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las matematicas

6.5: Estrategia general para factorizar polinomios

Reconocer y usar el método apropiado para factorizar un polinomio completamente

 

Ahora te has familiarizado con todos los métodos de factorización que necesitarás en este curso. El siguiente cuadro resume todos los métodos de factorización que hemos cubierto y describe una estrategia que debe usar al factorizar polinomios.

 
 
 

ESTRATEGIA GENERAL PARA FACTORIZAR POLINOMIOS

 

This chart shows the general strategies for factoring polynomials. It shows ways to find GCF of binomials, trinomials and polynomials with more than 3 terms. For binomials, we have difference of squares: a squared minus b squared equals a minus b, a plus b; sum of squares do not factor; sub of cubes: a cubed plus b cubed equals open parentheses a plus b close parentheses open parentheses a squared minus ab plus b squared close parentheses; difference of cubes: a cubed minus b cubed equals open parentheses a minus b close parentheses open parentheses a squared plus ab plus b squared close parentheses. For trinomials, we have x squared plus bx plus c where we put x as a term in each factor and we have a squared plus bx plus c. Here, if a and c are squares, we have a plus b whole squared equals a squared plus 2 ab plus b squared and a minus b whole squared equals a squared minus 2 ab plus b squared. If a and c are not squares, we use the ac method. For polynomials with more than 3 terms, we use grouping.

 
 
 
 
 

UTILICE UNA ESTRATEGIA GENERAL PARA FACTORIZAR POLINOMIOS.

 
 
         
  1. ¿Existe un factor común máximo?
    Factorizarlo.
  2.      
  3. ¿Es el polinomio un binomio, trinomio o hay más de tres términos?
    Si es un binomio:      
               
    • ¿Es una suma?
      ¿De cuadrados? Las sumas de cuadrados no tienen en cuenta.
      ¿De cubos? Usa el patrón de la suma de cubos.
    •          
    • ¿Es una diferencia?
      ¿De cuadrados? Factorizar como producto de conjugados.
      ¿De cubos? Usa el patrón de diferencia de cubos.
    •      
        Si es un trinomio:      
               
    • ¿Tiene la forma (x ^ 2 + bx + c )? Deshacer FOIL.
    •          
    • ¿Tiene la forma (ax ^ 2 + bx + c )?
      Si a y c son ​​cuadrados, verifique si se ajusta al patrón cuadrado trinomial.
      Utilice el método de prueba y error o ” (ac )”.
    •      
        Si tiene más de tres términos:           
  4.      
  5. Verificación.
    ¿Se factoriza por completo?
    ¿Los factores se multiplican de nuevo al polinomio original?
  6.  
 
 
 
 

Recuerde, un polinomio se factoriza completamente si, además de los monomios, sus factores son primos .

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Factoriza completamente: (7x ^ 3−21x ^ 2−70x ).

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} {7x ^ 3−21x ^ 2−70x} & \ text {¿Hay un GCF? Sí,} 7x. & \ text {Factoriza el GCF .} & 7x (x ^ 2−3x − 10) \ text {Entre paréntesis, ¿es un binomio, trinomio,} & \ text {o hay más términos?} & \ text {Trinomio con coeficiente inicial 1.} & \ text {“Undo” FOIL.} & 7x (x hspace {8mm}) (x hspace {8mm}) \ & 7x (x + 2) (x − 5) \ texto {¿Se factoriza la expresión por completo? Sí.} & \ text {Ninguno de los binomios se puede factorizar.} & \ text {Verifique su respuesta.} & \ text {Multiplicar.} & \ & \ & \ hspace {15mm} 7x (x + 2) (x − 5) & \ hspace {10mm} 7x (x ^ 2−5x + 2x − 10) & \ hspace {15mm} 7x (x ^ 2−3x − 10) & \ hspace {13mm} 7x ^ 3−21x ^ 2−70x checkmark & ​​ end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {1} )

 

Factoriza completamente: (8y ^ 3 + 16y ^ 2−24y ).

 
     
Respuesta
     
     

(8y (y − 1) (y + 3) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {2} )

 

Factoriza completamente: (5y ^ 3−15y ^ 2−270y ).

 
     
Respuesta
     
     

(5y (y − 9) (y + 6) )

     
 
 
 
 
 

¡Ten cuidado cuando te pidan que factorices un binomio ya que hay varias opciones!

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Factoriza completamente: (24y ^ 2−150 )

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} & 24y ^ 2−150 \ text {¿Hay un GCF? Sí,} 6. & \ text {Factoriza el GCF.} & 6 (4y ^ 2 −25) \ text {Entre paréntesis, ¿es un binomio, trinomio} y \ text {o hay más de tres términos? Binomial.} & \ text {¿Es una suma? No.} & \ text {¿Es una diferencia? ¿De cuadrados o cubos? Sí, cuadrados.} & 6 ((2y) ^ 2− (5) ^ 2) \ text {Escriba como producto de conjugados.} & 6 ( 2y − 5) (2y + 5) \ & \ & \ hspace {5mm} text {¿Se factoriza completamente la expresión?} & \ hspace {5mm} text {Ninguno de los binomios se puede factorizar.} & \ text {Verificar:} & \ & \ & \ hspace {5mm} text {Multiply.} & \ & \ hspace {15mm} 6 (2y − 5) (2y + 5 ) & \ & \ hspace {18mm} 6 (4y ^ 2−25) & \ hspace {18mm} 24y ^ 2−150 checkmark end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {3} )

 

Factoriza completamente: (16x ^ 3−36x ).

 
     
Respuesta
     
     

(4x (2x − 3) (2x + 3) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {4} )

 

Factoriza completamente: (27y ^ 2−48 ).

 
     
Respuesta
     
     

(3 (3y − 4) (3y + 4) )

     
 
 
 
 
 

El siguiente ejemplo puede factorizarse usando varios métodos. Reconocer el patrón de cuadrados trinomiales facilitará su trabajo.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Factoriza completamente: (4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 ).

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} & 4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 \ text {¿Hay un GCF? No.} & \ text {¿Es un binomio, trinomio o son ¿hay más términos?} & \ text {Trinomio con} a neq 1. text {Pero el primer término es un cuadrado perfecto.} \ text {¿Es el último término un cuadrado perfecto? Sí.} & ( 2a) ^ 2−12ab + (3b) ^ 2 \ text {¿Se ajusta al patrón,} a ^ 2−2ab + b ^ 2? Text {Sí.} & (2a) ^ 2 −12ab + (3b) ^ 2 \ & hspace {7mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {- 2 (2a) (3b)} {,} ^ { swarrow} \ text {Escríbelo como un cuadrado.} & (2a − 3b) ^ 2 \ & \ & \ quad text {¿Se factoriza completamente la expresión? Sí.} & \ quad text {El binomio no se puede factorizar.} & \ text {Verifique su respuesta.} \ & \ & \ quad text {Multiply.} & \ hspace {30mm} (2a − 3b) ^ 2 \ hspace {20mm} ( 2a) ^ 2−2 · 2a · 3b + (3b) ^ 2 \ hspace {24mm} 4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 checkmark & ​​ end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {5} )

 

Factoriza completamente: (4x ^ 2 + 20xy + 25y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((2x + 5y) ^ 2 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {6} )

 

Factoriza completamente: (9x ^ 2−24xy + 16y ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

((3x − 4y) ^ 2 )

     
 
 
 
 
 

Recuerda, las sumas de cuadrados no tienen en cuenta, ¡pero las sumas de cubos sí!

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factoriza completamente (12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 ).

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} & 12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 \ text {¿Hay un GCF? Sí,} 3xy ^ 2. & \ text {Factoriza el GCF. } & 3xy ^ 2 (4x ^ 2 + 25) \ text {Entre paréntesis, ¿es un binomio, trinomio o son} & \ text {hay más de tres términos? Binomial.} & \ & text {¿Es una suma? De cuadrados? Sí.} & text {Las sumas de cuadrados son primos.} \ & \ & \ quad text {¿Se factoriza completamente la expresión? Sí.} & text {Verificar:} & \ & \ & \ quad text {Multiply.} & \ hspace {15mm} 3xy ^ 2 (4x ^ 2 + 25) y \ hspace {14mm} 12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 marca de verificación end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {7} )

 

Factoriza completamente: (50x ^ 3y + 72xy ).

 
     
Respuesta
     
     

(2xy (25x ^ 2 + 36) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {8} )

 

Factoriza completamente: (27xy ^ 3 + 48xy ).

 
     
Respuesta
     
     

(3xy (9y ^ 2 + 16) )

     
 
 
 
 
 

Al usar el patrón de suma o diferencia de cubos, tenga cuidado con los signos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Factoriza completamente: (24x ^ 3 + 81y ^ 3 ).

 

Solución:

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {9} )

 

Factoriza completamente: (250m ^ 3 + 432n ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 (5m + 6n) (25m ^ 2−30mn + 36n ^ 2) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {10} )

 

Factoriza completamente: (2p ^ 3 + 54q ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 (p + 3q) (p ^ 2−3pq + 9q ^ 2) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Factoriza completamente: (3x ^ 5y − 48xy ).

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} & 3x ^ 5y − 48xy \ text {¿Hay un MCD? Factor out} 3xy & 3xy (x ^ 4−16) \ begin {array} {l} text {¿Es el binomio una suma o diferencia? ¿De cuadrados o cubos?} \ text {Escríbelo como una diferencia de cuadrados.} end {array} & 3xy left ((x ^ 2) ^ 2− (4 ) 2 right) \ text {Factorizarlo como un producto de conjugados} & 3xy (x ^ 2−4) (x ^ 2 + 4) \ text {El primer binomio es nuevamente una diferencia de cuadrados.} & 3xy left ((x) ^ 2− (2) ^ 2 right) (x ^ 2 + 4) \ text {Factorizarlo como un producto de conjugados.} & 3xy (x − 2) (x + 2) ( x ^ 2 + 4) \ text {¿Se factoriza completamente la expresión? Sí.} & \ text {Verifique su respuesta.} & \ text {Multiplicar.} & \ 3xy (x − 2) ( x + 2) (x ^ 2 + 4) y \ 3xy (x ^ 2−4) (x ^ 2 + 4) y \ 3xy (x ^ 4−16) y \ 3x ^ 5y − 48xy marca de verificación & end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {11} )

 

Factoriza completamente: (4a ^ 5b − 64ab ).

 
     
Respuesta
     
     

(4ab (a ^ 2 + 4) (a − 2) (a + 2) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {12} )

 

Factoriza completamente: (7xy ^ 5−7xy ).

 
     
Respuesta
     
     

(7xy (y ^ 2 + 1) (y − 1) (y + 1) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Factoriza completamente: (4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab ).

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} & 4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab \ text {¿Hay un GCF? Factoriza el GCF,} 4. & 4 (x ^ 2 + 2bx − ax− 2ab) \ text {Hay cuatro términos. Utilice la agrupación.} & 4 [x (x + 2b) −a (x + 2b)] 4 (x + 2b) (x − a) \ text {Es el expresión factorizada completamente? Sí.} & \ text {Verifique su respuesta.} & \ text {Multiply.} & \ hspace {25mm} 4 (x + 2b) (x − a) & \ hspace {20mm} 4 (x ^ 2 − ax + 2bx − 2ab) & \ hspace {20mm} 4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab checkmark end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {13} )

 

Factoriza completamente: (6x ^ 2−12xc + 6bx − 12bc ).

 
     
Respuesta
     
     

(6 (x + b) (x − 2c) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {14} )

 

Factoriza completamente: (16x ^ 2 + 24xy − 4x − 6y ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 (4x − 1) (2x + 3y) )

     
 
 
 
 
 

Sacar el GCF completo en el primer paso siempre facilitará su trabajo.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Factoriza completamente: (40x ^ 2y + 44xy − 24y ).

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} & 40x ^ 2y + 44xy − 24y \ text {¿Hay un GCF? Factoriza el GCF,} 4y. Y 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) \ text {Factoriza el trinomio con} a neq 1. & 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) \ & 4y (5x − 2) (2x + 3) \ text {¿La expresión se factoriza por completo? Sí.} & \ text {Verifique su respuesta.} & \ text {Multiply.} & \ hspace {25mm} 4y (5x − 2) (2x + 3) & \ hspace {24mm} 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) & \ hspace {22mm} 40x ^ 2y + 44xy − 24y checkmark end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {15} )

 

Factoriza completamente: (4p ^ 2q − 16pq + 12q ).

 
     
Respuesta
     
     

(4q (p − 3) (p − 1) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {16} )

 

Factoriza completamente: (6pq ^ 2−9pq − 6p ).

 
     
Respuesta
     
     

(3p (2q + 1) (q − 2) )

     
 
 
 
 
 

Cuando hemos factorizado un polinomio con cuatro términos, con mayor frecuencia lo separamos en dos grupos de dos términos. Recuerde que también podemos separarlo en un trinomio y luego en un término.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Factoriza completamente: (9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 ).

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} & 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 \ text {¿Hay un GCF? No.} & \ begin {array} {l} text {Con más de 3 términos, use la agrupación. Los últimos 2 términos} \ text {no tienen GCF. Intente agrupar los primeros 3 términos.} End {array} & 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 \ begin {array} {l} text {Factoriza el trinomio con} a neq 1. text {Pero el primer término es a} \ text {cuadrado perfecto.} end {array} & \ text {Is ¿El último término del trinomio es un cuadrado perfecto? Sí.} & (3x) ^ 2−12xy + (2y) ^ 2−49 \ text {¿El trinomio se ajusta al patrón,} a ^ 2−2ab + b ^ 2 ? text {Sí.} & (3x) ^ 2 −12xy + (2y) ^ 2−49 \ & hspace {7mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {- 2 (3x) (2y))} {,} ^ { swarrow} \ text {Escriba el trinomio como un cuadrado.} & (3x − 2y) ^ 2−49 \ begin {array} {ll} text { ¿Es este binomio una suma o diferencia? ¿De cuadrados o} \ text {cubos? Escríbelo como una diferencia de cuadrados.} End {array} & (3x − 2y) ^ 2−72 \ text {Escríbelo como un producto de conjugados.} & ((3x − 2y) −7) (( 3x − 2y) +7) \ & (3x − 2y − 7) (3x − 2y + 7) \ text {¿Se factoriza completamente la expresión? Sí.} & \ text {Verifique su respuesta.} & \ text {Multiply.} & \ hspace {23mm} (3x − 2y − 7) (3x − 2y + 7) & \ hspace {10mm} 9x ^ 2−6xy − 21x − 6xy + 4y ^ 2 + 14y + 21x − 14y − 49 qquad & \ hspace {25mm} 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 checkmark & ​​ end {array} )

 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {17} )

 

Factoriza completamente: (4x ^ 2−12xy + 9y ^ 2−25 ).

 
     
Respuesta
     
     

((2x − 3y − 5) (2x − 3y + 5) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {18} )

 

Factoriza completamente: (16x ^ 2−24xy + 9y ^ 2−64 ).

 
     
Respuesta
     
     

((4x − 3y − 8) (4x − 3y + 8) )

     
 
 
 
 
 
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