Ejemplo ( PageIndex {1} )

Expandir: ((2x + 3y) ^ 2 )

Solución

Usando el patrón ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ), podemos expandir ((2x + 3y) ^ 2 ) de la siguiente manera:

[ begin {align *} (2x + 3y) ^ 2 & = (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3y) + (3y) ^ 2 \ & = 4x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2 end {align *} nonumber ]

Observe cómo cuadramos el primer y segundo término, luego producimos el término medio de nuestra respuesta multiplicando el primer y segundo términos y duplicando.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Expandir: ((3u ^ 2 −5v2) ^ 2 )

Solución

Usando el patrón ((a − b) ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 ), podemos expandir ((3u ^ 2−5v ^ 2) ^ 2 ) de la siguiente manera: [ 19459007]  

[ begin {align *} (3u ^ 2 -5v ^ 2) ^ 2 & = (3u ^ 2) ^ 2 – 2 (3u ^ 2) (5v ^ 2) + (5v ^ 2) ^ 2 \ & = 9u ^ 4 – 30u ^ 2v ^ 2 + 25v ^ 4 end {align *} nonumber ]

Tenga en cuenta que el signo del término medio es negativo esta vez. Los primeros y últimos términos siguen siendo positivos porque estamos cuadrando.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Expanda cada uno de los siguientes:

     
1. ((2y − 3) ^ 2 )
     
2. ((4a − 3b) ^ 2 )
     
3. ((x3 + 5) ^ 2 )
 

Solución

Usando el patrón ((a ± b) ^ 2 = a ^ 2 ± 2ab + b ^ 2 ), expandimos cada binomialmente mentalmente, escribiendo la respuesta sin ningún paso intermedio.

     
1. ((2y − 3) ^ 2 = 4y ^ 2 −12y +9 )
     
2. ((4a − 3b) ^ 2 = 16a ^ 2 −24ab + 9b ^ 2 )
     
3. ((x ^ 3 + 5) ^ 2 = x ^ 6 + 10x ^ 3 + 25 )
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Factoriza cada uno de los siguientes trinomios:

     
1. (4y ^ 2 −12y + 9 )
     
2. (16a ^ 2 −24ab + 9b ^ 2 )
     
3. (x ^ 6 + 10x ^ 3 + 25 )
 

Solución

Debido al trabajo ya realizado en el Ejemplo ( PageIndex {3} ), es una tarea simple factorizar cada uno de estos trinomios.

     
1. (4y ^ 2 −12y + 9 = (2y − 3) ^ 2 )
     
2. (16a ^ 2 −24ab + 9b ^ 2 = (4 a − 3b) ^ 2 )
     
3. (x ^ 6 + 10x ^ 3 + 25 = (x ^ 3 + 5) )
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Factoriza cada uno de los siguientes trinomios:

     
1. (9x ^ 2 −42x + 49 )
     
2. (49a ^ 2 + 70ab + 25b ^ 2 )
     
3. (4x ^ 2 −37x ​​+9 )
 

Solución

Tenga en cuenta que los primeros y últimos términos de cada trinomio son cuadrados perfectos.

     
1. En el trinomio (9x ^ 2−42x + 49 ), tenga en cuenta que ((3x) ^ 2 = 9x ^ 2 ) y (72 = 49 ). Por lo tanto, el primer y último término son cuadrados perfectos. Tomando las raíces cuadradas, sospechamos que (9x ^ 2 −42x + 49 ) tiene los siguientes factores: [9x ^ 2 −42x + 49 overset {?} {=} (3x − 7) ^ 2 nonumber ] Sin embargo, debemos verificar si el término medio es correcto. Multiplique (3x ) y (7 ), luego doble: (2 (3x) (7) = 42x ). Por lo tanto, el término medio es correcto y, por lo tanto, [9x ^ 2 −42x + 49 = (3x − 7) ^ 2 nonumber ]
     
2. En el trinomio (49a ^ 2 + 70ab + 25b ^ 2 ), tenga en cuenta que ((7a) ^ 2 = 49a ^ 2 ) y ((5b) ^ 2 = 25 b ^ 2 ) . Por lo tanto, el primer y último término son cuadrados perfectos. Tomando las raíces cuadradas, sospechamos que (49a ^ 2 + 70ab + 25 b ^ 2 ) tiene los siguientes factores: [49a ^ 2 + 70ab + 25 b ^ 2 overset {?} {=} (7 a + 5 b) ^ 2 nonumber ] Sin embargo, debemos verificar si el término medio es correcto. Multiplique (7a ) y (5b ), luego doble: (2 (7a) (5b) = 70ab ). Por lo tanto, el término medio es correcto y por lo tanto [49a ^ 2 + 70ab + 25 b ^ 2 = (7 a +5 b) ^ 2 nonumber ]
     
3. En el trinomio (4x ^ 2−37x + 9 ), tenga en cuenta que ((2x) ^ 2 = 4x ^ 2 ) y ((3) ^ 2 = 9 ). Por lo tanto, el primer y último término son cuadrados perfectos. Tomando las raíces cuadradas, sospechamos que (4x ^ 2 −37x ​​+ 9 ) factoriza de la siguiente manera: [4x ^ 2 −37x ​​+9 overset {?} {=} (2x − 3) ^ 2 nonumber ]
 

Sin embargo, debemos verificar si el término medio es correcto. Multiplique (2x ) y (3 ), luego doble: (2 (2x) (3) = 12x ). Sin embargo, este no es el término medio de (4x ^ 2 −37x ​​+ 9 ), por lo que esta factorización es incorrecta. Debemos encontrar otra forma de factorizar este trinomio.

Comparando (4x ^ 2 −37x ​​+ 9 ) con (ax ^ 2 + bx + c ), necesitamos un par de enteros cuyo producto sea (ac = 36 ) y cuya suma sea (b = −37 ). Me viene a la mente el par entero (- 1 ) y (- 36 ). Reemplace el término medio como una suma de términos similares usando este par ordenado.

[ begin {align *} 4x ^ 2-37x +9 & = 4x ^ 2-x-36x +9 quad color {Red} -37x = -x-36x \ & = x (4x -1) -9 (4x-1) quad color {Rojo} text {Factorizar agrupando} \ & = (x-9) (4x-1) quad color {Rojo} text {Factorizar } 4x-1 end {align *} nonumber ]

Este ejemplo demuestra claramente lo importante que es verificar el término medio.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Factoriza cada uno de los siguientes trinomios:

     
1. (2x ^ 3y + 12x ^ 2y ^ 2 + 18xy ^ 3 )
     
2. (- 4x ^ 5 + 32x ^ 4 −64x ^ 3 )
 

Solución

Recuerde, primero factorice el ( mathrm {GCF} ).

     
1. En el trinomio (2x ^ 3y + 12x ^ 2y ^ 2 + 18xy ^ 3 ), observamos que ( mathrm {GCF} ) de (2x ^ 3y ), (12x ^ 2y ^ 2 ) y (18xy ^ 3 ) es (2xy ). Primero factorizamos (2xy ). [2x ^ 3y + 12x ^ 2y ^ 2 + 18xy ^ 3 = 2xy (x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2) nonumber ] Ahora notamos que el primero y el último los términos del factor trinomial resultante son cuadrados perfectos, por lo que tomamos sus raíces cuadradas y factores de la siguiente manera. [= 2xy (x + 3y) ^ 2 nonumber ] Por supuesto, la última factorización es correcta solo si el término medio es correcto. Como (2 (x) (3y) = 6xy ) coincide con el término medio de (x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2 ), tenemos un trinomio cuadrado perfecto y nuestro resultado es correcto.
     
2. En el trinomio (- 4x ^ 5 + 32x ^ 4 −64x ^ 3 ), notamos que ( mathrm {GCF} ) de (4x ^ 5 ), (32x ^ 4 ) y (64x ^ 3 ) es (4x ^ 3 ). Primero factorizamos (4x ^ 3 ). [- 4x ^ 5 + 32x ^ 4 −64x ^ 3 = 4x ^ 3 (−x ^ 2 + 8x − 16) nonumber ] Sin embargo, el primero y el tercero Los términos de (- x ^ 2 + 8x − 16 ) son negativos y, por lo tanto, no son cuadrados perfectos. Comencemos de nuevo, esta vez factorizando (- 4x ^ 3 ). [- 4x ^ 5 + 32x ^ 4 −64x ^ 3 = −4x ^ 3 (x ^ 2 −8x + 16) nonumber ] Esto tiempo, el primer y tercer término de (x ^ 2−8x + 16 ) son cuadrados perfectos. Tomamos sus raíces cuadradas y escribimos: [= −4x ^ 3 (x − 4) ^ 2 nonumber ] Nuevamente, esta última factorización es correcta solo si el término medio es correcto. Como (2 (x) (4) = 8x ), tenemos un trinomio cuadrado perfecto y nuestro resultado es correcto.
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Expanda cada uno de los siguientes:

     
1. ((3x + 5) (3x-5) )
     
2. ((a ^ 3 −2b ^ 3) (a ^ 3 + 2b ^ 3) )
 

Solución

Aplicamos el patrón de diferencia de cuadrados para expandir cada uno de los problemas dados.

     
1. En ((3x + 5) (3x – 5) ), tenemos exactamente los mismos términos en las posiciones “Primero” y “Último”, con el primer conjunto separado por un signo más y el segundo conjunto separado por un signo menos.      
            
   1. Al cuadrado el primer término: ((3x) ^ 2 = 9x ^ 2 )
            
   2. Al cuadrado el segundo término: (5 ^ 2 = 25 )
            
   3. Coloque un signo menos entre los dos cuadrados.
        
        
 

Por lo tanto: [(3x + 5) (3x − 5) = 9x ^ 2 −25 nonumber ]

     
2. En ((a ^ 3 −2b ^ 3) (a ^ 3 + 2b ^ 3) ), tenemos exactamente los mismos términos en las posiciones “Primero” y “Último”, con el primer conjunto separado por un signo menos y el segundo conjunto separados por un signo más.      
            
   1. Al cuadrado el primer término: ((a ^ 3) ^ 2 = a ^ 6 )
            
   2. Al cuadrado el segundo término: ((2b ^ 3) ^ 2 = 4b ^ 6 )
            
   3. Coloque un signo menos entre los dos cuadrados.
        
        
 

Por lo tanto: [(a ^ 3 −2b ^ 3) (a ^ 3 + 2b ^ 3) = a ^ 6 −4b ^ 6 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Factoriza cada uno de los siguientes:

     
1. (9x ^ 2 −25 )
     
2. (a ^ 6 −4b ^ 6 )
 

Solución

Debido al trabajo ya realizado en el Ejemplo ( PageIndex {7} ), es simple factorizar (o “desmultiplicar”) cada uno de estos problemas.

     
1. (9x ^ 2 −25 = (3x + 5) (3x − 5) )
     
2. (a ^ 6 −4b ^ 6 = (a ^ 3 −2b ^ 3) (a ^ 3 + 2b ^ 3) )
 

En cada caso, observe cómo tomamos las raíces cuadradas de cada término, luego separamos un conjunto con un signo más y el otro con un signo menos. Debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, no importa cuál haga más y cuál haga menos.

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Factor: (x ^ 3 −9x )

Solución

En (x ^ 3 −9x ), el ( mathrm {GCF} ) de (x ^ 3 ) y (9x ) es (x ). Factoriza (x ). [x ^ 3−9x = x (x ^ 2 −9) nonumber ] Tenga en cuenta que (x ^ 2−9 ) es ahora la diferencia de dos cuadrados perfectos. Tome las raíces cuadradas de (x ^ 2 ) y (9 ), que son (x ) y (3 ), luego separe un conjunto con un signo más y el otro conjunto con un signo menos.
[= x (x + 3) (x − 3) nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Factor: (x ^ 4 −16 )

Solución

En (x ^ 4 −16 ), tenemos la diferencia de dos cuadrados: ((x ^ 2) ^ 2 = x ^ 4 ) y (4 ^ 2 = 16 ). Primero, tomamos las raíces cuadradas, luego separamos un conjunto con un signo más y el otro conjunto con un signo menos. [x ^ 4 −16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 −4) nonumber ] Tenga en cuenta que (x ^ 2 + 4 ) es la suma de dos cuadrados y no factoriza más. Sin embargo, (x ^ 2 −4 ) es la diferencia de dos cuadrados. Tome las raíces cuadradas, (x ) y (2 ), luego separe un conjunto con un signo más y el otro conjunto con un signo menos.
[= (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x − 2) nonumber ] Listo. No podemos factorizar más.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Resolver para (x ): (25x ^ 2 = 169 )

Solución

Haz un lado igual a cero, factoriza, luego aplica la propiedad del producto cero.

[ begin {align *} 25x ^ 2 & = 169 quad color {Red} text {Ecuación original.} \ 25x ^ 2 – 169 & = 0 quad color {Red} text {Resta 169 de ambos lados.} End {align *} nonumber ]

Tenga en cuenta que tenemos dos cuadrados perfectos separados por un signo menos. Esta es la diferencia del patrón de cuadrados. Tome las raíces cuadradas, haciendo un término más y un término menos.

[ begin {align *} (5x + 13) (5x-13) & = 0 quad color {Red} text {Use la diferencia de cuadrados para factorizar.} End {align *} nonumber ]

Utilice la propiedad del producto cero para completar la solución, estableciendo un factor igual a cero y resolviendo las ecuaciones resultantes.

[ begin {align *} 5x + 13 & = 0 \ x & = – dfrac {13} {5} end {align *} nonumber ]

o

[ begin {align *} 5x – 13 & = 0 \ x & = dfrac {13} {5} end {align *} nonumber ]

Por lo tanto, las soluciones de (25x ^ 2 = 169 ) son (x = −13 / 5 ) y (x = 13/5 ). Alentamos a los lectores a verificar cada una de estas soluciones.

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Resolver para (x ): (49x ^ 2 + 81 = 126x )

Solución

Haz un lado igual a cero, factoriza, luego aplica la propiedad del producto cero.

[ begin {align *} 49x ^ 2 + 81x & = 126x quad color {Red} text {Ecuación original.} \ 49x ^ 2-126x + 81 & = 0 quad color { Rojo} text {Restar 126x de ambos lados.} End {align *} nonumber ]

Tenga en cuenta que los primeros y últimos términos del trinomio son cuadrados perfectos. Por lo tanto, tiene sentido intentar factorizar como un trinomio cuadrado perfecto, tomando las raíces cuadradas del primer y último término.

[ begin {align *} (7x-9) ^ 2 & = 0 quad color {Red} text {Factoriza como un trinomio cuadrado perfecto.} End {align *} nonumber ] [ 19459007]  

Por supuesto, asegúrese de verificar el término medio. Como (- 2 (7x) (9) = −126x ), el término medio es correcto. Como ((7x − 9) ^ 2 = (7 x − 9) (7x − 9) ), podemos usar la propiedad del producto cero para establecer que cada factor sea igual a cero y resolver las ecuaciones resultantes.

[ begin {align *} 7x-9 & = 0 \ x & = dfrac {9} {7} end {align *} nonumber ]

o

[ begin {align *} 7x-9 & = 0 \ x & = dfrac {9} {7} end {align *} nonumber ]

Por lo tanto, la única solución de (49x ^ 2 +81 = 126x ) es (x = 9/7 ). Alentamos a los lectores a verificar esta solución.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Resolver para (x ): (2x ^ 3 + 3x ^ 2 = 50x + 75 )

Solución

Haz un lado igual a cero, factoriza, luego aplica la propiedad del producto cero.

[ begin {align *} 2x ^ 3 + 3x ^ 2 & = 50x + 75 quad color {Red} text {Ecuación original.} \ 2x ^ 3 + 3x ^ 2 – 50x – 75 & = 0 quad color {Rojo} text {Poner un lado a cero.} End {align *} nonumber ]

Esta es una expresión de cuatro términos, por lo que intentamos factorizar agrupando. Factoriza (x ^ 2 ) a partir de los primeros dos términos, y (- 25 ) a partir de los dos últimos términos.

[ begin {align *} x ^ 2 (2x + 3) -25 (2x + 3) & = 0 quad color {Red} text {Factorizar agrupando} \ (x ^ 2- 25) (2x + 3) & = 0 quad color {Rojo} text {Factor out} 2x + 3 end {align *} nonumber ]

Complete la factorización usando la diferencia de cuadrados para factorizar (x ^ 2−25 ).

[ begin {align *} (x + 5) (x-5) (2x + 3) & = 0 quad color {Red} text {Use la diferencia de cuadrados para factorizar.} End { alinear *} nonumber ]

Finalmente, use la propiedad de producto cero. Establezca cada factor igual a cero y resuelva (x ).

[ begin {align *} x + 5 & = 0 \ x & = -5 end {align *} nonumber ]

o

[ begin {align *} x-5 & = 0 \ x & = 5 end {align *} nonumber ]

o

[ begin {align *} 2x + 3 & = 0 \ x & = – dfrac {3} {2} end {align *} nonumber ]

Por lo tanto, las soluciones de (2x ^ 3 + 3x ^ 2 = 50x + 75 ) son (x = −5 ), (x = 5 ) y (x = −3/2 ). Alentamos a los lectores a verificar cada una de estas soluciones.

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Resuelve la ecuación (x ^ 3 = 4x ), tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

Solución

Tenga en cuenta que tenemos una potencia de (x ) mayor que uno, por lo que la ecuación (x ^ 3 = 4x ) es no lineal. Haz un lado cero y factoriza.

[ begin {align *} x ^ 3 & = 4x quad color {Red} text {Ecuación original.} \ x ^ 3-4x & = 0 quad color {Red} text {No lineal. Pon un lado a cero. } \ x (x ^ 2-4) & = 0 quad color {Rojo} text {Factoriza GCF.} \ x (x + 2) (x-2) & = 0 quad color { Rojo} text {Aplicar diferencia de cuadrados.} End {align *} nonumber ]

Tenga en cuenta que ahora tenemos un producto de tres factores que es igual a cero. La propiedad del producto cero dice que al menos uno de estos factores debe ser igual a cero.

[ begin {align *} x & = 0 end {align *} nonumber ]

o

[ begin {align *} x + 2 & = 0 \ x & = -2 end {align *} nonumber ]

o

[ begin {align *} x-2 & = 0 \ x & = 2 end {align *} nonumber ]

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 3 = 4x ) son (x = 0 ), (x = −2 ) y (x = 2 ).

Solución gráfica

Cargue (y = x ^ 3 ) y (y = 4x ) en ( mathbb {Y1} ) y ( mathbb {Y2} ) en el menú Y = [ 19459019] de tu calculadora. Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para generar el gráfico en la Figura ( PageIndex {1} ).

Aunque la imagen en la Figura ( PageIndex {1} ) muestra los tres puntos de intersección, ajustando los parámetros WINDOW como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ), luego presionando el botón GRAPH producirá una mejor vista de los puntos de intersección, como se muestra en la figura de la derecha en las Figuras ( PageIndex {2} ).

Use la herramienta 5: intersección del menú CALC para encontrar los tres puntos de intersección. Presione la tecla ENTER en respuesta a “Primera curva”, luego presione ENTER nuevamente en respuesta a “Segunda curva”, luego use la tecla de flecha izquierda para mover el cursor cerca del punto de intersección más a la izquierda y presione ENTER en respuesta a “Guess”. El resultado se muestra en la primera imagen a la izquierda en la Figura ( PageIndex {3} ). Repita el proceso para encontrar los puntos de intersección restantes. Los resultados se muestran en las últimas dos imágenes en la Figura ( PageIndex {3} ).

Por lo tanto, las soluciones gráficas son (x = −2 ), (x = 0 ) y (x = 2 ).

Informar la solución en su tarea:

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

     
• Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
     
• Coloque los parámetros de su VENTANA al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
     
• Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {4} )).
     
• Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 3 = 4x ) (ver Figura ( PageIndex {4} )).
 

Finalmente, tenga en cuenta que las soluciones gráficas (x = −2 ), (x = 0 ) y (x = 2 ) coinciden exactamente con nuestras soluciones algebraicas.