las matematicas

6.5: Dividir monomios

6.5: Dividir monomios

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Simplifique expresiones usando la propiedad del cociente para exponentes
    •      
  • Simplificar expresiones con exponentes cero
    •      
  • Simplifique expresiones usando el cociente a una propiedad de potencia
    •      
  • Simplifique expresiones aplicando varias propiedades
    •      
  • Dividir monomios
    •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifique: ( dfrac {8} {24} ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.6.4 .
    2.      
  2. Simplifica: ((2m ^ 3) ^ 5 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 6.2.22 .
    3.      
  3. Simplifica: ( dfrac {12x} {12y} )
    Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.6.10 .
    4.  
 
 

Simplificar expresiones usando la propiedad del cociente para exponentes

 

Anteriormente en este capítulo, desarrollamos las propiedades de los exponentes para la multiplicación. Resumimos estas propiedades a continuación.

 
 
 

RESUMEN DE PROPIEDADES EXPONENTES PARA MULTIPLICACIÓN

 
 

Si ayb son números reales, ymyn son números enteros, entonces

 
 

[ begin {array} {ll} { textbf {Propiedad del producto}} & {a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n}} \ { textbf { Propiedad de energía}} & { left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {mn}} \ { textbf {Producto a una potencia}} & {(ab) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m}} end {array} ]

 
 

Ahora veremos las propiedades del exponente para la división. Una actualización rápida de la memoria puede ayudar antes de comenzar. Has aprendido a simplificar fracciones dividiendo factores comunes del numerador y el denominador usando la propiedad de fracciones equivalentes. Esta propiedad también lo ayudará a trabajar con fracciones algebraicas, que también son cocientes.

 
 
 

PROPIEDAD DE FRACCIONES EQUIVALENTES

 
 
 

Si a, byc son números enteros donde (b neq 0, c neq 0 ).

 
 
 

[ text {then} quad dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} quad text {y} quad dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} ]

 
 

Como antes, intentaremos descubrir una propiedad mirando algunos ejemplos.

 

( begin {array} {lclc} { text {Considerar}} & dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} & text {y} & dfrac {x ^ { 2}} {x ^ {3}} \ { text {¿Qué significan?}} & Dfrac {x cdot x cdot x cdot x cdot x} {x cdot x} && dfrac {x cdot x} {x cdot x cdot x} \ { text {Use la propiedad de fracciones equivalentes.}} & { dfrac {x not cdot x not cdot x cdot x cdot x} {x not cdot not x}} && dfrac { not x cdot not x cdot 1} {x not cdot not x cdot x} \ { text {Simplifique. }} & {x ^ {3}} & & dfrac {1} {x} end {array} )

 

Observe que, en cada caso, las bases eran las mismas y restamos exponentes.

 

Cuando el exponente más grande estaba en el numerador, nos quedaban factores en el numerador.

 

Cuando el exponente más grande estaba en el denominador, nos quedamos con factores en el denominador; observe el numerador de 1.

 

Escribimos:

 

[ begin {array} {cc} { dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}}} & { dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}}} \ {x ^ {5-2}} y { dfrac {1} {x ^ {3} -2}} \ {x ^ {3}} y { dfrac {1} {x}} end {array} ]

 
 
 

Esto lleva a la Propiedad del cociente para exponentes .

 
 
 

PROPIEDAD DE COTIZACIÓN PARA EXPONENTES

 

Si a es un número real, (a neq 0 ), ymyn son números enteros, entonces

 

[ dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn}, m> n text {y} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n }} = dfrac {1} {a ^ {nm}}, n> m ]

 
 

Un par de ejemplos con números pueden ayudar a verificar esta propiedad.

 

[ begin {array} {llllll} dfrac {3 ^ {4}} {3 ^ {2}} & = & 3 ^ {4-2} & dfrac {5 ^ {2}} {5 ^ {3}} & = & dfrac {1} {5 ^ {3-2}} \ dfrac {81} {9} & = & 3 ^ {2} & dfrac {25} {125} & = & dfrac {1} {5 ^ {1}} \ 9 & = & 9 checkmark & ​​ dfrac {1} {5} & = & dfrac {1} {5} checkmark end {array} ] [ 19459003]  

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {x ^ {15}} {x ^ {10}} )
    2.      
  2. ( dfrac {6 ^ {14}} {6 ^ {5}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x ^ {5} )
    2.          
  2. (6 ^ 9 )
    3.      
     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {y ^ {43}} {y ^ {37}} )
    2.      
  2. ( dfrac {10 ^ {15}} {10 ^ {7}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (y ^ {6} )
    2.          
  2. (10 ​​^ 8 )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {x ^ {18}} {x ^ {22}} )
    2.      
  2. ( dfrac {12 ^ {15}} {12 ^ {30}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {x ^ {4}} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {12 ^ {15}} )
    3.      
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {m ^ {7}} {m ^ {15}} )
    2.      
  2. ( dfrac {9 ^ {8}} {9 ^ {19}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {m ^ {8}} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {9 ^ {11}} )
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Observe la diferencia en los dos ejemplos anteriores:

 
         
  • Si comenzamos con más factores en el numerador, terminaremos con factores en el numerador.
    •      
  • Si comenzamos con más factores en el denominador, terminaremos con factores en el denominador.
    •  
 

El primer paso para simplificar una expresión usando la Propiedad del cociente para exponentes es determinar si el exponente es mayor en el numerador o en el denominador.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {b ^ {19}} {b ^ {11}} )
    2.      
  2. ( dfrac {z ^ {5}} {z ^ {11}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (b ^ {8} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {z ^ {6}} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {p ^ {9}} {p ^ {17}} )
    2.      
  2. ( dfrac {w ^ {13}} {w ^ {9}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {p ^ {8}} )
    2.          
  2. (w ^ {4} )
    3.      
     
 
 
 

Simplificar expresiones con un exponente de cero

 

Un caso especial de la propiedad del cociente es cuando los exponentes del numerador y el denominador son iguales, como una expresión como ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ). De su trabajo anterior con fracciones, sabe que:

 

[ dfrac {2} {2} = 1 quad dfrac {17} {17} = 1 quad dfrac {-43} {- 43} = 1 ]

 

En palabras, un número dividido por sí mismo es 1. Entonces, ( dfrac {x} {x} = 1 ), para cualquier (x (x neq 0) ), ya que cualquier número dividido por en sí es 1.

 

La propiedad del cociente para exponentes nos muestra cómo simplificar ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ) cuando (m> n ) y cuándo (n  

Considere ( dfrac {8} {8} ), que sabemos que es 1.

 

( begin {array} {lrll} & dfrac {8} {8} & = & 1 \ text {Write} 8 text {as} 2 ^ {3}. & Dfrac {2 ^ {3}} {2 ^ {3}} & = & 1 \ text {Restar exponentes.} & 2 ^ {3-3} & = & 1 \ text {Simplify.} & 2 ^ {0} & = & 1 end {array} )

 

Ahora simplificaremos ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ) de dos maneras para llevarnos a la definición del exponente cero. En general, para (a neq 0 ):

 

This figure is divided into two columns. At the top of the figure, the left and right columns both contain a to the m power divided by a to the m power. In the next row, the left column contains a to the m minus m power. The right column contains the fraction m factors of a divided by m factors of a, represented in the numerator and denominator by a times a followed by an ellipsis. All the as in the numerator and denominator are canceled out. In the bottom row, the left column contains a to the zero power. The right column contains 1.

 

Vemos que ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ) se simplifica a (a ^ {0} ) y a 1. Entonces (a ^ {0} = 1 ).

 
 
 

EXPONENTE CERO

 
 

Si a es un número distinto de cero, entonces (a ^ {0} = 1 ).

 

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es 1.

 
 
 

En este texto, asumimos que cualquier variable que elevemos a la potencia cero no es cero.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (9 ^ {0} )
    2.      
  2. (n ^ {0} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

La definición dice que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es 1.

     
             
  1. ( begin {array} {ll} & 9 ^ 0 \ text {Use la definición del exponente cero.} & 1 end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & n ^ 0 \ text {Use la definición del exponente cero.} & 1 end {array} )
    3.      
     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (15 ^ {0} )
    2.      
  2. (m ^ {0} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 1
    2.          
  2. 1
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (k ^ {0} )
    2.      
  2. (29 ^ {0} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 1
    2.          
  2. 1
    3.      
     
 
 
 

Ahora que hemos definido el exponente cero, podemos expandir todas las Propiedades de los exponentes para incluir exponentes de números enteros.

 

¿Qué pasa con elevar una expresión a la potencia cero? Veamos ((2x) ^ 0 ). Podemos usar el producto con una regla de poder para reescribir esta expresión.

 

( begin {array} {ll} & (2x) ^ 0 \ { text {Use el producto para una regla de poder.}} & {2 ^ {0} x ^ {0}} \ { text {Use la propiedad de exponente cero.}} & {1 cdot 1} \ { text {Simplify.}} & 1 end {array} )

 

Esto nos dice que cualquier expresión distinta de cero elevada a la potencia cero es una.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((5b) ^ 0 )
    2.      
  2. ((- 4a ^ {2} b) ^ 0 ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} & (5b) ^ 0 \ { text {Use la definición del exponente cero.}} & 1 end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & (−4a ^ {2} b) ^ 0 \ { text {Use la definición del exponente cero.}} & 1 end {array} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((11z) ^ 0 )
    2.      
  2. ((- 11pq ^ {3}) ^ 0 ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 1
    2.          
  2. 1
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 6d) ^ 0 )
    2.      
  2. ((- 8m ^ {2} n ^ {3}) ^ 0 ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 1
    2.          
  2. 1
    3.      
     
 
 
 

Simplificar expresiones usando el cociente a una propiedad de potencia

 

Ahora veremos un ejemplo que nos llevará al Cociente de una Propiedad de Poder.

 

( begin {array} {lc} & { left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3}} \ text {Esto significa:} & { dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y}} \ text {Multiplica las fracciones.} & { dfrac {x cdot x cdot x} {y cdot y cdot y}} \ text {Escribir con exponentes.} & { dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}}} end {array} )

 

Observe que el exponente se aplica tanto al numerador como al denominador.

 

( begin {array} {lc} { text {Vemos que} left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} text {is} dfrac {x ^ { 3}} {y ^ {3}}} \ { text {Escribimos:}} & left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} \ & { dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}}} end {array} )

 

Esto lleva al Cociente a una propiedad de poder para exponentes .

 
 

COTIENTE DE UNA PROPIEDAD DE ENERGÍA PARA EXPONENTES

 

Si ayb son números reales, (b neq 0 ), ym es un número de conteo, entonces

 

[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ]

 

Para aumentar una fracción a una potencia, eleva el numerador y el denominador a esa potencia.

 
 

Un ejemplo con números puede ayudarlo a comprender esta propiedad:

 

[ begin {alineado} left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} & = dfrac {2 ^ {3}} {3 ^ {3}} \ dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} & = dfrac {8} {27} \ dfrac {8} {27} & = dfrac {8} {27} marca de verificación end {alineado} ]

 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left ( dfrac {5} {8} right) ^ {2} )
    2.      
  2. ( left ( dfrac {p} {10} right) ^ {4} )
    3.      
  3. ( left ( dfrac {m} {n} right) ^ {7} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {25} {64} )
    2.          
  2. ( dfrac {p ^ {4}} {10,000} )
    3.          
  3. ( dfrac {m ^ {7}} {n ^ {7}} )
    4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left ( dfrac {1} {3} right) ^ {3} )
    2.      
  2. ( left ( dfrac {-2} {q} right) ^ {3} )
    3.      
  3. ( left ( dfrac {w} {x} right) ^ {4} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {27} )
    2.          
  2. ( dfrac {-8} {q ^ {3}} )
    3.          
  3. ( dfrac {w ^ {4}} {x ^ {4}} )
    4.      
     
 
 
 

Simplifique expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

 

Ahora resumiremos todas las propiedades de los exponentes para que estén todos juntos para hacer referencia a medida que simplificamos las expresiones usando varias propiedades. Observe que ahora están definidos para exponentes de números enteros.

 
 
 

RESUMEN DE LAS PROPIEDADES EXPONENTES

 

Si ayb son números reales, ymyn son números enteros, entonces

 

[ begin {array} {lrll} textbf {Propiedad del producto} & a ^ {m} cdot a ^ {n} & = & a ^ {m + n} \ textbf {Power Property} & left (a ^ {m} right) ^ {n} & = & a ^ {m cdot n} \ textbf {Producto a una potencia} & (ab) ^ {m} & = & a ^ {m} b ^ {m} \ textbf {Propiedad del cociente} & dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} & = & a ^ {mn}, a neq 0, m> n \ & dfrac {a ^ {n}} {a ^ {n}} & = & 1, a neq 0, n> m \ textbf {Definición de exponente cero} & a ^ 0 & = & 1, a neq 0 \ textbf {Cociente de una propiedad de potencia} & left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} & = & dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 end {array} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (y ^ {4} right) ^ {2}} {y ^ {6}} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac { left (y ^ {4} right) ^ {2}} {y ^ {6}} \ text {Multiplica los exponentes en numerador.} & dfrac {y ^ {8}} {y ^ {6}} \ text {Resta los exponentes.} & y ^ {2} end {array} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (m ^ {5} right) ^ {4}} {m ^ {7}} )

 
     
Respuesta
     
     

(m ^ {13} )

     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (k ^ {2} right) ^ {6}} {k ^ {7}} )

 
     
Respuesta
     
     

(k ^ {5} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Simplifique: ( dfrac {b ^ {12}} { left (b ^ {2} right) ^ {6}} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac {b ^ {12}} { left (b ^ {2} right) ^ {6}} \ text {Multiplica los exponentes en numerador.} & dfrac {b ^ {12}} {b ^ {12}} \ text {Resta los exponentes.} & b ^ {0} \ text {Simplify} & 1 end {array} )

     

Observe que después de simplificar el denominador en el primer paso, el numerador y el denominador fueron iguales. Entonces el valor final es igual a 1.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: ( dfrac {n ^ {12}} { left (n ^ {3} right) ^ {4}} )

 
     
Respuesta
     
     

1

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ {15}} { left (x ^ {3} right) ^ {5}} )

 
     
Respuesta
     
     

1

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {y ^ {9}} {y ^ {4}} right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left ( dfrac {y ^ {9}} {y ^ {4}} right) ^ {2} \ text {Recuerde los paréntesis vienen antes de los exponentes .} & \ text {Observe que las bases son las mismas, por lo que podemos simplificar} & left (y ^ {5} right) ^ {2} \ text {dentro de los paréntesis. Reste los exponentes.} & \ text {Multiplica los exponentes.} & y ^ {10} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {r ^ {5}} {r ^ {3}} right) ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

(r ^ {8} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {v ^ {6}} {v ^ {4}} right) ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(v ^ {6} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {j ^ {2}} {k ^ {3}} right) ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

Aquí no podemos simplificar primero dentro de los paréntesis, ya que las bases no son las mismas.

     

( begin {array} {ll} & left ( dfrac {j ^ {2}} {k ^ {3}} right) ^ {4} \ text {Eleve el numerador y el denominador al tercer poder} y \ text {usando el Cociente a una Propiedad de Poder,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} & dfrac { left (j ^ {2} right) ^ {4}} { left (k ^ {3} right) ^ {4}} \ text {Use the Power Propiedad y simplificar.} & Dfrac {j ^ {8}} {k ^ {12}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {a ^ {3}} {b ^ {2}} right) ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {a ^ {12}} {b ^ {8}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {q ^ {7}} {r ^ {5}} right) ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {q ^ {21}} {r ^ {15}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {2 m ^ {2}} {5 n} right) ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left ( dfrac {2 m ^ {2}} {5 n} right) ^ {4} \ text {Eleve el numerador y el denominador al cuarto} & dfrac { left (2 m ^ {2} right) ^ {4}} {(5 n) ^ {4}} \ text {poder, usando la propiedad Cociente a un poder,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} & dfrac {2 ^ {4} left (m ^ {2 } right) ^ {4}} {5 ^ {4} n ^ {4}} \ text {Use la propiedad Power y simplifique.} & dfrac {16 m ^ {8}} {625 n ^ { 4}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {7 x ^ {3}} {9 y} right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {49 x ^ {6}} {81 y ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {3 x ^ {4}} {7 y} right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {9 x ^ {8}} {49 v ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (x ^ {3} right) ^ {4} left (x ^ {2} right) ^ {5}} { left (x ^ {6} right) ^ {5}} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac { left (x ^ {3} right) ^ {4} left (x ^ {2} right) ^ {5}} { left (x ^ {6} right) ^ {5}} \ text {Use la propiedad Power,} left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} & dfrac { left (x ^ {12} right) left (x ^ {10} right)} { left (x ^ {30} right)} \ text {Agregue los exponentes en numerador.} & dfrac {x ^ {22}} {x ^ {30}} \ text {Use la propiedad del cociente,} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {nm}} & dfrac {1} {x ^ {8}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (a ^ {2} right) ^ {3} left (a ^ {2} right) ^ {4}} { left (a ^ {4} right) ^ {5}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {a ^ {6}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (p ^ {3} right) ^ {4} left (p ^ {5} right) ^ {3}} { left (p ^ {7} right) ^ {6}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {p ^ {15}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (10 p ^ {3} right) ^ {2}} {(5 p) ^ {3} left (2 p ^ {5} right) ^ { 4}} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac { left (10 p ^ {3} right) ^ {2}} {(5 p) ^ {3} left (2 p ^ { 5} right) ^ {4}} \ text {Use el producto para una propiedad de energía,} (ab) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} & dfrac {(10) ^ {2} left (p ^ {3} right) ^ {2}} {(5) ^ {3} (p) ^ {3} (2) ^ {4} left (p ^ {5} derecha) ^ {4}} \ text {Use la propiedad Power,} left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} & dfrac {100 p ^ { 6}} {125 p ^ {3} cdot 16 p ^ {20}} \ text {Agregue los exponentes en el denominador.} & Dfrac {100 p ^ {6}} {125 cdot 16 p ^ {23}} \ text {Usar la propiedad del cociente,} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {nm}} & dfrac {100} {125 cdot 16 p ^ {17}} \ text {Simplify.} & Dfrac {1} {20 p ^ {17}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (3 r ^ {3} right) ^ {2} left (r ^ {3} right) ^ {7}} { left (r ^ {3 } right) ^ {3}} )

 
     
Respuesta
     
     

9 (r ^ {18} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Simplifique: ( dfrac { left (2 x ^ {4} right) ^ {5}} { left (4 x ^ {3} right) ^ {2} left (x ^ { 3} right) ^ {5}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2} {x} )

     
 
 
 

Dividir monomios

 

Ahora se le han presentado todas las propiedades de los exponentes y los ha utilizado para simplificar expresiones. A continuación, verá cómo usar estas propiedades para dividir monomios. Más tarde, los usará para dividir polinomios.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Encuentra el cociente: (56 x ^ {7} div 8 x ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & 56 x ^ {7} div 8 x ^ {3} \ text {Reescribir como una fracción.} & Dfrac {56 x ^ {7}} { 8 x ^ {3}} \ text {Usar la multiplicación de fracciones.} & Dfrac {56} {8} cdot dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}} \ text {Simplificar y use la propiedad del cociente.} & 7 x ^ {4} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Encuentra el cociente: 42 (y ^ {9} div 6 y ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(7 años ^ {6} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Encuentra el cociente: (48z ^ {8} div 8 z ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(6z ^ {6} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {40} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {45 a ^ {2} b ^ {3}} {- 5 a b ^ {5}} )

 
     
Respuesta
     
     

Cuando dividimos monomios con más de una variable, escribimos una fracción para cada variable.

     

( begin {array} {ll} & dfrac {45 a ^ {2} b ^ {3}} {- 5 ab ^ {5}} \ text {Usar multiplicación de fracciones.} & dfrac {45} {- 5} cdot dfrac {a ^ {2}} {a} cdot dfrac {b ^ {3}} {b ^ {5}} \ text {Simplifique y use el Cociente Propiedad.} & – 9 cdot a cdot dfrac {1} {b ^ {2}} \ text {Multiply.} & – dfrac {9 a} {b ^ {2}} end {array } )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {41} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {-72 a ^ {7} b ^ {3}} {8 a ^ {12} b ^ {4}} )

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {9} {a ^ {5} b} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {42} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {-63 c ^ {8} d ^ {3}} {7 c ^ {12} d ^ {2}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {-9 d} {c ^ {4}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {43} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {24 a ^ {5} b ^ {3}} {48 a b ^ {4}} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac {24 a ^ {5} b ^ {3}} {48 ab ^ {4}} \ text {Usar multiplicación de fracciones.} & Dfrac {24} {48} cdot dfrac {a ^ {5}} {a} cdot dfrac {b ^ {3}} {b ^ {4}} \ text {Simplifique y use la Propiedad del cociente. } & dfrac {1} {2} cdot a ^ {4} cdot dfrac {1} {b} \ text {Multiplicar.} & dfrac {a ^ {4}} {2 b} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {44} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {16 a ^ {7} b ^ {6}} {24 a b ^ {8}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2 a ^ {6}} {3 b ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {45} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {27 p ^ {4} q ^ {7}} {- 45 p ^ {12} q} )

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {3 q ^ {6}} {5 p ^ {8}} )

     
 
 
 

Una vez que se familiarice con el proceso y lo haya practicado paso a paso varias veces, puede simplificar una fracción en un solo paso.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {46} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {14 x ^ {7} y ​​^ {12}} {21 x ^ {11} y ^ {6}} )

 
     
Respuesta
     
     

Tenga mucho cuidado de simplificar ( dfrac {14} {21} ) dividiendo un factor común y simplificando las variables restando sus exponentes.

     

( begin {array} {ll} & dfrac {14 x ^ {7} y ​​^ {12}} {21 x ^ {11} y ^ {6}} \ text {Simplifique y use la propiedad del cociente.} & dfrac {2 y ^ {6}} {3 x ^ {4}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {47} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {28 x ^ {5} y ^ {14}} {49 x ^ {9} y ^ {12}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {4 y ^ {2}} {7 x ^ {4}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {48} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {30 m ^ {5} n ^ {11}} {48 m ^ {10} n ^ {14}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {8 m ^ {5} n ^ {3}} )

     
 
 
 

En todos los ejemplos hasta ahora, no había trabajo que hacer en el numerador o denominador antes de simplificar la fracción. En el siguiente ejemplo, primero encontraremos el producto de dos monomios en el numerador antes de simplificar la fracción. Esto sigue el orden de las operaciones. Recuerde, una barra de fracción es un símbolo de agrupación.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {49} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac { left (6 x ^ {2} y ^ {3} right) left (5 x ^ {3} y ^ {2} right)} { left (3 x ^ {4} y ^ {5} right)} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} & dfrac { left (6 x ^ {2} y ^ {3} right) left (5 x ^ {3} y ^ {2} right )} { left (3 x ^ {4} y ^ {5} right)} \ text {Simplifique el numerador.} & dfrac {30 x ^ {5} y ^ {5}} {3 x ^ {4} y ^ {5}} \ text {Simplify.} & 10 x end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {50} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac { left (6 a ^ {4} b ^ {5} right) left (4 a ^ {2} b ^ {5} right)} {12 a ^ {5} b ^ {8}} )

 
     
Respuesta
     
     

(2 a b ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {51} )

 

Encuentra el cociente: ( dfrac { left (-12 x ^ {6} y ^ {9} right) left (-4 x ^ {5} y ^ {8} right)} { -12 x ^ {10} y ^ {12}} )

 
     
Respuesta
     
     

(- 4 x y ^ {5} )

     
 
 
 
 

Nota

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con la división de monomios:

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Propiedad del cociente para exponentes:      
               
    • Si a es un número real, (a neq 0 ) ym, n son números enteros, entonces: ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn}, m> n text {y} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {mn}}, n> m )
      •      
         
    •      
  • Exponente cero      
               
    • Si a es un número distinto de cero, entonces (a ^ {0} = 1 ).
      •      
         
    •      
  • Cociente de una propiedad de potencia para exponentes :      
               
    • Si ayb son números reales, (b neq 0 ) y mm es un número de conteo, entonces: ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} )
      •          
    • Para elevar una fracción a una potencia, eleva el numerador y el denominador a esa potencia.
      •      
         
    •      
  • Resumen de las propiedades del exponente      
               
    • Si a, b son números reales ym, nm, n son números enteros, entonces ( begin {array} {lrll} textbf {Product Property} & a ^ {m} cdot a ^ {n} & = & a ^ {m + n} \ textbf {Power Property} & left (a ^ {m} right) ^ {n} & = & a ^ {m cdot n} \ textbf {Producto a a Potencia} & (ab) ^ {m} & = & a ^ {m} b ^ {m} \ textbf {Propiedad del cociente} & dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} & = & a ^ {mn}, a neq 0, m> n \ & dfrac {a ^ {n}} {a ^ {n}} & = & 1, a neq 0, n> m \ textbf { Definición de exponente cero} & a ^ 0 & = & 1, a neq 0 \ textbf {Cociente de una propiedad de potencia} & left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} & = & dfrac { a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 end {array} )
      •      
         
    •  
 
                                  
]]>

antonio1095

,

Deja una respuesta