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las matematicas

6.6: Ecuaciones polinómicas

         

                                                                                                                                          
                                                              
                 
 
 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Utilice la propiedad del producto cero
  •      
  • Resolver ecuaciones cuadráticas factorizando
  •      
  • Resolver ecuaciones con funciones polinómicas
  •      
  • Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones polinómicas
  •  
 
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Resuelve: (5y − 3 = 0 ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  2.      
  3. Factoriza completamente: (n ^ 3−9n ^ 2−22n ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  4.      
  5. Si (f (x) = 8x − 16 ), encuentre (f (3) ) y resuelva (f (x) = 0 ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  6.  
 
 
 

Hemos pasado un tiempo considerable aprendiendo a factorizar polinomios. Ahora veremos las ecuaciones polinómicas y las resolveremos usando la factorización, si es posible.

 

Una ecuación polinómica es una ecuación que contiene una expresión polinómica. El grado de la ecuación polinómica es el grado del polinomio.

 
 
 

ECUACIÓN POLINOMIAL

 

Una ecuación polinomial es una ecuación que contiene una expresión polinómica.

 

El grado de la ecuación polinómica es el grado del polinomio.

 
 
 

Ya hemos resuelto ecuaciones polinómicas de grado uno . Las ecuaciones polinómicas de grado uno son ecuaciones lineales que tienen la forma (ax + b = c ).

 

Ahora vamos a resolver ecuaciones polinómicas de grado dos . Una ecuación polinómica de grado dos se llama ecuación cuadrática . A continuación se enumeran algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

 

[x ^ 2 + 5x + 6 = 0 qquad 3y ^ 2 + 4y = 10 qquad 64u ^ 2−81 = 0 qquad n (n + 1) = 42 nonumber ]

 

La última ecuación no parece tener la variable al cuadrado, pero cuando simplificamos la expresión de la izquierda obtendremos (n ^ 2 + n ).

 

La forma general de una ecuación cuadrática es (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), con (a neq 0 ). (Si (a = 0 ), entonces (0 · x ^ 2 = 0 ) y no nos queda ningún término cuadrático.]

 
 
 

ECUACIÓN CUADRÁTICA

 

Una ecuación de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) se llama ecuación cuadrática.

 

[a, b, text {y} c text {son números reales y} a neq 0 nonumber ]

 
 
 

Para resolver ecuaciones cuadráticas necesitamos métodos diferentes de los que usamos para resolver ecuaciones lineales. Veremos un método aquí y luego varios otros en un capítulo posterior.

 
 

Usar la propiedad del producto cero

 

Primero resolveremos algunas ecuaciones cuadráticas usando la Propiedad del producto cero . La propiedad del producto cero dice que si el producto de dos cantidades es cero, entonces al menos una de las cantidades es cero. La única forma de obtener un producto igual a cero es multiplicarlo por cero.

 
 
 

PROPIEDAD CERO DEL PRODUCTO

 

Si (a · b = 0 ), entonces (a = 0 ) o (b = 0 ) o ambos.

 
 
 

Ahora usaremos la Propiedad del Producto Cero, para resolver una ecuación cuadrática .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Cómo resolver una ecuación cuadrática usando la propiedad del producto cero

 

Resuelve: ((5n − 2) (6n − 1) = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

The equation is open parentheses 5n minus 2 close parentheses open parentheses 6n minus 1 close parentheses equals 0. The product equals zero, so at least one factor must equal zero. Step 1 is set each factor equal to zero. So, 5n minus 2 equals 0 and 6n minus 1 equals 0. Step 2 is to solve the linear equations. So, we get n equal to 2 by 5 and n equal to 1 by 6. Step 3 is to check by substituting each solution separately into the original equation.

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelve: ((3m − 2) (2m + 1) = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = frac {2} {3}, space m = – frac {1} {2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: ((4p + 3) (4p − 3) = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(p = – frac {3} {4}, space p = frac {3} {4} )

     
 
 
 
 
 
 
 

USE LA PROPIEDAD CERO DEL PRODUCTO.

 
         
  1. Establezca cada factor igual a cero.
  2.      
  3. Resuelve las ecuaciones lineales.
  4.      
  5. Verificación.
  6.  
 
 
 
 
 

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

 

La propiedad del producto cero funciona muy bien para resolver ecuaciones cuadráticas. La ecuación cuadrática debe ser factorizada, con cero aislado en un lado. Por lo tanto, asegúrese de comenzar con la ecuación cuadrática en forma estándar , (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Luego factorizamos la expresión de la izquierda.

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (3c ^ 2 = 10c − 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(c = 2, espacio c = frac {4} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: (2d ^ 2−5d = 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(d = 3, space d = −12 )

     
 
 
 
 
 
 
 

RESUELVE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FACTORIZACIÓN.

 
 
         
  1. Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar, (ax ^ 2 + bx + c = 0 ).
  2.      
  3. Factoriza la expresión cuadrática.
  4.      
  5. Utilice la propiedad del producto cero.
  6.      
  7. Resuelve las ecuaciones lineales.
  8.      
  9. Verificación. Sustituya cada solución por separado en la ecuación original.
  10.  
 
 
 
 

Antes de factorizar, debemos asegurarnos de que la ecuación cuadrática esté en forma estándar .

 

¡Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización hará uso de todas las técnicas de factorización que has aprendido en este capítulo! ¿Reconoce el patrón de producto especial en el siguiente ejemplo?

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve: (169q ^ 2 = 49 ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & 169x ^ 2 = 49 \ text {Escriba la ecuación cuadrática en forma estándar.} & 169x ^ 2−49 = 0 \ text {Factor. Es una diferencia de cuadrados.} & (13x − 7) (13x + 7) = 0 \ text {Use la Propiedad del Producto Cero para establecer cada factor en} 0. & \ text {Resuelva cada ecuación.} & begin { matriz} {ll} 13x − 7 = 0 y 13x + 7 = 0 \ 13x = 7 y 13x = −7 \ x = frac {7} {13} & x = – frac {7} {13} end { matriz} end {matriz} )

     

Verificación:

     

Te dejamos el cheque.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve: (25p ^ 2 = 49 ).

 
     
Respuesta
     
     

(p = frac {7} {5}, p = – frac {7} {5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelve: (36x ^ 2 = 121 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {11} {6}, x = – frac {11} {6} )

     
 
 
 
 
 

En el siguiente ejemplo, el lado izquierdo de la ecuación se factoriza, pero el lado derecho no es cero. Para utilizar la Propiedad del producto cero , un lado de la ecuación debe ser cero. Multiplicaremos los factores y luego escribiremos la ecuación en forma estándar.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve: ((3x − 8) (x − 1) = 3x ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & (3x − 8) (x − 1) = 3x \ text {Multiplica los binomios.} & 3x ^ 2−11x + 8 = 3x \ text { Escriba la ecuación cuadrática en forma estándar.} & 3x ^ 2−14x + 8 = 0 \ text {Factorice el trinomio.} & (3x − 2) (x − 4) = 0 \ begin {array} {l } text {Use la Propiedad del Producto Cero para establecer cada factor en 0.} \ text {Resuelva cada ecuación.} end {array} & begin {array} {ll} 3x − 2 = 0 & x − 4 = 0 \ 3x = 2 & x = 4 \ x = frac {2} {3} & end {array} \ text {Verifique sus respuestas.} & Text {El cheque se le deja a usted.} end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Resolver: ((2m + 1) (m + 3) = 12m ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = 1, space m = frac {3} {2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Resuelve: ((k + 1) (k − 1) = 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(k = 3, espacio k = −3 )

     
 
 
 
 
 

En el siguiente ejemplo, cuando factorizamos la ecuación cuadrática obtendremos tres factores. Sin embargo, el primer factor es una constante. Sabemos que el factor no puede ser igual a 0.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Resuelve: (3x ^ 2 = 12x + 63 ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & 3x ^ 2 = 12x + 63 \ text {Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.} & 3x ^ 2−12x − 63 = 0 \ text {Factoriza el factor común más grande primero.} & 3 (x ^ 2−4x − 21) = 0 \ text {Factoriza el trinomio.} & 3 (x − 7) (x + 3) = 0 \ begin {array} {l } text {Use la Propiedad del Producto Cero para establecer cada factor en 0.} \ text {Resuelva cada ecuación.} end {array} & begin {array} {lll} 3 neq 0 & x − 7 = 0 & x + 3 = 0 \ 3 neq 0 & x = 7 & x = −3 end {array} \ text {Verifique sus respuestas.} & text {El cheque se le deja a usted.} end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Resuelve: (18a ^ 2−30 = −33a ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = – frac {5} {2}, a = frac {2} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Resolver: (123b = −6−60b ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(b = −2, space b = – frac {1} {20} )

     
 
 
 
 
 

La Propiedad de producto cero también se aplica al producto de tres o más factores. Si el producto es cero, al menos uno de los factores debe ser cero. Podemos resolver algunas ecuaciones de grado mayor que dos usando la Propiedad del Producto Cero, al igual que resolvimos ecuaciones cuadráticas.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Resolver: (9m ^ 3 + 100m = 60m ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & 9m ^ 3 + 100m = 60m ^ 2 \ text {Traiga todos los términos a un lado para que el otro lado sea cero.} & 9m ^ 3−60m ^ 2 + 100m = 0 \ text {Factorizar el máximo factor común primero.} & M (9m ^ 2−60m + 100) = 0 \ text {Factorizar el trinomio.} & M (3m − 10) ^ 2 = 0 end {array} \ begin {array} {l} text {Use la Propiedad de Producto Cero para establecer cada factor en 0.} \ text {Resuelva cada ecuación.} & begin {array} {lll} m = 0 & 3m − 10 = 0 & {} \ m = 0 & m = frac {10} {3} & {} end {array} \ text {Verifique sus respuestas.} & text {El cheque se le deja a usted.} end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Resuelve: (8x ^ 3 = 24x ^ 2−18x ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 0, space x = frac {3} {2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Resuelve: (16y ^ 2 = 32y ^ 3 + 2y ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 0, espacio y = 14 )

     
 
 
 
 
 
 
 

Resolver ecuaciones con funciones polinomiales

 

A medida que continúa nuestro estudio de las funciones polinómicas, a menudo será importante saber cuándo la función tendrá un cierto valor o qué puntos se encuentran en la gráfica de la función. Nuestro trabajo con la Propiedad del producto cero nos ayudará a encontrar estas respuestas.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Para la función (f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 ),

 

ⓐ encuentra (x ) cuando (f (x) = 6 )
ⓑ encuentra dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

 
     
Respuesta
     
     


( begin {array} {ll} & f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 \ text {Sustituir} 6 text {para} f (x). & 6 = x ^ 2 + 2x − 2 \ text {Ponga el cuadrático en forma estándar.} & X ^ 2 + 2x − 8 = 0 \ text {Factoriza el trinomio.} & (X + 4) (x − 2) = 0 \ begin {array} {l} text {Use la propiedad del producto cero.} \ text {Resolver.} End {array} & begin {array} {lll} x + 4 = 0 & text {or} & x − 2 = 0 \ x = −4 & text {or} & x = 2 end {array} \ text {Verificar:} & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ begin {array} {lll} quad & hspace {3mm} f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 & f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 \ quad & f (−4) = (- 4) ^ 2 + 2 (−4) −2 & f (2) = 2 ^ 2 + 2 · 2−2 \ quad & f (−4 ) = 16−8−2 & f (2) = 4 + 4−2 \ quad & f (−4) = 6 checkmark & ​​f (2) = 6 checkmark end {array} & end {array} )

ⓑ Dado que (f (−4) = 6 ) y (f (2) = 6 ), los puntos ((- 4,6) ) y ((2, 6) ) se encuentran en la gráfica de la función.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Para la función (f (x) = x ^ 2−2x − 8 ),

 

ⓐ find (x ) when (f (x) = 7 )
ⓑ Encuentra dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (x = −3 ) o (x = 5 )
ⓑ ((- 3,7) space (5,7) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Para la función (f (x) = x ^ 2−8x + 3 ),

 

ⓐ find (x ) when (f (x) = – 4 )
ⓑ Encuentra dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (x = 1 ) o (x = 7 )
ⓑ ((1, −4) space (7, −4) )

     
 
 
 
 
 

La Propiedad del producto cero también nos ayuda a determinar dónde la función es cero. Un valor de (x ) donde la función es (0 ), se llama cero de la función .

 
 
 

CERO DE UNA FUNCIÓN

 

Para cualquier función (f ), si (f (x) = 0 ), entonces (x ) es un cero de la función .

 
 
 

Cuando (f (x) = 0 ), el punto ((x, 0) ) es un punto en el gráfico. Este punto es una (x ) – intercepción de la gráfica. A menudo es importante saber dónde la gráfica de una función cruza los ejes. Veremos algunos ejemplos más adelante.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Para la función (f (x) = 3x ^ 2 + 10x − 8 ), encuentre

 

ⓐ los ceros de la función,
ⓑ any (x ) – intersecciones de la gráfica de la función
ⓒ any (y ) – intersecciones de la gráfica de la función

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ Para encontrar los ceros de la función, necesitamos encontrar cuándo el valor de la función es 0.
( begin {array} {ll} & f (x) = 3x ^ 2 + 10x − 8 \ text {Sustituir} 0 text {para} f (x). & 0 = 3x ^ 2 + 10x − 8 \ text {Factorizar el trinomio.} & (x + 4) (3x − 2) = 0 \ begin {array} {l} text {Use la propiedad del producto cero.} \ text {Resolver.} end {array} & begin {array} {lll} x + 4 = 0 & text {o } & 3x − 2 = 0 \ x = −4 & text {o} & x = frac {2} {3} end {array} end {array} )

ⓑ An ( x ): la intercepción ocurre cuando (y = 0 ). Como (f (−4) = 0 ) y (f ( frac {2} {3}) = 0 ), los puntos ((- 4,0) ) y (( frac { 2} {3}, 0) ) se encuentran en el gráfico. Estos puntos son (x ) – intersecciones de la función.

ⓒ A (y ): la intercepción ocurre cuando (x = 0 ). Para encontrar las intersecciones (y ) – necesitamos encontrar (f (0) ).
( begin {array} {ll} & f (x) = 3x ^ 2 + 10x − 8 \ text {Find} f (0) text {sustituyendo} 0 text {por} x. & f (0) = 3 · 0 ^ 2 + 10 · 0−8 \ text {Simplify.} & f (0) = – 8 end {array} )
Dado que (f (0) = – 8 ), el punto ((0, −8) ) se encuentra en el gráfico. Este punto es la intercepción (y ) de la función.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Para la función (f (x) = 2x ^ 2−7x + 5 ), encuentre

 

ⓐ los ceros de la función
ⓑ any (x ) – intercepta la gráfica de la función
ⓒ any (y ) – intercepta la gráfica de la función.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (x = 1 ) o (x = frac {5} {2} )
ⓑ ((1,0), space ( frac {5} {2}, 0) ) ⓒ ((0,5) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Para la función (f (x) = 6x ^ 2 + 13x − 15 ), encuentre

 

ⓐ los ceros de la función
ⓑ any (x ) – intercepta la gráfica de la función
ⓒ any (y ) – intercepta la gráfica de la función.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (x = −3 ) o (x = frac {5} {6} )
ⓑ ((- 3,0), space ( frac {5} {6 }, 0) ) ⓒ ((0, −15) )

     
 
 
 
 
 
 
 

Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones polinómicas

 

La estrategia de resolución de problemas que utilizamos anteriormente para aplicaciones que se traducen en ecuaciones lineales funcionará igual de bien para aplicaciones que se traducen en ecuaciones polinómicas. Copiaremos la estrategia de resolución de problemas aquí para que podamos usarla como referencia.

 
 
 

UTILICE UNA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PALABRAS.

 
         
  1. Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
  2.      
  3. Identifique lo que estamos buscando.
  4.      
  5. Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
  6.      
  7. Traduzca en una ecuación. Puede ser útil repetir el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación usando técnicas apropiadas de álgebra.
  10.      
  11. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  12.      
  13. Responda la pregunta con una oración completa.
  14.  
 
 
 

Comenzaremos con un problema numérico para practicar traduciendo palabras en una ecuación polinómica.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

El producto de dos enteros impares consecutivos es 323. Encuentra los enteros.

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.} & \ textbf {Paso 2. Identificar} text {lo que estamos buscando.} & text {Estamos buscando dos enteros consecutivos.} \ textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.} & text {Let} n = text {el primer entero.} \ & n + 2 = text {siguiente entero impar consecutivo} \ begin {array} {l} textbf {Paso 4. Traducir} text {en una ecuación. Reformule el} hspace {20mm} \ text { problema en una oración.} end {array} & begin {array} {l} text {El producto de los dos impares consecutivos} \ text {enteros es} 323. end {array} \ & quad n (n + 2) = 323 \ textbf {Paso 5. Resolver} text {la ecuación.} n ^ 2 + 2n = 323 \ text {Traiga todos los términos a un lado.} & n ^ 2 + 2n − 323 = 0 \ text {Factorizar el trinomio.} & (N − 17) (n + 19) = 0 \ begin {array} {l} text {Use la propiedad del producto cero.} text {Resuelva las ecuaciones.} end {array} & begin {array} {ll} n − 17 = 0 hspace {10mm} & n + 19 = 0 \ n = 17 & n = −19 end { array} end {array} )
Hay dos valores para (n ) que son soluciones a este problema Entonces, hay dos conjuntos de enteros impares consecutivos que funcionarán.

     

( begin {array} {ll} text {Si el primer entero es} n = 17 hspace {60mm} & text {Si el primer entero es} n = -19 \ text {entonces el siguiente entero impar es} & text {entonces el siguiente entero impar es} \ hspace {53mm} n + 2 y hspace {53mm} n + 2 \ hspace {51mm} 17 + 2 y hspace { 51mm} -19 + 2 \ hspace {55mm} 19 & hspace {55mm} -17 \ hspace {51mm} 17,19 & hspace {51mm} -17, -19 \ textbf {Paso 6 . Marque} text {la respuesta.} & \ text {Los resultados son enteros impares consecutivos} & \ begin {array} {ll} 17, space 19 text {y} −19, space – 17. & \ 17 · 19 = 323 checkmark & ​​−19 (−17) = 323 checkmark end {array} & \ text {Ambos pares de enteros consecutivos son soluciones.} & \ textbf {Paso 7. Respuesta} text {la pregunta} y text {Los enteros consecutivos son} 17, 19 text {y} −19, −17. End {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

El producto de dos enteros impares consecutivos es 255. Encuentra los enteros.

 
     
Respuesta
     
     

(- 15, −17 ) y (15, 17 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

El producto de dos enteros impares consecutivos es 483 Encuentra los enteros.

 
     
Respuesta
     
     

(- 23, −21 ) y (21, 23 )

     
 
 
 
 
 

¿Te sorprendió el par de enteros negativos que es una de las soluciones del ejemplo anterior? El producto de los dos enteros positivos y el producto de los dos enteros negativos dan resultados positivos.

 

En algunas aplicaciones, el álgebra resultará en soluciones negativas, pero no será realista para la situación.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Una habitación rectangular tiene un área de 117 pies cuadrados. La longitud del dormitorio es cuatro pies más que el ancho. Encuentra el largo y ancho de la habitación.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. En problemas relacionados con figuras geométricas
, un boceto puede ayudarlo a visualizar
la situación.
.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. Estamos buscando el largo y el ancho.
Paso 3. Nombre lo que está buscando. Sea (w = text {el ancho de la habitación} ).
La longitud es cuatro pies más que el ancho. (w + 4 = text {la longitud del jardín} )
Paso 4. Traduzca en una ecuación.
Repite la información importante en una oración. El área de la habitación es de 117 pies cuadrados.
Usa la fórmula para el área de un rectángulo. (A = l · w )
Sustituir en las variables. (117 = (w + 4) w )
Paso 5. Resuelve la ecuación Distribuir primero. (117 = w ^ 2 + 4w )
Obtenga cero en un lado. (117 = w ^ 2 + 4w )
Factoriza el trinomio. (0 = w ^ 2 + 4w − 117 )
Utilice la propiedad del producto cero. (0 = (w ^ 2 + 13) (w − 9) )
Resuelve cada ecuación. (0 = w + 13 quad 0 = w − 9 )
Dado que (w ) es el ancho de la habitación, no tiene
sentido que sea negativo. Eliminamos ese valor para (w ).
( cancel {w = −13} ) ( quad w = 9 )
(w = 9 ) El ancho es de 9 pies.
Halla el valor de la longitud. (w + 4 )
(9 + 4 )
13 La longitud es de 13 pies.
Paso 6. Marque la respuesta.
¿Tiene sentido la respuesta?

.
Sí, esto tiene sentido.

Paso 7. Responda la pregunta. El ancho de la habitación es de 9 pies y
la longitud es de 13 pies.
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Un letrero rectangular tiene un área de 30 pies cuadrados. La longitud del letrero es un pie más que el ancho. Encuentra la longitud y el ancho de la señal.

 
     
Respuesta
     
     

El ancho es de 5 pies y el largo es de 6 pies.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Un patio rectangular tiene un área de 180 pies cuadrados. El ancho del patio es tres pies menos que el largo. Encuentra el largo y ancho del patio.

 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

La longitud del patio es de 12 pies y el ancho de 15 pies.

     
     
     
     
 
 
 
 
 

En el siguiente ejemplo, utilizaremos el teorema de Pitágoras ((a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2) ). Esta fórmula da la relación entre las piernas y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

 

Figure shows a right triangle with the shortest side being a, the second side being b and the hypotenuse being c.

 

Usaremos esta fórmula en el siguiente ejemplo.

 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Justine quiere poner una terraza en la esquina de su patio trasero en forma de triángulo rectángulo. La longitud de un lado de la plataforma es 7 pies más que el otro lado. La hipotenusa es 13. Encuentra las longitudes de los dos lados del mazo.

 
     
Respuesta
     
     

5 pies y 12 pies

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Un jardín de meditación tiene la forma de un triángulo rectángulo, con una pierna de 7 pies. La longitud de la hipotenusa es una más que la longitud de la otra pierna. Encuentra las longitudes de la hipotenusa y la otra pierna.

 
     
Respuesta
     
     

24 pies y 25 pies

     
 
 
 
 
 

El siguiente ejemplo usa la función que da la altura de un objeto en función del tiempo cuando se arroja desde 80 pies sobre el suelo.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Dennis lanzará su pelota de goma elástica hacia arriba desde la parte superior de un edificio del campus. Cuando lanza la pelota con banda elástica desde 80 pies sobre el suelo, la función (h (t) = – 16t ^ 2 + 64t + 80 ) modela la altura, (h ), de la pelota sobre el suelo como una función del tiempo, (t ). Buscar:

 

ⓐ los ceros de esta función que nos indican cuándo la pelota toca el suelo
ⓑ cuándo la pelota estará a 80 pies sobre el suelo
ⓒ la altura de la pelota en (t = 2 ) segundos .

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ Los ceros de esta función se encuentran resolviendo (h (t) = 0 ). Esto nos dirá cuándo la pelota tocará el suelo.
( begin {array} {ll} & h (t) = 0 \ text {Sustituya en el polinomio por} h (t). & −16t ^ 2 + 64t + 80 = 0 \ text {Factorizar el MCD,} −16. & −16 (t ^ 2−4t − 5) = 0 \ text {Factorizar el trinomio.} & −16 (t − 5) (t + 1) = 0 \ begin {array} {l} text {Use la propiedad del producto cero.} \ text {Resolver.} end {array} & begin {array} {ll} t − 5 = 0 & t + 1 = 0 \ t = 5 & t = −1 end {array} end {array} )

     

El resultado (t = 5 ) nos dice que la pelota tocará el suelo 5 segundos después de ser lanzada. Como el tiempo no puede ser negativo, el resultado (t = −1 ) se descarta.

     

ⓑ La pelota estará a 80 pies sobre el suelo cuando (h (t) = 80 ).
( begin {array} {ll} & h (t) = 80 \ text {Sustituya en el polinomio por} h (t). & −16t ^ 2 + 64t + 80 = 80 \ text {Resta 80 de ambos lados.} & −16t ^ 2 + 64t = 0 \ text {Factoriza el MCD,} −16t. & −16t (t − 4) = 0 \ begin {array} {l} text {Use la propiedad del producto cero.} \ text {Resolver.} end {array} & begin {array} {ll} −16t = 0 & t − 4 = 0 \ t = 0 & t = 4 end {array} \ & text {La pelota estará a 80 pies en el momento en que Dennis} \ & text {lance la pelota y luego 4 segundos después, cuando} \ & text {la pelota se caiga.} end {array} )

     

ⓒ Para encontrar la bola de altura en (t = 2 ) segundos, encontramos (h (2) ).
( begin {array} {ll} & h (t) = – 16t ^ 2 + 64t + 80 \ text {Para encontrar} h (2) text {sustituto} 2 text {para} t . & h (2) = – 16 (2) ^ 2 + 64 · 2 + 80 \ text {Simplificar.} & h (2) = 144 \ & text {Después de 2 segundos, la pelota estará a 144 pies .} end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Genevieve lanzará una roca desde la cima de un sendero con vista al océano. Cuando arroja la roca hacia arriba desde 160 pies sobre el océano, la función (h (t) = – 16t ^ 2 + 48t + 160 ) modela la altura, (h ), de la roca sobre el océano como un función del tiempo, (t ). Buscar:

 

ⓐ los ceros de esta función que nos dicen cuándo la roca golpeará el océano
ⓑ cuándo la roca estará a 160 pies sobre el océano.
ⓒ la altura de la roca en (t = 1.5 ) segundos.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ 5 ⓑ 0; 3 ⓒ 196

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Calib va ​​a tirar su centavo de la suerte desde su balcón en un crucero. Cuando arroja el centavo hacia arriba desde 128 pies sobre el suelo, la función (h (t) = – 16t ^ 2 + 32t + 128 ) modela la altura, (h ), del centavo sobre el océano como un función del tiempo, (t ). Buscar:

 

ⓐ los ceros de esta función, que es cuando el centavo llegará al océano
ⓑ cuando el centavo estará a 128 pies sobre el océano.
ⓒ la altura del centavo será en (t = 1 ) segundos, que es cuando el centavo estará en su punto más alto.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ 4 ⓑ 0; 2 ⓒ 144

     
 
 
 
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con ecuaciones cuadráticas.

 
 
 
 
                                  
                                    
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