.} \ & = 2 [(x-1) (x-1 ) -1] +8 \ & = 2 left [(x-1) ^ {2} -1 right] +8 quad quad quad quad : : color {Cerulean} {Distribuir : el : 2.} \ & = 2 (x-1) ^ {2} -2 + 8 \ & = 2 (x-1) ^ {2} +6 end {alineado} ) [19459007 ]  

De esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

 

( begin {array} {c} {f (x) = a (xh) ^ {2} + k} \ color {Cerulean} { quad quad quad quad quad : : downarrow quad : : : downarrow} \ {f (x) = 2 (x-1) ^ {2} +6} end {array} )

 

Aquí (h = 1 ) y (k = 6 ).

 

Respuesta :

 

El vértice es ((1,6) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Reescribe en forma de vértice y determina el vértice: (f (x) = – 2 x ^ {2} -12 x + 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = – 2 (x + 3) ^ {2} +21 ); vértice: ((- 3,21) )

     

     
 
 
 
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