Una cuadrática desigualdad 15 es una declaración matemática que relaciona una expresión cuadrática como menor o mayor que otra. A continuación se presentan algunos ejemplos de desigualdades cuadráticas resueltas en esta sección.
(x ^ {2} -2 x-11 leq 0 )
(2 x ^ {2} -7 x + 3> 0 )
(9-x ^ {2}> 0 )
Tabla 6.5.1
Una solución a una desigualdad cuadrática es un número real que producirá un enunciado verdadero cuando se sustituya por la variable.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
¿Son (- 3 ), (- 2 ) y (- 1 ) soluciones para (x ^ {2} -x-6 leq 0 )?
Solución
Sustituye el valor dado por (x ) y simplifica.
( begin {array} {r | r | r} {x ^ {2} -x-6 leq0} y {x ^ {2} -x-6 leq0} & {x ^ {2 } -x-6 leq0} \ {( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} ^ {2} – ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} { )} – 6 leq0} & {( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} – ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} -6 leq0} & {( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} ^ {2} – ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} – 6 leq0} \ {9 + 3-6 leq0} y {4 + 2-6 leq0} y {1 + 1-6 leq0} \ {6 leq0 : : color {rojo} { ✗}} & {0 leq0 : : color {Cerulean} {✓}} & {- 4 leq0 : : color {Cerulean} {✓}} end {array} )
Respuesta :
(- 2 ) y (- 1 ) son soluciones y (- 3 ) no lo son.
Las desigualdades cuadráticas pueden tener infinitas soluciones, una solución o ninguna solución. Si hay infinitas soluciones, grafica el conjunto de soluciones en una recta numérica y / o expresa la solución usando la notación de intervalo. Graficando la función definida por (f (x) = x ^ {2} – x – 6 ) encontrada en el ejemplo anterior tenemos
Figura 6.5.1
El resultado de evaluar cualquier valor (x ) será negativo, cero o positivo.
( begin {alineado} f (-3) & = 6 & color {Cerulean} {Positivo : f (x)> 0} \ f (-2) & = 0 & color {Cerulean } {Cero : f (x) : = 0} \ f (-1) & = – 4 & color {Cerulean} {Negativo : f (x) <0} end {alineado} ) [ 19459011]
Los valores en el dominio de una función que separa regiones que producen resultados positivos o negativos se denominan números críticos 16 . En el caso de una función cuadrática, los números críticos son las raíces, a veces llamados ceros. Por ejemplo, (f (x) = x ^ {2} – x – 6 = (x + 2) (x – 3) ) tiene raíces (- 2 ) y (3 ). Estos valores unen las regiones donde la función es positiva (arriba del eje (x ) -) o negativa (debajo del eje (x ) -).
Figura 6.5.2
Por lo tanto, (x ^ {2} – x – 6 ≤ 0 ) tiene soluciones donde (- 2 ≤ x ≤ 3 ), utilizando notación de intervalo ([- 2, 3] ). Además, (x ^ {2} – x – 6 ≥ 0 ) tiene soluciones donde (x ≤ −2 ) o (x ≥ 3 ), usando la notación de intervalo ((- ∞, −2] ∪ [−3, ∞) ).
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Dada la gráfica de (f ), determine las soluciones para (f (x)> 0 ):
Figura 6.5.4
Debido a la estricta desigualdad, el conjunto de soluciones está sombreado con un punto abierto en cada uno de los límites. Esto indica que estos números críticos no están realmente incluidos en el conjunto de soluciones. Este conjunto de soluciones se puede expresar de dos maneras,
( begin {alineado} {x | -4 <& x <2 } & color {Cerulean} {Set : Notation} \ (-4, & 2) & color {Cerulean} {Interval : Notación} end {alineado} )
En este libro de texto, continuaremos presentando respuestas en notación de intervalo.
Respuesta :
((- 4,2) )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Dada la gráfica de (f ), determine las soluciones para (f (x) <0 ):
Figura 6.5.5
Respuesta
((- infty, -4) cup (2, infty) )
Solución de desigualdades cuadráticas
A continuación, describimos una técnica utilizada para resolver desigualdades cuadráticas sin graficar la parábola. Para hacer esto, utilizamos un signo gráfico 17 que modela una función usando una línea numérica que representa el (x ) -eje y signos ((+ ) o (-) ) para indicar dónde la función es positiva o negativa. Por ejemplo,
Figura 6.5.6
Los signos más indican que la función es positiva en la región. Los signos negativos indican que la función es negativa en la región. Los límites son los números críticos, (- 2 ) y (3 ) en este caso. Los gráficos de signos son útiles cuando no se necesita una imagen detallada del gráfico y se usan ampliamente en matemáticas de nivel superior. Los pasos para resolver una desigualdad cuadrática con una variable se resumen en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Resuelve: (- x ^ {2} +6 x + 7 geq 0 ).
Solución
Es importante tener en cuenta que esta desigualdad cuadrática está en forma estándar, con cero en un lado de la desigualdad.
Paso 1 : Determine los números críticos. Para una desigualdad cuadrática en forma estándar, los números críticos son las raíces. Por lo tanto, establezca la función igual a cero y resuelva.
(- x ^ {2} +6 x + 7 = 0 ) (- left (x ^ {2} -6 x-7 right) = 0 ) (- (x + 1) (x-7) = 0 )
( begin {alineado} x + 1 & = 0 : : : : text {or} & x-7 = 0 \ x & = – 1 & x = 7 end {alineado} ) [ 19459011]
Los números críticos son (- 1 ) y (7 ).
Paso 2 : crea un gráfico de signos. Dado que los números críticos unen las regiones donde la función es positiva o negativa, solo necesitamos probar un solo valor en cada región. En este caso, los números críticos dividen la recta numérica en tres regiones y elegimos los valores de prueba (x = −3, x = 0 ) y (x = 10 ).
Figura 6.5.7
Los valores de prueba pueden variar. De hecho, solo necesitamos determinar el signo ((+ ) o (-) ) del resultado al evaluar (f (x) = −x ^ {2} + 6x + 7 = – (x + 1 ) (x – 7) ). Aquí evaluamos usando la forma factorizada.
( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} & = – ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {+} 1) ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {-} 7) = – (- 2) (- 10) & = – color {Cerulean} {Negative} \ f ( color { OliveGreen} {0} color {black} {)} & = – ( color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 1) ( color {OliveGreen} {0} color {black} { -} 7) = – (1) (- 7) & = + color {Cerulean} {Positivo} \ f ( color {OliveGreen} {10} color {black} {)} & = – ( color {OliveGreen} {10} color {black} {+} 1) ( color {OliveGreen} {10} color {black} {-} 7) = – (11) (3) & = – color {Cerulean } {Negativo} end {alineado} )
Dado que el resultado de evaluar (- 3 ) fue negativo, colocamos signos negativos sobre la primera región. El resultado de evaluar para (0 ) fue positivo, por lo que colocamos signos positivos sobre la región media. Finalmente, el resultado de evaluar para (10 ) fue negativo, por lo que colocamos signos negativos sobre la última región, y el gráfico de signos está completo.
Figura 6.5.8
Paso 3 : Usa la tabla de signos para responder la pregunta. En este caso, se nos pide determinar dónde (f (x) ≥ 0 ), o dónde la función es positiva o cero. En el gráfico de signos vemos que esto ocurre cuando (x ) – los valores están incluidos entre (- 1 ) y (7 ).
Figura 6.5.9
Usando notación de intervalo, la región sombreada se expresa como ([- 1, 7] ). El gráfico no es obligatorio; sin embargo, en aras de la integridad se proporciona a continuación.
Figura 6.5.10
De hecho, la función es mayor o igual que cero, por encima o en el eje (x ), para valores (x ) – en el intervalo especificado.
Respuesta :
([- 1,7] )
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Resuelve: (2 x ^ {2} -7 x + 3> 0 ).
Solución
Comienza por encontrar los números críticos, en este caso, las raíces de (f (x) = 2 x ^ {2} -7 x + 3 ).
( begin {alineado} 2 x ^ {2} -7 x + 3 & = 0 \ (2 x-1) (x-3) & = 0 end {alineado} )
( begin {alineado} 2 x-1 & = 0 : : : : : text {or} & x-3 = 0 \ 2 x & = 1 quad & x = 3 \ x & = frac {1} {2} end {alineado} )
Los números críticos son ( frac {1} {2} ) y (3 ). Debido a la estricta desigualdad> usaremos puntos abiertos.
Figura 6.5.11
Luego elija un valor de prueba en cada región y determine el signo después de evaluar (f (x) = 2x ^ {2} – 7x + 3 = (2x – 1) (x – 3) ). Aquí elegimos los valores de prueba (- 1, 2 ) y (5 ).
( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = [2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) } -1] ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {-} 3) & = (-) (-) = + \ f ( color {OliveGreen} {2} color {black { } {)} & = [2 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} – 1] ( color {OliveGreen} {2} color {black} {-} 3) & = ( +) (-) = – \ f ( color {OliveGreen} {5} color {black} {)} & = [2 ( color {OliveGreen} {5} color {black} {)} – 1 ] ( color {OliveGreen} {5} color {black} {-} 3) & = (+) (+) = + end {alineado} )
Y podemos completar el cuadro de signos.
Figura 6.5.12
La pregunta nos pide que encontremos los valores (x ) que producen resultados positivos (mayores que cero). Por lo tanto, sombree las regiones con un (+ ) sobre ellas. Este es el conjunto de soluciones.
Figura 6.5.13
Respuesta :
( left (- infty, frac {1} {2} right) cup (3, infty) )
A veces la función cuadrática no tiene en cuenta. En este caso podemos hacer uso de la fórmula cuadrática.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Resolver: (x ^ {2} -2 x-11 leq 0 )
Solución
Encuentra los números críticos.
(x ^ {2} -2 x-11 = 0 )
Identifique (a, b ) y (c ) para usar en la fórmula cuadrática. Aquí (a = 1, b = −2 ) y (c = −11 ). Sustituya los valores apropiados en la fórmula cuadrática y luego simplifique.
( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {- 2} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {1 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 11} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} & = frac {2 pm sqrt {48}} {2} \ & = frac {2 pm 4 sqrt {3}} {2} \ & = 1 pm 2 sqrt {3 } end {alineado} )
Por lo tanto, los números críticos son (1-2 sqrt {3} approx-2.5 ) y (1 + 2 sqrt {3} approx 4.5 ). Use un punto cerrado en el número para indicar que estos valores se incluirán en el conjunto de soluciones.
Figura 6.5.14
Aquí usaremos valores de prueba (- 5, 0 ) y (7 ).
( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} – 11 = 25 + 10-11 & = + \ f ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} – 11 = 0 + 0-11 & = – \ f ( color {OliveGreen} {7} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {7} color {black} {)} ^ {2} -2 ( color {OliveGreen} {7} color {black} {)} – 11 = 49-14-11 & = + end {alineado} )
Después de completar el sombreado del gráfico de signos en los valores donde la función es negativa, como lo indica la pregunta ((f (x) ≤ 0) ).
Figura 6.5.15
Respuesta :
([1-2 sqrt {3}, 1 + 2 sqrt {3}] )
Puede darse el caso de que no haya números críticos.
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Resuelve: (x ^ {2} -2 x + 3> 0 ).
Solución
Para encontrar los números críticos, resuelva,
(x ^ {2} -2 x + 3 = 0 )
Sustituye (a = 1, b = −2 ) y (c = 3 ) en la fórmula cuadrática y luego simplifica.
( begin {alineado} x & = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} \ & = frac {- ( color {OliveGreen } {- 2} color {black} {)} pm sqrt {( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} -4 ( color {OliveGreen} {1 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)}}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} \ & = frac {2 pm sqrt {-8}} {2} \ & = frac {2 pm 2 i sqrt {2}} {2} \ & = 1 + i sqrt {2 } end {alineado} )
Debido a que las soluciones no son reales, concluimos que no hay raíces reales; Por lo tanto, no hay números críticos. Cuando este es el caso, el gráfico no tiene intersecciones con (x ) y está completamente por encima o por debajo del eje (x ). Podemos probar cualquier valor para crear un gráfico de signos. Aquí elegimos (x = 0 ).
(f (0) = (0) ^ {2} -2 (0) +3 = + )
Debido a que el valor de la prueba produjo un resultado positivo, la tabla de signos tiene el siguiente aspecto:
Figura 6.5.16
Estamos buscando los valores donde (f (x)> 0 ); El gráfico de signos implica que cualquier número real para (x ) satisfará esta condición.
Figura 6.5.17
Respuesta :
((- infty, infty) )
La función en el ejemplo anterior se muestra a continuación.
Figura 6.5.18
Podemos ver que no tiene intersecciones con (x ) y siempre está por encima del eje (x ) – (positivo). Si la pregunta fuera resolver (x ^ {2} – 2x + 3 <0 ), entonces la respuesta no habría sido la solución. La función nunca es negativa.
Recuerde que el argumento de una función de raíz cuadrada no debe ser negativo. Por lo tanto, el dominio consta de todos los números reales para (x ) de modo que (x ^ {2} – 4 ) es mayor o igual a cero.
(x ^ {2} -4 geq 0 )
Debe quedar claro que (x ^ {2} – 4 = 0 ) tiene dos soluciones (x = ± 2 ); Estos son los valores críticos. Elija valores de prueba en cada intervalo y evalúe (f (x) = x ^ {2} – 4 ).
( begin {alineado} f (-3) & = (- 3) ^ {2} -4 = 9-4 = + \ f (0) & = (0) ^ {2} -4 = 0-4 = – \ f (3) & = (3) ^ {2} -4 = 9-4 = + end {alineado} )
Sombra en (x ) – valores que producen resultados positivos.
