Cuando se concentra en problemas de factorización de un solo tipo, después de hacer algunos tiende a seguir un ritmo, y el resto de los ejercicios, debido a que son similares, parecen fluir. Sin embargo, cuando encuentra una mezcla de problemas de factorización de diferentes tipos, el progreso es más difícil. El objetivo de esta sección es establecer una estrategia a seguir al atacar un problema de factorización general.
Si aún no se ha hecho, es útil organizar los términos del polinomio dado en algún tipo de orden (descendente o ascendente). Entonces desea aplicar las siguientes pautas.
Estrategia de factoring
Estos pasos deben seguirse en el orden en que aparecen.
- Factoriza el máximo común divisor ( ( mathrm {GCF} )).
- Busque una forma especial.
- Si tiene dos cuadrados perfectos separados por un signo menos, use el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar: [a ^ 2 −b ^ 2 = (a + b) (a − b) nonumber ] [19459009 ]
- Si tienes un trinomio cuyos primeros y últimos términos son cuadrados perfectos, debes sospechar que tienes un trinomio cuadrado perfecto. Tome las raíces cuadradas de los términos primero y último y factorice de la siguiente manera. [A ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 nonumber ] Asegúrese de verificar que el término medio sea correcto.
- Si tiene un trinomio de la forma (ax ^ 2 + bx + c ), use el método (ac ) para factorizar.
- Si tiene una expresión de cuatro términos, intente factorizar agrupando.
Una vez que haya aplicado la estrategia anterior al polinomio dado, es muy posible que uno de los factores resultantes tenga más en cuenta. Por lo tanto, tenemos la siguiente regla.
Factoriza completamente
El proceso de factorización no se completa hasta que ninguno de los factores restantes se pueda factorizar más. Este es el significado de la frase, “factor completamente”.
Finalmente, un muy buen consejo.
Comprueba tu factorización multiplicando
Una vez que haya factorizado el polinomio dado por completo, es una muy buena práctica verificar su resultado. Si multiplica para encontrar el producto de sus factores, y como resultado obtiene el polinomio original dado, entonces sabe que su factorización es correcta.
Es un poco más de trabajo verificar su factorización, pero vale la pena el esfuerzo. Ayuda a eliminar errores y también ayuda a comprender mejor el proceso de factorización. Recuerde, la factorización es “inmultiplicar”, por lo que cuanto más se multiplique, mejor será la factorización.
¡Veamos qué puede suceder cuando no verifica su factorización!
¡Advertencia! ¡La siguiente solución es incorrecta!
Factor: (2x ^ 4 + 8x ^ 2 )
Solución: Factoriza el ( mathrm {GCF} )
[ begin {align *} 2x ^ 4 + 8x ^ 2 & = 2x ^ 2 (x ^ 2 + 4) \ & = 2x ^ 2 (x + 2) ^ 2 end {align *} nonumber ]
Tenga en cuenta que este estudiante no se molestó en verificar su factorización. Hagamos eso por él ahora.
Verificar: Multiplicar para verificar. Recuerde, cuando cuadra un binomio, hay un término medio.
[ begin {align *} 2x ^ 2 (x + 2) ^ 2 & = 2x ^ 2 (x ^ 2 + 4x + 4) \ & = 2x ^ 4 + 8x ^ 3 + 8x ^ 2 end {align *} nonumber ]
Esto no es lo mismo que el polinomio original (2x ^ 4 + 8x ^ 2 ), por lo que la factorización del alumno es incorrecta. Si el alumno hubiera realizado esta comprobación, podría haber captado su error, siempre que, por supuesto, se multiplique correctamente durante la comprobación.
Sigue la factorización correcta.
[ begin {align *} 2x ^ 4 + 8x ^ 2 & = 2x ^ 2 (x ^ 2 + 4) \ end {align *} nonumber ]
La suma de los cuadrados no tiene en cuenta, por lo que hemos terminado.
Verificar: Multiplicar para verificar.
[ begin {align *} 2x ^ 2 (x ^ 2 + 4) & = 2x ^ 4 + 8x ^ 2 \ end {align *} nonumber ]
Esto es lo mismo que el polinomio original (2x ^ 4 + 8x ^ 2 ), por lo que esta factorización es correcta.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Factoriza completamente: (- 3x ^ 6 + 3x ^ 2 )
Solución
La primera regla de factorización es “Factorizar el MCD”. El ( mathrm {GCF} ) de (- 3x ^ 6 ) y (3x ^ 2 ) es (3x ^ 2 ), por lo que podríamos factorizar (3x ^ 2 ). [−3x ^ 6 + 3x ^ 2 = 3x ^ 2 (−x ^ 4 + 1) nonumber ] Esto es perfectamente válido, pero no nos gusta el hecho de que el segundo factor comienza con (- x ^ 4 ). En su lugar, factoricemos (- 3x ^ 2 ). [- 3x ^ 6 + 3x ^ 2 = −3x ^ 2 (x ^ 4 −1) nonumber ] El segundo factor es la diferencia de dos cuadrados. Tome las raíces cuadradas, separando un par con un signo más, un par con un signo menos. [= −3x ^ 2 (x ^ 2 + 1) (x ^ 2 −1) nonumber ] La suma de los cuadrados no tiene en cuenta. Pero el último factor es la diferencia de dos cuadrados. Tome las raíces cuadradas, separando un par con un signo más, un par con un signo menos. [= −3x ^ 2 (x ^ 2 + 1) (x + 1) (x − 1) nonumber ] [19459002 ]
Verificar: Multiplicar para verificar el resultado.
[ begin {align *} -3x ^ 2 (x ^ 2 + 1) (x + 1) (x-1) & = -3x ^ 2 (x ^ 2 + 1) (x ^ 2- 1) \ & = -3x ^ 2 (x ^ 4-1) \ & = -3x ^ 6 + 3x ^ 2 end {align *} nonumber ]
Las comprobaciones de factorización.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Factoriza completamente: (- 4x ^ 7 + 64x ^ 3 )
- Respuesta
-
(- 4x ^ 3 (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x − 2) )
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Factoriza completamente: (x ^ 3y + 9xy ^ 3 + 6x ^ 2y ^ 2 )
Solución
La primera regla de factorización es “Factorizar el MCD”. El ( mathrm {GCF} ) de (x ^ 3y ), (9xy ^ 3 ) y (6x ^ 2y ^ 2 ) es (xy ), por lo que factorizamos ( xy ). [x ^ 3y + 9xy ^ 3 + 6x ^ 2y ^ 2 = xy (x ^ 2 + 9y ^ 2 + 6xy) nonumber ] Ordenemos ese segundo factor en potencias descendentes de (x ) . [= xy (x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2) nonumber ] Los primeros y últimos términos del factor trinomial son cuadrados perfectos. Sospechamos que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, por lo que tomamos las raíces cuadradas del primer y último término, verificamos el término medio y escribimos: [= xy (x + 3y) ^ 2 nonumber ] Por lo tanto, (x ^ 3y + 9xy ^ 3 + 6x ^ 2y ^ 2 = xy (x + 3y) ^ 2 ).
Verificar: Multiplicar para verificar el resultado. [ Begin {align *} xy (x + 3y) ^ 2 & = xy (x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2) \ & = x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 9xy ^ 3 end {align *} nonumber ]
Excepto por el orden, este resultado es el mismo que el polinomio dado. Los controles de factorización.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Factoriza completamente: (3a ^ 2b ^ 4 + 12a ^ 4b ^ 2 −12a ^ 3b ^ 3 )
- Respuesta
-
(3a ^ 2b ^ 2 (2a − b) ^ 2 )
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Factoriza completamente: (2x ^ 3 −48x + 20x ^ 2 )
Solución
En el último ejemplo, reconocimos la necesidad de reorganizar nuestros términos después de sacar el ( mathrm {GCF} ). Esta vez, organicemos nuestros términos en potencias descendentes de (x ) de inmediato. [2x ^ 3 −48x + 20x ^ 2 = 2x ^ 3 + 20x ^ 2 −48x nonumber ] Ahora, factoricemos el ( mathrm {GCF} ). [= 2x (x ^ 2 + 10x − 24) nonumber ] El último término del factor trinomial no es un cuadrado perfecto. Pasemos al método ac para factorizar. El par entero (- 2,12 ) tiene un producto igual a (ac = −24 ) y una suma igual a (b = 10 ). Debido a que el coeficiente de (x ^ 2 ) es uno, esta es una situación de “caída en el lugar”. Dejamos caer nuestro par en su lugar y escribimos: [= 2x (x − 2) (x + 12) nonumber ] Por lo tanto, (2x ^ 3 −48x + 20x ^ 2 = 2x (x − 2) (x + 12) ).
Verificar: Multiplicar para verificar el resultado. Utilizamos el método abreviado FOIL y los cálculos mentales para acelerar las cosas. [ Begin {align *} 2x (x-2) (x + 12) & = 2x (x ^ 2 + 10x-24) \ & = 2x ^ 3 + 20x ^ 2 – 48x end {align *} nonumber ] Excepto por el orden, este resultado es el mismo que el polinomio dado. Los controles de factorización.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Agregue texto de ejercicios aquí.
- Respuesta
-
(- 3x ^ 2 (x − 4) (x − 5) )
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Factoriza completamente: (2a ^ 2 −13ab − 24b ^ 2 )
Solución
No hay un factor común que podamos descifrar. Tenemos un trinomio, pero los términos primero y último no son cuadrados perfectos, así que apliquemos el método (ac ). Ignorando las variables por un momento, necesitamos un par entero cuyo producto sea (ac = −48 ) y cuya suma sea (- 13 ). Me viene a la mente el par entero (3, −16 ) (si no se le ocurre nada, comience a enumerar los pares enteros). Divide el término medio en una suma de términos similares usando el par entero (3, −16 ), luego factoriza agrupando
[ begin {align *} 2a ^ 2-13ab-24b ^ 2 & = 2a ^ 2 + 3ab-16ab-24b ^ 2 \ & = a (2a + 3b) -8b (2a + 3b) \ & = (a-8b) (2a + 3b) end {align *} nonumber ]
Por lo tanto, (2a ^ 2-13ab-24b ^ 2 = (a − 8b) (2a +3 b) ).
Verificar: Multiplicar para verificar el resultado. Utilizamos el método abreviado FOIL y los cálculos mentales para acelerar las cosas. [(A − 8b) (2a +3 b) = 2a ^ 2 −13ab − 24b ^ 2 nonumber ] Este resultado es el mismo que el polinomio dado . Los controles de factorización.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Factoriza completamente: (8x ^ 2 + 14xy − 15y ^ 2 )
- Respuesta
-
((2 x + 5y) (4x − 3y) )
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Factoriza completamente: (30x ^ 4 + 38x ^ 3 −20x ^ 2 )
Solución
El primer paso es factorizar ( mathrm {GCF} ), que en este caso es (2x ^ 2 ). [30x ^ 4 + 38x ^ 3 −20x ^ 2 = 2x ^ 2 (15x ^ 2 + 19x − 10) nonumber ] Los primeros y últimos términos del factor trinomial no son cuadrados perfectos, así que volvamos al método (ac ). Al comparar (15x ^ 2 + 19x − 10 ) con (ax ^ 2 + bx + c ), tenga en cuenta que (ac = (15) (- 10) = −150 ). Necesitamos un par entero cuyo producto sea (- 150 ) y cuya suma sea (19 ). El par entero (- 6 ) y (25 ) satisface estos requisitos. Debido a que (a neq 1 ), esta no es una situación de “caída en el lugar”, por lo que debemos dividir el término medio como una suma de términos similares usando el par (- 6 ) y (25 ). [= 2x ^ 2 (15x ^ 2 −6x + 25x − 10) nonumber ] Factoriza por agrupación. Factoriza (3x ) a partir de los primeros dos términos y (5 ) a partir de los términos tercero y cuarto. [= 2x ^ 2 (3x (5x − 2) + 5 (5x − 2)) nonumber ] Finalmente, factorice el factor común (5x − 2 ). [= 2x ^ 2 (3x + 5) (5x − 2) nonumber ] Por lo tanto, (30x ^ 4 + 38x ^ 3 −20x ^ 2 = 2x ^ 2 (3x + 5) (5x − 2) ).
Verificar: Multiplicar para verificar el resultado. Use el método FOIL para multiplicar primero los binomios. [2x ^ 2 (3x + 5) (5x − 2) = 2x ^ 2 (15x ^ 2 + 19x − 10) nonumber ] Distribuya el (2x ^ 2 ). [= 30x ^ 4 + 38x ^ 3 −20x ^ 2 nonumber ] Este resultado es el mismo que el polinomio dado. Los controles de factorización.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Factoriza completamente: (36x ^ 3 + 60x ^ 2 + 9x )
- Respuesta
-
(3x (6x + 1) (2x + 3) )
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Factoriza completamente: (8x ^ 5 + 10x ^ 4 −72x ^ 3 −90x ^ 2 )
Solución
Cada uno de los términos es divisible por (3x ^ 3 ). Factorizar (3x ^ 3 ). [15x ^ 6 −33x ^ 5 −240x ^ 4 + 528x ^ 3 = 3x ^ 3 [5x ^ 3 −11x ^ 2 −80x + 176] nonumber ] El segundo factor es una expresión de cuatro términos. Factorizar por agrupación.
[ begin {align *} & = 3x ^ 3 [x ^ 2 (5x-11) -16 (5x-11)] \ & = 3x ^ 3 (x ^ 2-16) (5x- 11) end {align *} nonumber ]
El factor (x ^ 2−16 ) es una diferencia de dos cuadrados. Tome las raíces cuadradas, separe un par con un más, un par con un menos. [= 3x ^ 3 (x + 4) (x − 4) (5x − 11) nonumber ] Por lo tanto, (15x ^ 6 −33x ^ 5 −240x ^ 4 + 528x ^ 3 = 3x ^ 3 (x + 4) (x − 4) (5x − 11) ).
Verificar: Multiplicar para verificar el resultado.
[ begin {align *} 3x ^ 3 (x + 4) (x-4) (5x-11) & = 3x ^ 3 (x ^ 2-16) (5x-11) \ & = 3x ^ 3 (5x ^ 3 – 11x ^ 2 – 80x + 176 \ & = 15x ^ 6 – 33x ^ 5 – 240x ^ 4 + 528x ^ 3 end {align *} nonumber ]
Este resultado es el mismo que el polinomio dado. Los controles de factorización.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Factoriza completamente: (15x ^ 6−33x ^ 5−240x ^ 4 + 528x ^ 3 )
- Respuesta
-
(2x ^ 2 (x − 3) (x + 3) (4x + 5) )
Usando la calculadora para ayudar al (ac ) – Método
Cuando se usa el método (ac ) para factorizar (ax ^ 2 + bx + c ) y (ac ) es un número muy grande, entonces puede ser difícil encontrar un par cuyo producto es (ac ) y cuya suma en (b ). Por ejemplo, considere el trinomio: [12y ^ 2 −11y − 36 nonumber ] Necesitamos un par entero cuyo producto sea (ac = −432 ) y cuya suma sea (b = −11 ). Comenzamos a enumerar las posibilidades de pares enteros, pero el proceso rápidamente se vuelve desalentador.
[ begin {array} {l} 1, -432 \ 2, -216 \ quad dots end {array} nonumber ]
Tenga en cuenta que los números en la segunda columna se encuentran dividiendo (ac = −432 ) por el número en la primera columna. Ahora usaremos este hecho y la función TABLE en nuestra calculadora para buscar el par entero deseado.
- Ingrese la expresión (- 432 / X ) en ( mathbb {Y1} ) en el menú Y = (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {1} )).
- Sobre el botón VENTANA verá TBLSET . Use la tecla 2da , luego presione el botón VENTANA para acceder al menú que se muestra en la segunda imagen de la Figura ( PageIndex {1} ). Establezca TblStart = 1 , ( triangle text {Tbl} = 1 ), luego resalte AUTO para las variables independientes y dependientes.
- Sobre el botón GRÁFICO verá TABLA . Use la tecla 2da , luego presione el botón GRAPH para acceder a la tabla que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {1} ). Use las teclas de flecha hacia arriba y hacia abajo para desplazarse por el contenido de la tabla. Tenga en cuenta que puede ignorar la mayoría de los pares, porque no son ambos enteros. Presta atención solo cuando ambos son enteros. En este caso, recuerde que está buscando un par cuya suma sea (b = −11 ). Tenga en cuenta que el par (16, −27 ) que se muestra en la tercera imagen de la Figura ( PageIndex {1} ) es el par que buscamos.
Ahora podemos dividir el término medio de (12y ^ 2 −11y −36 ) en una suma de términos similares usando el par ordenado (16, −27 ), luego factorizar por agrupación.
[ begin {align *} 12y ^ 2-11y-36 & = 12y ^ 2 + 16y-27y-36 \ & = 4y (3y + 4) -9 (3y + 4) \ & = (4y-9) (3y + 4) end {align *} nonumber ]
Verificación: Use el método abreviado FOIL y los cálculos mentales para multiplicar. [(4y − 9) (3y + 4) = 12y ^ 2 −11y − 36 nonumber ] Las verificaciones de factorización.