6.6: Dividir polinomios

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Dividir un polinomio por un monomio

En la última sección, aprendiste a dividir un monomio por un monomio. A medida que continúe aumentando su conocimiento de los polinomios, el siguiente procedimiento es dividir un polinomio de dos o más términos por un monomio .

El método que usaremos para dividir un polinomio por un monomio se basa en las propiedades de la adición de fracciones. Entonces, comenzaremos con un ejemplo para revisar la suma de fracciones.

( begin {array} {ll} { text {The sum,}} & { dfrac {y} {5} + dfrac {2} {5}} \ { text {se simplifica a }} & { dfrac {y + 2} {5}} end {array} )

Ahora haremos esto a la inversa para dividir una sola fracción en fracciones separadas.

Aquí indicaremos la propiedad de suma de fracciones tal como la aprendiste y al revés.

ADICION DE FRACCION

Si a, byc son números donde (c neq 0 ), entonces

[ dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} quad text {y} quad dfrac {a + b} { c} = dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} ]

Utilizamos el formulario de la izquierda para agregar fracciones y el formulario de la derecha para dividir un polinomio por un monomio.

( begin {array} {ll} { text {Por ejemplo,}} & { dfrac {y + 2} {5}} \ { text {se puede escribir}} y { dfrac {y} {5} + dfrac {2} {5}} end {array} )

Utilizamos esta forma de adición de fracciones para dividir polinomios por monomios.

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIAL

Para dividir un polinomio por un monomio, divide cada término del polinomio entre el monomio .

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {7 y ^ {2} +21} {7} )

Respuesta: ( begin {array} {ll} & dfrac {7 y ^ {2} +21} {7} \ text {Divide cada término del numerador entre el denominador.} & Dfrac {7 y ^ {2}} {7} + dfrac {21} {7} \ text {Simplifique cada fracción.} & y ^ {2} +3 end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {8 z ^ {2} +24} {4} )

Respuesta: (2 z ^ {2} +6 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {18 z ^ {2} -27} {9} )

Respuesta: (2 z ^ {2} -3 )

Recuerde que la división se puede representar como una fracción. Cuando se le pide que divida un polinomio por un monomio y aún no está en forma de fracción, escriba una fracción con el polinomio en el numerador y el monomio en el denominador.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra el cociente: ( left (18 x ^ {3} -36 x ^ {2} right) div 6 x )

Respuesta: ( begin {array} {ll} & left (18 x ^ {3} -36 x ^ {2} right) div 6 x \ text {Reescribir como una fracción.} & dfrac {18 x ^ {3} -36 x ^ {2}} {6 x} \ text {Divida cada término del numerador por el denominador.} & dfrac {18 x ^ {3}} {6 x } – dfrac {36 x ^ {2}} {6 x} \ text {Simplify.} & 3 x ^ {2} -6 x end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentra el cociente: ( left (27 b ^ {3} -33 b ^ {2} right) div 3 b )

Respuesta: (9 b ^ {2} -11 b )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra el cociente: ( left (25 y ^ {3} -55 y ^ {2} right) div 5 y )

Respuesta: (5 y ^ {2} -11 y )

Cuando dividimos por un negativo, debemos tener mucho cuidado con los signos.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {12 d ^ {2} -16 d} {- 4} )

Respuesta: ( begin {array} {ll} & dfrac {12 d ^ {2} -16 d} {- 4} \ text {Divida cada término del numerador por el denominador.} & Dfrac {18 x ^ {3} -36 x ^ {2}} {6 x} \ text {Simplifica. Recuerda, restar un negativo es como sumar un positivo!} & -3 d ^ {2} +4 d end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {25 y ^ {2} -15 y} {- 5} )

Respuesta: (- 5 y ^ {2} +3 y )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {42 b ^ {2} -18 b} {- 6} )

Respuesta: (- 7 b ^ {2} +3 b )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {105 y ^ {5} +75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} )

Respuesta: ( begin {array} {ll} & dfrac {105 y ^ {5} +75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} \ text {Separe los términos.} & dfrac {105 y ^ {5}} {5 y ^ {2}} + dfrac {75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} \ text {Simplify.} & 21 y ^ { 3} +15 y end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {60 d ^ {7} +24 d ^ {5}} {4 d ^ {3}} )

Respuesta: (15 d ^ {4} +6 d ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {216 p ^ {7} -48 p ^ {5}} {6 p ^ {3}} )

Respuesta: (36 p ^ {4} -8 p ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Encuentra el cociente: ( left (15 x ^ {3} y-35 x y ^ {2} right) div (-5 x y) )

Respuesta: ( begin {array} {ll} & left (15 x ^ {3} y-35 xy ^ {2} right) div (-5 xy) \ text {Reescribir como fracción .} & dfrac {15 x ^ {3} y-35 xy ^ {2}} {- 5 xy} \ text {Separe los términos. ¡Tenga cuidado con los signos!} & dfrac {15 x ^ { 3} y} {- 5 xy} – dfrac {35 xy ^ {2}} {- 5 xy} \ text {Simplify.} & -3 x ^ {2} +7 y end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Encuentra el cociente: ( left (32 a ^ {2} b-16 a b ^ {2} right) div (-8 a b) )

Respuesta: (- 4 a + 2 b )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentra el cociente: ( left (-48 a ^ {8} b ^ {4} -36 a ^ {6} b ^ {5} right) div left (-6 a ^ {3 } b ^ {3} right) )

Respuesta: (8 a ^ {5} b + 6 a ^ {3} b ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2} +27 x ^ {2} y ^ {2} -9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ {2} y} )

Respuesta: ( begin {array} {ll} & dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2} +27 x ^ {2} y ^ {2} -9 x ^ {2} y ^ { 3}} {9 x ^ {2} y} \ text {Separe los términos.} & Dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2}} {9 x ^ {2} y} + dfrac {27 x ^ {2} y ^ {2}} {9 x ^ {2} y} – dfrac {9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ {2} y} \ texto {Simplify.} & 4 x y + 3 aa ^ {2} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {40 x ^ {3} y ^ {2} +24 x ^ {2} y ^ {2} -16 x ^ {2} y ^ {3}} {8 x ^ {2} y} )

Respuesta: (5 x y + 3 y-2 y ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {35 a ^ {4} b ^ {2} +14 a ^ {4} b ^ {3} -42 a ^ {2} b ^ {4}} {7 a ^ {2} b ^ {2}} )

Respuesta: (5 a ^ {2} +2 a ^ {2} b-6 b ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {10 x ^ {2} +5 x-20} {5 x} )

Respuesta: ( begin {array} {ll} & dfrac {10 x ^ {2} +5 x-20} {5x} \ text {Separe los términos.} & Dfrac {10 x ^ { 2}} {5 x} + dfrac {5 x} {5 x} – dfrac {20} {5 x} \ text {Simplify.} & 2 x + 1- dfrac {4} {x} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {18 c ^ {2} +6 c-9} {6 c} )

Respuesta: (3 c + 1- dfrac {3} {2 c} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {10 d ^ {2} -5 d-2} {5 d} )

Respuesta: (2 d-1- dfrac {2} {5 d} )

Dividir un polinomio por un binomio

Para dividir un polinomio por un binomio , seguimos un procedimiento muy similar a la división larga de números. Así que veamos cuidadosamente los pasos que tomamos cuando dividimos un número de 3 dígitos, 875, por un número de 2 dígitos, 25.

Verificamos la división multiplicando el cociente por el divisor.

Si hicimos la división correctamente, el producto debería ser igual al dividendo.

[ begin {array} {l} {35 cdot 25} \ {875} checkmark end {array} ]

Ahora dividiremos un trinomio por un binomio. A medida que lea el ejemplo, observe cuán similares son los pasos al ejemplo numérico anterior.

Ejercicio ( PageIndex {19} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {2} +9 x + 20 right) div (x + 5) )

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Encuentra el cociente: ( left (y ^ {2} +10 y + 21 right) div (y + 3) )

Respuesta: y + 7

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Encuentra el cociente: ( left (m ^ {2} +9 m + 20 right) div (m + 4) )

Respuesta: m + 5

Cuando el divisor tiene signo de resta, debemos tener mucho cuidado al multiplicar el cociente parcial y luego restar. Puede ser más seguro mostrar que cambiamos los signos y luego agregamos.

Ejercicio ( PageIndex {22} )

Encuentra el cociente: ( left (2 x ^ {2} -5 x-3 right) div (x-3) )

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Encuentra el cociente: ( left (2 x ^ {2} -3 x-20 right) div (x-4) )

Respuesta: 2x + 5

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Encuentra el cociente: ( left (3 x ^ {2} -16 x-12 right) div (x-6) )

Respuesta: 3x + 2

Cuando dividimos 875 por 25, no teníamos resto. Pero a veces la división de números deja un resto. Lo mismo es cierto cuando dividimos polinomios. En el ejercicio ( PageIndex {25} ), tendremos una división que deja un resto. Escribimos el resto como una fracción con el divisor como denominador.

Ejercicio ( PageIndex {25} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {3} -x ^ {2} + x + 4 right) div (x + 1) )

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {3} +5 x ^ {2} +8 x + 6 right) div (x + 2) )

Respuesta: (x ^ {2} +3 x + 2 + dfrac {2} {x + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Encuentra el cociente: ( left (2 x ^ {3} +8 x ^ {2} + x-8 right) div (x + 1) )

Respuesta: (2 x ^ {2} +6 x-5- dfrac {3} {x + 1} )

Repase los dividendos en Ejemplo , Ejemplo y Ejemplo [19459038 ] Los términos se escribieron en orden descendente de grados, y no faltaron grados. El dividendo en Ejemplo será (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 ). Le falta un término (x ^ {3} ). Agregaremos (0x ^ {3} ) como marcador de posición.

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 right) div (x + 2) )

Respuesta

Observe que no hay término (x ^ {3} ) en el dividendo. Agregaremos (0x ^ {3} ) como marcador de posición.

	$A polynomial, x to the fourth power minus x squared minus 5 x minus 2, divided by another polynomial, x plus 2.$
Escríbelo como un problema de división larga. Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar con marcadores de posición para los términos faltantes.	$The long division of x to the fourth power plus 0 x cubed minus x squared minus 5 x minus 2 by x plus 2.$
Divide x ⁴ entre x . Pon la respuesta, x ³, en el cociente sobre el término x ³. Multiplicar x ³ veces x + 2. Alinea los términos similares. Resta y luego baja el siguiente término.	$x cubed is written on top of the long division bracket above the x cubed term in the dividend. Below the first two terms of the dividend x to the fourth power plus 2 x cubed is subtracted to give negative 2 x cubed minus x squared. A note next to the division reads “It may be helpful to change the signs and add.”$
Divide −2 x ³ entre x . Pon la respuesta, −2 x ², en el cociente sobre el término x ². Multiplicar −2 x ² veces x + 1. Alinee los términos similares. Reste y baje el próximo término.	$x cubed minus 2 x squared is written on top of the long division bracket. At the bottom of the long division negative 2 x cubed minus 4 x squared is subtracted to give 3 x squared plus 5 x. A note reads “It may be helpful to change the signs and add.”$
Dividir 3 x ² por x . Escriba la respuesta, 3 x , en el cociente sobre el término x . Multiplica 3 x veces x + 1. Alinea los términos similares. Reste y baje el próximo término.	$x cubed minus 2 x squared plus 3 x is written on top of the long division bracket. At the bottom of the long division 3 x squared plus 6 x is subtracted to give negative x minus 2. A note reads “It may be helpful to change the signs and add.”$
Divide – x entre x . Pon la respuesta, −1, en el cociente sobre el término constante. Multiplica −1 veces x + 1. Alinea los términos similares. Cambia los signos, agrega.	$x cubed minus 2 x squared plus 3 x minus 1 is written on top of the long division bracket. At the bottom of the long division negative x minus 2 is subtract to give 0. A note reads “It may be helpful to change the signs and add.” The polynomial x to the fourth power minus x squared plus 5 x minus 2, divided by the binomial x plus 2 equals the polynomial x cubed minus 2 x squared plus 3 x minus 1.$
Para verificar, multiplique ((x + 2) left (x ^ {3} -2 x ^ {2} +3 x-1 right) )
El resultado debería ser (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 )

Ejercicio ( PageIndex {29} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {3} +3 x + 14 right) div (x + 2) )

Respuesta: (x ^ {2} -2 x + 7 )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {4} -3 x ^ {3} -1000 right) div (x + 5) )

Respuesta: (x ^ {3} -8 x ^ {2} +40 x-200 )

En el ejercicio ( PageIndex {31} ), dividiremos por (2a − 3 ). A medida que nos dividimos tendremos que considerar las constantes y las variables.

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Encuentra el cociente: ( left (8 a ^ {3} +27 right) div (2 a + 3) )

Respuesta

Esta vez mostraremos la división en un solo paso. Necesitamos agregar dos marcadores de posición para dividir.

$The figure shows the long division of 8 a cubed plus 27 by 2 a plus 3. In the long division bracket, placeholders 0 a squared and 0 a are added into the polynomial. On the first line under the dividend 8 a cubed plus 12 a squared is subtracted. To the right, an arrow indicates that this value came from multiplying 4 a squared by 2 a plus 3. The subtraction gives negative 12 a squared plus 0 a. From this negative 12 a squared minus 18 a is subtracted. To the right, an arrow indicates that this value came from multiplying 6 a by 2 a plus 3. The subtraction give 18 a plus 27. From this 18 a plus 27 is subtracted. To the right, an arrow indicates that this value came from multiplying 9 by 2 a plus 3. The result is 0.$

Para verificar, multiplique ((2 a + 3) left (4 a ^ {2} -6 a + 9 right) )

El resultado debería ser (8 a ^ {3} +27 )

Ejercicio ( PageIndex {32} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {3} -64 right) div (x-4) )