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las matematicas

6.5: Resolver proporciones y sus aplicaciones (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Utilice la definición de proporción
  •      
  • Resolver proporciones
  •      
  • Resolver aplicaciones usando proporciones
  •      
  • Escribe ecuaciones porcentuales como proporciones
  •      
  • Traducir y resolver proporciones porcentuales
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifique: ( dfrac { dfrac {1} {3}} {4} ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.5.8 .
  2.      
  3. Resuelve: ( dfrac {x} {4} ) = 20. Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 4.12.5 .
  4.      
  5. Escribe como una tarifa: Sale montó su bicicleta 24 millas en 2 horas. Si se perdió este problema, revise Ejemplo 5.10.6 .
  6.  
 
 
 

Usa la definición de proporción

 

En la sección sobre razones y tasas vimos algunas formas en que se usan en nuestra vida diaria. Cuando dos razones o tasas son iguales, la ecuación que las relaciona se denomina proporción .

 
 

Definición: proporción

 

Una proporción es una ecuación de la forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), donde b ≠ 0, d ≠ 0.

 

La proporción establece que dos razones o tasas son iguales. La proporción se lee “a es a b, como c es a d”.

 
 

La ecuación ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) es una proporción porque las dos fracciones son iguales. La proporción ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) se lee “1 es a 2 como 4 es a 8”.

 

Si comparamos cantidades con unidades, debemos asegurarnos de que las estamos comparando en el orden correcto. Por ejemplo, en la proporción ( dfrac {20 ; estudiantes} {1 ; profesor} = dfrac {60 ; estudiantes} {3 ; maestros} ) comparamos el número de estudiantes con el número de maestros . Ponemos a los estudiantes en los numeradores y a los maestros en los denominadores.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Escribe cada oración como una proporción: (a) 3 es a 7 como 15 es a 35. (b) 5 golpes en 8 al bate es lo mismo que 30 golpes en 48 al bate. (c) $ 1.50 por 6 onzas es equivalente a $ 2.25 por 9 onzas.

 

Solución

 

(a) 3 es a 7 como 15 es a 35

                                                              
Escribe como una proporción. $$ dfrac {3} {7} = dfrac {15} {35} $$
 

(b) 5 hits en 8 al bate es lo mismo que 30 hits en 48 al bate

                                                                                                              
Escribe cada fracción para comparar los golpes con los turnos al bate. $$ dfrac {hits} {at-bats} = dfrac {hits} {at-bats} $$
Escribe como una proporción. $$ dfrac {5} {8} = dfrac {30} {48} $$
 

(c) $ 1.50 por 6 onzas es equivalente a $ 2.25 por 9 onzas

                                                                                                              
Escribe cada fracción para comparar dólares con onzas. $$ dfrac { $} {onzas} = dfrac { $} {onzas} $$
Escribe como una proporción. $$ dfrac {1.50} {6} = dfrac {2.25} {9} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Escribe cada oración como una proporción: (a) 5 es a 9 como 20 es a 36. (b) 7 golpes en 11 turnos al bate es lo mismo que 28 golpes en 44 turnos al bate. (c) $ 2.50 por 8 onzas es equivalente a $ 3.75 por 12 onzas.

 
     
Responda a
     
     

( frac {5} {9} = frac {20} {36} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

( frac {7} {11} = frac {28} {44} )

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

( frac {2.50} {8} = frac {3.75} {12} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Escriba cada oración en proporción: (a) 6 es a 7 como 36 es a 42. (b) 8 adultos para 36 niños es lo mismo que 12 adultos para 54 niños. (c) $ 3.75 por 6 onzas es equivalente a $ 2.50 por 4 onzas.

 
     
Responda a
     
     

( frac {6} {7} = frac {36} {42} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

( frac {8} {36} = frac {12} {54} )

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

( frac {3.75} {6} = frac {2.50} {4} )

     
 
 
 
 

Mira las proporciones ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) y ( dfrac {2} {3} = dfrac {6} {9} ) . De nuestro trabajo con fracciones equivalentes sabemos que estas ecuaciones son verdaderas. Pero, ¿cómo sabemos si una ecuación es una proporción con fracciones equivalentes si contiene fracciones con números más grandes? Para determinar si una proporción es verdadera, encontramos los productos cruzados de cada proporción. Para encontrar los productos cruzados, multiplicamos cada denominador con el numerador opuesto (diagonalmente a través del signo igual). Los resultados se denominan productos cruzados debido a la formación cruzada. Los productos cruzados de una proporción son iguales.

 

The figure shows cross multiplication of two proportions. There is the proportion 1 is to 2 as 4 is to 8. Arrows are shown diagonally across the equal sign to show cross products. The equations formed by cross multiplying are 8 · 1 = 8 and 2 · 4 = 8. There is the proportion 2 is to 3 as 6 is to 9. Arrows are shown diagonally across the equal sign to show cross products. The equations formed by cross multiplying are 9 · 2 = 18 and 3 · 6 = 18.

 
 

Definición: productos cruzados de una proporción

 

Para cualquier proporción de la forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), donde b ≠ 0, d ≠ 0, sus productos cruzados son iguales.

 

 
 

Los productos cruzados se pueden usar para probar si una proporción es verdadera. Para probar si una ecuación hace una proporción, encontramos los productos cruzados. Si son iguales, tenemos una proporción.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Determine si cada ecuación es una proporción: (a) ( dfrac {4} {9} = dfrac {12} {28} ) (b) ( dfrac {17.5} {37.5} = dfrac {7} {15} )

 

Solución

 

Para determinar si la ecuación es una proporción, encontramos los productos cruzados. Si son iguales, la ecuación es una proporción.

 

(a) ( dfrac {4} {9} = dfrac {12} {28} )

                                                              
Encuentra los productos cruzados.              

             

$$ 28 cdot 4 = 112 qquad 9 cdot 12 = 108 $$

             
 

Dado que los productos cruzados no son iguales, 28 · 4 ≠ 9 · 12, la ecuación no es una proporción.

 

(b) ( dfrac {17.5} {37.5} = dfrac {7} {15} )

                                                              
Encuentra los productos cruzados.              

             

$$ 15 cdot 17.5 = 262.5 qquad 37.5 cdot 7 = 262.5 $$

             
 

Dado que los productos cruzados son iguales, 15 • 17.5 = 37.5 • 7, la ecuación es una proporción.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Determine si cada ecuación es una proporción: (a) ( dfrac {7} {9} = dfrac {54} {72} ) (b) ( dfrac {24.5} {45.5} = dfrac {7} {13} )

 
     
Responda a
     
     

no

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Determine si cada ecuación es una proporción: (a) ( dfrac {8} {9} = dfrac {56} {73} ) (b) ( dfrac {28.5} {52.5} = dfrac {8} {15} )

 
     
Responda a
     
     

no

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

no

     
 
 
 
 

Resolver proporciones

 

Para resolver una proporción que contiene una variable, recordamos que la proporción es una ecuación. Todas las técnicas que hemos usado hasta ahora para resolver ecuaciones todavía se aplican. En el siguiente ejemplo, resolveremos una proporción multiplicando por el Mínimo Común Denominador (LCD) usando la Propiedad de Igualdad de Multiplicación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resuelva: ( dfrac {x} {63} = dfrac {4} {7} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Para aislar x, multiplique ambos lados por la pantalla LCD, 63. $$ textcolor {red} {63} left ( dfrac {x} {63} right) = textcolor {red} {63} left ( dfrac {4} {7} right) $$
Simplificar. $$ x = dfrac {9 cdot cancel {7} cdot 4} { cancel {7}} $$
Divide los factores comunes. $$ x = 36 $$
 

Verificar: Para verificar nuestra respuesta, la sustituimos en la proporción original.

                                                                                                                                                              
Sustituye x = ( textcolor {red} {36} ) $$ dfrac { textcolor {rojo} {36}} {63} stackrel {?} {=} Dfrac {4} {7} $$
Mostrar factores comunes. $$ dfrac {4 cdot 9} {7 cdot 9} stackrel {?} {=} Dfrac {4} {7} $$
Simplificar. $$ dfrac {4} {7} = dfrac {4} {7} ; marca de verificación $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Resuelva la proporción: ( dfrac {n} {84} = dfrac {11} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

77

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Resuelva la proporción: ( dfrac {y} {96} = dfrac {13} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

104

     
 
 
 

Cuando la variable está en un denominador, usaremos el hecho de que los productos cruzados de una proporción son iguales para resolver las proporciones.

 

Podemos encontrar los productos cruzados de la proporción y luego igualarlos. Luego resolvemos la ecuación resultante usando nuestras técnicas familiares.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelva: ( dfrac {144} {a} = dfrac {9} {4} ).

 

Solución

 

Observe que la variable está en el denominador, por lo que resolveremos encontrando los productos cruzados y poniéndolos iguales.

 

                                                                                                                                                                                                              
Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. 4 • 144 = a • 9
Simplificar. 576 = 9a
Divide ambos lados entre 9. $$ dfrac {576} {9} = dfrac {9a} {9} $$
Simplificar. $$ 64 = a $$
 

Comprueba tu respuesta.

                                                                                                                                                              
Sustituye a = ( textcolor {red} {64} ) $$ dfrac {144} { textcolor {rojo} {64}} stackrel {?} {=} Dfrac {9} {4} $$
Mostrar factores comunes. $$ dfrac {9 cdot 16} {4 cdot 16} stackrel {?} {=} Dfrac {9} {4} $$
Simplificar. $$ dfrac {9} {4} = dfrac {9} {4} ; marca de verificación $$
 

Otro método para resolver esto sería multiplicar ambos lados por la pantalla LCD, 4a. Pruébelo y verifique que obtiene la misma solución.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Resuelva la proporción: ( dfrac {91} {b} = dfrac {7} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

65

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve la proporción: ( dfrac {39} {c} = dfrac {13} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

24

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resolver: ( dfrac {52} {91} = dfrac {-4} {y} )

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales.
y • 52 = 91 (-4)
Simplificar. 52 años = -364
Divide ambos lados entre 52. $$ dfrac {52y} {52} = dfrac {-364} {52} $$
Simplificar. $$ y = -7 $$
 

Verificación:

                                                                                                                                                              
Sustituye y = ( textcolor {red} {- 7} ) $$ dfrac {52} {91} stackrel {?} {=} Dfrac {-4} { textcolor {red} {- 7}} $$
Mostrar factores comunes. $$ dfrac {13 cdot 4} {13 cdot 7} stackrel {?} {=} Dfrac {-4} { textcolor {red} {- 7}} $$
Simplificar. $$ dfrac {4} {7} = dfrac {4} {7} ; marca de verificación $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Resuelva la proporción: ( dfrac {84} {98} = dfrac {-6} {x} ).

 
     
Respuesta
     
     

-7

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Resuelva la proporción: ( dfrac {-7} {y} = dfrac {105} {135} ).

 
     
Respuesta
     
     

-9

     
 
 
 
 

Resolver aplicaciones usando proporciones

 

La estrategia para resolver aplicaciones que hemos utilizado anteriormente en este capítulo, también funciona para las proporciones, ya que las proporciones son ecuaciones. Cuando establecemos la proporción, debemos asegurarnos de que las unidades sean correctas: las unidades en los numeradores coinciden y las unidades en los denominadores coinciden.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de paracetamol le recetará su médico?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Identifica lo que se te pide que encuentres. ¿Cuántos ml de acetaminofeno le recetará el médico?
Elija una variable para representarla. Deje a = ml de acetaminofeno.
Escribe una oración que proporcione la información para encontrarla. Si se recetan 5 ml por cada 25 libras, ¿cuánto se recetará por 80 libras?
Traducir a una proporción. $$ dfrac {ml} {libras} = dfrac {ml} {libras} etiqueta {6.5.24} $$
Sustituye los valores dados; ten cuidado con las unidades. $$ dfrac {5} {25} = dfrac {a} {80} tag {6.5.25} $$
Multiplica ambos lados por 80. $$ 80 cdot dfrac {5} {25} = 80 cdot dfrac {a} {80} tag {6.5.26} $$
Multiplica y muestra factores comunes. $$ dfrac {16 cdot 5 cdot 5} {5 cdot 5} = dfrac {80a} {80} tag {6.5.27} $$
Simplificar. $$ 16 = a tag {6.5.28} $$
Verifique si la respuesta es razonable. Sí. Como 80 es aproximadamente 3 veces 25, el medicamento debe ser aproximadamente 3 veces 5.
Escribe una oración completa. El pediatra le recetaría 16 ml de acetaminofén a Zoe.
 

También podría resolver esta proporción estableciendo iguales los productos cruzados.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Los pediatras recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofeno le recetará el médico a Emilia, que pesa 60 libras?

 
     
Respuesta
     
     

12 ml

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Por cada 1 kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras recetan 15 miligramos (mg) de un reductor de fiebre. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos del reductor de fiebre le recetará el pediatra?

 
     
Respuesta
     
     

180 mg

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Una marca de palomitas de maíz para microondas tiene 120 calorías por porción. Una bolsa entera de palomitas de maíz tiene 3.5 porciones. ¿Cuántas calorías hay en una bolsa entera de palomitas de maíz para microondas?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
Identifica lo que se te pide que encuentres. ¿Cuántas calorías hay en una bolsa completa de palomitas de maíz para microondas?
Elija una variable para representarla. Sea c = número de calorías.
Escribe una oración que proporcione la información para encontrarla. Si hay 120 calorías por porción, ¿cuántas calorías hay en una bolsa completa con 3.5 porciones?
Traducir a una proporción. $$ dfrac {calorías} {porción} = dfrac {calorías} {porción} tag {6.5.29} $$
Sustituir valores dados. $$ dfrac {120} {1} = dfrac {c} {3.5} tag {6.5.30} $$
Multiplica ambos lados por 3.5. $$ (3.5) left ( dfrac {120} {1} right) = (3.5) left ( dfrac {c} {3.5} right) tag {6.5.31} $$ [ 19459033]          
Multiplica. $$ 420 = c tag {6.5.32} $$
Verifique si la respuesta es razonable. Sí. Como 3.5 está entre 3 y 4, las calorías totales deben estar entre 360 ​​(3 • 120) y 480 (4 • 120).
Escribe una oración completa. Toda la bolsa de palomitas de maíz para microondas tiene 420 calorías.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

A Marissa le encanta el Caramelo Macchiato en la cafetería. Las 16 oz. tamaño mediano tiene 240 calorías. ¿Cuántas calorías obtendrá si bebe las 20 oz grandes? ¿Talla?

 
     
Respuesta
     
     

300

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

A Yaneli le encantan los dulces Starburst, pero quiere mantener sus bocadillos a 100 calorías. Si los dulces tienen 160 calorías por 8 piezas, ¿cuántas piezas puede tener en su merienda?

 
     
Respuesta
     
     

5

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Josiah fue a México para las vacaciones de primavera y cambió $ 325 dólares a pesos mexicanos. En ese momento, el tipo de cambio tenía $ 1 US es igual a 12.54 pesos mexicanos. ¿Cuántos pesos mexicanos recibió por su viaje?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Identifica lo que se te pide que encuentres. ¿Cuántos pesos mexicanos recibió Josiah?
Elija una variable para representarla. Sea p = número de pesos.
Escribe una oración que proporcione la información para encontrarla. Si $ 1 U.S. es igual a 12.54 pesos mexicanos, entonces $ 325 es cuántos pesos?
Traducir a una proporción. $$ dfrac { $} {pesos} = dfrac { $} {pesos} tag {6.5.33} $$
Sustituir valores dados. $$ dfrac {1} {12.54} = dfrac {325} {p} tag {6.5.34} $$
La variable está en el denominador, así que encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$ p cdot 1 = 12.54 (325) tag {6.5.35} $$
Simplificar. $$ c = 4,075.5 tag {6.5.36} $$
Verifique si la respuesta es razonable. Sí, $ 100 serían $ 1,254 pesos. $ 325 es un poco más de 3 veces esta cantidad.
Escribe una oración completa. Josiah tiene 4075.5 pesos para su viaje de vacaciones de primavera.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Yurianna se va a Europa y quiere cambiar $ 800 dólares a euros. Al tipo de cambio actual, $ 1 US es igual a 0.738 Euro. ¿Cuántos euros tendrá para su viaje?

 
     
Respuesta
     
     

590 euros

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Corey y Nicole viajan a Japón y necesitan intercambiar $ 600 en yenes japoneses. Si cada dólar es 94.1 yenes, ¿cuántos yenes obtendrán?

 
     
Respuesta
     
     

56.460 yenes

     
 
 
 
 
                                  
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