Cuadrar un binomio usando el patrón de cuadrados binomiales
A los matemáticos les gusta buscar patrones que faciliten su trabajo. Un buen ejemplo de esto es la cuadratura de los binomios. Si bien siempre puede obtener el producto escribiendo el binomio dos veces y utilizando los métodos de la última sección, hay menos trabajo que hacer si aprende a usar un patrón.
( begin {array} {ll} { text {Comencemos mirando} (x + 9) ^ {2} text {.}} & \ { text {¿Qué significa esto? }} & {(x + 9) ^ {2}} \ { text {Significa multiplicar} (x + 9) text {por sí mismo.}} & {(x + 9) (x + 9) } \ { text {Luego, usando FOIL, obtenemos:}} & {x ^ {2} +9 x + 9 x + 81} \ { text {La combinación de términos similares da:}} y {x ^ {2} +18 x + 81} \ \ { text {Aquí hay otro:}} & {(y-7) ^ {2}} \ { text {Multiply} (y-7) text {por sí mismo.}} & {(y-7) (y-7)} \ { text {Usando FOIL, obtenemos:}} & {y ^ {2} -7 y-7 y + 49} { text {Y combinando términos similares:}} & {y ^ {2} -14 y + 49} \ \ { text {Y uno más:}} & {(2 x + 3) ^ {2 }} \ { text {Multiply.}} & {(2 x + 3) (2 x + 3)} \ { text {Use FOL:}} & { text {4x} +6 x + 6 x + 9} \ { text {Combinar términos similares.}} y {4 x ^ {2} +12 x + 9} end {array} )
Mira estos resultados. ¿Ves algún patrón?
¿Qué pasa con el número de términos? En cada ejemplo, elevamos al cuadrado un binomio y el resultado fue un trinomio .
[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} + underline { qquad} + underline { qquad} ]
Ahora mire el primer término en cada resultado. ¿De dónde vino?
El primer término es el producto de los primeros términos de cada binomio. Como los binomios son idénticos, ¡es solo el cuadrado del primer término!
[(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + subrayado { qquad} + subrayado { qquad} ]
Para obtener el primer término del producto, cuadrado el primer término [ 19459006].
¿De dónde vino el último mandato ? Mira los ejemplos y encuentra el patrón.
El último término es el producto de los últimos términos, que es el cuadrado del último término.
[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} + underline { qquad} + b ^ {2} ]
Para obtener el último término del producto, cuadrado el último término .
Finalmente, mire el término medio . Observe que vino de agregar los términos «externo» e «interno», ¡que son los mismos! Entonces, el término medio es el doble del producto de los dos términos del binomio.
[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} + 2ab + underline { qquad} ]
[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} -2ab + underline { qquad} ]
Para obtener el término medio del producto, multiplica los términos y duplica su producto .
Poniendo todo junto:
PATRÓN CUADRADO BINOMIAL
Si ayb son números reales,
[ begin {array} {l} {(a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2}} \ {(ab) ^ {2} = a ^ {2} -2 a b + b ^ {2}} end {array} ]
Para cuadrar un binomio:
- al cuadrado el primer término
- al cuadrado el último término
- duplican su producto
Un ejemplo de número ayuda a verificar el patrón.
( begin {array} {ll} & {(10 + 4) ^ {2}} \ { text {Cuadra el primer término.}} Y {10 ^ {2} + subrayado { qquad} + underline { qquad}} \ { text {Cuadra el último término.}} & {10 ^ {2} + underline { qquad} + frac {1} {4 ^ {2}} } \ { text {Duplicar su producto.}} & {10 ^ {2} +2 cdot 10 cdot 4 + 4 ^ {2}} \ { text {Simplify.}} & {100 + 80 +16} \ { text {Simplify.}} & {196} end {array} )
Para multiplicar ((10 + 4) ^ 2 ), generalmente debe seguir el Orden de operaciones.
[ begin {array} {c} {(10 + 4) ^ {2}} \ {(14) ^ {2}} \ {196} end {array} ]
¡El patrón funciona!
Ejercicio ( PageIndex {1} )
( text {Multiplicar:} (x + 5) ^ {2} )
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Multiplicar: ((x + 9) ^ {2} )
- Respuesta
-
(x ^ {2} +18 x + 81 )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Multiplicar: ((y + 11) ^ {2} )
- Respuesta
-
(y ^ {2} +22 y + 121 )
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Multiplicar: ((y-3) ^ {2} )
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Multiplicar: ((x-9) ^ {2} )
- Respuesta
-
(x ^ {2} -18 x + 81 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Multiplicar: ((p-13) ^ {2} )
- Respuesta
-
(p ^ {2} -26 p + 169 )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Multiplicar: ((4 x + 6) ^ {2} )
- Respuesta
-
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Usa el patrón. |
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Simplificar. |
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Ejercicio ( PageIndex {8} )
Multiplicar: ((6 x + 3) ^ {2} )
- Respuesta
-
(36 x ^ {2} +36 x + 9 )
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Multiplicar: ((4 x + 9) ^ {2} )
- Respuesta
-
(16 x ^ {2} +72 x + 81 )
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Multiplicar: ((2 x-3 y) ^ {2} )
- Respuesta
-
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Usa el patrón. |
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Simplificar. |
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Ejercicio ( PageIndex {11} )
Multiplicar: ((2 c-d) ^ {2} )
- Respuesta
-
(4 c ^ {2} -4 c d + d ^ {2} )
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Multiplicar: ((4 x-5 y) ^ {2} )
- Respuesta
-
(16 x ^ {2} -40 x y + 25 y ^ {2} )
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Multiplicar: ( left (4 u ^ {3} +1 right) ^ {2} )
- Respuesta
-
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Usa el patrón. |
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Simplificar. |
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Ejercicio ( PageIndex {14} )
Multiplicar: ( left (2 x ^ {2} +1 right) ^ {2} )
- Respuesta
-
(4 x ^ {4} +4 x ^ {2} +1 )
Ejercicio ( PageIndex {15} )
Multiplicar: ( left (3 y ^ {3} +2 right) ^ {2} )
- Respuesta
-
(9 y ^ {6} +12 y ^ {3} +4 )
Multiplicar conjugados usando el producto del patrón de conjugados
Acabamos de ver un patrón para cuadrar binomios que podemos usar para hacer más fácil la multiplicación de algunos binomios. Del mismo modo, hay un patrón para otro producto de binomios. Pero antes de llegar a él, necesitamos introducir algo de vocabulario.
¿Qué notas sobre estos pares de binomios?
[(x-9) (x + 9) qquad (y-8) (y + 8) qquad (2x-5) (2x + 5) ]
Observa el primer término de cada binomio en cada par.
Observe que los primeros términos son los mismos en cada par.
Mira los últimos términos de cada binomio en cada par.
Observe que los últimos términos son los mismos en cada par.
Observe cómo cada par tiene una suma y una diferencia.
Un par de binomios que tienen cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y uno es una diferencia tiene un nombre especial. Se llama un par conjugado y tiene la forma (a − b), (a + b).
PAR CONJUGADO
Un par conjugado es dos binomios de la forma
[(a-b), (a + b) ]
El par de binomios tiene cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero un binomio es una suma y el otro es una diferencia.
Hay un patrón agradable para encontrar el producto de los conjugados. Podría, por supuesto, simplemente FALLAR para obtener el producto, pero el uso del patrón facilita su trabajo.
Busquemos el patrón usando FOIL para multiplicar algunos pares de conjugados.
[ begin {array} {cc} {(x-9) (x + 9)} & {(y-8) (y + 8)} & (2x-5) (2x + 5) {x ^ {2} +9 x-9 x-81} y {y ^ {2} +8 y-8 y-64} y {4 x ^ {2} +10 x-10 x-25} {x ^ {2} -81} y {y ^ {2} -64} y {4 x ^ {2} -25} end {array} ]
Cada primer término es el producto de los primeros términos de los binomios, y dado que son idénticos, es el cuadrado del primer término.
[ begin {array} {c} {(a + b) (ab) = a ^ {2} -} underline { qquad} \ { text {Para obtener el} textbf {primero plazo, al cuadrado el primer término. }} end {array} ]
El último término vino de multiplicar los últimos términos, el cuadrado del último término.
[ begin {array} {c} {(a + b) (ab) = a ^ {2} -b ^ {2}} \ { text {Para obtener el} textbf {último término , al cuadrado el último término. }} end {array} ]
¿Qué observas sobre los productos?
¡El producto de los dos binomios también es un binomio! La mayoría de los productos resultantes de FOIL han sido trinomios.
¿Por qué no hay término medio? Observe que los dos términos medios que obtiene de FOIL se combinan a 0 en cada caso, el resultado de una suma y una resta.
El producto de los conjugados siempre tiene la forma (a ^ 2-b ^ 2 ). Esto se llama diferencia de cuadrados.
Esto lleva al patrón:
PRODUCTO DEL PATRÓN DE CONJUGADOS
Si ayb son números reales,
El producto se llama diferencia de cuadrados.
Para multiplicar conjugados, eleva al cuadrado el primer término, eleva al cuadrado el último término y escribe el producto como una diferencia de cuadrados.
Probemos este patrón con un ejemplo numérico.
( begin {array} {ll} & (10-2) (10 + 2) \ { text {Es el producto de conjugados, por lo que el resultado será el}} \ { text {diferencia de dos cuadrados.}} & underline { qquad} – underline { qquad} \ { text {Cuadra el primer término.}} & 10 ^ 2 – underline { qquad} \ { text {Square the last term.}} & 10 ^ 2 – 2 ^ 2 \ { text {Simplify.}} & 100 -4 \ { text {Simplify.}} & 96 \ { text {What ¿obtienes el Orden de operaciones?}} \ \ & (10-2) (10 + 2) \ & (8) (12) \ & 96 end {array} )
Aviso, ¡el resultado es el mismo!
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Multiplicar: ((x-8) (x + 8) )
- Respuesta
-
Primero, reconozca esto como un producto de conjugados. Los binomios tienen los mismos primeros términos y los mismos últimos términos, y un binomio es una suma y el otro es una diferencia.
Se ajusta al patrón. |
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Al cuadrado el primer término, x . |
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Cuadrado del último término, 8. |
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El producto es una diferencia de cuadrados. |
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Ejercicio ( PageIndex {17} )
Multiplicar: ((x-5) (x + 5) )
- Respuesta
-
(x ^ {2} -25 )
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Multiplicar: ((w-3) (w + 3) )
- Respuesta
-
(w ^ {2} -9 )
Ejercicio ( PageIndex {19} )
Multiplicar: ((2 x + 5) (2 x-5) )
- Respuesta
-
¿Son los conjugados binomiales?
Es el producto de conjugados. |
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Al cuadrado el primer término, 2 x . |
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Cuadra el último término, 5. |
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Simplificar. El producto es una diferencia de cuadrados. |
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Ejercicio ( PageIndex {20} )
Multiplicar: ((6 x + 5) (6 x-5) )
- Respuesta
-
(36 x ^ {2} -25 )
Ejercicio ( PageIndex {21} )
Multiplicar: ((2 x + 7) (2 x-7) )
- Respuesta
-
(4 x ^ {2} -49 )
Los binomios en el siguiente ejemplo pueden mirar hacia atrás: la variable está en el segundo término. Pero los dos binomios siguen siendo conjugados, por lo que utilizamos el mismo patrón para multiplicarlos.
Ejercicio ( PageIndex {22} )
Encuentre el producto: ((3 + 5 x) (3-5 x) )
- Respuesta
-
Es el producto de conjugados. |
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Usa el patrón. |
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Simplificar. |
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Ejercicio ( PageIndex {23} )
Multiplicar: ((7 + 4 x) (7-4 x) )
- Respuesta
-
(49-16 x ^ {2} )
Ejercicio ( PageIndex {24} )
Multiplicar: ((9-2 y) (9 + 2 y) )
- Respuesta
-
(81-4 y ^ {2} )
Ahora multiplicaremos conjugados que tienen dos variables.
Ejercicio ( PageIndex {25} )
Encuentre el producto: ((5 m-9 n) (5 m + 9 n) )
- Respuesta
-
Esto se ajusta al patrón. |
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Usa el patrón. |
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Simplifica. |
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Ejercicio ( PageIndex {26} )
Encuentre el producto: ((4 p-7 q) (4 p + 7 q) )
- Respuesta
-
(16 p ^ {2} -49 q ^ {2} )
Ejercicio ( PageIndex {27} )
Encuentre el producto: ((3 x-y) (3 x + y) )
- Respuesta
-
(9 x ^ {2} -y ^ {2} )
Ejercicio ( PageIndex {28} )
Encuentre el producto: ((c d-8) (c d + 8) )
- Respuesta
-
Esto se ajusta al patrón. |
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Usa el patrón. |
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Simplificar. |
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Ejercicio ( PageIndex {29} )
Encuentre el producto: ((x y-6) (x y + 6) )
- Respuesta
-
(x ^ {2} y ^ {2} -36 )
Ejercicio ( PageIndex {30} )
Encuentre el producto: ((a b-9) (a b + 9) )
- Respuesta
-
(a ^ {2} b ^ {2} -81 )
Ejercicio ( PageIndex {31} )
Encuentre el producto: ( left (6 u ^ {2} -11 v ^ {5} right) left (6 u ^ {2} +11 v ^ {5} right) ) [ 19459007]
- Respuesta
-
Esto se ajusta al patrón. |
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Usa el patrón. |
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Simplificar. |
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Ejercicio ( PageIndex {32} )
Encuentra el producto: ( left (3 x ^ {2} -4 y ^ {3} right) left (3 x ^ {2} +4 y ^ {3} right) ) [ 19459007]
- Respuesta
-
(9 x ^ {4} -16 y ^ {6} )
Ejercicio ( PageIndex {33} )
Encuentre el producto: ( left (2 m ^ {2} -5 n ^ {3} right) left (2 m ^ {2} +5 n ^ {3} right) ) [ 19459007]
- Respuesta
-
(4 m ^ {4} -25 n ^ {6} )
]]>