6.5: Gráficas de funciones logarítmicas

6.5: Gráficas de funciones logarítmicas

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Identifica el dominio de una función logarítmica.
  •      
  • Graficar funciones logarítmicas.
  •  
 
 

En Gráficos de funciones exponenciales , vimos cómo crear una representación gráfica de un modelo exponencial nos da otra capa de información para predecir eventos futuros. ¿Cómo los gráficos logarítmicos nos dan una idea de las situaciones? Debido a que cada función logarítmica es la función inversa de una función exponencial, podemos pensar en cada salida en un gráfico logarítmico como la entrada para la ecuación exponencial inversa correspondiente. En otras palabras, los logaritmos dan la causa de un efecto .

 

Para ilustrar, supongamos que invertimos ($ 2500 ) en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual de (5% ), compuesta continuamente. Ya sabemos que el saldo en nuestra cuenta para cualquier año (t ) se puede encontrar con la ecuación (A = 2500e ^ {0.05t} ).

 

Pero, ¿y si quisiéramos saber el año para algún saldo? Necesitaríamos crear una nueva función correspondiente intercambiando la entrada y la salida; por lo tanto, necesitaríamos crear un modelo logarítmico para esta situación. Al graficar el modelo, podemos ver la salida (año) de cualquier entrada (saldo de cuenta). Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos saber cuántos años llevaría duplicar nuestra inversión inicial? La figura ( PageIndex {1} ) muestra este punto en el gráfico logarítmico.

 
A graph titled, “Logarithmic Model Showing Years as a Function of the Balance in the Account”. The x-axis is labeled, “Account Balance”, and the y-axis is labeled, “Years”. The line starts at $25,000 on the first year. The graph also notes that the balance reaches $5,000 near year 14.
Figura ( PageIndex {1} )
 

En esta sección discutiremos los valores para los que se define una función logarítmica, y luego dirigiremos nuestra atención a graficar la familia de funciones logarítmicas.

 

Encontrar el dominio de una función logarítmica

 

Antes de trabajar con gráficos, veremos el dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica.

 

Recuerde que la función exponencial se define como (y = b ^ x ) para cualquier número real (x ) y constante (b> 0 ), (b ≠ 1 ), donde [19459003 ]  

         
  • El dominio de (y ) es ((- infty, infty) ).
  •      
  • El rango de (y ) es ((0, infty) ).
  •  
 

En la última sección aprendimos que la función logarítmica (y = { log} _b (x) ) es la inversa de la función exponencial (y = b ^ x ). Entonces, como funciones inversas:

 
         
  • El dominio de (y = { log} _b (x) ) es el rango de (y = b ^ x ): ((0, infty) ).
  •      
  • El rango de (y = { log} _b (x) ) es el dominio de (y = b ^ x ): ((- infty, infty) ).
  •  
 

Las transformaciones de la función principal (y = { log} _b (x) ) se comportan de manera similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones primarias, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamientos, estiramientos, compresiones y reflexiones) a la función primaria sin pérdida de forma.

 

En Gráficos de funciones exponenciales vimos que ciertas transformaciones pueden cambiar el rango de (y = b ^ x ). Del mismo modo, la aplicación de transformaciones a la función principal (y = { log} _b (x) ) puede cambiar el dominio . Al encontrar el dominio de una función logarítmica, por lo tanto, es importante recordar que el dominio consiste solo en números reales positivos . Es decir, el argumento de la función logarítmica debe ser mayor que cero.

 

Por ejemplo, considere (f (x) = { log} _4 (2x − 3) ). Esta función se define para cualquier valor de (x ) de modo que el argumento, en este caso (2x − 3 ), sea mayor que cero. Para encontrar el dominio, configuramos una desigualdad y resolvemos (x ):

 

[ begin {align *} 2x-3 &> 0 qquad text {Muestra el argumento mayor que cero} \ 2x &> 3 qquad text {Add 3} \ x &> 1.5 qquad text {Dividir por 2} \ end {align *} ]

 

En notación de intervalo, el dominio de (f (x) = { log} _4 (2x − 3) ) es ((1.5, infty) ).

 
 

Cómo: Dada una función logarítmica, identificar el dominio

 
         
  1. Establezca una desigualdad que muestre el argumento mayor que cero.
  2.      
  3. Resuelve para (x ).
  4.      
  5. Escribe el dominio en notación de intervalo.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Identificación del dominio de un cambio logarítmico

 

¿Cuál es el dominio de (f (x) = { log} _2 (x + 3) )?

 

Solución

 

La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando (x + 3> 0 ). Resolviendo esta desigualdad,

 

[ begin {align *} x + 3 &> 0 qquad text {La entrada debe ser positiva} \ x &> -3 qquad text {Subtract 3} end {align *} ] [ 19459003]  

El dominio de (f (x) = { log} _2 (x + 3) ) es ((- 3, infty) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

¿Cuál es el dominio de (f (x) = { log} _5 (x − 2) +1 )?

 
     
Respuesta
     
     

((2, infty) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Identificación del dominio de un cambio y reflexión logarítmica

 

¿Cuál es el dominio de (f (x) = log (5−2x) )?

 

Solución

 

La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando (5–2x> 0 ). Resolviendo esta desigualdad,

 

[ begin {align *} 5-2x &> 0 qquad text {La entrada debe ser positiva} \ -2x &> -5 qquad text {Restar 5} \ x & < dfrac {5 } {2} qquad text {Divide entre -2 y cambia la desigualdad} end {align *} ]

 

El dominio de (f (x) = log (5−2x) ) es ( left (- infty, dfrac {5} {2} right) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

¿Cuál es el dominio de (f (x) = log (x − 5) +2 )?

 
     
Respuesta
     
     

((5, infty) )

     
 
 
 

Representación gráfica de funciones logarítmicas

 

Ahora que tenemos una idea del conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasamos a representar gráficamente las funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función padre (y = { log} _b (x) ) junto con todas sus transformaciones: desplazamientos, estiramientos, compresiones y reflexiones.

 

Comenzamos con la función padre (y = { log} _b (x) ). Debido a que cada función logarítmica de esta forma es la inversa de una función exponencial con la forma (y = b ^ x ), sus gráficos serán reflejos entre sí a través de la línea (y = x ). Para ilustrar esto, podemos observar la relación entre los valores de entrada y salida de (y = 2 ^ x ) y su equivalente (x = { log} _2 (y) ) en la Tabla ( PageIndex {1 } ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
(x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )
(2 ^ x = y ) ( dfrac {1} {8} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {2} ) (1 ) (2 ) (4 ) (8 )
({ log} _2 (y) = x ) (- 3 ) (- 2 ) (- 1 ) (0 ) (1 ) (2 ) (3 )
 

Usando las entradas y salidas de la Tabla ( PageIndex {1} ), podemos construir otra tabla para observar la relación entre los puntos en las gráficas de las funciones inversas (f (x) = 2 ^ x ) y (g (x) = { log} _2 (x) ). Consulte la Tabla ( PageIndex {2} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {2} )
             

(f (x) = 2 ^ x )

             
             

( left (−3, dfrac {1} {8} right) )

             
             

( left (−2, dfrac {1} {4} right) )

             
             

( left (−1, dfrac {1} {2} right) )

             
             

((0,1) )

             
             

((1,2) )

             
             

((2,4) )

             
             

((3,8) )

             
             

(g (x) = { log} _2 (x) )

             
             

( left ( dfrac {1} {8}, – 3 right) )

             
             

( left ( dfrac {1} {4}, – 2 right) )

             
             

( left ( dfrac {1} {2}, – 1 right) )

             
             

((1,0) )

             
             

((2,1) )

             
             

((4,2) )

             
             

((8,3) )

             
 

Como era de esperar, las coordenadas (x ) – e (y ) – se invierten para las funciones inversas. La figura ( PageIndex {2} ) muestra el gráfico de (f ) y (g ).

 
Graph of two functions, f(x)=2^x and g(x)=log_2(x), with the line y=x denoting the axis of symmetry.
Figura ( PageIndex {2} ): Observe que las gráficas de (f (x) = 2 ^ x ) y (g (x) = { log} _2 (x) ) son reflexiones sobre la línea (y = x ).
 

Observe lo siguiente en el gráfico:

 
         
  • (f (x) = 2 ^ x ) tiene una (y ) – intercepción en ((0,1) ) y (g (x) = { log} _2 (x) ) Tiene un (x ) – interceptar en ((1,0) ).
  •      
  • El dominio de (f (x) = 2 ^ x ), ((- infty, infty) ), es el mismo que el rango de (g (x) = { log} _2 (x) ).
  •      
  • El rango de (f (x) = 2 ^ x ), ((0, infty) ), es el mismo que el dominio de (g (x) = { log} _2 ( X)).
  •  
 
 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN GRÁFICA DE LOS PADRES, (F (X) = LOG_B (X) )

 

Para cualquier número real (x ) y constante (b> 0 ), (b ≠ 1 ), podemos ver las siguientes características en el gráfico de (f (x) = { log } _b (x) ):

 
         
  • función uno a uno
  •      
  • asíntota vertical: (x = 0 )
  •      
  • dominio: ((0, infty) )
  •      
  • rango: ((- infty, infty) )
  •      
  • (x ) intercepción: ((1,0) ) y punto clave ((b, 1) )
  •      
  • (y ) – intercepción: ninguna
  •      
  • aumentando si (b> 1 )
  •      
  • disminuyendo si (0  
 

Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 
Two graphs of the function f(x)=log_b(x) with points (1,0) and (b, 1). The first graph shows the line when b>1, and the second graph shows the line when 0<b<1.
Figura ( PageIndex {3} )
 

La Figura ( PageIndex {4} ) muestra cómo cambiar la base (b ) en (f (x) = { log} _b (x) ) puede afectar los gráficos. Observe que los gráficos se comprimen verticalmente a medida que aumenta el valor de la base. (Nota: recuerde que la función ( ln (x) ) tiene base (e≈2.718 ).)

 
Graph of three equations: y=log_2(x) in blue, y=ln(x) in orange, and y=log(x) in red. The y-axis is the asymptote.
Figura ( PageIndex {4} ): Las gráficas de tres funciones logarítmicas con diferentes bases, todas mayores que 1.
 
 
 

Cómo: Dada una función logarítmica con la forma (f (x) = { log} _b (x) ), grafica la función.

 
         
  1. Dibuje y etiquete la asíntota vertical, (x = 0 ).
  2.      
  3. Trace la intersección x- , ((1,0) ).
  4.      
  5. Trace el punto clave ((b, 1) ).
  6.      
  7. Dibuja una curva suave a través de los puntos.
  8.      
  9. Indique el dominio, ((0, infty) ), el rango, ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical, (x = 0 ).
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Graficar una función logarítmica con la forma (f (x) = log_b (x) )

 

Gráfico (f (x) = { log} _5 (x) ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave para el gráfico.

 
         
  • Dado que (b = 5 ) es mayor que uno, sabemos que la función está aumentando. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota vertical (x = 0 ), y la cola derecha aumentará lentamente sin límite.
  •      
  • La (x ) – intercepción es ((1,0) ).
  •      
  • El punto clave ((5,1) ) está en el gráfico.
  •      
  • Dibujamos y rotulamos la asíntota, trazamos y rotulamos los puntos, y dibujamos una curva suave a través de los puntos (ver Figura ( PageIndex {5} )).
  •  
 
Graph of f(x)=log_5(x) with labeled points at (1, 0) and (5, 1). The y-axis is the asymptote.
Figura ( PageIndex {5} )
 

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Gráfico (f (x) = { log} _ { tfrac {1} {5}} (x) ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     
Graph of f(x)=log_(1/5)(x) with labeled points at (1/5, 1) and (1, 0). The y-axis is the asymptote.
Figura ( PageIndex {6} )
     

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

     
 
 
 

Representación gráfica de transformaciones de funciones logarítmicas

 

Como mencionamos al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de manera similar a las de otras funciones parentales. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función principal (y = { log} _b (x) ) sin pérdida de forma.

 

Graficando un desplazamiento horizontal de (f (x) = log_b (x) )

 

Cuando se agrega una constante (c ) a la entrada de la función principal (f (x) = { log} _b (x) ), el resultado es un desplazamiento horizontal (c ) unidades en la dirección opuesta del signo en (c ). Para visualizar desplazamientos horizontales, podemos observar el gráfico general de la función principal (f (x) = { log} _b (x) ) y para (c> 0 ) junto al desplazamiento a la izquierda, (g ( x) = { log} _b (x + c) ), y el desplazamiento a la derecha, (h (x) = { log} _b (x − c) ). Ver Figura ( PageIndex {7} ).

 
Graph of two functions. The parent function is f(x)=log_b(x), with an asymptote at x=0  and g(x)=log_b(x+c) is the translation function with an asymptote at x=-c. This shows the translation of shifting left.
Figura ( PageIndex {7} )
 
 
 

CAMBIOS HORIZONTALES DE LA FUNCIÓN PADRE (Y = LOG_B (X) )

 

Para cualquier constante (c ), la función (f (x) = { log} _b (x + c) )

 
         
  • desplaza la función principal (y = { log} _b (x) ) izquierda (c ) unidades si (c> 0 ).
  •      
  • desplaza la función principal (y = { log} _b (x) ) derecha (c ) unidades si (c <0 ).
  •      
  • tiene la asíntota vertical (x = −c ).
  •      
  • tiene dominio ((- c, infty) ).
  •      
  • tiene rango ((- infty, infty) ).
  •  
 
 
 

Cómo: Dada una función logarítmica con la forma (f (x) = { log} _b (x + c) ), grafica la traducción.

 
         
  1. Identifique el desplazamiento horizontal:      
               
    • Si (c> 0 ), cambia la gráfica de (f (x) = { log} _b (x) ) izquierda (c ) unidades.
    •          
    • Si (c <0 ), cambia la gráfica de (f (x) = { log} _b (x) ) derecha (c ) unidades.
    •      
         
  2.      
  3. Dibuje la asíntota vertical (x = −c ).
  4.      
  5. Identifique tres puntos clave de la función principal. Encuentre nuevas coordenadas para las funciones desplazadas restando (c ) de la coordenada (x ).
  6.      
  7. Rotula los tres puntos.
  8.      
  9. El dominio es ((- c, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = −c ).
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficar un desplazamiento horizontal de la función principal (y = log_b (x) )

 

Dibuje el desplazamiento horizontal (f (x) = { log} _3 (x − 2) ) junto con su función principal. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Dado que la función es (f (x) = { log} _3 (x − 2) ), notamos (x + (- 2) = x – 2 ).

 

Así (c = −2 ), entonces (c <0 ). Esto significa que desplazaremos la función (f (x) = { log} _3 (x) ) hacia la derecha 2 unidades.

 

La asíntota vertical es (x = – (- 2) ) o (x = 2 ).

 

Considere los tres puntos clave de la función principal, ( left ( dfrac {1} {3}, – 1 right) ), ((1,0) ) y ((3 , 1) ).

 

Las nuevas coordenadas se encuentran agregando (2 ) a las coordenadas (x ).

 

Etiquete los puntos ( left ( dfrac {7} {3}, – 1 right) ), ((3,0) ) y ((5,1) ).

 

El dominio es ((2, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ), y la asíntota vertical es (x = 2 ).

 
Graph of two functions. The parent function is y=log_3(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1/3, -1), (1, 0), and (3, 1).The translation function f(x)=log_3(x-2) has an asymptote at x=2 and labeled points at (3, 0) and (5, 1).
Figura ( PageIndex {8} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Dibuja un gráfico de (f (x) = { log} _3 (x + 4) ) junto con su función padre. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     
Graph of two functions. The parent function is y=log_3(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (3, 1).The translation function f(x)=log_3(x+4) has an asymptote at x=-4 and labeled points at (-3, 0) and (-1, 1).
Figura ( PageIndex {9} )
     

El dominio es ((- 4, infty) ), el rango ((- infty, infty) ) y la asíntota (x = –4 ).

     
 
 
 
 

Graficando un desplazamiento vertical de (y = log_b (x) )

 

Cuando se agrega una constante (d ) a la función padre (f (x) = { log} _b (x) ), el resultado es un desplazamiento vertical (d ) unidades en la dirección del signo en (d ). Para visualizar desplazamientos verticales, podemos observar el gráfico general de la función principal (f (x) = { log} _b (x) ) junto con el desplazamiento hacia arriba, (g (x) = { log} _b ( x) + d ) y el desplazamiento hacia abajo, (h (x) = { log} _b (x) −d ). Ver Figura ( PageIndex {10} ).

 
Graph of two functions. The parent function is f(x)=log_b(x), with an asymptote at x=0  and g(x)=log_b(x)+d is the translation function with an asymptote at x=0. This shows the translation of shifting up. Graph of two functions. The parent function is f(x)=log_b(x), with an asymptote at x=0  and g(x)=log_b(x)-d is the translation function with an asymptote at x=0. This shows the translation of shifting down.
Figura ( PageIndex {10} )
 
 
 

CAMBIOS VERTICALES DE LA FUNCIÓN DE LOS PADRES (Y = LOG_B (X) )

 

Para cualquier constante (d ), la función (f (x) = { log} _b (x) + d )

 
         
  • desplaza la función principal (y = { log} _b (x) ) hacia arriba (d ) unidades si (d> 0 ).
  •      
  • desplaza la función principal (y = { log} _b (x) ) hacia abajo (d ) unidades si (d <0 ).
  •      
  • tiene la asíntota vertical (x = 0 ).
  •      
  • tiene dominio ((0, infty) ).
  •      
  • tiene rango ((- infty, infty) ).
  •  
 
 
 

Cómo: Dada una función logarítmica con la forma (f (x) = { log} _b (x) + d ), grafica la traducción.

 
         
  1. Identifique el desplazamiento vertical:      
               
    • Si (d> 0 ), cambia la gráfica de (f (x) = { log} _b (x) ) arriba (d ) unidades.
    •          
    • Si (d <0 ), cambia la gráfica de (f (x) = { log} _b (x) ) hacia abajo (d ) unidades.
    •      
         
  2.      
  3. Dibuje la asíntota vertical (x = 0 ).
  4.      
  5. Identifique tres puntos clave de la función principal. Encuentre nuevas coordenadas para las funciones desplazadas agregando (d ) a la coordenada (y ).
  6.      
  7. Rotula los tres puntos.
  8.      
  9. El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ), y la asíntota vertical es (x = 0 ).
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficar un desplazamiento vertical de la función principal (y = log_b (x) )

 

Dibuja un gráfico de (f (x) = { log} _3 (x) −2 ) junto con su función padre. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Dado que la función es (f (x) = { log} _3 (x) −2 ), notaremos (d = –2 ). Así (d <0 ).

 

Esto significa que cambiaremos la función (f (x) = { log} _3 (x) ) hacia abajo (2 ) unidades.

 

La asíntota vertical es (x = 0 ).

 

Considere los tres puntos clave de la función principal, ( left ( dfrac {1} {3}, – 1 right) ), ((1,0) ) y ((3 , 1) ).

 

Las nuevas coordenadas se encuentran restando (2 ) de las coordenadas y .

 

Rotula los puntos ( left ( dfrac {1} {3}, – 3 right) ), ((1, −2) ), y ((3, −1) ) .

 

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

 
Graph of two functions. The parent function is y=log_3(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1/3, -1), (1, 0), and (3, 1).The translation function f(x)=log_3(x)-2 has an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0) and (3, 1).
Figura ( PageIndex {11} )
 

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Dibuje un gráfico de (f (x) = { log} _2 (x) +2 ) junto con su función principal. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     
Graph of two functions. The parent function is y=log_2(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (2, 1).The translation function f(x)=log_2(x)+2 has an asymptote at x=0 and labeled points at (0.25, 0) and (0.5, 1).
Figura ( PageIndex {12} )
     

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

     
 
 
 

Graficando estiramientos y compresiones de (y = log_b (x) )

 

Cuando la función padre (f (x) = { log} _b (x) ) se multiplica por una constante (a> 0 ), el resultado es un estiramiento vertical o compresión del gráfico original. Para visualizar estiramientos y compresiones, establecemos (a> 1 ) y observamos el gráfico general de la función principal (f (x) = { log} _b (x) ) junto al estiramiento vertical, (g ( x) = a { log} _b (x) ) y la compresión vertical, (h (x) = dfrac {1} {a} { log} _b (x) ). Ver Figura ( Índice de página {13} ).

 
Graph of two functions. The parent function is f(x)=log_b(x), with an asymptote at x=0  and g(x)=alog_b(x) when a>1 is the translation function with an asymptote at x=0. The graph note the intersection of the two lines at (1, 0). This shows the translation of a vertical stretch.» class=»internal default» src=»https://math.libretexts.org/@api/deki/files/12175/fig_6.5.13.jpg?revision=1″> 
 
<figcaption> Figura  ( PageIndex {13} ) </figcaption>
 
 </figure>


 

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ESTIRAMIENTOS VERTICALES Y COMPRESIONES DE LA FUNCIÓN DE LOS PADRES (Y = LOG_B (X) )

 

Para cualquier constante (a> 1 ), la función (f (x) = a { log} _b (x) )

 
         
  • estira la función padre (y = { log} _b (x) ) verticalmente por un factor de (a ) if (a> 1 ).
  •      
  • comprime la función principal (y = { log} _b (x) ) verticalmente por un factor de (a ) if (0      
  • tiene la asíntota vertical (x = 0 ).
  •      
  • tiene la (x ) – intercepción ((1,0) ).
  •      
  • tiene dominio ((0, infty) ).
  •      
  • tiene rango ((- infty, infty) ).
  •  
 
 
 

Cómo: Dada una función logarítmica con la forma (f (x) = a { log} _b (x) ), (a> 0 ), grafica la traducción.

 
         
  1. Identifique el estiramiento vertical o las compresiones:      
               
    • Si (| a |> 1 ), la gráfica de (f (x) = { log} _b (x) ) se estira en un factor de (a ) unidades.
    •          
    • Si (| a | <1 ), la gráfica de (f (x) = { log} _b (x) ) se comprime por un factor de (a ) unidades.
    •      
         
  2.      
  3. Dibuje la asíntota vertical (x = 0 ).
  4.      
  5. Identifique tres puntos clave de la función principal. Encuentre nuevas coordenadas para las funciones desplazadas multiplicando sus coordenadas y por (a ).
  6.      
  7. Rotula los tres puntos.
  8.      
  9. El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ), y la asíntota vertical es (x = 0 ).
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Graficar un estiramiento o compresión de la función principal (y = log_b (x) )

 

Dibuje un gráfico de (f (x) = 2 { log} _4 (x) ) junto con su función padre. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Dado que la función es (f (x) = 2 { log} _4 (x) ), notaremos (a = 2 ).

 

Esto significa que estiraremos la función (f (x) = { log} _4 (x) ) por un factor de (2 ).

 

La asíntota vertical es (x = 0 ).

 

Considere los tres puntos clave de la función principal, ( left ( dfrac {1} {4}, – 1 right) ), ((1,0) ) y ((4 , 1) ).

 

Las nuevas coordenadas se encuentran multiplicando las coordenadas (y ) por (2 ).

 

Etiquete los puntos ( left ( dfrac {1} {4}, – 2 right) ), ((1,0) ) y ((4,2) ).

 

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ). Ver Figura ( PageIndex {14} ).

 
Graph of two functions. The parent function is y=log_4(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (4, 1).The translation function f(x)=2log_4(x) has an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0) and (2, 1).
Figura ( PageIndex {14} )
 

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Dibuje un gráfico de (f (x) = dfrac {1} {2} { log} _4 (x) ) junto con su función principal. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     
Graph of two functions. The parent function is y=log_4(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (4, 1).The translation function f(x)=(1/2)log_4(x) has an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0) and (16, 1).
Figura ( PageIndex {15} )
     

El dominio es ((0, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Combinando un Shift y un Stretch

 

Dibuje un gráfico de (f (x) = 5 { log} (x + 2) ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Recuerda: lo que sucede entre paréntesis ocurre primero. Primero, movemos el gráfico hacia la izquierda (2 ) unidades, luego estiramos la función verticalmente por un factor de (5 ), como en la Figura ( PageIndex {16} ). La asíntota vertical se desplazará a (x = −2 ). La intercepción (x ) – será ((- 1,0) ). El dominio será ((- 2, infty) ). Dos puntos ayudarán a dar la forma de la gráfica: ((- 1,0) ) y ((8,5) ). Elegimos (x = 8 ) como la x -coordinada de un punto para graficar porque cuando (x = 8 ), (x + 2 = 10 ), la base de lo común logaritmo.

 
Graph of three functions. The parent function is y=log(x), with an asymptote at x=0. The first translation function y=5log(x+2) has an asymptote at x=-2. The second translation function y=log(x+2) has an asymptote at x=-2.
Figura ( PageIndex {16} )
 

El dominio es ((- 2, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = −2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dibuja un gráfico de la función (f (x) = 3 { log} (x − 2) +1 ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     
Graph of f(x)=3log(x-2)+1 with an asymptote at x=2.
Figura ( PageIndex {17} )
     

El dominio es ((2, infty) ), el rango es ((- infty, infty) ), y la asíntota vertical es (x = 2 ).

     
 
 
 

Representación gráfica de reflexiones de (f (x) = log_b (x) )

 

Cuando la función padre (f (x) = { log} _b (x) ) se multiplica por (- 1 ), el resultado es una reflexión sobre el eje (x ). Cuando la entrada se multiplica por (- 1 ), el resultado es una reflexión sobre el eje (y ). Para visualizar reflexiones, restringimos (b> 1 ), y observamos el gráfico general de la función principal (f (x) = { log} _b (x) ) junto con la reflexión sobre (x ) -axis, (g (x) = – { log} _b (x) ) y la reflexión sobre el eje (y ) -, (h (x) = { log} _b (−x) ).

 
Graph of two functions. The parent function is f(x)=log_b(x), with an asymptote at x=0  and g(x)=-log_b(x) when b>1 is the translation function with an asymptote at x=0. The graph note the intersection of the two lines at (1, 0). This shows the translation of a reflection about the x-axis.» class=»internal default» src=»https://math.libretexts.org/@api/deki/files/12180/fig_6.5.18.jpg?revision=1″> 
 
<figcaption> Figura  ( PageIndex {18} ) </figcaption>
 
 </figure>


 

<header readability=  
 

REFLEXIONES DE LA FUNCIÓN DE LOS PADRES (Y = LOG_B (X) )

 

La función (f (x) = – { log} _b (x) )

 
         
  • refleja la función padre (y = { log} _b (x) ) sobre el eje (x ).
  •      
  • tiene dominio, ((0, infty) ), rango, ((- infty, infty) ) y asíntota vertical, (x = 0 ), que no han cambiado desde el padre función.
  •  
 

La función (f (x) = { log} _b (−x) )

 
         
  • refleja la función padre (y = { log} _b (x) ) sobre el eje (y ).
  •      
  • tiene dominio ((- infty, 0) ).
  •      
  • tiene rango, ((- infty, infty) ) y asíntota vertical, (x = 0 ), que no cambian desde la función padre.
  •  
 
 
 

Cómo: Dada una función logarítmica con la función padre (f (x) = { log} _b (x) ), grafica una traducción.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {3} )
Si (f (x) = – { log} _b (x) ) If (f (x) = { log} _b (−x) )
             
                     
  1. Dibuje la asíntota vertical, (x = 0 ).
  2.              
             
             
                     
  1. Dibuje la asíntota vertical, (x = 0 ).
  2.              
             
             
                     
  1. Trace la intersección x- , ((1,0) ).
  2.              
             
             
                     
  1. Trace la intersección x- , ((1,0) ).
  2.              
             
             
                     
  1. Refleja el gráfico de la función padre (f (x) = { log} _b (x) ) sobre el eje x .
  2.              
             
             
                     
  1. Refleja el gráfico de la función padre (f (x) = { log} _b (x) ) sobre el eje y .
  2.              
             
             
                     
  1. Dibuja una curva suave a través de los puntos.
  2.              
             
             
                     
  1. Dibuja una curva suave a través de los puntos.
  2.              
             
             
                     
  1. Indique el dominio, ((0, infty) ), el rango, ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical (x = 0 ).
  2.              
             
             
                     
  1. Indique el dominio, ((- infty, 0) ), el rango, ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical (x = 0 ).
  2.              
             
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Graficando una reflexión de una función logarítmica

 

Dibuja un gráfico de (f (x) = log (−x) ) junto con su función padre. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 

Solución

 

Antes de graficar (f (x) = log (−x) ), (f (x) = log (−x) ), identifica el comportamiento y los puntos clave para el gráfico.

 
         
  • Dado que (b = 10 ) es mayor que uno, sabemos que la función principal está aumentando. Como el valor de entrada se multiplica por (- 1 ), (f (x) ) es un reflejo del gráfico principal sobre el eje (y ) . Por lo tanto, (f (x) = log (−x) ) disminuirá a medida que (x ) se mueva del infinito negativo a cero, y la cola derecha del gráfico se acercará a la asíntota vertical (x = 0 ).
  •      
  • La (x ) – intercepción es ((- 1,0) ).
  •      
  • Dibujamos y rotulamos la asíntota, trazamos y rotulamos los puntos y dibujamos una curva suave a través de los puntos.
  •  
 
Graph of two functions. The parent function is y=log(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (10, 0).The translation function f(x)=log(-x) has an asymptote at x=0 and labeled points at (-1, 0) and (-10, 1).
Figura ( PageIndex {19} )
 

El dominio es ((- infty, 0) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Gráfico (f (x) = – log (−x) ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

 
     
Respuesta
     
     
Graph of f(x)=-log(-x) with an asymptote at x=0.
Figura ( PageIndex {20} )
     

El dominio es ((- infty, 0) ), el rango es ((- infty, infty) ) y la asíntota vertical es (x = 0 ).

     
 
 
 
 

Cómo: Dada una ecuación logarítmica, usa una calculadora gráfica para aproximar las soluciones.

 
         
  1. Presione [Y =] . Ingrese la ecuación o ecuaciones de logaritmo dadas como Y 1 = y, si es necesario, Y 2 = .
  2.      
  3. Presione [GRÁFICO] para observar los gráficos de las curvas y use [VENTANA] para encontrar una vista adecuada de los gráficos, incluidos sus puntos de intersección.
  4.      
  5. Para encontrar el valor de (x ), calculamos el punto de intersección. Presione [2º] luego [CALC] . Seleccione «intersectar» y presione [ENTRAR] tres veces. El punto de intersección da el valor de (x ), para los puntos de intersección.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Aproximación de la solución de una ecuación logarítmica

 

Resuelve (4 ln (x) + 1 = −2 ln (x − 1) ) gráficamente. Redondea a la milésima más cercana.

 

Solución

 

Presione [Y =] e ingrese (4 ln (x) +1 ) al lado de Y 1 =. Luego ingrese (- 2 ln (x − 1) ) al lado de Y 2 = . Para una ventana, use los valores (0 ) a (5 ) para (x 0 y (- 10 ) a (10 ​​) para (y ). Presione [GRAPH ] . Las gráficas deben cruzarse en algún lugar un poco a la derecha de (x = 1 ).

 

Para una mejor aproximación, presione [2ND] luego [CALC] . Seleccione [5: intersección] y presione [ENTRAR] tres veces. La x -coordinada del punto de intersección se muestra como (1.3385297 ). (Su respuesta puede ser diferente si usa una ventana diferente o usa un valor diferente para Guess? ) Entonces, a la milésima más cercana, (x≈1.339 ).

 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve (5 log (x + 2) = 4− log (x) ) gráficamente. Redondea a la milésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

(x≈3.049 )

     
 
 
 

Resumiendo las traducciones de la función logarítmica

 

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traducción para la función logarítmica, podemos resumir cada uno en la Tabla ( PageIndex {4} ) para llegar a la ecuación general para traducir funciones exponenciales.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
     

Tabla ( PageIndex {4} )

     
Traducciones de la función principal (y = { log} _b (x) )
Traducción Formulario
             

Turno

             

Horizontalmente (c ) unidades a la izquierda

             

Unidades verticalmente (d ) arriba

             
(y = { log} _b (x + c) + d )
             

Estirar y comprimir

             

Estirar si (| a |> 1 )

             

Compresión si (| a | <1 )

             
(y=a{log}_b(x))
Reflect about the x-axis (y=−{log}_b(x))
Reflect about the y-axis (y={log}_b(−x))
General equation for all translations (y=a{log}_b(x+c)+d)
 
 

TRANSLATIONS OF LOGARITHMIC FUNCTIONS

 

All translations of the parent logarithmic function, (y={log}_b(x)), have the form

 

(f(x)=a{log}_b(x+c)+d)

 

where the parent function, (y={log}_b(x)), (b>1),is

 
         
  • shifted vertically up (d) units.
  •      
  • shifted horizontally to the left (c) units.
  •      
  • stretched vertically by a factor of (|a|) if (|a|>0).
  •      
  • compressed vertically by a factor of (|a|) if (0<|a|<1).
  •      
  • reflected about the x- axis when (a<0).
  •  
 

For (f(x)=log(−x)), the graph of the parent function is reflected about the y -axis.

 
 
 

Example (PageIndex{10}): Finding the Vertical Asymptote of a Logarithm Graph

 

What is the vertical asymptote of (f(x)=−2{log}_3(x+4)+5)?

 

Solution

 

The vertical asymptote is at (x=−4).

 

Analysis

 

The coefficient, the base, and the upward translation do not affect the asymptote. The shift of the curve (4) units to the left shifts the vertical asymptote to(x=−4).

 
 
 

Exercise (PageIndex{10})

 

What is the vertical asymptote of (f(x)=3+ln(x−1))?

 
     
Answer
     
     

(x=1)

     
 
 
 
 

Example (PageIndex{11}): Finding the Equation from a Graph

 

Find a possible equation for the common logarithmic function graphed in Figure (PageIndex{21}).

 
Graph of a logarithmic function with a vertical asymptote at x=-2, has been vertically reflected, and passes through the points (-1, 1) and (2, -1).
Figure (PageIndex{21})
 

Solution

 

This graph has a vertical asymptote at (x=–2) and has been vertically reflected. We do not know yet the vertical shift or the vertical stretch. We know so far that the equation will have form:

 

(f(x)=−alog(x+2)+k)

 

It appears the graph passes through the points ((–1,1)) and ((2,–1)). Substituting ((–1,1)),

 

[begin{align*} 1&= -alog(-1+2)+k qquad text{Substitute} (-1,1)\ 1&= -alog(1)+k qquad text{Arithmetic}\ 1&= klog(1)\ &= 0 end{align*}]

 

Next, substituting in ((2,–1)),

 

[begin{align*} -1&= -alog(2+2)+1 qquad text{Substitute} (2,-1)\ -2&= -alog(4) qquad text{Arithmetic}\ a&= dfrac{2}{log(4)} qquad text{Solve for a} end{align*}]

 

This gives us the equation (f(x)=–dfrac{2}{log(4)}log(x+2)+1).

 

Analysis

 

We can verify this answer by comparing the function values in Table (PageIndex{5}) with the points on the graph in Figure (PageIndex{21}).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Table (PageIndex{5})
(x) −1 0 1 2 3
(f(x)) 1 0 −0.58496 −1 −1.3219
(x) 4 5 6 7 8
(f(x)) −1.5850 −1.8074 −2 −2.1699 −2.3219
 
 
 

Exercise (PageIndex{11})

 

Give the equation of the natural logarithm graphed in Figure (PageIndex{22}).

 
Graph of a logarithmic function with a vertical asymptote at x=-3, has been vertically stretched by 2, and passes through the points (-1, -1).
Figure (PageIndex{22})
 
     
Answer
     
     

(f(x)=2ln(x+3)−1)

     
 
 
 
 

Media: Is it possible to tell the domain and range and describe the end behavior of a function just by looking at the graph?

 

Yes, if we know the function is a general logarithmic function. For example, look at the graph in Figure (PageIndex{22}). The graph approaches (x=−3) (or thereabouts) more and more closely, so (x=−3) is, or is very close to, the vertical asymptote. It approaches from the right, so the domain is all points to the right, ({x|x>−3}). The range, as with all general logarithmic functions, is all real numbers. And we can see the end behavior because the graph goes down as it goes left and up as it goes right. The end behavior is that as (xrightarrow −3^+), (f(x)rightarrow −infty) and as (xrightarrow infty), (f(x)rightarrow infty).

 
 
 

Medios

 

Access these online resources for additional instruction and practice with graphing logarithms.

 
 

Key Equations

                                                              
General Form for the Translation of the Parent Logarithmic Function (f(x)={log}_b(x)) (f(x)=a{log}_b(x+c)+d)
 

Key Concepts

 
         
  • To find the domain of a logarithmic function, set up an inequality showing the argument greater than zero, and solve for (x). See Example (PageIndex{1}) and Example (PageIndex{2})
  •      
  • The graph of the parent function (f(x)={log}_b(x)) has an x- intercept at ((1,0)),domain ((0,infty)),range ((−infty,infty)),vertical asymptote (x=0),and
  •      
  •      
               
    • if (b>1),the function is increasing.
    •          
    • if (0      
        Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  •      
  • The equation (f(x)={log}_b(x+c)) shifts the parent function (y={log}_b(x)) horizontally      
               
    • left (c) units if (c>0).
    •          
    • right (c) units if (c<0).
    •      
        Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  •      
  • The equation (f(x)={log}_b(x)+d) shifts the parent function (y={log}_b(x)) vertically      
               
    • up (d) units if (d>0).
    •          
    • down (d) units if (d<0).
    •      
        Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • For any constant (a>0), the equation (f(x)=a{log}_b(x))      
               
    • stretches the parent function (y={log}_b(x)) vertically by a factor of (a) if (|a|>1).
    •          
    • compresses the parent function (y={log}_b(x)) vertically by a factor of (a) if (|a|<)1.
    •      
        Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ) y el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  •      
  • When the parent function (y={log}_b(x)) is multiplied by (−1), the result is a reflection about the x -axis. When the input is multiplied by (−1), the result is a reflection about the y -axis.      
               
    • The equation (f(x)=−{log}_b(x)) represents a reflection of the parent function about the x- axis.
    •          
    • The equation (f(x)={log}_b(−x)) represents a reflection of the parent function about the y- axis.
    •      
        Ver Ejemplo ( PageIndex {8} ).      
               
    • A graphing calculator may be used to approximate solutions to some logarithmic equations See Example (PageIndex{9}).
    •      
         
  •      
  • All translations of the logarithmic function can be summarized by the general equation (f(x)=a{log}_b(x+c)+d). See Table (PageIndex{4}).
  •      
  • Given an equation with the general form (f(x)=a{log}_b(x+c)+d),we can identify the vertical asymptote (x=−c) for the transformation. See Example (PageIndex{10}).
  •      
  • Using the general equation (f(x)=a{log}_b(x+c)+d), we can write the equation of a logarithmic function given its graph. Ver Ejemplo ( PageIndex {11} ).
  •  
 
                                  
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