6.4: Funciones logarítmicas

6.4: Funciones logarítmicas

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Convertir de forma logarítmica a exponencial.
  •      
  • Convertir de forma exponencial a logarítmica.
  •      
  • Evaluar logaritmos.
  •      
  • Usa logaritmos comunes.
  •      
  • Usa logaritmos naturales.
  •  
 
 

En 2010, un gran terremoto azotó Haití, destruyendo o dañando más de 285,000 hogares. Un año después, otro terremoto más fuerte devastó Honshu, Japón, destruyendo o dañando más de 332,000 edificios, como los que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ). Aunque ambos causaron daños sustanciales, el terremoto en 2011 fue 100 veces más fuerte que el terremoto en Haití. ¿Como sabemos? Las magnitudes de los terremotos se miden en una escala conocida como la Escala de Richter. El terremoto de Haití registró un 7.0 en la escala de Richter mientras que el terremoto japonés registró un 9.0.

 
Photo of the aftermath of the earthquake in Japan with a focus on the Japanese flag.
Figura ( PageIndex {1} ): devastación del terremoto del 11 de marzo de 2011 en Honshu, Japón. (crédito: Daniel Pierce).
 

La Richter Scale es una escala logarítmica de base diez. En otras palabras, un terremoto de magnitud (8 ) no es el doble de grande que un terremoto de magnitud (4 ). Es

 

[10 ^ {8−4} = 10 ^ 4 = 10,000 nonumber ]

 

veces mejor! En esta lección, investigaremos la naturaleza de la Escala de Richter y la función de base diez de la que depende.

 

Conversión de forma logarítmica a exponencial

 

Para analizar la magnitud de los terremotos o comparar las magnitudes de dos terremotos diferentes, necesitamos poder convertir entre forma logarítmica y exponencial. Por ejemplo, suponga que la cantidad de energía liberada de un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía liberada de otro. Queremos calcular la diferencia en magnitud. La ecuación que representa este problema es (10 ​​^ x = 500 ), donde (x ) representa la diferencia en magnitudes en la escala de Richter. ¿Cómo resolveríamos para (x )?

 

Todavía no hemos aprendido un método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas discutidas hasta ahora es suficiente para resolver (10 ​​^ x = 500 ). Sabemos que ({10} ^ 2 = 100 ) y ({10} ^ 3 = 1000 ), por lo que está claro que (x ) debe tener algún valor entre 2 y 3, ya que (y = {10} ^ x ) está aumentando. Podemos examinar un gráfico, como en la Figura ( PageIndex {1} ), para estimar mejor la solución.

 
Graph of the intersections of the equations y=10^x and y=500.
Figura ( PageIndex {2} )
 

Sin embargo, estimar a partir de un gráfico es impreciso. Para encontrar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que el gráfico en la Figura ( PageIndex {2} ) pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial (y = b ^ x ) es uno a uno, por lo que su inverso, (x = b ^ y ) también es una función. Como es el caso con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos (x ) y (y ) y resolvemos (y ) para encontrar la función inversa. Para representar (y ) como una función de (x ), utilizamos una función logarítmica de la forma (y = { log} _b (x) ). La base (b ) logaritmo de un número es el exponente por el cual debemos elevar (b ) para obtener ese número.

 

Leemos una expresión logarítmica como: «El logaritmo con base (b ) de (x ) es igual a (y )» o, simplificado, «log base (b ) de (x ) es (y ) «. También podemos decir, » (b ) elevado a la potencia de (y ) es (x )», porque los registros son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo base (2 ) de (32 ) es (5 ), porque (5 ) es el exponente que debemos aplicar a (2 ) para obtener (32 ). Como (2 ^ 5 = 32 ), podemos escribir ({ log} _232 = 5 ). Leemos esto como «base de registro (2 ) de (32 ) es (5 )».

 

Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su forma exponencial correspondiente de la siguiente manera:

 

[ begin {align} log_b (x) = y Leftrightarrow b ^ y = x, b> 0, b neq 1 end {align} ]

 

Tenga en cuenta que la base (b ) siempre es positiva.

 

log xx.jpg

 

Debido a que el logaritmo es una función, se escribe más correctamente como ( log_b (x) ), usando paréntesis para denotar la evaluación de la función, tal como lo haríamos con (f (x) ). Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o número, es común ver los paréntesis descartados y la expresión escrita sin paréntesis, como ( log_bx ). Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de (x ).

 

Podemos ilustrar la notación de logaritmos de la siguiente manera:

 

 

Observe que, al comparar la función de logaritmo y la función exponencial, se cambian la entrada y la salida. Esto significa que (y = { log} ^ b (x) ) y (y = b ^ x ) son funciones inversas.

 
 

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍMICA

 

Una base de logaritmo (b ) de un número positivo (x ) satisface la siguiente definición.

 

Para (x> 0 ), (b> 0 ), (b ≠ 1 ),

 

[ begin {align} y = { log} _b (x) text {es equivalente a} b ^ y = x end {align} ]

 

donde,

 
         
  • leemos ({ log} _b (x) ) como, «el logaritmo con base (b ) de (x )» o el «log base (b ) de (x ) «.
  •      
  • el logaritmo (y ) es el exponente al que se debe elevar (b ) para obtener (x ).
  •  
 

Además, dado que las funciones logarítmicas y exponenciales cambian los valores (x ) e (y ), el dominio y el rango de la función exponencial se intercambian para la función logarítmica. Por lo tanto,

 
         
  • el dominio de la función logaritmo con base (b ) es ((0, infty) ).
  •      
  • el rango de la función logaritmo con base (b ) es ((- infty, infty) ).
  •  
 
 
 

P y R: ¿Podemos tomar el logaritmo de un número negativo?

 

No. Debido a que la base de una función exponencial siempre es positiva, ninguna potencia de esa base puede ser negativa. Nunca podemos tomar el logaritmo de un número negativo. Además, no podemos tomar el logaritmo de cero. Las calculadoras pueden generar un registro de un número negativo cuando está en modo complejo, pero el registro de un número negativo no es un número real.

 
 
 

Cómo: Dada una ecuación en forma logarítmica ({ log} _b (x) = y ), convertirla a forma exponencial

 
         
  1. Examine la ecuación (y = { log} _bx ) e identifique (b ), (y ) y (x ).
  2.      
  3. Reescribe ({ log} _bx = y ) como (b ^ y = x ).
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Conversión de forma logarítmica a forma exponencial

 

Escribe las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial.

 
         
  1. ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} )
  2.      
  3. ({ log} _3 (9) = 2 )
  4.  
 

Solución

 

Primero, identifique los valores de (b ), (y ) y (x ). Luego, escribe la ecuación en la forma (b ^ y = x ).

 
         
  1. ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} )      

    Aquí, (b = 6 ), (y = dfrac {1} {2} ) y (x = sqrt {6} ). Por lo tanto, la ecuación ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} ) es equivalente a

         

    (6 ^ { tfrac {1} {2}} = sqrt {6} )

         
  2.      
  3. ({ log} _3 (9) = 2 )      

    Aquí, (b = 3 ), (y = 2 ) y (x = 9 ). Por lo tanto, la ecuación ({ log} _3 (9) = 2 ) es equivalente a

         
  4.  
 

(3 ^ 2 = 9 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Escribe las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial.

 
         
  1. ({ log} _ {10} (1,000,000) = 6 )
  2.      
  3. ({ log} _5 (25) = 2 )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

({ log} _ {10} (1,000,000) = 6 ) es equivalente a ({10} ^ 6 = 1,000,000 )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

({ log} _5 (25) = 2 ) es equivalente a (5 ^ 2 = 25 )

     
 
 
 

Conversión de forma exponencial a logarítmica

 

Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos a la inversa. Identificamos la base (b ), el exponente (x ) y la salida (y ). Luego escribimos (x = { log} _b (y) ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Conversión de forma exponencial a forma logarítmica

 

Escribe las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica.

 
         
  1. (2 ^ 3 = 8 )
  2.      
  3. (5 ^ 2 = 25 )
  4.      
  5. ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10,000} )
  6.  
 

Solución

 

Primero, identifique los valores de (b ), (y ) y (x ). Luego, escriba la ecuación en la forma (x = { log} _b (y) ).

 
         
  1. (2 ^ 3 = 8 )      

    Aquí, (b = 2 ), (x = 3 ) y (y = 8 ). Por lo tanto, la ecuación (2 ^ 3 = 8 ) es equivalente a ({ log} _2 (8) = 3 ).

         
  2.      
  3. (5 ^ 2 = 25 )      

    Aquí, (b = 5 ), (x = 2 ) y (y = 25 ). Por lo tanto, la ecuación (5 ^ 2 = 25 ) es equivalente a ({ log} _5 (25) = 2 ).

         
  4.      
  5. ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10,000} )      

    Aquí, (b = 10 ), (x = −4 ) y (y = dfrac {1} {10,000} ). Por lo tanto, la ecuación ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10,000} ) es equivalente a ({ log} _ {10} left ( dfrac {1} {10,000} derecha) = – 4 ).

         
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Escribe las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica.

 
         
  1. (3 ^ 2 = 9 )
  2.      
  3. (5 ^ 3 = 125 )
  4.      
  5. (2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )
  6.  
 
     
Responde a
     
     

(3 ^ 2 = 9 ) es equivalente a ({ log} _3 (9) = 2 )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

(5 ^ 3 = 125 ) es equivalente a ({ log} _5 (125) = 3 )

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} ) es equivalente a ({ log} _2 left ( dfrac {1} {2} right) = – 1 )

     
 
 
 

Evaluación de logaritmos

 

Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar muchos logaritmos mentalmente. Por ejemplo, considere ({ log} _28 ). Preguntamos: «¿A qué exponente se debe elevar (2 ) para obtener 8?» Como ya sabemos (2 ^ 3 = 8 ), se deduce que ({ log} _28 = 3 ).

 

Ahora considera resolver ({ log} _749 ) y ({ log} _327 ) mentalmente.

 
         
  • Preguntamos: «¿A qué exponente se debe elevar (7 ) para obtener (49 )?» Sabemos (7 ^ 2 = 49 ). Por lo tanto, ({ log} _749 = 2 )
  •      
  • Preguntamos: «¿A qué exponente se debe elevar (3 ) para obtener (27 )?» Sabemos (3 ^ 3 = 27 ). Por lo tanto, ( log_ {3} 27 = 3 )
  •  
 

Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados pueden evaluarse sin una calculadora. Por ejemplo, evalúemos ( log _ { ce {2/3}} frac {4} {9} ) mentalmente.

 
         
  • Preguntamos: “¿A qué exponente se debe elevar ( ce {2/3} ) para obtener ( ce {4/9} )? «Sabemos (2 ^ 2 = 4 ) y (3 ^ 2 = 9 ), entonces [{ left ( dfrac {2} {3} right)} ^ 2 = dfrac {4} {9}. nonumber ] Por lo tanto, [{ log} _ { ce {2/3}} left ( dfrac {4} {9} right) = 2. nonumber ]
  •  
 
 

Cómo: dado un logaritmo de la forma (y = { log} _b (x) ), evaluarlo mentalmente

 
         
  1. Reescribe el argumento (x ) como una potencia de (b ): (b ^ y = x ).
  2.      
  3. Utilice el conocimiento previo de los poderes de (b ) identificar (y ) preguntando: «¿A qué exponente se debe elevar (b ) para obtener (x )?»
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolviendo Logaritmos Mentalmente

 

Resuelve (y = { log} _4 (64) ) sin usar una calculadora.

 

Solución

 

Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: (4 ^ y = 64 ). A continuación, preguntamos: «¿A qué exponente se debe elevar (4 ) para obtener (64 )?»

 

Sabemos

 

(4 ^ 3 = 64 )

 

Por lo tanto,

 

({ log} _4 (64) = 3 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve (y = { log} _ {121} (11) ) sin usar una calculadora.

 
     
Respuesta
     
     

({ log} _ {121} (11) = dfrac {1} {2} ) (recordando que ( sqrt {121} = {(121)} ^ { tfrac {1} {2}} = 11) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Evaluación del logaritmo de un recíproco

 

Evalúe (y = { log} _3 left ( dfrac {1} {27} right) ) sin usar una calculadora.

 

Solución

 

Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: (3 ^ y = dfrac {1} {27} ). A continuación, preguntamos: «¿A qué exponente se debe elevar (3 ) para obtener ( dfrac {1} {27} )?»

 

Sabemos (3 ^ 3 = 27 ), pero ¿qué debemos hacer para obtener el recíproco, ( dfrac {1} {27} )? Recuerde trabajar con exponentes que (b ^ {- a} = dfrac {1} {b ^ a} ). Usamos esta información para escribir

 

[ begin {align *} 3 ^ {- 3} & = dfrac {1} {3 ^ 3} \ & = dfrac {1} {27} end {align *} ] [ 19459003]  

Por lo tanto, ({ log} _3 left ( dfrac {1} {27} right) = – 3 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Evalúe (y = { log} _2 left ( dfrac {1} {32} right) ) sin usar una calculadora.

 
     
Respuesta
     
     

({ log} _2 left ( dfrac {1} {32} right) = – 5 )

     
 
 
 

Uso de logaritmos comunes

 

A veces podemos ver un logaritmo escrito sin una base. En este caso, suponemos que la base es (10 ​​). En otras palabras, la expresión ( log (x) ) significa ({ log} _ {10} (x) ). Llamamos a un logaritmo base (- 10 ) un logaritmo común . Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter mencionada al comienzo de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de ácidos y bases también usan logaritmos comunes.

 
 

DEFINICIÓN DEL LOGARITMO COMÚN

 

Un logaritmo común es un logaritmo con base (10 ​​). Escribimos ({ log} _ {10} (x) ) simplemente como ( log (x) ). El logaritmo común de un número positivo (x ) satisface la siguiente definición.

 

Para (x> 0 ),

 

[ begin {align} y = { log} (x) text {es equivalente a} {10} ^ y = x end {align} ]

 

Leemos ( log (x) ) como, «el logaritmo con base (10 ​​) de (x )» o «log base (10 ​​) de (x )».

 

El logaritmo (y ) es el exponente al que se debe elevar (10 ​​) para obtener (x ).

 
 
 

Cómo: Dado un logaritmo común de la forma (y = log (x) ), evaluarlo mentalmente

 
         
  1. Reescribe el argumento (x ) como una potencia de (10 ​​): ({10} ^ y = x ).
  2.      
  3. Utilice el conocimiento previo de las potencias de (10 ​​) para identificar (y ) preguntando: «¿A qué exponente se debe elevar (10 ​​) para obtener (x )?»
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar el valor de un logaritmo común mentalmente

 

Evalúe (y = log (1000) ) sin usar una calculadora.

 

Solución

 

Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: ({10} ^ y = 1000 ). A continuación, preguntamos: «¿A qué exponente se debe elevar (10 ​​) para obtener (1000 )?» Lo sabemos

 

({10} ^ 3 = 1000 )

 

Por lo tanto, ( log (1000) = 3 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Evalúe (y = log (1,000,000) ).

 
     
Respuesta
     
     

( log (1,000,000) = 6 )

     
 
 
 
 

Cómo: dado un logaritmo común con la forma (y = log (x) ), evaluarlo usando una calculadora

 
         
  1. Presione [LOG] .
  2.      
  3. Ingrese el valor dado para (x ), seguido de [)] .
  4.      
  5. Presione [ENTER] .
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar el valor de un logaritmo común usando una calculadora

 

Evalúa (y = log (321) ) con cuatro decimales usando una calculadora.

 

Solución

 
         
  • Presione [LOG] .
  •      
  • Ingrese 321 , seguido de [)] .
  •      
  • Presione [ENTER] .
  •  
 

Redondeando a cuatro decimales, ( log (321) ≈2.5065 ).

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que ({10} ^ 2 = 100 ) y que ({10} ^ 3 = 1000 ). Como (321 ) está entre (100 ) y (1000 ), sabemos que ( log (321) ) debe estar entre ( log (100) ) y ( log ( 1000) ). Esto nos da lo siguiente:

 

(100 <321 <1000 )

 

(2 <2.5065 <3 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Evalúa (y = log (123) ) con cuatro decimales usando una calculadora.

 
     
Respuesta
     
     

( log (123) ≈2.0899 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Reescritura y resolución de un modelo exponencial del mundo real

 

La cantidad de energía liberada de un terremoto fue (500 ) veces mayor que la cantidad de energía liberada de otro. La ecuación ({10} ^ x = 500 ) representa esta situación, donde (x ) es la diferencia en magnitudes en la escala de Richter. Para la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en magnitudes?

 

Solución

 

Comenzamos reescribiendo la ecuación exponencial en forma logarítmica.

 

({10} ^ x = 500 )

 

( log (500) = x ) Use la definición del registro común.

 

Luego evaluamos el logaritmo usando una calculadora:

 
         
  • Presione [LOG] .
  •      
  • Ingrese (500 ), seguido de [)] .
  •      
  • Presione [ENTER] .
  •      
  • A la milésima más cercana, ( log (500) ≈2.699 ).
  •  
 

La diferencia en las magnitudes fue de (2.699 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

La cantidad de energía liberada de un terremoto fue (8,500 ) veces mayor que la cantidad de energía liberada de otro. La ecuación ({10} ^ x = 8500 ) representa esta situación, donde (x ) es la diferencia en magnitudes en la escala de Richter. Para la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en magnitudes?

 
     
Respuesta
     
     

La diferencia en magnitudes fue de (3.929 ).

     
 
 
 

Uso de logaritmos naturales

 

La base más utilizada para logaritmos es (e ). Los logaritmos de base (e ) son importantes en el cálculo y algunas aplicaciones científicas; se llaman logaritmos naturales . El logaritmo base (e ), ({ log} _e (x) ), tiene su propia notación, ( ln (x) ). La mayoría de los valores de ( ln (x) ) solo se pueden encontrar usando una calculadora. La principal excepción es que, debido a que el logaritmo de (1 ) es siempre (0 ) en cualquier base, ( ln1 = 0 ). Para otros logaritmos naturales, podemos usar la tecla ( ln ) que se puede encontrar en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos encontrar el logaritmo natural de cualquier poder de (e ) usando la propiedad inversa de los logaritmos.

 
 

DEFINICIÓN DEL LOGARITMO NATURAL

 

Un logaritmo natural es un logaritmo con base (e ). Escribimos ({ log} _e (x) ) simplemente como ( ln (x) ). El logaritmo natural de un número positivo (x ) satisface la siguiente definición.

 

Para (x> 0 ),

 

(y = ln (x) ) es equivalente a (e ^ y = x )

 

Leemos ( ln (x) ) como, «el logaritmo con base (e ) de (x )» o «el logaritmo natural de (x )».

 

El logaritmo (y ) es el exponente al que se debe elevar (e ) para obtener (x ).

 

Dado que las funciones (y = e ^ x ) y (y = ln (x) ) son funciones inversas, ( ln (e ^ x) = x ) para todas (x ) Y (e ^ { ln (x)} = x ) para (x> 0 ).

 
 
 

Cómo: dado un logaritmo natural con la forma (y = ln (x) ), evaluarlo usando una calculadora

 
         
  1. Presione [LN] .
  2.      
  3. Ingrese el valor dado para (x ), seguido de [)] .
  4.      
  5. Presione [ENTER] .
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Evaluación de un logaritmo natural usando una calculadora

 

Evalúa (y = ln (500) ) con cuatro decimales usando una calculadora.

 

Solución

 
         
  • Presione [LN] .
  •      
  • Ingrese (500 ), seguido de [)] .
  •      
  • Presione [ENTER] .
  •  
 

Redondeando a cuatro decimales, ( ln (500) ≈6.2146 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Evalúa ( ln (−500) ).

 
     
Respuesta
     
     

No es posible tomar el logaritmo de un número negativo en el conjunto de números reales.

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con logaritmos.

 
 

Ecuaciones clave

                                                                                                                                                              
Definición de la función logarítmica Para (x> 0 ), (b> 0 ), (b ≠ 1 ), (y = { log} _b (x) ) si y solo si (b ^ y = x ).
Definición del logaritmo común Para (x> 0 ), (y = log (x) ) si y solo si ({10} ^ y = x ).
Definición del logaritmo natural Para (x> 0 ), (y = ln (x) ) si y solo si (e ^ y = x ).
 

Conceptos clave

 
         
  • La inversa de una función exponencial es una función logarítmica, y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial.
  •      
  • Las ecuaciones logarítmicas se pueden escribir en una forma exponencial equivalente, utilizando la definición de un logaritmo. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  •      
  • Las ecuaciones exponenciales se pueden escribir en su forma logarítmica equivalente usando la definición de un logaritmo. Vea el ejemplo ( PageIndex {2} ).
  •      
  • Las funciones logarítmicas con base (b ) se pueden evaluar mentalmente utilizando el conocimiento previo de los poderes de (b ). Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ) y Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  •      
  • Los logaritmos comunes se pueden evaluar mentalmente utilizando el conocimiento previo de los poderes de (10 ​​). Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • Cuando los logaritmos comunes no se pueden evaluar mentalmente, se puede usar una calculadora. Ver Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  •      
  • Los problemas exponenciales del mundo real con base (10 ​​) pueden reescribirse como un logaritmo común y luego evaluarse con una calculadora. Ver Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  •      
  • Los logaritmos naturales se pueden evaluar utilizando una calculadora Ejemplo ( PageIndex {8} ) .
  •  
 
                                  
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