6.4: Productos especiales

6.4: Productos especiales

Cuadrar un binomio usando el patrón de cuadrados binomiales

 

A los matemáticos les gusta buscar patrones que faciliten su trabajo. Un buen ejemplo de esto es la cuadratura de los binomios. Si bien siempre puede obtener el producto escribiendo el binomio dos veces y utilizando los métodos de la última sección, hay menos trabajo que hacer si aprende a usar un patrón.

 

( begin {array} {ll} { text {Comencemos mirando} (x + 9) ^ {2} text {.}} & \ { text {¿Qué significa esto? }} & {(x + 9) ^ {2}} \ { text {Significa multiplicar} (x + 9) text {por sí mismo.}} & {(x + 9) (x + 9) } \ { text {Luego, usando FOIL, obtenemos:}} & {x ^ {2} +9 x + 9 x + 81} \ { text {La combinación de términos similares da:}} y {x ^ {2} +18 x + 81} \ \ { text {Aquí hay otro:}} & {(y-7) ^ {2}} \ { text {Multiply} (y-7) text {por sí mismo.}} & {(y-7) (y-7)} \ { text {Usando FOIL, obtenemos:}} & {y ^ {2} -7 y-7 y + 49} { text {Y combinando términos similares:}} & {y ^ {2} -14 y + 49} \ \ { text {Y uno más:}} & {(2 x + 3) ^ {2 }} \ { text {Multiply.}} & {(2 x + 3) (2 x + 3)} \ { text {Use FOL:}} & { text {4x} +6 x + 6 x + 9} \ { text {Combinar términos similares.}} y {4 x ^ {2} +12 x + 9} end {array} )

 

Mira estos resultados. ¿Ves algún patrón?

 

¿Qué pasa con el número de términos? En cada ejemplo, elevamos al cuadrado un binomio y el resultado fue un trinomio .

 

[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} + underline { qquad} + underline { qquad} ]

 

Ahora mire el primer término en cada resultado. ¿De dónde vino?

 

This figure has three columns. The first column contains the expression x plus 9, in parentheses, squared. Below this is the product of x plus 9 and x plus 9. Below this is x squared plus 9x plus 9x plus 81. Below this is x squared plus 18x plus 81. The second column contains the expression y minus 7, in parentheses, squared. Below this is the product of y minus 7 and y minus 7. Below this is y squared minus 7y minus 7y plus 49. Below this is the expression y squared minus 14y plus 49. The third column contains the expression 2x plus 3, in parentheses, squared. Below this is the product of 2x plus 3 and 2x plus 3. Below this is 4x squared plus 6x plus 6x plus 9. Below this is 4x squared plus 12x plus 9.

 

El primer término es el producto de los primeros términos de cada binomio. Como los binomios son idénticos, ¡es solo el cuadrado del primer término!

 

[(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + subrayado { qquad} + subrayado { qquad} ]

 

Para obtener el primer término del producto, cuadrado el primer término [ 19459006].

 

¿De dónde vino el último mandato ? Mira los ejemplos y encuentra el patrón.

 

El último término es el producto de los últimos términos, que es el cuadrado del último término.

 

[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} + underline { qquad} + b ^ {2} ]

 

Para obtener el último término del producto, cuadrado el último término .

 

Finalmente, mire el término medio . Observe que vino de agregar los términos «externo» e «interno», ¡que son los mismos! Entonces, el término medio es el doble del producto de los dos términos del binomio.

 

[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} + 2ab + underline { qquad} ]

 

[(a + b) ^ {2} = underline { qquad} -2ab + underline { qquad} ]

 

Para obtener el término medio del producto, multiplica los términos y duplica su producto .

 

Poniendo todo junto:

 
 

PATRÓN CUADRADO BINOMIAL

 

Si ayb son números reales,

 

[ begin {array} {l} {(a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2}} \ {(ab) ^ {2} = a ^ {2} -2 a b + b ^ {2}} end {array} ]

 

No Alt Text

 
 

Para cuadrar un binomio:

 
         
  • al cuadrado el primer término
  •      
  • al cuadrado el último término
  •      
  • duplican su producto
  •  
 

Un ejemplo de número ayuda a verificar el patrón.

 

( begin {array} {ll} & {(10 + 4) ^ {2}} \ { text {Cuadra el primer término.}} Y {10 ^ {2} + subrayado { qquad} + underline { qquad}} \ { text {Cuadra el último término.}} & {10 ^ {2} + underline { qquad} + frac {1} {4 ^ {2}} } \ { text {Duplicar su producto.}} & {10 ^ {2} +2 cdot 10 cdot 4 + 4 ^ {2}} \ { text {Simplify.}} & {100 + 80 +16} \ { text {Simplify.}} & {196} end {array} )

 

Para multiplicar ((10 + 4) ^ 2 ), generalmente debe seguir el Orden de operaciones.

 

[ begin {array} {c} {(10 + 4) ^ {2}} \ {(14) ^ {2}} \ {196} end {array} ]

 

¡El patrón funciona!

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

( text {Multiplicar:} (x + 5) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Multiplicar: ((x + 9) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} +18 x + 81 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Multiplicar: ((y + 11) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {2} +22 y + 121 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Multiplicar: ((y-3) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Multiplicar: ((x-9) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} -18 x + 81 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Multiplicar: ((p-13) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(p ^ {2} -26 p + 169 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Multiplicar: ((4 x + 6) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
4 x plus 6, in parentheses, squared. Above the expression is the general formula a plus b, in parentheses, squared.
Usa el patrón. 4 x squared plus 2 times 4 x times 6 plus 6 squared. Above this expression is the general formula a squared plus 2 times a times b plus b squared.
Simplificar. 16 x squared plus 48 x plus 36.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Multiplicar: ((6 x + 3) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(36 x ^ {2} +36 x + 9 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Multiplicar: ((4 x + 9) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(16 x ^ {2} +72 x + 81 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Multiplicar: ((2 x-3 y) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
contains 2 x minus 3 y, in parentheses, squared. Above the expression is the general formula a plus b, in parentheses, squared.
Usa el patrón. 2 x squared minus 2 times 2 x times 3 y plus 3 y squared. Above this expression is the general formula a squared minus 2 times a times b plus b squared.
Simplificar. 4 x squared minus 12 x y plus 9 y squared.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Multiplicar: ((2 c-d) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(4 c ^ {2} -4 c d + d ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Multiplicar: ((4 x-5 y) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(16 x ^ {2} -40 x y + 25 y ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Multiplicar: ( left (4 u ^ {3} +1 right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
4 u cubed plus 1, in parentheses, squared. Above the expression is the general formula a plus b, in parentheses, squared.
Usa el patrón. 4 u cubed, in parentheses, squared, plus 2 times 4 u cubed times 1 plus 1 squared. Above this expression is the general formula a squared plus 2 times a times b plus b squared.
Simplificar. 16 u to the sixth power plus 18 u cubed plus 1.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Multiplicar: ( left (2 x ^ {2} +1 right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(4 x ^ {4} +4 x ^ {2} +1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Multiplicar: ( left (3 y ^ {3} +2 right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(9 y ^ {6} +12 y ^ {3} +4 )

     
 
 
 

Multiplicar conjugados usando el producto del patrón de conjugados

 

Acabamos de ver un patrón para cuadrar binomios que podemos usar para hacer más fácil la multiplicación de algunos binomios. Del mismo modo, hay un patrón para otro producto de binomios. Pero antes de llegar a él, necesitamos introducir algo de vocabulario.

 

¿Qué notas sobre estos pares de binomios?

 

[(x-9) (x + 9) qquad (y-8) (y + 8) qquad (2x-5) (2x + 5) ]

 

Observa el primer término de cada binomio en cada par.

 

This figure has three products. The first is x minus 9, in parentheses, times x plus 9, in parentheses. The second is y minus 8, in parentheses, times y plus 8, in parentheses. The last is 2x minus 5, in parentheses, times 2x plus 5, in parentheses

 

Observe que los primeros términos son los mismos en cada par.

 

Mira los últimos términos de cada binomio en cada par.

 

This figure has three products. The first is x minus 9, in parentheses, times x plus 9, in parentheses. The second is y minus 8, in parentheses, times y plus 8, in parentheses. The last is 2x minus 5, in parentheses, times 2x plus 5, in parentheses.

 

Observe que los últimos términos son los mismos en cada par.

 

Observe cómo cada par tiene una suma y una diferencia.

 

This figure has three products. The first is x minus 9, in parentheses, times x plus 9, in parentheses. Below the x minus 9 is the word “difference”. Below x plus 9 is the word “sum”. The second is y minus 8, in parentheses, times y plus 8, in parentheses. Below y minus 8 is the word “difference”. Below y plus 8 is the word “sum”. The last is 2x minus 5, in parentheses, times 2x plus 5, in parentheses. Below the 2x minus 5 is the word “difference” and below 2x plus 5 is the word “sum”.

 

Un par de binomios que tienen cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y uno es una diferencia tiene un nombre especial. Se llama un par conjugado y tiene la forma (a − b), (a + b).

 
 

PAR CONJUGADO

 

Un par conjugado es dos binomios de la forma

 

[(a-b), (a + b) ]

 

El par de binomios tiene cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero un binomio es una suma y el otro es una diferencia.

 
 

Hay un patrón agradable para encontrar el producto de los conjugados. Podría, por supuesto, simplemente FALLAR para obtener el producto, pero el uso del patrón facilita su trabajo.

 

Busquemos el patrón usando FOIL para multiplicar algunos pares de conjugados.

 

[ begin {array} {cc} {(x-9) (x + 9)} & {(y-8) (y + 8)} & (2x-5) (2x + 5) {x ^ {2} +9 x-9 x-81} y {y ^ {2} +8 y-8 y-64} y {4 x ^ {2} +10 x-10 x-25} {x ^ {2} -81} y {y ^ {2} -64} y {4 x ^ {2} -25} end {array} ]

 

This figure has three columns. The first column contains the product of x minus 9 and x plus 9. Below this is the expression x squared plus 9x minus 9x minus 81. Below this is x squared minus 81. The second column contains the product of y minus 8 and y plus 8. Below this is the expression y squared plus 8y minus 8y minus 64. Below this is y squared minus 64. The third column contains the product of 2x minus 5 and 2x plus 5. Below this is the expression 4x squared plus 10x minus 10x minus 25. Below this is 4x squared minus 25.

 

Cada primer término es el producto de los primeros términos de los binomios, y dado que son idénticos, es el cuadrado del primer término.

 

[ begin {array} {c} {(a + b) (ab) = a ^ {2} -} underline { qquad} \ { text {Para obtener el} textbf {primero plazo, al cuadrado el primer término. }} end {array} ]

 

El último término vino de multiplicar los últimos términos, el cuadrado del último término.

 

[ begin {array} {c} {(a + b) (ab) = a ^ {2} -b ^ {2}} \ { text {Para obtener el} textbf {último término , al cuadrado el último término. }} end {array} ]

 

¿Qué observas sobre los productos?

 

¡El producto de los dos binomios también es un binomio! La mayoría de los productos resultantes de FOIL han sido trinomios.

 

¿Por qué no hay término medio? Observe que los dos términos medios que obtiene de FOIL se combinan a 0 en cada caso, el resultado de una suma y una resta.

 

El producto de los conjugados siempre tiene la forma (a ^ 2-b ^ 2 ). Esto se llama diferencia de cuadrados.

 

Esto lleva al patrón:

 
 
 

PRODUCTO DEL PATRÓN DE CONJUGADOS

 

Si ayb son números reales,

 This figure is divided into two sides. On the left side is the following formula: the product of a minus b and a plus b equals a squared minus b squared. On the right side is the same formula labeled: a minus b and a plus b are labeled “conjugates”, the a squared and b squared are labeled squares and the minus sign between the squares is labeled “difference”. Therefore, the product of two conjugates is called a difference of squares.  

El producto se llama diferencia de cuadrados.

 

Para multiplicar conjugados, eleva al cuadrado el primer término, eleva al cuadrado el último término y escribe el producto como una diferencia de cuadrados.

 
 

Probemos este patrón con un ejemplo numérico.

 
 

( begin {array} {ll} & (10-2) (10 + 2) \ { text {Es el producto de conjugados, por lo que el resultado será el}} \ { text {diferencia de dos cuadrados.}} & underline { qquad} – underline { qquad} \ { text {Cuadra el primer término.}} & 10 ^ 2 – underline { qquad} \ { text {Square the last term.}} & 10 ^ 2 – 2 ^ 2 \ { text {Simplify.}} & 100 -4 \ { text {Simplify.}} & 96 \ { text {What ¿obtienes el Orden de operaciones?}} \ \ & (10-2) (10 + 2) \ & (8) (12) \ & 96 end {array} )

 

Aviso, ¡el resultado es el mismo!

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Multiplicar: ((x-8) (x + 8) )

 
     
Respuesta
     
     

Primero, reconozca esto como un producto de conjugados. Los binomios tienen los mismos primeros términos y los mismos últimos términos, y un binomio es una suma y el otro es una diferencia.

                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Se ajusta al patrón. The product of x minus 8 and x plus 8. Above this is the general form a minus b, in parentheses, times a plus b, in parentheses.
Al cuadrado el primer término, x . x squared minus blank. Above this is the general form a squared minus b squared.
Cuadrado del último término, 8. x squared minus 8 squared.
El producto es una diferencia de cuadrados. x squared minus 64.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Multiplicar: ((x-5) (x + 5) )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} -25 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Multiplicar: ((w-3) (w + 3) )

 
     
Respuesta
     
     

(w ^ {2} -9 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Multiplicar: ((2 x + 5) (2 x-5) )

 
     
Respuesta
     
     

¿Son los conjugados binomiales?

                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Es el producto de conjugados. The product of 2x plus 5 and 2x minus 5. Above this is the general form a minus b, in parentheses, times a plus b, in parentheses.
Al cuadrado el primer término, 2 x . 2 x squared minus blank. Above this is the general form a squared minus b squared.
Cuadra el último término, 5. 2 x squared minus 5 squared.
Simplificar. El producto es una diferencia de cuadrados. 4 x squared minus 25.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Multiplicar: ((6 x + 5) (6 x-5) )

 
     
Respuesta
     
     

(36 x ^ {2} -25 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Multiplicar: ((2 x + 7) (2 x-7) )

 
     
Respuesta
     
     

(4 x ^ {2} -49 )

     
 
 
 

Los binomios en el siguiente ejemplo pueden mirar hacia atrás: la variable está en el segundo término. Pero los dos binomios siguen siendo conjugados, por lo que utilizamos el mismo patrón para multiplicarlos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Encuentre el producto: ((3 + 5 x) (3-5 x) )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
Es el producto de conjugados. The product of 3 plus 5 x and 3 minus 5 x. Above this is the general form a plus b, in parentheses, times a minus b, in parentheses.
Usa el patrón. 3 squared minus 5 x squared. Above this is the general form a squared minus b squared.
Simplificar. 9 minus 25 x squared.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Multiplicar: ((7 + 4 x) (7-4 x) )

 
     
Respuesta
     
     

(49-16 x ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Multiplicar: ((9-2 y) (9 + 2 y) )

 
     
Respuesta
     
     

(81-4 ​​y ^ {2} )

     
 
 
 

Ahora multiplicaremos conjugados que tienen dos variables.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Encuentre el producto: ((5 m-9 n) (5 m + 9 n) )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
Esto se ajusta al patrón. 5 m minus 9 n and 5 m plus 9 n. Above this is the general form a plus b, in parentheses, times a minus b, in parentheses.
Usa el patrón. 5 m squared minus 9 n squared. Above this is the general form a squared minus b squared.
Simplifica. 25 m squared minus 81 n squared.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Encuentre el producto: ((4 p-7 q) (4 p + 7 q) )

 
     
Respuesta
     
     

(16 p ^ {2} -49 q ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Encuentre el producto: ((3 x-y) (3 x + y) )

 
     
Respuesta
     
     

(9 x ^ {2} -y ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Encuentre el producto: ((c d-8) (c d + 8) )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
Esto se ajusta al patrón. The product of c d minus 8 and c d plus 8. Above this is the general form a plus b, in parentheses, times a minus b, in parentheses.
Usa el patrón. c d squared minus 8 squared. Above this is the general form a squared minus b squared.
Simplificar. c squared d squared minus 64.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Encuentre el producto: ((x y-6) (x y + 6) )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} y ^ {2} -36 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Encuentre el producto: ((a b-9) (a b + 9) )

 
     
Respuesta
     
     

(a ^ {2} b ^ {2} -81 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Encuentre el producto: ( left (6 u ^ {2} -11 v ^ {5} right) left (6 u ^ {2} +11 v ^ {5} right) ) [ 19459007]  

     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
Esto se ajusta al patrón. The product of 6 u squared minus 11 v to the fifth power and 6 u squared plus 11 v to the fifth power. Above this is the general form a plus b, in parentheses, times a minus b, in parentheses.
Usa el patrón. 6 u squared, in parentheses, squared, minus 11 v to the fifth power, in parentheses, squared. Above this is the general form a squared minus b squared.
Simplificar. 36 u to the fourth power minus 121 v to the tenth power.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Encuentra el producto: ( left (3 x ^ {2} -4 y ^ {3} right) left (3 x ^ {2} +4 y ^ {3} right) ) [ 19459007]  

     
Respuesta
     
     

(9 x ^ {4} -16 y ^ {6} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Encuentre el producto: ( left (2 m ^ {2} -5 n ^ {3} right) left (2 m ^ {2} +5 n ^ {3} right) ) [ 19459007]  

     
Respuesta
     
     

(4 m ^ {4} -25 n ^ {6} )

     
 
 
 
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